广东省广州市2020届高三12月调研测试文科数学试卷 含答案
广州市高三年级调研测试数学(文科)试题及参考答案
5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，
满分 20 分．其中 14～ 15 题是选做题，考生只能选做一题．
11． 5
12． 3
13．
8
14． 1
33
15．
,
33
三．解答题： 本大题共 6 小题，满分 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
解：（ 1）在△ ABC 中， A B C ．………………………………………………………………
0.02
1分 2分
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总人数 N
25
250人．………………………………………………………………………
3分
0.02 5
（ 2）因为第 1， 2，3 组共有 25+25+100=150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人，每组抽取的
人数分别为：
第 1 组的人数为 6 25 1，………………………………………………………………………… 150
．
13．在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M ，则满足 AMB 90 的概率为 _______．
（二）选做题（ 14～ 15 题，考生只能从中选做一题）
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14．（几何证明选讲选做题 ）
如图 4， AC 为⊙ O 的 直径， OB AC ，弦 BN 交 AC 于点 M ．
若 OC 3 ， OM 1 ，则 MN 的长为
别是多少？
（ 3）在（ 2）的条件下， 从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动， 求恰有 1 人在第 3 组的概率．
18．（本小题满分 14 分）
P
如图 6，在三棱锥 P ABC 中， PA AC ， PC BC ，
2020年广东省广州市高三毕业班调研考试 文科数学答案
(t1 t2 )2 4t1t2
研 t1t2
育 23．解：（1） 当 a 2 时， f (x) 2 x 2 (x 2) ，
究
4 40 10
11 ， 5
究
院
教 由 2 x 2 (x 2) 0 ，解得 x 2 ；
研
市 育 所以不等式 f (x) 0的解集为,2 ．
因为 ABC 的周长为 6 ,即 a b c 6 ，
所以 a2 (6 a)2 12 ， 所以 a 2 .
州
文科数学试题参考答案 第 1 页 共 7 页
广
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院
18．解：（1）由以上统计数据填写下面 2 2 列联表，如下；
院
因为
x0
1,
3 2
，
f
( x0
)<0
．
究
研 院 因为
f
1 3
a 9
1
ln 3 3
0
，
f
3
3ln 3
a
1
0 ，所以
f
(x)
有2
个零点．
育 究 综上所述，当 a 1时， f (x) 有1个零点；当 a 1时， f (x) 有 2 个零点．
教 研 22．（1）解：因为
x
y
m m
1 m 1 m
广 教 （2）解法 1：设 AC 与 BD 相交于点 O ，连接OF . 因为 AO EF 且 AO EF ，四边形 AOFE 是平行四边形.
育
究
市 教 所以 AE OF 且 AE OF .
2020届广东省广州市高三下学期调研考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前2020届广东省广州市高三下学期调研考试数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知复数534z i=-，则复数z 的虚部为（） A ．4i B ．iC ．45i D ．45D转化条件得3455z i =+，由虚部的概念即可得解. 解： 由题意()()()34553434453345i z i i i i +--=++==， 所以复数534z i =-的虚部为45. 故选：D. 点评：本题考查了复数的除法运算和复数虚部的概念，属于基础题.2．设集合{}{()}2230,ln 2A x x x B x y x =--≤==-，则A B ⋂=（）A ．[)32－，B ．(]23，C ．[)l 2－，D ．()l 2－，C本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A ，然后通过对数的性质计算出集合B ，最后计算出A B ，即可得出结果。
解：集合A ：2230x x --≤，310x x ，13x -≤≤，故集合=13A x x ，集合B ：20x ->，2x <， 故集合B=2x x，12A B ，，故选C 。
本题考查的是集合的相关性质，主要考查集合的运算、一元二次不等式的解法以及对数的相关性质，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题。
3．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．13C ．23D ．34B设黑色等腰直角三角形的腰长为a ，由题意分别表示出黑色部分和白色部分的面积，由几何概型概率的求解方法即可得解. 解：设黑色等腰直角三角形的腰长为a 2a ，则黑色部分的面积为221422a a ⨯=，白色部分的面积为)2212442a a ⋅⨯=，故所求概率为22221423a p a a ==+. 故选：B. 点评：本题考查了几何概型概率的求解，属于基础题. 4．命题“10,1x lnx x∀>≥-”的否定是（） A ．101x lnx x ∃≤≥-, B ．101x lnx x ∃≤<-, C ．101x lnx x∃>≥-,D ．101x lnx x∃><-,D利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“0x ∀>，11lnx x ≥-”的否定为“0x ∃>，11lnx x<-”. 故选：D. 点评：本题考查了全称命题的否定，属于基础题.5．设a ，b 是单位向量，且a ，b 的夹角为60°，则3c a b =+的模为（） AB ．13C ．4D ．16A利用模的运算，结合数量积的运算，求得c 的模. 解：3c a b =+的模为()2223396a b a b a a b b +=+=+⋅+=故选：A 点评：本小题主要考查复数的模和数量积运算，属于基础题.6．已知实数,x y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（）A ．-7B ．6C ．1D ．6A首先根据题中条件绘制可行域与目标函数，根据目标函数的形式即可找到可行域内使目标函数取最小值的点，然后把点代入目标函数即可. 解：根据题中条件绘制可行域与目标函数图形如下图所示， 由题知11333z x y y x z =-⇒=-， 求目标函数z 的最小值就是求直线1133y x z =-截距最大时z 的取值，根据图形可知当目标函数移动到点B 时截距取最大值，由330240x y x y --≤⎧⇒⎨-+≥⎩点()2,3B ， 代入目标函数有3297z x y =-=-=-， 故3z x y =-的最小值为7-. 故选：A. 点评：本题考查了绘制可行域，求目标函数的最值，属于基础题.7．已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，设()32,ln π,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<A由幂函数特点可求出m 值，带入点可求n 值，进而求得()f x 解析式，利用()f x 的单调性即可比较大小． 解：∵点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，∴()1118nm m m -=⎧⎨-=⎩,解得23m n =⎧⎨=⎩, ∴()3f x x =,且()f x 在(),-∞+∞上单调递增,又321ln π32<<<,∴a c b <<,故选A ． 点评：本题考查幂函数性质和利用单调性比较大小．8．已知F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，过F 做C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足12FD OF =（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（） A ．23B ．2C ．3D ．10 A根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值. 解：由题知12FD OF =，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为b FD =， 所以()222221124422FD OF b c b c b c c a c =⇒=⇒=⇒=⇒-=，整理得222224233433c c a e e a =⇒==⇒=.故选：A. 点评：本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.9．函数()2ln x xx x f x e e --=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．D 由)2,2x ∈时，()0f x <可排除选项A 、B ，利用函数奇偶性可排除C ，即可得解.解： 当)2,2x ∈时，()20,1x x-∈，2ln 0x x -<，0x x e e -+>，所以()0f x <，故可排除选项A 、B ；由()()22ln ln x x x xx x xxf x f x e e e e ---+--===++可得函数()f x 为偶函数，可排除C.故选：D. 点评：本题考查了函数图象的识别，关键是对比函数的性质和图象的特征，属于基础题.10．已知函数()()202f x sin x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（） A ．()f x 在2,32ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象关于3x π=-对称B设平移后的函数为()2032g x sin x ππϕϕ⎛⎫ ⎛⎫=⎪⎝++<< ⎪⎝⎭⎭，令()32k k Z ππϕπ+=+∈可得6π=ϕ，利用三角函数的性质逐项判断即可得解.解：设平移后的函数为()2032g x sin x ππϕϕ⎛⎫ ⎛⎫=⎪⎝++<< ⎪⎝⎭⎭， 由题意()32k k Z ππϕπ+=+∈，则()6k k Z πϕπ=+∈，又02πϕ<<，∴6π=ϕ，∴()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2,32x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，75312,,66622x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈--⊆-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误； 当512x π=时，()5s 06in 6f x sin πππ⎛⎫==⎝⎭+⎪=，故C 正确； 当3x π=-时，()23sin 126f x sin πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+，故D 正确.故选：B. 点评：本题考查了三角函数图象的平移和三角函数图象的综合应用，属于中档题.11．已知三棱锥P ABC -中，1PA PB AB CA CB =====,面PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（） A ．209πB ．2512πC ．253πD ．53π C取AB 的中点D ，连接CD ，PD ，由题意得球心一定在直线CD 上，设球心为O ，半径为R ，连接PO ，在Rt OPD 中由勾股定理可得)222RR +=，解方程求得球的半径后即可得解. 解：如图，1PA=，7PB=，22AB=，∴222PA PB AB+=，2APBπ∠=，5CA CB==，∴ABC为等腰三角形.取AB的中点D，连接CD，PD，∴CD AB⊥，2AD BD==,∴223CD BC BD=-=,又面PAB⊥面ABC，面PAB⋂面ABC AB=，CD⊂面ABC，∴CD⊥面PAB，又PAB△为直角三角形，∴PAB△外接圆圆心为D，∴球心一定在直线CD上，设球心为O，半径为R，连接PO，则3OD R=-，∴222OD DP OP+=即()()22232R R-+=解得536R=，则此三棱锥的外接球的表面积为2253254463S Rπππ⎛⎫==⋅=⎪⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查了三棱锥的结构特征和三棱锥外接球的表面积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 12．已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为,n S满足()22120n nn nS S---=，21n nb log a+=，若[]x表示不超过x的最大正数，则122320202021202020202020++=b b b b b b⎡⎤+⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦（）A．2018 B．2019C．2020D．2021B转化条件得2nnS=，进而可得12nna+=，nb n=，利用裂项相消法可得122320202021202020202020++=b b b b b b ⎡⎤+⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦1202012021⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据新定义即可得解. 解：()22120n n n n S S ---=，∴()()210n n n S S -+=，{}n a 为正项数列，∴10n S +>，2n n S =，∴112n n S ++=，∴111222n n n n n n a S S +++=-=-=，∴21n n b log a n +==，∴122320202021202020202020202020202020++=++122320202021b b b b b b ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦ 1111112020120201223202020212021⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，由[]x 表示不超过x 的最大正数可知12020120192021⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：B. 点评：本题考查了新定义在数列问题中的应用，考查了n a 与n S 关系的应用和裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题. 二、填空题13．已知抛物线()220x py p =>的焦点与椭圆221312x y +=的一个焦点重合，则p =______．6由题意抛物线焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆焦点为()0,3±，即可得解. 解：由题意抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆的焦点为(0,即()0,3±， 所以32p即6p .故答案为：6. 点评：本题考查了抛物线和椭圆的焦点问题，属于基础题.14．设数列{}n a 为等比数列，若234248a a a ,,成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为_______． 12由题意结合等差中项的性质、等比数列的通项公式可得32111288a q a q a q +=，化简后即可得解.解：设公比为q ，由题意可得2432842a a a +=⨯，∴32111288a q a q a q +=，化简得24410q q -+=，解得12q =. 故答案为：12. 点评：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于基础题. 15．奇函数()xxa f x x e e =+⎛⎫⎪⎝⎭（其中e 为底数）在0x =处的切线方程为________． 20x y -=由奇函数的性质可得1a =，求出()02f '=，()00f =，利用点斜式即可求解. 解：函数()xxa f x x e e =+⎛⎫⎪⎝⎭为奇函数， ∴()()11f f -=-即11a a e e e e --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+，解得1a =，∴()1x xf x x e e =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()11xx xx f x e x e e e ⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭， ∴()02f '=，()00f =，∴切线方程为2y x =即20x y -=.故答案为：20x y -=. 点评：本题考查了函数奇偶性的应用，考查了导数几何意义的应用，属于中档题.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2M ，为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为_________．根据线面垂直的条件先确定平面α，再根据截面形状求周长即可得解. 解：在正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC ⊥，BD CM ⊥，∴BD ⊥面ACM ，∴BD AM ⊥，取1BB 的中点N ，11A B 的中点E ，连接MN ，AN ，BE ， 易知BE AN ⊥，由MN ⊥面11ABB A 可得MN BE ⊥，∴BE ⊥面AMN ，∴BE AM ⊥，∴AM ⊥面BDE ，取11A D 的中点F ，由//EF BD 可知点F 在面BDE 上， ∴平面α截正方体所得截面为BDFE ，由正方体棱长为2易得截面周长为225253225+++=+. 故答案为：3225+.点评：本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题. 三、解答题17．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知03csin A asinC π⎛⎫- ⎪⎝⎭+=. （1）求角A 的值；（2）若ABC 36，求a 的值. （1）3A π=（2）2a =（1）由正弦定理得13022sinC sinA cosA sinAsinC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭+=，进而可得tan 3A =（2）由面积可得4bc =，由余弦定理得()2212a b c =+-，再结合周长即可得解. 解：（1）因为03csin A asinC π⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，由正弦定理得1022sinC sinA sinAsinC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭+=.因为()0,C π∈，所以0sinC >，1sin 02A -=，即tan A = 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）因为ABC，所以12bcsinA =4bc =， 由余弦定理得()()22222222312a b c bccosA b c bc b c bc b c =+-=+-=+-=+-， 因为ABC 的周长为6，即6,a b c ++= 所以()22612,a a =-- 所以2a =. 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.18．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率. 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(1)见解析(2)910试题分析：(1)结合所给的数据绘制列联表，据此计算可得K 2＝()250310271037301320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A ，B ，C ，赞成“使用微信交流”的人为a ，b ，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P ＝910． 试题(1)2×2列联表如下：K 2＝()250310271037301320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635.所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A ，B ，C ，赞成“使用微信交流”的人为a ，b ，则从5人中随机选取2人有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb 、Ca 、Cb ，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P ＝910． 19．如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60,ABC ∠=平面AEFC ⊥平面,ABCD //EF AC ，且1,2AE AC EF ==（1）求证：平面BED ⊥平面;AEFC（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且AE AC ⊥，求点A 到平面FCD 的距离. （1）见解析（2221（1）由菱形性质可得BD AC ⊥，再由面面垂直的性质可得BD ⊥平面AEFC ，由面面垂直的判定即可得证；（2）设AC 与BD 相交于点O ，连接OF ，先证明OF ⊥面ABCD ，求出72CFDS=后利用A CDF F ACD V V --=即可得解.解：（1）证明:因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又因为BD ⊂平面ABCD ，平面AEFC ⊥平面ABCD .平面AEFC ⋂平面,ABCD AC = 所以BD ⊥平面AEFC . 因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面BED ⊥平面AEFC .（2）设AC 与BD 相交于点O ，连接OF .因为//AO EF 且AO EF =，∴四边形AOFE 是平行四边形.所以//AE OF 且AE OF =.因为AE AC ⊥，面AEFC ⊥面ABCD ，面AEFC ⋂面ABCD AC =，AE ⊂面ACFE ，所以AE ⊥面ABCD ，因为//AE OF ，所以OF ⊥面ABCD . 因为AC BD ⊂，面ABCD ， 所以OF AC ⊥，OF BD ⊥.在Rt OFC 中，222CF OF OC =+ 在Rt OFD 中，222,DF OF OD =+= 在CFD △中，2CF =2DF DC ==.所以CF 2221422⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭所以114722CFDS==设点A 到面CDF 的距离为h ， 因为A CDF F ACD V V --=，即1133CDFACD h SOF S⨯⨯=⨯⨯，所以1122h =⨯⨯所以h ==点评：本题考查了面面垂直的性质和判定，考查了点到平面距离的求解和等体积法的应用，属于中档题.20．已知椭圆()222103x y C a a +=>：的右焦点F 到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 是坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，延长AO 交椭圆与点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.（1）22143x y +=；（2）92. （1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F 到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程；（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可. 解：（1）由题知23b =，3a c +=，()2222223a b c a b a =+⇒=+-，解得2a =，所以椭圆22143x y C +=：；（2）因为过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），设:1l x ty =+，联立()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y ，()22,b x y ，有122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，所以四边形AOBE 是平行四边形，所以12332AGBE AOBE OGBAOBS S S Syy =+==-， 有234AGBESt ==+， 令1m =≥，有218181313AGBE m S m m m==++，当m 1≥时1813m m+单调递减，所以当1m =时面积取最大值， 最大值为max 189312S ==+. 点评：本题主要考查了椭圆方程基本量的求解，椭圆中三角形的面积计算，属于一般题. 21．已知函数1,a ≥()()2ln 11f x x x ax a x =-++-. （1）若1a =，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 的零点个数.（1）()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增.（2）当1a =时，()f x 有1个零点；当1a >时，()f x 有2个零点.（1）求导后求解()0f x '<、()0f x '>的解集后即可得解；（2）当1a =时，由（1）求得的单调性即可得解；当1a >时，求出函数导数后，设导函数的零点为0x ，求得()f x 的最小值()00f x <，再由103f ⎛⎫> ⎪⎝⎭、()30f >即可得解. 解：（1）若1a =时，()()2ln 11f x x x x x =-++-，()f x 的定义域为(0,)+∞，()()ln 21f x x x '=+-，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x >； 所以()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. （2）当1a =时，()()2ln 11f x x x x x =-++-，()10f =，且()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，∴()f x 有1个零点；当1a >时，()()1ln 211ln 23f x x a a x x ax a '=+-+-=++-， 令()1ln 23g x x ax a =++-，因为1a >，()g x 在(0,)+∞上单调递增. 又()()1110f g a '==-<，33310222f g ln ⎛⎫⎛⎫'==+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =. 在()00,x 上，()0f x '<，()f x 是减函数，在0()x +∞，上，()0f x '>，()f x 是增函数， 所以()f x 的最小值是()0f x ， 其中0x 满足()00f x '=， 即01ln 230x ax a ++-=，所以()()200000ln 11f x x x ax a x =-++-()()2000031211x a ax ax a x =---++-()()0011x a ax =-++，因为031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()00f x <， 又因为1310393a ln f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，()33310,f ln a =++> 所以()f x 有2个零点.综上所述，当1a =时，()f x 有1个零点； 当1a >时，()f x 有2个零点. 点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间和函数零点的个数，考查了分类讨论思想，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin cos 0.θρθ-= （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；（2）已知()0,1P 直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. （1）曲线22144x y C :-=，直线0x l -=；（2. （1）根据曲线的参数方程，消去参数即可求出曲线方程，根据直线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由于点P ，A ，B 均在直线上，所以利用直线参数方程的几何意义，与曲线联立，求出根，即可求出11PA PB+的值. 解：（1）由题知2x y m +=，2x y m-=， 消去m 有22224144x yx y -=⇒-=，即曲线22144x y C :-=，因为sin cos 0cos 0sin x x y θρθρθρθ-==⇒-=⎨⎪=⎩，即直线0x l --=；（2）易知点()0,1P 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为6π， 则直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以有222111450222t t t ⎛⎫⎛⎫-+=⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11t =，2t =，根据参数的几何意义有11PA t =，21PB t ==有12t t +=，1210t t ⋅=，1212121111PA PB t t t t t t +=⋅+=+==. 点评：本题主要考查了直线的参数方程，直角坐标与极坐标的转化，直线参数方程的几何意义，属于一般题.23．已知()()()22.f x x a x x x a =--+-- （1）当2a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(),x a ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. （1）(),2-∞；（2）(],2-∞.（1）对2x <和2x ≥分类讨论即可求出解集范围；（2）分别讨论2a >和2a <两种情况，结合第一问中0a =，即可求出结果. 解：（1）当2a =时，()(22)2x f x x -=-， 当2x <时，()2()220f x x -=<-， 当2x ≥时，()22(0)2x f x -=≥， 故不等式()0f x <的解集为(),2-∞；（2）因为(),x a ∈-∞，所以0x a x a <⇒-<， 当2a >时，可知在区间[)2,x a ∈时，即20x -≥， 有()()()()()220f x a x x x x a =--+--=， 显然不恒成立，不满足题意，舍去，当2a <时，可知在区间(),x a ∈-∞时，即20x -<，有()()()220f x a x x =--<恒成立，满足题意， 由第一问有，当2a =时也满足题意，综上，(],2a ∈-∞时，()0f x <在(),x a ∈-∞上恒成立. 点评：本题主要考查了含有绝对值的不等式，这类题要注意分类讨论，属于一般题.。
2020届广东省高三调研(12月)考试数学(文)试题(解析版)
2020届广东省高三调研（12月）考试数学（文）试题一、单选题1．若(1312)z i i =++)(，则（ ） A ．z 的实部等于虚部 B ．z 的实部与虚部互为相反数 C ．z 的实部大于虚部 D ．z 的实部与虚部之和大于零【答案】B【解析】先化简得55=-+z i ,易知实部为5-,虚部为5,故互为相反数 【详解】∵55=-+z i ,∴z 的实部与虚部互为相反数 故选：B 【点睛】本题考查复数的运算,考查实部与虚部的关系,属于基础题 2．已知集合{|4}A x x =<，{}2|50B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|04}x x ≤<B ．{|5}x x ≤C ．{|04}x x <<D ．{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】因为{|4}A x x =<，{|05}B x x =≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选：A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法，考查二次不等式解法及交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况，如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）A ．他们健身后，体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B ．他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8 kgD ．他们健身后，原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少 【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解 【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=；因为图（2）中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例，所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少，故D 正确 故选：C 【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，是基础题4．已知函数310()20x x f x x x ⎧+>=⎨+⎩，，，，…，若()1f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】根据指数函数的性质可知当0x >时,()3121xf x =+>>,则()21f a a =+=,即得1a =-,则代入求解可得()f a -【详解】因为当0x >时,()3121xf x =+>>,所以()21f a a =+=,解得1a =-,则()()11314f a f -==+=,故选：B 【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数函数性质的应用5．在ABC △中，AC =135ABC ∠=︒，则ABC △的外接圆的面积为（ ） A ．12π B ．8πC ．16πD ．4π【答案】D【解析】由正弦定理可得2sin b R B =,即2sin ACR ABC=∠,可得2R =,进而求得外接圆面积即可 【详解】由2sin b R B =,则2sin ACR ABC=∠,22R=,则2R =,所以外接圆面积为24S R ππ==故选：D 【点睛】本题考查正弦定理比值的几何意义,属于基础题6．第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（ ） A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可 【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为710故选：C 【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积． 【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 9．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为010．设tan 211a ︒=，则sin17cos17sin17cos17︒+︒=︒-︒（ ）A ．221aa - B ．221-a a C ．21a a - D ．241aa - 【答案】A【解析】先对式子进行化简,分子分母同时除以cos17︒,再利用正切的和角公式求解可得,原式tan62=-︒,根据诱导公式可得tan 211tan31︒=︒=a ,进而利用倍角公式求解即可 【详解】()sin17cos17tan171ta tan 4n 5tan 45117tan 1745tan 62sin17cos17tan171tan17︒︒︒︒+︒++===-+=---︒︒︒︒︒︒︒︒-,因为tan 211tan31︒=︒=a , 所以222tan 312tan 621tan 311︒︒==-︒-a a ,故2sin17cos172sin17cos171︒+︒=︒-︒-aa 故选：A 【点睛】本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．12．已知函数2()()(0)f x x x a a =->，则函数()()()g x ff x =的零点个数不可能为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】先利用导数求得函数的极值,根据()0f x =时,10x =,2x a =,则()()()g x f f x =的零点即方程()0f x =与()f x a =的根,显然()0f x =有2个根,则讨论3427a 与a的关系即可得到()()()g x f f x =可能的零点个数【详解】由题,()3222f x x ax a x =-+,则()()()22343f x x ax a x a x a '=-+=--,令()0f x '>,得3a x <或x a >；令()0f x '<,得3<<ax a ,所以()f x 的极大值为34327⎛⎫=⎪⎝⎭a af ,极小值为()0f a = 令()0f x =得10x =,2x a =,所以()()()g x ff x =的零点即方程()0f x =与()f x a =的根,()0f x =显然有2个根,则当3427=a a ,即=a 时,()f x a =有2个根；当3427>a a ,即>a 时,()f x a =有3个根；当3427<a a ,即0<<a ,()f x a =有1个根,故()()()g x f f x =的零点个数可能为3,4,5 故选：A 【点睛】本题考查利用导数求函数极值,考查零点的个数问题,考查分类讨论思想和运算能力二、填空题13．不等式组020220y x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩………，表示的可行域的面积为______.【答案】3【解析】由题画出可行域,进而求得面积即可 【详解】作出可行域,如图所示,可行域的面积为13232⨯⨯=故答案为：3 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域的应用问题,属于基础题14．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标，则到x 轴的距离可求． 【详解】设点()00,P x y ，则028y +=，即06y =，即P 到x 轴的距离是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题．15．已知函数2()log )f x x =，则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数，则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-，又()f x 为增函数，所以12x x +>-，解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 为线段BC 上的动点，若PC 与底面ABC 所成角为30°，则PD 与底面ABC 所成角的正切值的最大值为______.【解析】由题可得PA =分析可得当AD BC ⊥时,PD 与底面ABC 所成角PDA ∠最大,即要求出tan ∠=PAPDA AD,在ABC ∆中,由余弦定理解得BC =利用等面积法求得=AD ,代入求解即可 【详解】因为PA ⊥平面ABC ,PC 与底面ABC 所成角为30°,所以30∠=︒PCA , 又3AC =,所以PA =当AD BC ⊥时,PD 与底面ABC 所成角PDA ∠最大,且tan ∠=PAPDA AD在ABC ∆中,由余弦定理得BC ===又11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅⋅∠=⋅,即112322⨯⨯=AD ,解得=AD , 则PD 与底面ABC所成角的正切值的最大值为PA AD ==【点睛】本题考查线面成角,考查利用余弦定理解三角形,考查运算能力三、解答题17．某公司一产品的销售额逐年上升，下表是部分统计数据：其中年份编号1x =代表2014年，2x =代表2015年，……依此类推.（1）利用所给数据求年销售额y 与年份编号x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该产品2019年的销售额.参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆ=-ay bx . 【答案】（1）ˆ12.821.6=+yx （2）98.4百万元【解析】（1）根据平均数公式求出x 与y ,将数据代入求出ˆb,再代入ˆ=-a y bx 求得ˆa ,即可得到回归直线方程；（2）由于1x =代表2014年,则ˆ6=x代表2019年,代入回归直线方程求解即可 【详解】 解：（1）由图表可知,()11234535x =⨯++++=,()13646577685605y =⨯++++=, 所以511362463574765851028i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑,522222211234555ii x==++++=∑,则1222110285360ˆ12.85553ni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑, ˆˆ6012.8321.6=-=-⨯=ay bx , 故所求的回归方程为ˆ12.821.6=+yx （2）由题,当ˆ6=x时,ˆ12.8621.698.4y =⨯+=, 故该产品2019年的销售额估计为98.4百万元【点睛】本题考查求回归直线方程,考查回归直线方程的应用,考查运算能力 18．已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n ∏，且364∏=，71∏=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}22log +n n a a 的前n 项和n S .【答案】（1）412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a （2）247216nn S n n -=-+-+【解析】（1）利用等比数列性质可得331232I 64===a a a a ,771274II 1===a a a a ,解得24a =,41a =,则12q =,18a =,进而求得{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2log 4=-n a n ,分组求和即可求解 【详解】解：（1）因为正项等比数列{}n a ,所以331232I 64===a a a a ,771274II 1===a a a a ,则24a =,41a =,从而24214a q a ==, 依题意得0q >,所以12q =,则214812a a q ===, 故{}n a 的通项公式为1411822n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a ,所以4221log log 42n n a n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭,则21log 413a =-=,显然{}2log n a 是首项为3的等差数列,所以()24181342272161212n n n n n S n n -⎛⎫- ⎪+-⎡⎤⎝⎭⎣⎦=+⨯=-+-+-【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查求等比数列通项公式,考查分组求和法求前n 项和,考查运算能力19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，O 为11A C 的中点，且2AB =.（1）证明：OD平面1AB C .（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正弦值为11，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ，证明四边形1OB GD 为平行四边形，得到证明.（2）线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角，1sin 11AB G ∠=,证明1AC B G ⊥，再计算得到1BB =.【详解】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G . 易证1OB DG ，且1O B D G =，所以四边形1OB GD 为平行四边形，所以1ODB G .因为1B G ⊂平面1AB C ，OD ⊄平面1AB C ，所以OD 平面1AB C .（2）由（1）知，1ODB G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角，所以1sin 11AB G ∠=. 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥. 因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC B G ⊥.因为AG =1sin 11AB G ∠=，所以1AB =1BB ==故三棱柱111ABC A B C -的体积2122V =⨯=【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，计算出1BB 的长度是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b .（1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b （2）2642ln 2<-m【解析】（1）求导可得()()23114310f f x ax x''=--,由题,切线方程斜率为()1f k '=,解得13a =,代回函数求得()1013f =,即10103b =--,可求得403=-b ； （2）如果求()13f x m >对0x ∈+∞（，）恒成立,即求()min 13f x m >,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式 【详解】解：（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-,()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x x x x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力21．已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ，直线l 过点2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于C ，D 两点，过2F 作1F C 的平行线，交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. （1）求Ω的方程；（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，2l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】（1）根据三角形相似得到DE BEAD AC=，得到AE +DE ＝4，再利用椭圆定义求解即可（2）设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆联立，由直线1l 与Ω相切得2282m k =+，由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，得||AB 表达式，结合基本不等式求得M 坐标及2l ，进而得||MN ，则面积可求 【详解】（1）因为12FC EF ∥，所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ，所以11FCD F DC ∠=∠，则22EDF EF D ∠=∠， 所以2||ED EF =，从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=，所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F，2F为焦点，长轴长为右顶点）.所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.（2）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=，即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =，即2k =±时取等号. 所以当212k =时，||AB 取得最小值，此时26m =，根据对称性.不妨取2k =，m=282143M km x k =-=-+，即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y，得29160x ++=，则39M N N x x x +=-+=-，解得9N x =-，所以8||3M N MN x =-=，故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。
广东省五校2020届高三12月联考数学(文)试题Word版含解析
广东省五校2020届高三12月联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，故选A.2. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故选C.3. 如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（）的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（）A. 最低温与最高位为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【答案】B将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加，错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月，正确；由表格可知月至月的月温差（最高温减最低温）相对于月至月，波动性更大，正确，故选.4. 已知等差数列的前项和为，公差，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，，，故选A.5. 已知点在双曲线：（，）上，，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，其顶角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设点在第一象限，因为为等腰三角形，其顶角为，则的坐标为，代入双曲线的方程得，故选D.6. 设，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】可行域为如图所示的内部（包括边界），表示经过原点与可行域的点连线的斜率，易求得，从而，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为直角三角形面积都为，可得这个几何体的表面积为，故选C.8. 将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线：，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度可得，令，得，再令，得，则在上的单调递增区间是，故选B.9. 如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，如图，平面，平面平面为的中点，为的中点，正确，由异面直线的定义知是异面直线，故错；在矩形中，与不垂直，故错；显然是错，故选D.10. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 7B. 10C. 13D. 16【答案】D【解析】，1不是质数，；，4不是质数，；，7是质数，；，10不是质数，；，13是质数，，，故输出的.选D.11. 函数的部分图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，，排除；当时，，排除；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，即，，设，由，可知，在上为减函数，在上为增函数，的图象恒过点，在同一坐标系中作出的图象如下：若有且只有两个整数，使得，且，则，即，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则__________．【答案】【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，，，则__________．【答案】【解析】因为为等比数列，所以，又因为各项均为正数，，故答案为2.15. 若，，则__________．【答案】【解析】，又，故，且，从而，故答案为.16. 已知抛物线：的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】由已知，得的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求大小；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用，由二倍角的正弦公式可得，所以，即；（2）利用由正弦定理及余弦定理可得，即,再根据（1）利用余弦定理可得，两式结合即可得结果.试题解析：（1）因为，，所以，所以，即．（2）由余弦定理得，又，所以，即．消去得，方程两边同除以得，则．18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史．某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得其重量（单位：）数据，将数据分组如表：（1）在答题卡上完成频率分布表；（2）以表中的频率作为概率，估计重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少？（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是2.25）作为代表．据此，估计这100个数据的平均值．【答案】（1）解析见分布表；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用表格中数据，根据频数与频率的关系可完成成频率分布表；（2）利用互斥事件的概率公式可得重量落在中的概率约为；（3）同一组数据常用该组区间的中点值与对应频率积求和，即可估计这个数据的平均值.试题解析：（1）（2）重量落在中的概率约为，或，重量小于2.45的概率约为．（3）这100个数据的平均值约为．19. 如图，四边形是矩形，，，，平面，．（1）证明：平面平面；（2）设与相交于点，点在棱上，且，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先证明∽，可得，再由线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证明为棱的中点，到平面的距离等于，利用相似三角形的性质可得，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）证明：因为四边形是矩形，，，，所以，，又，所以∽，．因为，所以，又平面，所以，而，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：因为，，所以．又，，所以为棱的中点，到平面的距离等于．由（1）知∽，所以，所以，所以．20. 已知双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，为椭圆的左焦点且椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右顶点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，当的面积取得最大值时，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点可得再由椭圆经过点可得，从而可得求椭圆的方程；（2）设直线：，联立：，得，根据韦达定理及三角形面积公式将当的面积用表示，利用基本不等式等号成立的条件，可得当的面积取得最大值时，求的面积.试题解析：（1）由已知得所以的方程为．（2）由已知结合（1）得，，，所以设直线：，联立：，得，得，（），当且仅当，即时，的面积取得最大值，所以，此时，所以直线：，联立，解得，所以，点到直线：的距离为，所以．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21. 已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；（2）若对任意，都有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由曲线在处的切线与轴垂直，可得，，再求出的导函数可得在上单调递减，所以（2），等价于函数在上单调递减，即在上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可的结果.试题解析：（1）由，得，，令，则，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以．（2）由题可知函数在上单调递减，从而在上恒成立，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，则；当时，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，通过求函数的导数可知它在上单调递增，故．综上，，即的取值范围是．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点参数，即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值．【答案】（1）表示以为圆心，1为半径的圆，表示焦点在轴上的椭圆；（2）. 【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．（2）由已知得，设，则，直线：，点到直线的距离，所以，即到的距离的最小值为．选修4-5：不等式选讲23. 已知．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出的最小值为，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为，而，所以．（2）解：因为所以或解得，所以的取值范围是．。
2020届广东省高三调研(12月)考试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省高三调研（12月）考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|4}A x x =<，{}2|50B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|04}x x ≤<B ．{|5}x x ≤C ．{|04}x x <<D ．{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】因为{|4}A x x =<，{|05}B x x =≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选：A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法，考查二次不等式解法及交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．函数()38x f x =-的零点为（ ） A ．83B ．33log 2C ．38D ．8log 3【答案】B【解析】由函数零点与方程的根的关系，解方程3x﹣8＝0，即可得解． 【详解】由()0f x =，得38x =，即33log 83log 2x ==. 故选：B 【点睛】本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查指对互化及对数运算，属简单题． 3．若复数12zi+的虚部为-1，则z 可能为（ ） A ．16i -- B ．16i -+C ．13i -D ．13i +【答案】C 【解析】设()12za i a i=-∈+R ，利用复数代数形式的乘除运算化简得a 值可得答案 【详解】 依题意可设()12za i a i=-∈+R ，则2(21)z a a i =++-.当21a +=-时，a-=-，217a+=时，213a-=-；当21故选：C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况，如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A．他们健身后，体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B．他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8 kgD．他们健身后，原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个，故A正确；他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=；因为图（2）(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例，所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少，故D正确故选：C【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，是基础题 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积． 【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 6．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 7．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为08．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．已知函数()32cos f x x x =+，()()2()15xxg x e e=--，若1(,0]x ∀∈-∞，2x ∀∈R ，()()12f x a g x +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．40,27⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．(,3]-∞-D ．,2794⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D【解析】求导，确定max ()(0)2f x f ==，换元，构造函数求出()()2()15x xg x e e =--的最小值，列不等式求解a 即可 【详解】因为()32sin 0f x x '=->，所以()f x 在(,0]-∞上为增函数，所以max ()(0)2f x f ==.令(0)x t e t =>，()2()(1)5h t t t =--，()(1)(35)h t t t '=+-.当503t <<时，()0h t '<；当53t >时，()0h t '>.所以min 552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而max 40()27g x =-.依题意可得40227a +≤-，即9427a ≤-. 故选：D 【点睛】本题考查函数最值的求解，考查换元法的应用，着重考查导数的应用，是中档题，注意最值的转化.12．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．8B ．6C ．8D ．6【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以8DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题13．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标，则到x 轴的距离可求．【详解】设点()00,P x y ，则028y +=，即06y =，即P 到x 轴的距离是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题．14．某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为________. 【答案】1210【解析】用捆绑法分析，视三个班为三个元素，再分析高一、高二、高三三个元素的之间的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【详解】由捆绑法可得所求概率23432339941210A A A A P A ==. 故答案为：1210【点睛】本题考查排列、组合的运用及古典概型，涉及分步计数原理的应用，本题实际是相邻问题，可用捆绑法分析求解．15．已知函数2()log )f x x =，则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数，则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-，又()f x 为增函数，所以12x x +>-，解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 16．在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________； （2）在1a ，2a ，3a ，，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式； （2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】（1）因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+，即12221n n a a n n +---=+，则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n-=+- 21n =-，故222n a n n =-+（2）因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B CD A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明1AA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可 【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）（法—）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，则(2,1,0)CD =-，1(0,1,2)CB =-.设(,,)m a b c =为平面1B CD 的法向量，则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --的余弦值为6（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H .由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BHBB B =，所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯，即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．设函数23()cos sin 2f x x x x =+-，a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知()0f A =，2b =. （1）若a =B ； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 6B π=. (2)【解析】（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f （x ），并求得3A π=，再利用正弦定理求得1sin 2B =，可得结论；（2）由三角形的余弦定理得c =结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长． 【详解】 （1）1cos23()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 因为()0f A =，所以262A ππ-=，即3A π=.因为sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56π， 又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得222(2)222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=，解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为11sin 2sin 223bc A π=⨯=【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.20．已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ，直线l 过点2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于C ，D 两点，过2F 作1F C 的平行线，交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. （1）求Ω的方程；（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，2l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】（1）根据三角形相似得到DE BEAD AC=，得到AE +DE ＝4，再利用椭圆定义求解即可（2）设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆联立，由直线1l 与Ω相切得2282m k =+，由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，得||AB 表达式，结合基本不等式求得M 坐标及2l ，进而得||MN ，则面积可求 【详解】（1）因为12FC EF ∥，所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ，所以11FCD F DC ∠=∠，则22EDF EF D ∠=∠， 所以2||ED EF =，从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=，所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F，2F为焦点，长轴长为右顶点）.所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.（2）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=，即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =，即2k =±时取等号. 所以当212k =时，||AB 取得最小值，此时26m =，根据对称性.不妨取2k =，m=282143M km x k =-=-+，即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y，得29160x ++=，则39M N N x x x +=-+=-，解得9N x =-，所以8||3M N MN x =-=，故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题．21．已知函数2()ln f x bx a x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2a +. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当02e a <≤时，证明：222()x f x x e x-<+. 【答案】(1) 见解析 (2)证明见解析【解析】（1）先求导，求出1b =，再分类讨论当0a ≥和0a <时导数的符号变化，即可得出单调性；（2）原不等式即证明22max minln 2x a x e x x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭和222()(0)x e h x x x-=>，分别求导确定最大值和最小值即可证明【详解】（1）()2a f x bx x'=+，则(1)22f b a a '=+=+， 解得1b =，22()2(0)a x af x x x x x'+=+=>.当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a <时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得0x <<. 所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减.（2）证明：要证222()x f x x e x -<+，只要证22ln 2x a x e x x-<.令ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则2(1ln )()a x g x x'-=， 当()0g x '>时，得0x e <<；当()0g x '<时，得x e >. 所以max ()()ag x g e e==， 令222()(0)x e h x x x -=>，则232(2)()x e x h x x-'-=. 当()0h x '>时，得2x >，当()0h x '<时，得02x << 所以min 1()(2)2h x h == 因为e02a <≤，所以max 1()2a g x e =≤， 又2e ≠，所以22ln 2x a x e x x-<，222()x f x x e x -<+得证.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，需要分类讨论，考查不等式证明，通常拆分为两个基本函数求最值是常用方法，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。
广东省广州市2020届高三数学调研测试试题答案
广州市2020届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3 13．8π 14．1 15．⎡⎢⎣⎦ 三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin2B ==．………………………………………………………………………3分所以2cos 12sin 2BB =- …………………………………………………………………5分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =，1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．…………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分 因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A =I ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂I 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分 因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =．所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ， 由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥．在ABC ∆中，1522CD AB ==，所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为MCDB BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分所以hS MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分所以512=h ．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分 由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥． 因为CD MD D =I ，所以BH ⊥平面DCM ． 所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分 因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DE BH CD⨯⨯===方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ②…………………………………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++=L ，*n ∈N ， ①所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-L ， ② …………………………………2分①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分所以2nn a =．…………………………………………………………………………………………5分因为12a =，适合上式，所以2n n a =()*n ∈N．………………………………………………………………………………6分（2）由（1）得2nn a =．…………………………………………………………………………………7分所以()()111nn n n a b a a +=--()()122121n n n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分 所以12n nS b b b =+++L1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由MD PD 2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=．…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由MD PD 2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………………………………………………………2分把xx =0，yy 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分 所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分（2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅．…………………………………………………………5分 所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-u u u r u u u r u u u r 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以BA EA ⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-， 所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x '=-+-．………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x --'=+-=，当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x -+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分②当21,21.2aa⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a<<时，()f x在21,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max12()ln21ln22424a a af x f-⎛⎫==--+=--⎪⎝⎭．……………………………………11分③当212a≤，即12a≤<时，()f x在2[,]a a上单调递减，所以[]2532max()()2ln2f x f a a a a a==-+-．…………………………………………………13分综上所述：当12a<≤时，函数()f x在2[,]a a上的最大值是32ln2a a a a-+-；当12a<<时，函数()f x在2[,]a a上的最大值是1ln24a--；当12a≤<时，函数()f x在2[,]a a上的最大值是5322ln2a a a a-+-．…………14分。
2020届广州市高三年级调研测试(文科数学)试题
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须做答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，已知
c
sin
A
3
a
sin
C
0
．
C． 2020
D． 2021
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知抛物线 x2 2 py ( p 0) 的焦点与椭圆 x2 y2 1的一个焦点重合，则 p ______． 3 12
14．设数列an 为等比数列，若 2a2 ， 4a3 ， 8a4 成等差数列，则等比数列an 的公比为_______．
ln x 2
9．函数
f
x
x ex ex
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
文科数学试题 A 第 2 页 共 6 页
10．已知函数
f
x=
sin 2x+
0
2
，将函数
f
x
的图象向左平移
6
个单位长度，得到的函
数的图象关于 y 轴对称，则下列说法错误的是
A．
f
x
在
2 , 3
2
上单调递减
B．
f
A． b a c
B． a b c
C． b c a
D． a c b
8．已知
F
为双曲线 C :
2020届广州市高三年级调研测试 文科数学参考答案
所以 SAGBE
3 3SAOB 2
y1 y2
3 2
y1 y2
2 4 y1 y2
18 k 4 k 2 4k 2 3
，
令 4k2 3 m 3，得 S 9 2
3
1 m2
2 m
1
9 2
，
综上可知， Smax
9 2
．
21．解法：（1）若 a 1时， f (x) x ln x x 1 x 12 ， f (x) 的定义域为 0， ， f ( x) l nx 2 x .1
所以 f (x) 的最小值是 f (x0 ) ，其中 x0 满足 f (x0 ) 0 ，即1 ln x0 2ax0 3a 0 ，
所以 f (x0 ) x0 ln x0 ax0 1 a x0 12 x0 3a 1 2ax0 ax0 1 a x0 12 1 x0 a ax0 1 ，
3
（2）因为 ABC 的面积为 3 ，所以 1 bc sin A 3 ，得 bc 4 . 2
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc (b c)2 3bc (b c)2 12 ，
因为 ABC 的周长为 6 ,即 a b c 6 ，
令 g(x) 1 ln x 2ax 3a ，
因为 a 1， g(x) 在 0, 上单调递增．
又
f
1
g
1
1
a
0，
f
3 2
g
3 2
1
ln
3 2
《精品》2020届高三入学调研考试试卷 文科数学(二)-解析版
2020届高三入学调研考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}||2M x x =∈≤R ，{}04N x x =∈<<R ，则()M N =R ð（ ） A ．[0,2] B ．[2,0)-C ．[2,0]-D ．(,2][4,)-∞+∞【答案】C【解析】[2,2]M =-，集合()0,4N =，(,0][4,)N =-∞+∞R ð，()[2,0]MN =-R ð．2．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11i z =+， 则12iz z =-（ ） A ．1i +B ．13i 55-+C ．1i 3-+D ．1i 22-【答案】B【解析】复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11i z =+， 所以21i z =-，∴121i 1i (1i)(12i)13i1i i 12i (12i)(12i)55z z i ++++====-+-----+． 3．已知0.5log 5m =，35.1n -=，0.35.1p =，则实数,,m n p 的大小关系为（ ） A ．m p n << B ．m n p << C ．n m p <<D ．n p m <<【答案】B【解析】0.5log 50m =<，30 5.11n -<=<，0.35.11p =>，所以m n p <<．4．焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的离心率为2，则a =（ ）A ．6 B．6+CD ．32【答案】C【解析】因为22213x y a +=（0a >）焦点在x 轴上，即23b =，2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得a =5．若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，则1ln 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．2-【答案】A【解析】因为()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号即(0)0f =，1m =-，∵1ln 02<，即1ln 02->，1ln 21ln 112f e -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，11ln ln 122f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6350S S =-≠，则93S S =（ ） A ．18 B ．13C ．13-D ．18-【答案】D【解析】由635S S =-，可设65S a =-，3S a =，∵{}n a 为等差数列，∴3S ，63S S -，96S S -为等差数列，即a ，6a -，96S S -成等差数列，∴9613S S a -=-，即918S a =-， ∴9318S S =-． 7．如图，每一个虚线围成的最小正方形边长都为1，某几何体的三视图如图中实线所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8πB ．9πC ．28π3 D ．32π3【答案】C【解析】该几何体为一个半圆锥和一个圆柱组合而成，半圆锥体积为21114π22π233V =⋅⋅⋅=，圆柱体积为22π228πV =⋅⋅=，∴该几何体的体积为1228π3V V +=． 8．随机从3名老年人，2名中老年和1名青年人中抽取2人参加问卷调查，则抽取的2人来自不同年龄层次的概率是（ ）A ．15B ．415C ．45D ．1115【答案】D【解析】记3名老年人，2名中老年和1名青年人分别为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，C ，该随机试验的所有可能结果为12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，1(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，2(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，3(,)A C ，12(,)B B ，1(,)B C ，2(,)B C 共15种，其中来自不同年龄层的有11种，故古典概型的概率为1115． 9．将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移ϕ（π04ϕ<<）个单位长度后得到()g x 的图象，且π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭则函数()g x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位得到()()sin 22g x x ϕ=+，ππ2sin 221212g ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又π04ϕ<<，解得π12ϕ=，即π()2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又πππ2sin 2012126g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心． 10．秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔，它把一元n 次多项式的求值转化为n 个一次式的运算，即使在计算机时代，秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法，其算法如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，3a ，4a 分别为0，1，1，3，2-，则该程序框图输出p 的值为（ ）A ．14-B ．2-C ．30-D ．32【答案】B【解析】根据图中程序框图可知：234()032f x x x x x =+++-， 当2x =时，图中的计算是当2x =时，多项式234()032f x x x x x =+++-的值，∴(2)2p f ==-．11．若在ABC △中，1BC =，其外接圆圆心O 满足3AO AB AC =+， 则AB AC ⋅=（ ）A ．12BCD ．1【答案】A【解析】取BC 中点为D ，根据32AO AB AC AD =+=，即O 为ABC △重心，另外O 为ABC △的外接圆圆心，即ABC △为等边三角形，1cos602AB AC AB AC ⋅=⋅︒=． 12．函数()f x 满足：1()()xf x f x e '+=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根；②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】1()()xf x f x e'+=，得(())1x e f x '=，即()xe f x x c =+，()x x c f x e +=，由(0)1f =，得1c =，()x xf x e-'=，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且(1)0f -=，大致草图如图所示，12m =-，0n =，有3个不等实根，①正确； 1m n +=-时，()1f x =，即0x =恒满足方程，②正确；0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根，③正确， 所以正确的个数为3个．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为_________人．【答案】4【解析】总球迷是18060240+=人，家里的女性球迷是12025%30⨯=人，球迷广场女性8012.5%10⨯=人，所以在酒吧观赛的女球迷是60301020--=人， 抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为20484240⨯=人． 14．设x ，y 满足约束条件1024y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则平面直角坐标系对应的可行域面积为_________． 【答案】4912【解析】画出可行域如图所示，则可行域对应的面积为ABC △，44,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,12B ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1C -，则1774922312ABC S =⨯⨯=△．15．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，6a =，b =C =_________． 【答案】5π12【解析】在ABC △中，∵π3A =，6a =，b =sin sin a bA B=，得sin B =a b >，得π4B =，所以5π12C =． 16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过双曲线222:C x y a -=（0a >）的右顶点P 作射线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于第一象限的点M 和第二象限的点N ，且3PN PM =，OMN △的面积为3S =，则a =________． 【答案】3【解析】由等轴双曲线可设11(,)M x x ，22(,)N x x -，10x >，20x <， 由3PN PM =，得2211(,)3(,)x a x x a x --=-，整理得213()x a x a -=-，解得13a x =，213x x =-，12)3OMN S x =-=△，解得11x =，即3a =．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a ---=（2n ≥，n +∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2log (1)n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）21n n a =-；（2）1n nS n =+． 【解析】（1）由已知112n n n a a ---=， ∴11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+，∴12321222221n n n n a ---=++++++，∴1(1)1(12)21112n n n n a q a q -⋅-===---． （2）2log (1)n n b a n =+=，11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++，∴1111111111122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++． 18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD ∥平面GAC ．（1）求证：G 为SB 的中点；（2）若F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，FA ，FG ，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F AGC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）14F AGC V -=． 【解析】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于E 点，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵SD ∥平面GAC ，平面SDB 平面GAC GE =，SD ⊂平面SBD ， ∴SD GE ∥，而E 为BD 的中点，∴G 为SB 的中点． （2）∵F ，G 分别为SC ，SB 的中点，∴1111122448F AGC S AGC C AGS C ABS S ABC S ABCD V V V V V V ------=====，取AB 的中点H ，连接SH ，∵SAB △为等边三角形，∴SH AB ⊥， 又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB平面ABCD AB =，SH ⊂平面SAB ，∴SH ⊥平面ABCD ，而SH =，菱形ABCD的面积为1222sin 602ABCD S =⋅⋅⋅︒=∴11233S ABCD ABCD V S SH -=⋅⋅=⋅=，∴1184F AGC S ABCD V V --==．19．（12分）从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x 表示清洗的次数，y 表示清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）．（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，y bx a =+与x y me n -=+哪一个适宜作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y 关于x 的回归方程； 表中ix i eω-=，5115i i ωω==∑．（3）对所求的回归方程进行残差分析．附：①线性回归方程y bx a =+中系数计算公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；②22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑，20.95R >说明模拟效果非常好；③10.37e ≈，210.14e ≈，310.05e ≈，410.02e ≈，510.01e≈． 【答案】（1）见解析；（2）100.8x y e -=⨯+；（3）拟合效果非常好． 【解析】（1）散点图如图，用x y me n -=+作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．（2）由题知51521()()0.9100.09()iii ii y y m ωωωω==--===-∑∑，2100.120.8n y m ω=-=-⨯=， 故所求的回归方程为100.8x y e -=⨯+． （3）列表如下：所以521()0.19i i i y y =-=∑，521()9.1i i y y =-=∑，20.1910.9799.1R =-≈，所以回归模拟的拟合效果非常好．20．（12分）已知抛物线2:4C x y =，P ，Q 是抛物线C 上的两点，O 是坐标原点，且OP OQ ⊥．（1）若OP OQ =，求OPQ △的面积；（2）设M 是线段PQ 上一点，若OPM △与OQM △的面积相等，求M 的轨迹方程．【答案】（1）16OPQ S =△；（2）2142y x =+． 【解析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， （1）因为OP OQ =，又由抛物线的对称性可知P ，Q 关于y 轴对称，所以21x x =-，21y y =， 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，故12120x x y y +=，则22110x y -+=，又2114x y =，解得14y =或10y =（舍）， 所以14x =±，于是OPQ △的面积为1112162OPQ S x y ==△． （2）直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 代入24x y =，得2440x kx m --=，216160Δk m =+>， 且124x x k +=，124x x m =-，因为OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y ⋅=+=，故221212016x x x x +=，则240m m -+=，所以4m =或0m =（舍）， 因为OPM △与OQM △的面积相等，所以M 为PQ 的中点，则M 点的横坐标为12022x x x k +==，纵坐标为2000442x y kx =+=+， 故M 点的轨迹方程为2142y x =+． 21．（12分）已知函数()sin 1f x ax x =--，[0,π]x ∈． （1）若12a =，求()f x 的最大值； （2）当2πa ≤时，求证：()cos 0f x x +≤． 【答案】（1）π12-；（2）证明见解析．【解析】（1）当12a =时，1()cos 2f x x '=-， 由()0f x '=，得π3x =，所以π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，因此()f x 的单调递减区间为π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为π,π3⎛⎤⎥⎝⎦，∴()f x 的最大值为{}ππmax (0),(π)max 1,1122f f ⎧⎫=--=-⎨⎬⎩⎭．（2）证明：先证2sin cos 10πx x x -+-≤， 令2()sin cos 1πg x x x x =-+-，则22π()cos sin )ππ4g x x x x '=--=+，由π)4y x =+，[0,π]x ∈与2πy =的图象易知，存在0[0,π]x ∈，使得0()0g x '=，故0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(,π)x x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 的单调递减区间为0(0,)x ，单调递增区间为0(,π)x ， 所以()g x 的最大值为max{(0),(π)}g g ，而(0)0g =，(π)0g =，又由2πa ≤，0x ≥，所以2sin 1cos sin 1cos 0πax x x x x x --+≤--+≤， 当且仅当2πa =，0x =或π，取“=”成立，即()cos 0f x x +≤．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线:28l x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 在直线l 上，射线OP 交曲线C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足229OR OP OQ =⋅，求点Q 的轨迹的直角坐标方程． 【答案】（1）2222cos sin 149ρθρθ+=，2cos sin 8ρθρθ+=；（2）22294x y x y +=+．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 149ρθρθ+=，直线l 的极坐标方程为2cos sin 8ρθρθ+=．（2）设点Q 的极坐标为(,)Q ρθ， 易知222369cos 4sin OR θθ=+，82cos sin OP θθ=+， 故代入229OR OP OQ =⋅，得2219cos 4sin 2cos sin ρθθθθ=++， 即2222cos sin 9cos 4sin ρθρθρθθ+=+，所以点Q 的轨迹的直角坐标方程为22294x y x y +=+． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()31f x x x =--+，M 为不等式()2f x <的解集． （1）求M ；（2）证明：当log a b M ∈时，12222a b a b +--<-． 【答案】（1）(0,)M =+∞；（2）证明见解析． 【解析】（1）当3x ≥时，()42f x =-<成立；当13x -<<时，()31222f x x x x =---=-<，∴03x <<； 当1x ≤-时，()42f x =>，不成立．综上，(0,)M =+∞．（2）证明：根据题意，得log 0a b >，∴11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，要证12222a b a b +--<-成立，即证144224422a b a b a b a b ++-++-⋅<+-⋅成立，即证144440a b a b +-+--<成立，111144444(14)4(41)(41)(44)a b a b a b b b a +----+--=-+-=--，当11a b >⎧⎨>⎩时，1(41)0b -->，(44)0a -<； 当0101a b <<⎧⎨<<⎩时，1(41)0b --<，(44)0a ->， 故1(41)(44)0b a ---<，所以144440a b a b +-+--<成立， 即12222a b a b +--<-成立．。
广东省广州市2020届高三年级调研测试（文科数学）试题含解析
广东省广州市2020届高三年级调研测试（文科数学）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（）A.皿+3b.”+手 C.血+2»"+警2.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）第6题图A.就210一1b.2曜3-1c2d.63.函数y=3sinx+4cosx,xg R的值域是（）A.[-7,7]B.[-章]仁[>4]d.[―如]2224.已知椭圆q：亳+,=1（。
〉力〉o）与双曲线：亍-=1有公共焦点，G的一条渐近线与以G的长轴为直径的圆相交于A,8两点，若G恰好将线段屉三等分，则（）A.8b.W=12 c.8D.b2=15.过三点A（l,3）,3（4,2）,C（l,—7）的圆截直线x+ay+2=0所得弦长的最小值等于（）A.2右b.4右c.而D.2^13Y2y23。
6.设g是椭圆&；+*=1（。
＞力＞0）的右焦点，A是椭圆E的左顶点，尸为直线x=y上一点, AAPE是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为22£J_A.4b.3 c.2D.37.已知集合A={x\x-x2＞0},B={%|y=lg（2x-l））,则集合A B=（）B.【°』—,+oo 28.一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）俯浅图A.72+671B.72+4冗C.48+6"D.48+4tt9.如图，网格纸上小正方形的边长为。
，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3+J^，贝帅的值为（）正视图■左视图A.4B.3 c.2D.i10.已知定义在R上的偶函数/'(x)满足f(l+x)^f(l-x),当xg[O,1]时，f(x)=x.函数g(x)=疽7(_1<X<3),则/(A-)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为()A.3B.4C.5D.611.设函数/'(%)(%6幻满足/"(x+z)=/"(%)+sinx,,当OWx<兀，f(x)=O,则=()£V?_J_A.2B.2C.0D.212.设。
广东省广州市2020届高三12月调研测试数学文试题,无答案
广东省广州市2020届高三12月调研测试数学文试题,无答案绝密★启用前 2020届广州市高三年级调研测试文科数学 2019.12本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知复数z= ，则复数z的虚部为（）A. 4iB.C. iD. 2.设集合A={x|x2−2x−3}≤0，B={x|y=ln(2−x) } ，则A∩B=（）A. [−3,2)B. (2,3]C. [−1,2)D. (−1,2) 3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. 3 C. D. 4.命题“∀x>0,lnx≥1−”的否定是（） A. ∃x≤0，lnx≥1− B. ∃x≤0 ，lnx0，lnx≥1− D. ∃x>0，lnx0)的焦点与椭圆=1的一个焦点重合，则p=__________. 14.设数列{a}为等比数列，若2a，4a，8a成等差数列，则等比数列{a}的公比为__________. 15.奇函数f(x)=x ()（其中e为的底数）在x=0处的切线方程为__________. 16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为__________. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知csin(A+)−asinC=0. （1）求角A的值；（2）若∆ABC的面积为，周长为6，求a的值. 18．（本小题满分12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一中形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表. 年龄（岁）[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 （1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率. 附：19．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60，平面AEFC⊥平面ABCD，EFPo AC，且AE=1，AC=2EF. （1）求证：平面BED⊥平面AEFC；（2）若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求点A到平面FCD的距离. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C: (a>0)的右焦点F到左顶点的距离为3 （1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，过F的直线与椭圆C交于A，B两点（A,B不在x轴上），若延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值. 21. （本小题满分12分）已知a≥1，函数f(x)=xlnx−ax+1+a(x−1) 2. （1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）讨论f(x)的零点个数. （二）选考题：共10分。
广东广州市2020届高三12月调研测试文科数学试卷
2020届广州高三调研测试文数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只1.已知复数z= z的虚部为（）A. 4iB.C.D.2.设集合A={x|x2−2x−3}≤0，则A∩B=（）A. [−3,2)B. (2,3]C. [−1,2)D. (−1,2)3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. 3 C. D.4.命题“∀x>0,lnx≥）A. ∃x≤0，lnxB. ∃x≤0 ，C. ∃x>0，lnxD. ∃x>0，5.设a，b b的夹角是60°+3b的模为（）A. 13B. 13C. 16D. 46.已知实数x，y满足，则z=x−3y的最小值为（）A. −7B. −6C. 1D. 67.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m−1)x n 的图像上，设a= ，b= f(lnπ)，，则a,b,c的大小关系为（）A. b<a<c D. a<c<b8.已知F为双曲线C: F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D|OF|（O C的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D.9函数f(x ）=的图象大致为（ ）10.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ0<ϕf(x)的图象向左平移 个单位长度，得到的函数的图象关于）A. f(x)在（B.f(x)在（C. f(x),0 ）对称D. f(x)11.已知三棱锥P−ABC 中，PA=1，PB=PAB ⊥面ABCA.B. C. D.{a n }的项和为S n ，满足若[x]表示不超过x 的最大正数，则） D.2021二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点与椭圆=1的一个焦点重合，则p=__________.14.设数列{a}2a ，4a ，8a 成等差数列，则等比数列{a}的公比为__________.15.奇函数（其中e 为 的底数）在x=0处的切线方程为__________. 16.已知正方体11C 1D 1的棱长为2，M 为CC1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为__________.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知 （1）求角A 的值；（2）若∆ABC 6，求a 的值.18．（本小题满分12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一中形式，某机构对“使用微信交流”的频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数5 10 12 7 2 1 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计赞成不赞成合计人不赞成“使用微信交流”的概率.附：19．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60，平面AEFC ⊥平面ABCD ，，且AE=1，AC=2EF.（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA ⊥AC ，求点A 到平面FCD 的距离.20. 已知椭圆C: 13222=+y ax (a>0)的右焦点F 到左顶点的距离为3 （1 （2）设O 为坐标原点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A,B 不在x 轴上），若OB OA OE +=延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.21. （本小题满分12分）已知a ≥1，函数f(x)=xlnx−ax+1+a(x−1) 2.（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）讨论f(x)的零点个数.（二）选考题：共10分 。
【数学】广东省广州市2020届高三12月调研测试文科数学试题有答案
ex ex
10.已知函数 f()=sin(2+ϕ)0<ϕ< ，将函数 f()的图象向左平移 个单位长度，得到的函数
2
的图象关于 y 轴对称，则下列说法错误的是（ ）
2
A. f()在（- ， ）上单调递减
32
B. f()在（0, ）上单调递增
3
5
C. f()的图象关于（ ,0 ）对称
12
D. f()的图象关于=− 对称
2.设集合 A={|2−2−3}≤0，B={|y=ln(2−) } ，则 A∩B=（ ）
A. [−3,2) B. (2,3] C. [−1,2) D. (−1,2)
3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案
内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
1
2
3
A.
D. a<c<b
x2 y2 8.已知 F 为双曲线 C 1 的右焦点，过点 F 作 C 的渐近线的垂线 FD，垂足为 D，
a2 b2
且满足|FD|= |OF|（O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为（ ）
23
A.
B. 2 C. 3
3
10
D.
3
2
ln | x |
9 函数 f(）=
x 的图象大致为（ ）
题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10 分）【选修 4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 Oy 中，曲线 C 的参数方程为
1
x
m
m 1
（m
为参数），以坐标原点
O
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
广州市2020年高三测试(一)数学(文科)试题卷及参考答案
2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学
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绝密★启用前
2020届广州市高三年级调研测试
文科数学
2019.12本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A ）填图在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.已知复数z=
i
435
，则复数z 的虚部为（ ） A. 4i B. C. 54i D. 5
4
2.设集合A={x|x 2−2x−3}≤0，则A ∩B=（ ）
A. [−3,2)
B. (2,3]
C. [−1,2)
D. (−1,2)
3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.
41 B. 3 C. 32 D. 4
3 4.命题“∀x>0,lnx ≥1−x 1
”的否定是（ ）
A. ∃x ≤0，lnx ≥1−x 1
B. ∃x ≤0 ，lnx<1−x 1
C. ∃x>0，lnx ≥1−x 1
D. ∃x>0，lnx<1−x
1
5.设 a ，b 是单位向量，a 与b 的夹角是60°，则c =a +3b 的模为（ ） A. 13 B.
13 C. 16 D. 4
6.已知实数x ，y 满足，则z=x−3y 的最小值为（ ）
A. −7
B. −6
C. 1
D. 6 7.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m−1)x n 的图像上，设
a= f(
33)，b= f(lnπ)，c=f(2
2)，则a,b,c 的大 小关系为（ ）
A. b<a<c
B. a<b<c
C. b<c<a
D. a<c<b
8.已知F 为双曲线C: 122
22=-b
y a x 的右焦点，过点F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，
且满足|FD|=|OF|（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）
A.
33
2 B. 2 C.
3 D. 3
10 9函数f(x ）= x
x e e x x -+-
|
2|ln 的图象大致为（ ）
10.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ)0<ϕ<
2
π
，将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（ ）
A. f(x)在（-3
2π，
2π）上单调递减 B. f(x)在（0, 3π
）上单调递增 C. f(x)的图象关于（125π ,0 ）对称 D. f(x)的图象关于x=−3
π
对称
11.已知三棱锥P−ABC 中，PA=1，PB=
7，AB=22，CA=CB=5，面PAB ⊥面ABC ，
A.
920π B. 1225π C. 3
25π
D. 35π 12.已知各项均为正数的数列{a n }的前
项和为
S n ，满足
1
2
2log ,02)12(+==---n a n n n n n b S S ，若[x]表示不超过x 的最大正数，则
2021
20203221
2020
....20202020b b b b b b +++=（ ） A. 2018 B.2019 C.2020 D.2021 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点与椭圆
=1的一个焦点重合，则p=__________.
14.设数列{a}2a ，4a ，8a 成等差数列，则等比数列{a}的公比为__________. 15.奇函数f(x)=x (x x
e
a
e +
)（其中e 为 的底数）在x=0处的切线方程为__________. 16.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为__________.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）
在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知csin(A+3
π
)−asinC=0. （1）求角A 的值；
（2）若∆ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值.
18．（本小题满分12分）
随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一中形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄（岁） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数
5 10
15
10
5
5
赞成人数
5 10 12 7 2 1 （）若以“年龄岁为分界点”，由以上统计数据完成下面×列联表，并判断是99% 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计
（）若从年龄在的被调查人中随机选取人进行追踪调查，求人中至少有人不赞成“使用微信交流”的概率.
附：
19．（本小题满分12分）
如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60，平面AEFC ⊥平面ABCD ，
EF
AC ，且AE=1，AC=2EF.
（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；
（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA ⊥AC ，求点A 到平面FCD 的距离
.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C: 132
22=+y a
x (a>0)的右焦点F 到左顶点的距离为3
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A,B 不在x 轴上），若
OB OA OE +=延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.
21. （本小题满分12分）
已知a ≥1，函数f(x)=xlnx−ax+1+a(x−1) 2. （1）若a=1，求f(x)的单调区间； （2）讨论f(x)的零点个数.
（二）选考题：共10分 。
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程
为⎪⎩
⎪⎨
⎧
-
=+=m m y m m x 1
1（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为.03cos sin 3=--θρθρ （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；
（2）已知()1,0P 直线l 与曲线C 相交于A,B 两点，求PB
PA 1
1+的值。
23. 【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知()()().22a x x x a x x f --+--=
（1）当2=a 时，求不等式 ()0<x f 的解集； （2）若()a x ,∞-∈时，()0<x f ，求a 的取值范围。