数学论文 井字游戏

论井字游戏取胜策略与博弈

初二（1）班张卓然

井字棋可能是最简单的棋类游戏了，它简单到了成年人之间玩几乎总是平局的地步。不过，对井字棋游戏中所有可能的情况进行分析，你会发现一个你或许不会料到的惊人结论——先手的最优策略不是稳坐正中央，而是先占一个角。

我们往往认为由于从正中央出发能够得到的连线最多，因此最优策略必然是先占住正中央这块宝地。然而，经验是一回事，实际上就是另一回事了。国外著名的漫画家Geek 最近画了一幅井字棋最优策略完全图，同样给出了这个违反直觉的结论：第一步走在角上才是最佳的策略。

这究竟是为什么呢？不妨让我们看一看，如果第一步真的走角，会发生哪些情况。

游戏开始后，先占上一个角（比如左下角吧），那么对方有五种本质不同的应对策略：

1.占据靠近你的那条边

2.占据靠近你的那个角

3.占据远离你的那条边

4.占据远离你的那个角（即对角）

5.占据正中央的位置

不可思议的是，在这五种策略中，前面四种都是陷阱——如果对方不慎选择了前面四种策略中的任意一种，他就必然输掉。

上图显示了在这四种情况下你可以如何把对方一步步逼上绝路。假设对方走正下方，占据了一个靠近你的边（最左边的那个图），你就可以占据正中央来应对，逼迫对方不得不走右上角。这时，只需要在左上角放下一子，你就赢定了——图中出现了两条只差一子的连线，对方不可能兼顾得了。

右边几个图显示了对方第一步棋的其它几种走法。选择合适的位置应对他，都可以在下一步迫使对方只剩一种走法，接下来你便可以下出决杀棋，让对方无法彻底封杀你。

也就是说，当你占据棋盘一角后，在对方下一步棋的八个可选位置中，其中七个位置都是必输的，陷阱摆满了几乎整个棋盘。在面对“先走一角”的诡异开局时，你的对手说不准就会慌了手脚，没能淡定地占住中间，然后就死翘。

对方要是真的走了正中间，你仍然有赢的机会。你可以占住右上角的位置（如上图）。如果对方不幸走了剩下的两个角中的一个（上图左），你还是有机会将对手放倒的。只有对方选择了边上的位置（上图右），才能躲过这一系列的陷阱，最终变成平局。

后手还是先占角！

作为后行者，你遇到的往往是“先走中间”的经典开局。此时，千万别忘了，先占角仍然是一个必胜策略。如果你不小心走了某条边的位置，那你就节哀吧。对方可以向上面的第一幅图那样，在正右方下子应对，逼迫你把下一步棋落在正左方。此时，对方便可占据右上方的位置，同时产生出两条仅差一子的连线。右边三幅图则显示，如果你在角上应对，最终

总会是一盘和棋。

反过来，先手第一步走中间，棋盘上剩下的八个位置中有四个位置都是会导致对方必败的陷阱，因此先手第一步走中间后，获胜的机会也并不小。

井字棋可以算是决策树最简单的游戏之一了。在历史上，对井字棋的类似分析很大程度上启发了人们对组合游戏的认识，在博弈论中起着举足轻重的作用。