陀螺何以进动而不倒
高速旋转的陀螺有什么特性？
高速旋转的陀螺有什么特性？陀螺特性——定轴性陀螺在旋转的过程中不会倒下，要归功于陀螺的第一个特性，叫做定轴性.陀螺在转动时，如果作用在它上面的外力的力矩为零，由角动量定理可知，这时陀螺对于支点的角动量守恒，在运动中角动量的方向始终保持不变.陀螺上的每一个点都在一个跟旋转轴垂直的平面里沿着一个圆周转动.按照惯性定律，每一个点随时都极力想使自己沿着圆周的一条切线离开圆周，可是所有的切线都与圆周本身在同一个平面内.因此，每一个点在运动的时候，都极力使自己始终停留在跟旋转轴垂直的那个平面上.角动量守恒在生活中是随处可见的.花样滑冰运动员把手收拢或者抱胸，她身体的一部分到转轴的距离变小，自转角速度变大，运动员就飞速旋转起来了.陀螺特性——进动性陀螺的第二个特性是进动性.当陀螺高速旋转时，陀螺的中心轴像是绕着一个竖立的杆子在转圈，这种高速自转物体的轴在空间转动的现象叫做进动.这是因为当陀螺受到对于支点的重力的力矩作用时，根据角动量定理，角动量的矢量方向便随着陀螺的转动，描出一个圆锥体. 其实，由于太阳和月球施加的潮汐力，我们的地球一直在不断地缓慢地进动着，长期的进动就成为岁差.在我们的日常生活中，也可以常常看到进动，例如自行车在行驶过程中，如果它稍有歪斜，只要把车头向另一方稍微转动一下，车子就平衡了.这是重力对于轮胎支点形成了进动力矩，促使车子恢复了平衡.陀螺的特性——章动性陀螺的第三个特点是章动性.陀螺不可能永无止境地旋转下去，当陀螺由于摩擦而开始慢慢下落时，所做的运动就是章动.章动是指刚体做进动时，绕自转轴的角动量的倾角在两个角度之间变化，拉丁语的意思就是点头.陀螺在做进动的同时，它的顶部还在做着“点头”运动.章动在天体中是一个非常常见的运动，地球也存在着章动，地球“点一次头”要花18.6年.我国古代历法将19年称为一章，因此这种运动就被称为章动.陀螺仪简介绕一个支点高速转动的刚体称为陀螺(top)。
通常所说的陀螺是特指对称陀螺，它是一个质量均匀分布的、具有轴对称形状的刚体，其几何对称轴就是它的自转轴。
陀螺的转动原理
陀螺的转动原理
陀螺的转动原理是基于物体的角动量守恒定律和陀螺稳定性理论。
当陀螺在受到外界力矩的作用下开始转动时，由于陀螺内部的陀螺轴和陀螺重心之间存在一定的偏移，从而产生了陀螺预cession（进动）和陀螺摇晃两种不同的运动。
首先，根据角动量守恒定律，陀螺在转动过程中的角动量大小保持不变。
当陀螺开始转动时，陀螺轴和重力矩方向之间的夹角开始改变，但其角动量大小仍然保持不变。
这就意味着陀螺在转动过程中会产生一个垂直于陀螺轴和重力矩的另一个力矩，这个力矩就是进动力矩，使得陀螺开始进动。
其次，陀螺的稳定性是由于陀螺的自起动作用。
在陀螺快速转动时，由于陀螺内部的陀螺轴和陀螺重心之间的离心力产生一个倾斜的力矩，这个力矩与陀螺的自身角动量方向相反。
这个自起动力矩会使得陀螺的附着点向一个稳定的方向倾斜，从而抵消外界力矩的作用，使陀螺保持稳定的转动。
综上所述，陀螺的转动原理是基于角动量守恒定律和自起动作用。
陀螺在受到外界力矩的作用下，通过产生进动力矩和利用自身的稳定性来保持稳定的转动状态。
陀螺转动的不倒的原理
陀螺转动的不倒的原理
陀螺转动的不倒的原理是由于陀螺的自稳定性。
当陀螺开始转动时，其遵循保持角动量守恒的物理原理。
角动量是由陀螺自身的转动速度和惯性决定的，其大小和方向保持不变。
当陀螺倾斜时，重力将产生一个力矩，试图使其倒下。
然而，陀螺的自转速度将使其产生一个反向的力矩。
这个反向力矩可以打破重力对陀螺的倾斜影响，从而维持陀螺保持不倒。
此外，陀螺还利用了角动量和角动量守恒的原理。
当陀螺倾斜时，它的自转轴会发生偏离。
然而，由于角动量守恒，陀螺会以一种规定的方式重新调整自己的自转轴，以保持平衡。
总体来说，陀螺的不倒原理是通过利用角动量守恒和自转速度产生的反向力矩，使重力对陀螺的倾斜影响减小，从而保持陀螺保持不倒。
陀螺不倒的原因
在图中，我们把转子的质量均分并集中为对称的4个质点。
用无质量的十字架固定起来，代替楼主的陀螺系统。
左图是主视图，支点藏在“转盘”的后面，右边是左视图。
自转速度等于ω1，进动速度=ω2。
十字中心o点由于ω2的存在出现线速度Vo。
四个质点的瞬时线速度分别是V1、V2、V3和V4。
注意，由于V3与Vo方向相同，而V1与V o方向相反，所以，V3 >V1。
这样一来，质点1 和质点3绕着支点旋转的时候，质点3 产生的离心力F3就大于F1。
虽然F1+F3=Fo达到平衡，但是还存在一个力偶，这个力偶总是正好抵消重力矩的作用，因此，陀螺保持稳定运转而不会倒下来。
总而言之，进动转速让陀螺的上下速度不等，而且总是下部速度较高。
因此，下部的较大的离心力托住了想倒下的陀螺。
这里，支点必须向陀螺提供一个轴向的支反力，才能拉住陀螺，从楼主的光滑面试验可以看到，支点不能提供支反力，就不能稳定。
在稳定状态下，V2=V4，而刚刚松开手的时候，陀螺会下坠，使得V2>V4，进而使F2>F4(F2和F4没有标出来)，F2和F4之差产生的力偶就会推动陀螺产生进动，而进动再产生“升力”，把陀螺托起来。
用陀螺实现稳定自旋过程：奇妙的陀螺科学教案
用陀螺实现稳定自旋过程：奇妙的陀螺科学教案。
一、理论基础陀螺是一种以自转为主要运动形式，并能够保持空间稳定的刚体。
其运动和稳定性可以通过几个基本物理定理来阐述。
1.转动动量守恒定理：在没有外力的情况下，转动物体的总角动量不变。
当一个陀螺被启动后，它自身的自转角速度不变，因此它的总角动量也不变。
2.倾角预cession效应定理：当一个陀螺被施加一个作用力的时候，它不是直接转动的，而是保持一定的倾角，并沿着一个旋转方向预cess。
换句话说，陀螺的自转轴会随时间而涡动。
3.陀螺的稳定性原理：在适当的转速和倾角下，陀螺能够保持空间稳定，不会倒下。
根据这些基本原理，我们可以推导出陀螺转动的一些特殊性质。
1.物理式转动稳定性在没有外力干扰的情况下，陀螺能够保持稳定转动的物理原理是：转轴倾角与转轴的预cession运动形成正反馈，使得倾角越大，陀螺转动的稳定性越高。
这种现象被称为物理式转动稳定性。
2.倾角限制在理论分析中还存在一个倾角限制，陀螺能保持稳定转动的最大倾角范围为：对于实心陀螺，其最大的倾角是acos(3/4)=41.81度，在这个倾角下，其稳定性是最强的。
二、实验设计基于此，我们设计了一个简单的实验，通过手动启动陀螺，观察陀螺的转动稳定性和涡动现象，以验证这些理论。
1.实验材料：实心陀螺、陀螺撑架、启动细绳、计时器、数字万用表等仪器。
2.实验流程：（1）将陀螺装置放置于水平的平板上，并将陀螺插入陀螺撑架中。
（2）将启动细绳绕于陀螺的圆形滑轨边缘上。
（3）迅速拉动细绳，使陀螺启动转动，并在计时器上计时。
（4）根据观测、记录结果，我们可以判断陀螺的自转轴是否随时间而涡动以及在不同的倾角下陀螺能否保持稳定自旋。
3.实验结果：（1）启动陀螺需要采取特殊的动作。
一般是力矩作用于陀螺的转动轴上，并用线绳或推杆沿着陀螺的启动口推动，使其在转动过程中能够自发涡动。
（2）观察陀螺涡动现象：在开始自转后，陀螺的自转轴会随着时间的推移逐渐发生涡动。
陀螺进动实验原理
陀螺进动实验原理
陀螺进动实验是一种重要的物理实验，它可以用来研究物理中的角动量守恒定律，探讨角动量在动力系统当中的作用。
陀螺进动实验中，一般采用四块试纸制成的“陀螺台”作为试
验装置，装上陀螺后就可以发掘出陀螺自转或者外力作用下旋转速率上变化特点。
陀螺进动实验的原理基本上就是物理中的角动量守恒定律，即物体的角动量是守恒的，这
就意味着无论物体在什么条件下，它的角动量都是不变的。
因此，当陀螺台上只用一小块
外力把陀螺向一个方向转动的时候，陀螺必定会由于自转的作用而将外力对自身的投影反
方向反作用，由此带动陀螺台反方向运动。
除此以外，它还可以用来观察物体旋转运动中
受外力激励时自转角速率的变化，以及它与陀螺台运动速率和外力的应用角度大小有关等。
通过陀螺进动实验，人们可以观测出物质运动时角动量守恒定律的运用情况，探讨角动量
在物体运动过程中所起的作用，这也是研究物理的一个重要内容。
因此，陀螺进动实验有
着物理实验中不可替代的作用，它可以帮助我们更进一步理解物理定律，拓展我们对物理
知识的认知。
转动的陀螺为什么不会倒？
转动的陀螺为什么不会倒？
陀螺是人类最古老的玩具之一，因为它很容易获得，走在路上随便踢一脚小石头子儿，具有特定形状的小石头子儿就有可能在地面上转动起来。
这是一种反直觉的现象，因为在我们的直觉里，小头朝下（或尖端朝下）“立着”是不稳平衡，但旋转起来的小石头子儿却能立在一个尖端上旋转很长时间而不至于倾倒。
正因为这是一个反直觉的现象，陀螺才成为古代各民族的玩具，而且不光小孩儿玩，成人也玩，今天在公园门口经常可以看到老人玩陀螺，用绳子抽打陀螺，使之转动起来，只要能够维持转速，这些陀螺就不会倒。
一个古希腊时期的陀螺。
下面从物理的角度来解释为什么陀螺会不倒。
没错，陀螺受重力，表面看起来这个重力会使陀螺倾倒。
考虑到陀螺围绕自身轴线在高速转动，陀螺延轴线方向会有一个较大的角动量J，如果我们以陀螺的尖端与地面接触的点P为支点的话，重力会对旋转的陀螺有个力矩，根据力矩的定义，力矩的方向在垂直于纸面的方向上（如下图）。
力矩的作用是改变角动量，即力矩会驱使角动量围绕与地面垂直的轴线旋转起来，单位时间角动量的改变，就是力矩。
写成数学式子是：
力矩为零的话，高速旋转的陀螺会保持角动量不变，这是惯性制导的物理原理。
关于陀螺运动原理的力学分析
离 ｙ轴 的距离 为、 ／ ， Ｌ ２ ＋ ｒ ２ ，ｃ点也是
￣ ／Ｌ ２ ＋ ｒ ２ ，ｂ点 离 ｙ轴 距 离 为 Ｌ ，ｄ
公转 线速 度 的变பைடு நூலகம்化产 生 的力 。
下 ，并 且解 释 发生 进 动 和章 动 现 象 的
度 方 向为 ｆ 点 所 处 的 切 线 方 向 ，ａ点 到 ｂ点 公 转 速 度 在 一直 减 小 ，所 以 ｅ
陀螺 的运动 ，所 以这 里将速度分解 ，
只 讨论 质 点 公 转速 度 的 变化 ，公转 速 度 大 小变 化 由两个 原 因 产生 ，第一 因
位置最低 ，ｂ与 ｄ是最 左最 右的点 ，线
点 ，ａ到 ｂ之 间质点 在 角速 度 为 ｗ 这
一
时 刻都 在 做 减速 运 动 ，质 点 做 减速 如图 ２ 所 示 ， 圆 Ｏ１ 为 陀螺 点 ｅ 与ｆ 绕 ｙ轴公 转 轨迹 ，由于 线段 ｅ ｆ 平 行线段 ａ ｃ ，所 以 ｅ ｆ 两 点 处 于 同一 公 转 的 圆形轨 道 ，分 析 ｅ 与ｆ 受 力情 况 。 首 先考 虑 两点 公转 线速 度大 小 变
以 加速 度 大 小 相 同 ，所 以 ｆ ｌ等于 ｆ ２ ，
陀螺运动产生影响，所 以不考虑离心 产生 一 个垂 直 于斜 下方 向并且 朝 向运
力 ，只讨 论公转 线速 度变化产生 的力 。
如 图 ４所 示 ａ ｂ ｃ面 受 垂直 陀螺 面
动方 向左侧 的 力 ，所 以 当陀螺 朝 向一
系中旋转，圆 ０ 代表陀螺旋转面 ，线 绕 圆 心 Ｏ 的 自转 ， 由于 自转 不 会 影响
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水平陀螺进动的初步分析一．问题的提出。
1.陀螺如果没有自转，则在重力矩作用下将直接加速倒下。
设陀螺所受重力矩为M ，陀螺对通过支点的水平轴的转动惯量为H ，陀螺倒下的角加速度为HM=α。
只要重力矩不变，则陀螺倒下的角加速度也不变。
某时刻的角速度为Ω，则根据刚体转动的角动量定理，有M t H ∆=∆Ω。
其方向水平如图1所示。
图 12.当陀螺高速自转时，则有另外的现象：陀螺将产生进动。
设陀螺所受重力矩为M ，对自转轴的转动惯量为J ，以角速度为ω逆时针自转。
其角动量为L J ω=，则根据角动量定理，有：M t J ω∆=∆其方向水平如图2所示。
他将只改变L 的方向而不改变其大小，因此陀螺将水平进动。
同时在Δt 时间内的进动角M tJ ϕω∆∆=。
所以得出其进动的角速度MJ ωΩ=。
或M t J ωϕ∆=∆图 2以上两种情况都符合角动量定理。
那么怎能说明陀螺必然产生水平进动而不加速倒下？又其水平进动的能量从何而来？上述的计算并没有回答。
虽然如此，但是在没有办法的时候，我们也只能相信他。
3.近一步在飞机和轮船等具有三个自由度的交通工具，其发动机在强制进动的情况下会产生陀螺力矩M J ω=⨯Ω，如下图例题所示：飞机的螺旋桨作为高速自转的陀螺沿x 轴的方向自转，当飞机左转弯时即沿y 轴方向转弯时，伴随有抬头，即沿z 轴方向的转动运动。
（飞机陀螺力矩1.gif ）这种现象我们也可以用简单的实验来验证：取一个高速旋转的陀螺，如下图所示：（进动轴.gif）用手握住其外框的A.B两点沿y轴方向稍微转动一下外框，即强制其进动，则可看到整个陀螺沿z轴方向旋转，右侧向上，左侧向下，直到整个陀螺直立起来。
如同上题中的飞机抬头一样，可见此陀螺力矩并非源于外界，而是陀螺内部相互作用的结果。
即此力矩就来源于高速旋转的盘片。
首先使盘片自身沿z轴翻转，才带动其轴和外框的旋转。
如果我们把陀螺稍微改变一点方向，即如下图所示：（章动轴.gif）同样，握住A,B两点，顺时针稍稍转动外框，则整个陀螺便沿z轴方向旋转。
这个实验分明就是，高速旋转的水平陀螺，在重力矩的作用下，由于章动，便会产生进动。
即陀螺的进动是由章动转化而来。
至于陀螺在强制进动的条件下，为什么会产生陀螺力矩则是下面要着重讨论的问题。
二．陀螺力矩的产生：取一个单片高速旋转的陀螺(如上图)，当我们强制其倒下时，逆着Ox 轴的方向看去，如图3所示为陀螺的正面图，其支点O 在纸里，其盘片以角速度ω逆时针自转，其上的任一质点P 的速度用v 表示，陀螺沿重力矩的方向倒下形成章动，其角速度用Ω1表示，由于章动是转动，所以陀螺上的每个质点的运动都是在此转动的基础上的圆周运动，他们的加速度的除了原有的向心加速度以外又增加了一个指向支点的向心加速度和一个旋转加速度（科里奥利加速度）112a v =Ω⨯科。
由于章动轴向右。
盘片逆时针旋转，所以其左半部向下运动其科里奥利加速度指向纸里，（用“×”表示），而右半部向上运动，其科里奥利加速度指向纸外，（用“· ”表示）。
此加速度是隐含与盘片自转和章动之中的。
(章动科1.bmp)图 3产生这种加速度的力偶,来源于盘片的刚性框架（下面简称刚架）对质点的作用。
因此，根据达朗伯原理，陀螺内的所有质点都产生一个相反方向的力作用于刚架，对刚架的AB 轴合成一个力偶，使陀螺的刚架带动所有质点绕支点O ，产生向右的加速度（进动加速度）。
具体计算如下：（章动陀螺力矩计算1.bmp ）既然盘片上的每一质点都获得了科里奥利加速度111122sin 2a v r x ωϕω=Ω⨯=Ω=Ω科。
可见盘片上各点产生的科里奥利加速度与其到AB 轴的距离成正比。
设盘片的质量面密度为ρ，则每一质点都受到了盘片刚架所施加的力为：1122f m x x y x ωρω∆=∆Ω=∆∆Ω。
所以每一质点都施加于盘片刚架一个反作用力也为：1'2f x y x ρω∆=∆∆Ω。
此反作用力对于轴AB 的力矩为：212M x y x ρω∆=∆∆Ω。
所以整个盘片质点对于AB 轴的力矩为：cos 210cos 21002210322210422104210421041211428cos 8sin cos (sin )8sin cos sin (2)(2)1(1cos 4)(4)41[4sin 4]41412RR R R R M x dx dyR x dx R R d R R R d R d R d R R m R J θθππππρωρωθρωθθθρωθθθρωθθρωθθρωθθπρωωω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω-=Ω-=Ω=Ω=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由此计算可以看出，进动力矩是与章动速度成正比的，即开始产生章动加速度时并无进动力矩，当章动速度产生以后才产生进动加速度，当章动速度很小时进动加速度也很小。
可见进动总比章动晚半拍。
进一步，当进动角速度Ω产生以后，由于进动也是一种转动，盘片上各个质点又增加一个科里奥利加速度，如下图所示：（进动盘2.bmp ）当然所有质点也会给A ’B ’轴一个反作用力矩M J ω=Ω。
为与章动所产生的陀螺力矩相区别我们称此陀螺力矩为回转力矩，此回转力矩试图抵消重力矩的作用，同样回转力矩又比进动速度晚半拍。
这就好比LC 振荡回路中的感生电动势与电容器两端电压，的关系，又如弹簧振子中的重力与弹簧的恢复力之间的关系。
三．整个陀螺的运动过程可简述如下。
由于重力矩的作用产生章动加速度。
随着时间的积累产生了章动速度，同时产生了进动加速度，且进动加速度正比于章动速度。
再经过时间的积累产生进动速度，同时产生回转力矩，抵消重力矩的作用。
此过程与竖直悬挂的弹簧振子有着相同的规律。
如图6所示。
图 6其过程可大体叙述如下：随着陀螺产生了章动速度，便产生了进动加速度，随着章动速度的增大，进动的加速度也增大，进动速度增大，其回转力矩也不断增大，当回转力矩小于重力矩时章动仍在加速所以进动加速度仍在增大，进动达到其回转力矩等于重力矩时，章动速度达到最大值（相当与弹簧振子的速度达到最大值）。
这时的进动加速度也达到最大值，即进动速度最快地增大。
到此相当于弹簧振子的振动完成了1/4周期。
其后回转力矩已大于重力矩，章动速度开始减小但方向不变，其进动加速度仍大于0，进动速度仍在增大，当章动速度减小到0时，停止向下的章动。
进动加速度也见减小到0，进动速度达到最大（相当于弹簧振子的位移达到最大值），回转力矩也达到最大且远大于重力矩。
到此相当于弹簧振子完成了半个周期的振动。
此后由于回转力矩远大于重力矩，陀螺反向章动（上升），进动加速度反向，进动速度开始减小，但回转力矩仍大于重力矩陀螺仍加速上升，当进动速度减小到回转力矩等于重力矩时，章动速度达到最大（相当于弹簧振子上升速度达到最大值），进动减速的加速度也达到最大，完成了3/4个周期。
此后章动速度继续减小，当陀螺返回到原来的高度时，进动速度也减小到0。
完成了章动的一个周期。
如此循环反复，形成了随着竖直方向，上下不断的章动，水平方向也不断地沿一个方向加速和减速。
对于弹簧振子来说，由于阻力的作用弹簧最终停留在平衡位置，同样对于陀螺，由于阻力矩的作用陀螺章动幅度不断减小，水平方向的进动速度变化的幅度也不断减小，最终章动消失，而水平方向的进动速度也就不再变化形成匀速进动。
章动的观察：由下文的定量计算表明，陀螺在开始时刻的章动幅度与自转轴的角速度的平方成反比，因此章动在自转速度较小,而释放陀螺后短时间内才明显出现的现象，故可如下操作。
使陀螺高速旋转。
用手按住陀螺支架底座，手掌要放平，以免影响陀螺进动。
把陀螺放在支架上。
与竖直方向成45—60°左右。
释放。
观察其是否能见到章动。
每进动一周，握住并释放一次。
当其自转速度减小到一定程度时，在释放以后便可看到章动现象。
以后继续操作，可以看到，每次释放后陀螺的章动幅度都会增大一些。
直到最后一次倒地。
四．水平陀螺进动的定量计算：为了建立微小章动条件下的水平陀螺运动的牛顿定律方程，可以看出陀螺运动在水平面内的投影为一圆周，在竖直方向由于章动幅度很小可以认为在竖直方向的投影为一直线，所以我们采用圆柱坐标系。
取单片陀螺。
设其质量为m ，对通过其中心且垂直于盘片的轴的转动惯量为212J mR =。
盘片到支点的距离为L （即自转轴长），其对支点的重力矩为M ，其对通过支点的水平轴的转动惯量为H 。
自转角速度为ω。
用φ和ψ分别表示其进动和章动的角位移。
用Ω和1Ω表示进动和章动角速度。
在进动方向和章动方向都受到粘滞阻力，其阻力矩都与其角速度成正比,比例系数为μ，则阻力矩分别为'μϕ和'μψ。
当其章动角速度为Ω1时，上节的讨论可知。
沿章动方向陀螺受到力矩有重力矩M mgL =，由进动产生的回转力矩'J ωϕ和阻力矩'μψ，而产生的章动加速度为''ψ。
所以可得牛顿定律方程为：''''M J H ωϕμψψ--=（1）或''''M J H H Hωμψϕψ=-- （1） 沿进动方向陀螺受到力矩有由章动速度产生陀螺力矩'J ωψ和阻力矩'μϕ,而产生进动加速度''ϕ。
所以可得牛顿定律方程为：''''J H ωψμϕϕ-=（2）或''''J H H ωμϕψϕ=- （2） 令M H β=。
J k H ω=。
h H μ=。
其中有：M hμβ= 可见h ，k ，β分别表示，阻尼，陀螺的动量矩和陀螺所受到的重力矩。
得：''''k h ψβϕψ=--(1’) ''''k h ϕψϕ=-(2’)由（2’）解出ψ’并对t 求导后代入(1’)得：22'''2''()'h h k k ϕϕϕβ+++= (3)由（1’）解出φ’并对t 求导后代入(2’)得：22'''2''()'h h k h ψψψβ+++= (4)解此二方程并由初始条件：00'0;''0t ϕϕϕ====时；。
及00;'0;''t ψψψβ====时。
MH β=为开始时刻，陀螺在重力矩作用下开始倒下的角加速度 并令tan hkα=。
可得：2222[sin 2sin(2)](5)[cos 2cos(2)](6)htht kt e kt k hht e kt k hβϕααβψαα--=---+=+--+其轨迹为：图 7五．讨论：1.关于章动的幅度：若h=0时，章动的幅度最大为2222m MHk J βψω==。