趣味数学 有趣的拓扑学
有趣的拓扑原理
有趣的拓扑原理
拓扑原理是一门研究空间形态和结构的数学学科。
虽然它看起来有些抽象，但是其实它涉及到我们日常生活的很多方面。
下面就介绍一些有趣的拓扑原理。
首先，我们来谈谈“无缝”连接的问题。
如果我们有一个圆环和一个球形物体，它们之间可以互相变形成为彼此。
这是因为它们都是同一种拓扑结构的。
但是，如果我们有一个球和一个面包圈，它们就不能变形为彼此，因为它们的拓扑结构不同。
这个原理非常有趣，它告诉我们两个物体之间是否可以变形为彼此。
接下来，我们来看看“马蜂窝”原理。
如果我们把一个平面图形覆盖上许多小圆，就像马蜂窝一样，那么这个图形上至少有一个圆点，如果我们把它扯开，就可以把这个图形变成一个平面，而不会影响其他圆点的位置。
这个原理告诉我们，一个平面图形的某些部分可以被拉伸和变形，而不会影响其他部分。
还有一个有趣的原理叫“四色定理”。
这个定理告诉我们，任何一个平面图都可以用最多四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理看起来很简单，但是证明它需要很多复杂的数学技巧。
总之，拓扑原理是一门非常有趣的学科，它可以帮助我们更好地理解空间形态和结构。
这里介绍的只是其中的一些有趣原理，如果你对这个学科感兴趣，可以了解更多相关的知识。
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数学游戏拓扑学
试一试吧，关于数学拓扑学的有趣游戏难题（37-46）编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。
这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。
你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。
首先奉劝各位读者，不要把这里的游戏跳过去！不少人觉得数学枯燥无味，似乎看见数字就讨厌。
我们在这一章里不讲什么加、减、乘、除，因为加减乘除四则运算只不过是数学的一部分，其实，数学内容范围很广，连打赌都是数学研究的范畴，这一点你也许没有想到吧。
打赌就是计算事情发生的可能性，科学上叫做概率，它是数学的一个分支——统计学所研究的问题。
数学上有几个数学分支是完全不用数字的。
以拓扑学为例，这是一门非常有趣的学科，它是专门研究物体形状的一门数学。
拓扑学中有许多有趣的问题，比如一张只有一面的纸，不用浆糊，把一个纸环剪成两个套在一起的纸环，等等。
实际上拓扑学对于大家来讲并不陌生，你们大概都玩过迷宫游戏和拼七巧板吧，这些就是拓扑学研究的范围。
来吧，让我们一起到一个新的数学天地中去游玩吧。
游戏三十七你能让两枚曲别针不勾在一起吗？拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S 形。
用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。
准备好了之后，两手分别抓住卷成S 形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。
虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。
这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。
原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。
如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。
慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。
拓扑游戏、拓扑的奥秘-科技馆科教展品方案-上海惯量自动化
展示内容通过数组充满趣味性的数学益智游戏，锻炼观众的脑、眼、手等，增强逻辑分析能力与思维敏捷性。
科学原理九连环用九个圆环相连成串，以解开为胜。
华容道是古老的汉族民间益智游戏。
鲁班锁是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑，就像一张纸对折一下就能够立得起来。
榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫；凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用。
科技馆展品制作生产源头工厂-上海惯量自动化有限公司提示大家在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
梵天塔游戏来源于印度的古老传说，在圣庙里有一块黄铜板上插着三根宝石针。
印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。
不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
功能描述这是一个组合型益智游戏，包括九连环、华容道、鲁班锁、隼牟结构、解套等。
九连环：动手动脑，分别解开9个圆环。
华容道：移动各个棋子，用最少步数帮助曹操从出口逃走，期间不允许跨越棋子，且设法用最少的步数把曹操移到出口。
鲁班锁：开动脑筋，利用构件组装鲁班锁。
魔幻三角：将三角形装入盒子，移动、翻转、拼接各种三角图形，体验图形变化的乐趣。
解套：在不损坏金属架和绳子的条件下，将绳套从金属架上取下来。
完美正方形：将台面上的21个正方形模块置入凹槽，拼出一个完美的正方形。
三阶幻方：将圆形棋子放入嵌板内，组出一个三行三列的矩阵，满足“其对角线、横行、纵向的和都为15”的条件。
梵天塔：把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。
参与方式动手动脑，选择自己感兴趣的游戏进行体验。
表现形式模型互动。
生活中的拓扑现象
生活中的拓扑现象
拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间和形状的性质，其中包括拓扑空间、连通性、紧致性、开集和闭集等概念。
尽管拓扑学最初是一门数学学科，但其概念和原理在日常生活中也有许多应用和体现。
以下是生活中一些拓扑现象的例子：
1. 咖啡搅拌：当你在一杯咖啡中搅拌糖或奶精时，你会观察到液体的拓扑变化。
最初的液体是连通的，但搅拌后，液体分成了数个不连通的部分。
2. 衣物的穿着：拓扑学可以解释为什么你可以把一双袜子套在脚上，而不需要把它们撕开。
这是因为袜子是一个连通的拓扑空间，可以伸缩并包裹在脚上，而不会破裂。
3. 电线的连接：当你连接电线或电缆时，你通常使用插头和插座。
这些插头和插座都设计成拓扑空间，以确保连接是稳固的。
例如，插头通常具有凸起和凹陷，以便正确连接。
4. 环形面包：环形面包是一个有趣的拓扑现象。
尽管它的形状是一个环，但从拓扑学的角度来看，它仍然是一个连通的拓扑空间，因为你可以在不断开面包的情况下穿越它。
5. 地图上的连通性：在地图上，拓扑学可以用来研究地理区域的连通性。
例如，分析一个城市的道路网络，以确定最佳路径或交通流量。
6. 软件界面设计：在用户界面设计中，拓扑学原理用于确定用户可以如何导航和互动。
例如，确定如何通过按钮、链接和菜单连接到不同的页面或功能。
7. 生物学中的DNA拓扑：DNA分子的结构也涉及拓扑学。
DNA可以被旋绕、交叉和环绕，这些过程会影响基因的表达和复制。
这些都是生活中拓扑学概念的一些实际应用和例子。
尽管拓扑学通常是一门抽象的数学学科，但它的原理在各种领域中都有实际价值。
【通俗数学】拓扑学介绍——从萨姆·劳埃德的一道数学趣题谈起
【通俗数学】拓扑学介绍——从萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题谈起⼀、萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题萨姆·劳埃德是美国最杰出的趣题和智⼒玩具专家。
他死后由他⼉⼦印刷出版的《趣题⼤全》是⼀部包罗万象的开⼭巨作，我们现在所接触的趣题有相当⼀部分都是由⾥⾯的题⽬演化，延伸⽽来。
上⾯这本书就是马丁·加德纳从《⼤全》中精⼼挑选部分数学趣题编辑⽽成的。
我们今天要介绍的是其中的第82个数学趣题:不和睦的邻居们。
上图的三位邻居(他们的房⼦编号是A，B，C)住在同⼀个院⼦中，但他们不太和睦，经常吵架。
为了避免争执，他们决定分别从⾃⼰家门⼝修⼀条路到A，B，C三个⼤门，要求房⼦编号和⼤门编号相对应，且三条路互不相交。
问题1：如何画出这三条路吗？⼆、抽象成点和线的问题我们把院⼦简化成⼀个长⽅形，把三个房⼦和三个⼤门分别简化为A，B，C和A'，B'，C'六个点。
这时问题就变成：问题2：如何⽤三条互不相交的曲线分别连接AA',BB',CC'如果觉得这个问题很难的话，那是难在什么地⽅呢？嗯.....您可能会说A和C点的位置不好！呀，是的，如果A和C点对调⼀下，问题就简单了，三条线轻轻松松就连出来了。
三、慢慢地对调回去但我们还是要回到原先的问题中，所以我们要把A和C点对调回去。
但这次我们要慢慢地对调回去，⽽且始终让这三条线连着这六个点，且保持不相交。
这时，连接BB'的直线慢慢地被弯曲..........慢慢地被弯曲了............⼀直弯曲到A和C点的位置完全对调回去为⽌。
好了，这个时候问题的答案已经揭晓了！四、把院⼦变成⼀块巨⼤的橡⽪刚才，我们是将A和C点的位置对调后，连线，再慢慢对调回去，才找到答案。
现在我们将尝试另⼀种办法，把整个院⼦变成⼀块巨⼤的平⾯橡⽪。
我们假设这块平⾯橡⽪有⾜够好的弹性，可以被任意的形变，⽐如：弯曲，拉伸，收缩，挤压等，我们还假设橡⽪上不同的两个点不能被挤成⼀个点。
拓扑学的趣味
拓扑学的思维趣味从小到大，我的数学都是成绩较好的，学数学对我来说没有太大的困难，因为想象力丰富，我总是能联想到一道数学题的关键解法，例如辅助线的选取，立体几何的建模想象，但对数学感兴趣是称不上的。
直到高三，我最喜欢的科目是地理，平时会找一些关于地理的趣味视频观看，从一个视频中，我知道了一个定理，那就是：地球上一定至少存在一对完全相对的某两点，它们的气温和气压完全相同。
我被这个定理惊吓到了，气温气压之间的关系要受到天气、风、地表环境等很多方面因素的影响，虽说地球很大，要找到气温气压都相同的两点不是没有可能，可要找到一对对跖点，它们的气温气压完全相同，这听上去让人感觉太不可思议了，为了满足自己的好奇心，我查找了很多资料，甚至翻墙到外网，终于找到了证明过程，我了解到，证明这一现象，用的是数学方法——拓扑学中的Bosuk-Ulam定理。
证明过程如下：地球是个不规则的椭圆球体，我们假设它是一个规则的球体，这并不影响证明。
建立空间直角坐标系，假设地球是一个球心为坐标(0,0,0)，半径为1的球体。
此时，选取一条经线圈，假设你和你的妹妹沿着经线圈朝着同一个方向行走，唯一的要求就是在这条经线圈上，你和你的妹妹的位置永远保持纬度对称，直到你和你的妹妹交换了位置，这过程中绝对有一对对跖点你和妹妹的气温是相同的，因为在地球上，气温是连续变化的函数，不存在连续位置的点温度数值不连续。
再重复走过所有的经线圈，记录所有气温相同的点，把得到相同气温所在的点连起来，得到的必是一个封闭的环（这里可用反证法证明，如果存在温度不连续的点，那么就可以得到一个温度不连续的经线圈，这与地球上的气温是一个连续函数的事实相违背）。
然后你和你的妹妹沿着纬线同方向走过这个圆环，还是要保持经度的对称，直到你们交换位置，记录下途中所有的气压，因为气压也是连续的函数，所以必有一点你和妹妹的气压也相同。
这样，在气温对称相同的圆环上，找到气压对称相同的点，就证明了地球上一定至少存在一对完全相对的某两点，它们的气温和气压完全相同。
《数学游戏与数学文化》教学课件—12拓扑学拾趣
以下的故事，将增加你对 “内部”与“外部”这两个 概念的理解：
传说古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一位才 貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英俊 的小伙子为之倾倒，致使求婚者的车马络绎不绝。哈 里发决定从中挑选一位才智超群的青年为婿。于是便 出了一道题目，声明说：谁能解出这道题，便将女儿 嫁给谁！
游戏二答案
图 12-9
不动绳头游栓戏死二结答案
先做好双臂交叉抱胸的 姿势，如图，一只手从 上面、一只手从下面分 别抓紧绳头，把胳膊伸 直后就在绳子上打成一 个死结了。
游戏三答案
当中取圈
把绳的两头扣起来，将其一端上的两只铁圈 通过绳结移到另一端去，然后再将绳子解开， 现在取走中间的两只铁圈便很容易了。
第一类在连续变换下都可以变成 O，第二类则都 可变成 I 。
“内部”与“外部”
“内部”与“外部”是拓扑学中很重 要的一组概念。
一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜 分成两个部分．如果我们把其中有限的部分称为闭曲 线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外 部”．从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不 通过该闭曲线．因此，无论你怎样拉扯橡皮膜，只要 不切割、不撕裂、不折叠、不穿孔，那么闭曲线的内 部总是内部，外部总是外部！
为什么说哈里发所提 的问题不可能实现？
为什么说哈里发所提 的问题不可能实现？
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哈里发的失算，可以用拓扑学的知识加以证明的。 其所需之概念，只有“内部”与“外部”两个。事实 上，我们很容易用线把①一①，②一②连起来．读者 可能已经发现：我们此时得到了一条简单的闭曲线， 这条曲线把整个平面分为内部（阴影部分）和外部两 个区域．其中一个③在内部区域，而另一个③却在外 部区域．要想从闭曲线内部的③，画一条弧线与外部 的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！
拓扑趣谈
[高中数学课程扩展模块之十一：]拓扑趣谈张远南在《奇异的莫比乌斯带》和《有趣的图论》等模块中，读者已经领略过一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑尺寸大小的新几何学的课题。
莱布尼茨和欧拉称之为“位置几何学”。
如今，这一新几何学已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学。
它就是本模块要讲述的主题。
一、橡皮膜上的几何学1、拓扑学研究的范畴拓扑学研究的课题极为有趣。
比如：左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套？一个车胎能否从里面朝外头把它翻转过来？是否存在只有一个面的纸张？一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较，与哪一个更相似些？诸如此类，都属于拓扑学研究的范畴。
许多难以置信的事情，在拓扑学中似乎都有可能。
下图是一幅超现实的图画，画的是一个人在地上走，并抬头仰望蓝天。
不过这里已经用拓扑学变换的方法，把宇宙翻转了过来。
图中的地球、太阳和星星，都被挤到了人体内一个狭窄的环形通道里，四周则是人体的内部器官。
该图选自美国著名物理学家盖莫夫教授的著作《One, Two, Three, ……Infinity 》一书。
拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学，所以在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。
有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学，这是十分恰当的。
因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，虽然它上面的点一对一地连续变换，但其长度、曲直、面积等等都将发生变化，此时谈论“有多长”、“有多大”之类的问题，是毫无意义的！不过，在橡皮膜上的几何里，也有一些图形的性质保持不变。
比如，点变化后仍然是点，线变化后依旧为线，相交的图形绝不会因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。
2、内部与外部一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分。
如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”。
从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线。
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莫比乌斯带
公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius， 1790～1868）和约翰· 李斯丁发现：把一根纸条扭 转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔 术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面）， 一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色； 而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫 可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被 称为“莫比乌斯带”。
学科简介
Topology原意为地貌，拓扑学主要研究“拓扑空间” 在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，拓扑 学是研究连续性和连通性的一个数学分支。 等价
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的 概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑 变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的---从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。而游泳圈 的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有 个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈 所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。
张家港高级中学校本课程
趣味数学4
有趣的拓扑学
储聪忠
不可能的画
"图形艺术家"莫里茨· 柯内里斯· 埃舍尔 埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专 门从事于木版画和平版画。他的作品中数学 的原则得到了非同寻常的形象化。他工作中 经常直接用平面几何和射影几何的结构，这 使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学 的精髓，他也被悖论和"不可能"的图形结构 所迷住，并且使用了罗杰· 彭罗斯的一个想法 发展了许多吸引人的艺术成果。
性质 “连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的 例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的 性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一 张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。而德国数 学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比 乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌 斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓 扑性质。
《瀑布》 塔楼上泻下来的一道瀑 布，推动了磨坊的水轮， 可是下面承水池中的水 流过水槽，居然又回到 了瀑布的源头！这岂不 是物理上批驳得体无完 肤的、古人曾经梦寐以 求的“永动机”吗？
《上天入地》 1963年的作品，是一 幅宗教色彩极为浓重的 画。一座教学建筑的中 间有座天井，屋顶周围 砌有楼梯，两队不知疲 倦的僧侣不停地行走， 一队永远向上走，另一 队永远向下走，拐一四 次弯后，都又回到了原 地，而且大家都在同一 座楼梯上。
克莱因瓶是数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”， 根本制造不出来。许多数学家想造它一个出来，作为 献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的是一 个失败接着一个失败。但实际上，克莱因瓶已经被人 制造出来了。英国贝德福德的一位玻璃吹制工Alan Bennett，数学家本会通过计算来尝试解决这个难 题，而Bennett则用玻璃解决了它。
欧拉定理 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而 且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理 内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、 面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事 实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面 体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
莫比乌斯带的性质
莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉 大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程 中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。 拓扑学又称橡皮几何学。莫比乌斯带有奇异的特性。 一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比 乌斯带上获得了解决。
如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套 虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手 套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手 上来。倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如 反掌了。
其他的例子
神奇的克莱因瓶
克莱因瓶（Klein bottle）是指 一种无定向性的平面，没有“内部” 和“外部”之分。克莱因瓶最初的 概念是由德国数学家菲利克斯· 克 莱因提出的。克莱因瓶的结构简单， 一个瓶子底部有一个洞，现在延长 瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子 内部，然后和底部的洞相连接。这 个物体没有“边”，它的表面不会 终结。它也不类似于气球 ，一只 苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外 部而不用穿过表面。
四色问题 又称四色猜想。1852年，毕业于伦敦大 学的弗南西斯.格思里发现：每幅地图都可以用四种 颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜 色。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦 数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数 学界关注的问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈 肯在美国伊利诺斯大学的两台 不同的电子计算机上，用了 1200个小时，做了100亿 判断，终于完成了四色定理 的证明。
克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的 曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空 间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自 己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四 维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。在我们 这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得 不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家， 在纸上画扭结的时候也不得不把它们 画成自身相交的模样。如果把克莱因 瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到 两个莫比乌斯环.
剪开的克莱因瓶
有趣的拓扑学
拓扑学（topology）是近代发展起 来的一个数学分支，用来研究各种 “空间”在连续性的变化下不变的性 质。哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧 拉定理、四色问题等都是拓扑学发展 史的重要问题。 如 七桥问题Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的一个公园里， 有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛 与河岸连接起来(如图)。问是否可能 从这四解决了此问题，他把 问题归结为“一笔画”问题，证明上 述走法是不可能的。
亲手实验
拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中 一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸 带的中央把它剪开。会出现什么结果？ 把上述纸圈，再一次沿中线剪开，又会出现什么结 果？ 新作一个莫比乌斯带，沿靠边缘1/3处剪开，会出 现什么结果？ 再拿一张白的长纸条， 一端旋转360度后让 两端粘在一起，用剪刀 沿纸带的中央把它剪开 会出现什么结果？
《观景楼》 有一种“恐怖”魅力。 地牢里囚禁着一个 “犯人”正在绝望地探 头向外，三楼上则站 立着一位贵妇悠然处 得地眺望远景。
威谦· 霍加恩的《歪曲的 透视 1754年利用透视原理所 作的作品 前景中的渔夫把钓竿伸入 小溪中静静垂钓，而与他 离得很远的站立者居然也 想插上一脚。更为荒谬的 是，倚身窗口的一个老太 婆竟然点着了远处山岗上 游客的烟斗，同他攀谈。