陀螺何以进动而不倒

水平陀螺进动的初步分析

一．问题的提出。

1.陀螺如果没有自转，则在重力矩作用下将直接加速倒下。设陀螺所受重力矩为M ，陀螺对通过支点的水

平轴的转动惯量为H ，陀螺倒下的角加速度为H

M

=

α。只要重力矩不变，则陀螺倒下的角加速度也不变。某时刻的角速度为Ω，则根据刚体转动的角动量定理，有M t H ∆=∆Ω。其方向水平如图1所示。

图 1

2.当陀螺高速自转时，则有另外的现象：陀螺将产生进动。设陀螺所受重力矩为M ，对自转轴的转动惯量为J ，以角速度为ω逆时针自转。其角动量为L J ω=，则根据角动量定理，有：M t J ω∆=∆其方向水平如图2所示。他将只改变L 的方向而不改变其大小，因此陀螺将水平进动。同时在Δt 时间内的进动角M t

J ϕω

∆∆=。所以得出其进动的角速度M

J ω

Ω=

。或M t J ωϕ∆=∆

图 2

以上两种情况都符合角动量定理。那么怎能说明陀螺必然产生水平进动而不加速倒下？又其水平进动的能量从何而来？上述的计算并没有回答。虽然如此，但是在没有办法的时候，我们也只能相信他。

3.近一步在飞机和轮船等具有三个自由度的交通工具，其发动机在强制进动的情况下会产生陀螺力矩

M J ω=⨯Ω，如下图例题所示：飞机的螺旋桨作为高速自转的陀螺沿x 轴的方向自转，当飞机左转弯时即沿y 轴方向转弯时，伴随有抬头，即沿z 轴方向的转动运动。（飞机陀螺力矩1.gif ）

这种现象我们也可以用简单的实验来验证：

取一个高速旋转的陀螺，如下图所示：（进动轴.gif）

用手握住其外框的A.B两点沿y轴方向稍微转动一下外框，即强制其进动，则可看到整个陀螺沿z轴方向旋转，右侧向上，左侧向下，直到整个陀螺直立起来。如同上题中的飞机抬头一样，可见此陀螺力矩并非源于外界，而是陀螺内部相互作用的结果。即此力矩就来源于高速旋转的盘片。首先使盘片自身沿z轴翻转，才带动其轴和外框的旋转。

如果我们把陀螺稍微改变一点方向，即如下图所示：（章动轴.gif）

同样，握住A,B两点，顺时针稍稍转动外框，则整个陀螺便沿z轴方向旋转。这个实验分明就是，高速旋转的水平陀螺，在重力矩的作用下，由于章动，便会产生进动。即陀螺的进动是由章动转化而来。

至于陀螺在强制进动的条件下，为什么会产生陀螺力矩则是下面要着重讨论的问题。

二．陀螺力矩的产生：

取一个单片高速旋转的陀螺(如上图)，当我们强制其倒下时，逆着Ox 轴的方向看去，如图3所示为陀螺的正面图，其支点O 在纸里，其盘片以角速度ω逆时针自转，其上的任一质点P 的速度用v 表示，陀螺沿重力矩的方向倒下形成章动，其角速度用Ω1表示，由于章动是转动，所以陀螺上的每个质点的运动都是在此转动的基础上的圆周运动，他们的加速度的除了原有的向心加速度以外又增加了一个指向支点的向心加速度和一个旋转加速度（科里奥利加速度）112a v =Ω⨯科。由于章动轴向右。盘片逆时针旋转，所以其左半部向下运动其科里奥利加速度指向纸里，（用“×”表示），而右半部向上运动，其科里奥利加速度指向纸外，（用“· ”表示）。此加速度是隐含与盘片自转和章动之中的。(章动科1.bmp)

图 3

产生这种加速度的力偶,来源于盘片的刚性框架（下面简称刚架）对质点的作用。因此，根据达朗伯原理，陀螺内的所有质点都产生一个相反方向的力作用于刚架，对刚架的AB 轴合成一个力偶，使陀螺的刚架带动所有质点绕支点O ，产生向右的加速度（进动加速度）。具体计算如下：（章动陀螺力矩计算1.bmp ）

既然盘片上的每一质点都获得了科里奥利加速度111122sin 2a v r x ωϕω=Ω⨯=Ω=Ω科。

可见盘片上各点产生的科里奥利加速度与其到AB 轴的距离成正比。设盘片的质量面密度为ρ，则每一质点都受到了盘片刚架所施加的力为：

1122f m x x y x ωρω∆=∆Ω=∆∆Ω。

所以每一质点都施加于盘片刚架一个反作用力也为：

1'2f x y x ρω∆=∆∆Ω。

此反作用力对于轴AB 的力矩为：

212M x y x ρω∆=∆∆Ω。

所以整个盘片质点对于AB 轴的力矩为：

cos 210

cos 2100

2210

322210

4

2210

42

104

21041211428cos 8sin cos (sin )

8sin cos sin (2)(2)

1(1cos 4)(4)

4

1[4sin 4]41

41

2

R

R R R R M x dx dy

R x dx R R d R R R d R d R d R R m R J θ

θ

π

π

π

π

ρωρωθ

ρωθθθρωθθθ

ρωθθρωθθρωθθπρωωω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω-=Ω-=Ω=

Ω=Ω⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰

由此计算可以看出，进动力矩是与章动速度成正比的，即开始产生章动加速度时并无进动力矩，当章动速度产生以后才产生进动加速度，当章动速度很小时进动加速度也很小。可见进动总比章动晚半拍。

进一步，当进动角速度Ω产生以后，由于进动也是一种转动，盘片上各个质点又增加一个科里奥利加速度，如下图所示：（进动盘2.bmp ）

当然所有质点也会给A ’B ’轴一个反作用力矩M J ω=Ω。为与章动所产生的陀螺力矩相区别我们称此陀螺力矩为回转力矩，此回转力矩试图抵消重力矩的作用，同样回转力矩又比进动速度晚半拍。这就好比LC 振荡回路中的感生电动势与电容器两端电压，的关系，又如弹簧振子中的重力与弹簧的恢复力之间的关系。

三．整个陀螺的运动过程可简述如下。由于重力矩的作用产生章动加速度。随着时间的积累产生了章动速度，同时产生了进动加速度，且进动加速度正比于章动速度。再经过时间的积累产生进动速度，同时产生回转