高中数学人教版必修4知识点

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高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式描述：两角差的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ．两角和的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ．两角和的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ．两角差的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ．两角和的正切公式对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式对于任意角α，β 有tan(α − β) =

高中数学必修4知识点清单

高中数学必修 4 知识点第一章三角函数⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角⎪1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角⎪2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。

{ k ⋅ 360 }第一象限角的集合为 α < α < k ⋅ 360 + 90 , k ∈ Z{ k ⋅ 360 }第二象限角的集合为 α + 90 < k ⋅ 360 + 180 , k ∈ Z{ k ⋅ 360 }第三象限角的集合为 α + 180 < α < k ⋅ 360 + 270 , k ∈ Z{k ⋅ 360 }第四象限角的集合为 α + 270 < α < k ⋅ 360 + 360 , k ∈ Z终边在 x 轴上的角的集合为{α α = k ⋅ 180 , k ∈ Z }终边在 y 轴上的角的集合为{α α = k ⋅ 180 + 90 , k ∈ Z } 终边在坐标轴上的角的集合为{α α = k ⋅ 90 , k ∈ Z }3、与角α 终边相同的角，连同角α 在内，都可以表示为集合{ β | β = α + k ⋅360 , k ∈ Z }4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

半径为 r 的圆的圆心角α 所对弧的长为 l ，则角α 的弧度数的绝对值是 α = r l．（2）度数与弧度数的换算：360o = 2π ，180 = π rad ，1 rad = ( 180) ≈ 57.30 = 57 18'π 注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为 n o ，弧度为α ；n o = n o ⋅ π = n π180o ⎛180α ⎫oo①角度化为弧度：180180 ，②弧度化为角度：α = α ⋅= ⎪π⎝ π ⎭（3）若扇形的圆心角为α （α 是角的弧度数），半径为 r ，则：弧长公式： ①l = n π （用度表示的）,② l =| α |r （用弧度表示的）；180扇形面积：① s = n πr 2(用度表示的) ② S = 1 | α | r 2 = 1 lr （用弧度表示的）扇扇 360 2 25、三角函数:（1）定义①：设α 是一个任意大小的角，α 的终边上任意一点 P 的坐标是 (x , y )，它与原点的距离是 r (OP = r = x 2 + y 2 > 0)，P (x ,y ) 则 sin α = r y ， cos α = r x ， tan α = x y(x ≠ 0)定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x ,y )，那么 v 叫做α的正弦，记作 sin α,即 sin α = y ; u 叫做α的余弦，记作 cos α，即 cos α=x ; 当α的终边不在 y 轴上时，y 叫做α的正切，记作 tan α, 即 tan α= y P (x ,y ). x x（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。

数学必修四知识点(15篇)

数学必修四知识点(15篇)数学必修四知识点1平面向量戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律);两个向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=.(2)若=(),b=()则‖b.平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只有一对实数，，使得=e1+e2 高考数学必修四学习方法养成良好的课前和课后学习习惯：在当前高中数学学习中，培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。

虽然有一种刻板印象的猜疑，但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。

学生们不得不预习课本。

我准备的数学教科书不是简单的阅读，而是一个例子，至少十分钟的思考。

在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下，可以在教学内容中找到答案，然后在教材中考察问题的解决过程，掌握解决问题的思路。

同时，在课堂上安排笔记也是必要的。

在高中数学研究中，建议采用两种形式的笔记，一种是课堂速记，另一种是课后笔记。

这不仅提高了课堂记忆的吸收能力，而且有助于对笔记内容的查询。

高考数学必修四学习技巧养成良好的学习数学习惯多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的'脑海中。

良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

及时了解、掌握常用的数学思想和方法中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。

有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。

高中人教版数学必修4课件：1.3公式二、公式三和公式四

3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用用，培养学生的数学运
诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、算素养.
证明问题．(难点)
自主预习探新知
1．诱导公式二终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α ，
思考：(1)诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( ) A．公式二～四对任意角α都成立 B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β) C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D．以上说法均错误
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－31，α为第四象限角
→
求sinα－75°
→ 用sin180°＋α＝－sin α求值
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
(2)化简：
1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° .
[解]
(1)原式＝－sisninπ＋α－αs－in cαos－αcsoins
α α
＝－－sinsiαnα－s－incαos－αscions αα＝－1.
(2)原式＝
1＋2sin360°－70°cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70°

高中数学必修4知识点

P xyA O M T高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 α原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S ，则 l r α=，2C r l =+，． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则，10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数s i n y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数s i n y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()s i n 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期： ③频率： ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ．函数()s i n y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R值域 []1,1-[]1,1-R最值当 ()k ∈Z 时，max 1y =；当 ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 ()k ∈Z 上是增函数；在 ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在 ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴对称中心对称轴()x k k π=∈Z对称中心无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a bb a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．baCBA设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP时，点P 的坐标是．23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b同向时，a b a b ⋅=；当a 与b反向时，a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅ ．③a b a b ⋅≤ ．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则 1212a b x x y y ⋅=+ ．若(),a x y = ，则222a x y =+ ，或22a x y =+ ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则 12120a b x x y y ⊥⇔+= ．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y = ，θ是a 与b 的夹角，则．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ⑹ ()()t a nt a n t a n1t a n t a n αβαβαβ+=+-．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⑶．26、()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中．。

人教版高中数学必修4全册

(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
（1） 2
（2）
3
评析：在解选择题或填空题时，
如求角所在象限，也可以不讨论k的
几种情况，如图所示利用图形来判断.
四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B r
Or A
B
2r
Or A
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
2
2
则α角属于(C ) A.第－象限; B.第二象限;
2
C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角
知识网络结构
任意角的概念
角的度量方法（角度制与弧度制）

高中数学人教版必修4知识点汇总

1”作巧
妙的变形，
1． 3 诱导公式
1、诱导公式（五）
sin(
ห้องสมุดไป่ตู้) cos
2
cos(
) sin
2
2、诱导公式（六）
sin(
) cos
2
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
小结：
①三角函数的简化过程图：
cos(
) sin
2
任意负角的三角函数
公式一或三任意正角的三角函数
公式一或二或四 00~3600 间角的三角函数
..
..
1.1 ． 1 任意角
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边 B
终边
③角的分类：
O
A
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下， “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0 °； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边 ( 端点除外 ) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
tan cot
1(
k ,k
Z) ；
2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos
1 sin2
，
2
sin
2
1 cos
，
cos
sin 等。

人教版A版高中数学必修4：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。
2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
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六、作业
135页 4,5 138页 15，17
cos( ) coscos sin sin
cos2 cos2 sin2
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan
2

1
2
tan tan2
若我们可以得到怎样的结论？
讲授新课
令
sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2sin cos
Байду номын сангаас
cos( ) coscos sin sin
一、倍角公式
sin 2 2sin cos (S2) tan 2 2 tan
c c
os2 os2

c 1
os2 2
sin sin2
2

1 tan2
(C2 )
(T2 )
公式左端的角是右端角的二倍
cos2 2cos2 1 sin2 1 cos2
cos2 1 2sin2 1 2( 5 )2 119
13 169
tan 2 sin 2 (120)169 120 cos2 169 119 119

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修4知识点汇总第一章：三角函数1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S则αr l =，l r C +=2，22121r lr S α==9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=;()sin 2tan cos ααα=; 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、要由sin y x =的图像得到sin()y A x φ=+的图像主要有下列两种方法：sin sin()sin()sin()y x y x y x y A x φωφωφ=−−−→=+−−−→=+−−−→=+相位周期振幅变换变换变换sin sin sin()sin()y x y x y x y x ωωφωφ=−−−→=−−−→=+−−−→=+周期相位振幅变换变换变换注：第二种φωω+→x x 的情况需要平移ωφ个单位函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ； ④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．α) A α)（1）（2）15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴函数性质第二章：平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则),(AB 1212y y x x --=4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．baC BAa b C C -=A -AB =B设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 8、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．第三章：三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- （2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．3、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．。

人教版高中数学必修四 (空间中点、线、面的位置关系)

教案漂市一中钱少锋点A不在直线l上l A∉2.两条直线位置关系符号表示图形表示直线a与l 相交Ala=直线a与l 平行l a//直线a与l 异面异面与la异面直线的定义：空间中的两条直线既不平行也相交，则称这两条直线异面.两条直线异面，则它们不同在任何一个平面内. 用平面衬托的方法表示异面直线.3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A 在平面α内 α∈A点A 不是平面α内的点 α∉A4. 直线与平面（1）直线在平面α内（或平面α过直线l ）：直线l 上的所有点都在平面α内，记作α⊂l .（2）直线l 在平面α外：直线l 上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l .①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .②直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示平面βα与相交l =βα平面βα与平行βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α相交于点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.以可以取其中任一点来作点面距来求线面距离.两个平面平行时，其中一个平面的每一点到另一个平面距离都相等，所以可以转化为点面距来处理.例题例1 判断下列命题是否正确.(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l.( )(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行. ( )(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. ( )【答案】（1）错；（2）错；（3）对.例2 在正方体1111DCBAABCD-中，（1）与直线1AA异面的棱有条；（2）与直线BA1相交的棱有条；（3）直线BA1与直线CB1的位置关系是；（4）直线BA1与直线CD1的位置关系对线面平行关系的定义的认识，线与面没有公共点即线与平面中的所有线都没有公共点，且直线上的所有点都不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条；(2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条； (3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离；（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距离；（3）求平面11A ADD 与平面11B BCC 之间的距离. 【答案】(1)4；(2)2；(3)4.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.通过找线面垂直，完成距离的求解.【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念

第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？数量有：质量、身高、面积、体积向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？说明二：有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0；单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的．向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量．注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上．练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。

高中数学必修4知识点总结(精华实用版)

第一章三角函数{1、任意角正角: 负角: 零角:2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．如：-1350（）1350（）950（）-950( )-6300（）6300( )-7000（）7000（）第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在x 轴上的角的集合为终边在y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角α终边相同的角的集合为 4 、1弧度的角:半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α= ．5、弧度制与角度制的换算公式：π=( )0,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．1800= rad ，10= rad 如：150= rad, 512π= 06、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l = ，2C r l =+，S = = ．7、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin α= ，cos α= ，()tan 0x α=≠ ．8、三角函数在各象限的符号：9、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=（变式：，）；()sin 2tan cos ααα=．(变式: , )10、三角函数的诱导公式：(口诀：函数名称不变，符号看象限．)()()1sin 2k πα+= ，()cos 2k πα+= ，()tan 2k πα+= ． ()()2sin πα+= ，()cos πα+= ，()tan πα+= ． ()()3sin α-= ，()cos α-= ，()tan α-= ． ()()4sin πα-= ，()cos πα-= ，()tan πα-= ．()5sin 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ，cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．()6sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．1112、（课本52页第二段）关于ωϕA 、、对()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的影响函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅A ；②周期2πωT =；③频率12f ωπ==T；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m ax m in 12y y A =-，()m axm in12y y B =+，()21122x x x x T =-<第二章平面向量1、向量：数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．如：A B 记作零向量：长度为的向量．记作单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：的非零向量．零向量与任一向量．记作相等向量：． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．首尾连⑵平行四边形法则的特点：共起点．共起点之对角线⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+r r r r r r⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+r r r r ；②结合律： ()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则a b +=rr （）．3、向量减法运算：⑴减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

高中数学必修4第一章三角函数的知识点

当 x 2k 时，

2
1,1
k
；当当 x 2 k k 时，
y m ax 1 ；当 x 2 k
R

倍（纵坐标
不变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y sin x 的图象．函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
2
奇函数
偶函数
奇函数

2
, 2k

2

；③频率： f
1

2
；④相位： x ；⑤初相：．
函数 y s in x ，当 x x1 时，取得最小值为 y m in ；当 x x 2 时，取得最大值为
y m a x ，则
sin ， co s

co s ， tan
， tan

tan ．
3、与角终边相同的角的集合为 k 3 6 0 , k

sin ， co s
co s

tan ．
终边所落在的区域．
co s ， co s sin ， tan co t ． 2 2 2 co s ， co s sin ， tan co t ． 2 2 2
1 2
y m ax
y m in ，

高中数学必修4知识点(完美版)

高中数学必修4知识点(完美版)高中数学必修4第一章三角函数角是指由两条射线（或直线）共同端点所组成的图形。

按照旋转方向，角可以分为正角、负角和零角。

其中，正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角，零角是不作任何旋转形成的角。

如果一个角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。

各象限角的集合可以表示为：第一象限角的集合为：α ∈ {α | k360° < α < k360° + 90°，k∈Z}；第二象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 90° < α < k360° + 180°，k∈Z}；第三象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 180° < α < αk360° + 270°，k∈Z}；第四象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 270° < α < αk360° + 360°，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为：α ∈{α | α = k180°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k180° + 90°，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k90°，k∈Z}。

根据终边所在的象限，可以将角分为四个象限。

第一象限角的终边落在第一象限，第二象限角的终边落在第二象限，以此类推。

在第一象限，角的值在0°到90°之间；在第二象限，角的值在90°到180°之间；在第三象限，角的值在180°到270°之间；在第四象限，角的值在270°到360°之间。

高中数学必修4知识点总结归纳[1]

高中数学必修4知识点14、函数s in y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()s i n y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y xω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m axm in 12y y A =-，()m axm in12y y B =+，()21122x x x x T =-<．周期问题()()()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =≠>>++==≠>>++==>>+==>>+==>>+==>>+=xACosy xASin y x ACos y xASin y x ACos y xASin y()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+==>>+==>>+=T,,A,cotT,,A,tanT,,A,cotT,,A,tanxAyxAyxAyxAy15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，m ax1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，m in1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，m ax1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，m in1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．函数性质()k ∈Z 上是减函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴向量:16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．baCBAa b C C -=A -AB =B⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭．23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a =．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y = ，则222ax y =+，或a =设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y = ，()22,b x y = ，θ是a与b 的夹角，则cos x x y y a ba bθ+⋅==．恒等变换:24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．。

高中数学教材必修4知识点

高中数学必修4知识点汇总目录第一章三角函数 (3)§1.1.1任意角 (3)§1.1.2弧度制 (3)§1.2.1任意角的三角函数 (3)§1.2.2同角三角函数的基本关系式 (4)§1.3三角函数的诱导公式 (4)§1.4.1正弦、余弦函数的图象和性质 (5)§1.4.2正切函数的图象与性质 (5)§1.5函数()ϕω+=xAy sin的图象 (7)第三章三角恒等变换 (9)§3.1.1两角差的余弦公式 (9)§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (9)§3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 (9)§3.2简单的三角恒等变换 (10)第二章平面向量 (10)§2.1.1向量的物理背景与概念 (10)§2.1.2向量的几何表示 (10)§2.1.3相等向量与共线向量 (10)§2.2.1向量加法运算及其几何意义 (10)§2.2.2向量减法运算及其几何意义 (11)§2.2.3向量数乘运算及其几何意义 (11)§2.3.1平面向量基本定理 (11)§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (11)§2.3.3平面向量的坐标运算 (11)§2.3.4平面向量共线的坐标表示 (12)§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (12)§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (12)§2.5.1平面几何中的向量方法 (14)§2.5.2向量在物理中的应用举例 (14)1、直线的方向向量和平面的法向量 (14)2、用向量方法判定空间中的平行关系 (15)5、利用法向量求空间距离 (17)6、三垂线定理及其逆定理 (18)7、三余弦定理 (19)8、面积射影定理 (19)9、一个结论 (19)高中数学必修4知识点总结第一章三角函数 §1.1.1任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 r l =α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.2同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈）2、诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.2正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈ 对称轴方程：2x k ππ=+ 对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+（左加右减）平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.第三章三角恒等变换 §3.1.1两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，变形： 12sin cos sin 2ααα=.2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=.变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 第二章平面向量 §2.1.1向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2向量减法运算及其几何意义1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x j y i x a ,=+=.§2.3.3平面向量的坐标运算1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =⇔. 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x --=.§2.3.4平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θb a =⋅.2、 a 在b θ.3、 2=.4、 =.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==r r r r4点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1平面几何中的向量方法 §2.5.2向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n r所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r ，那么向量n r叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥r r ，即0a u ⋅=r r.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u r ，平面β的法向量为v r ，要证α∥β，只需证u r ∥v r，即证u v λ=r r .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥r r ，即0a b ⋅=r r . 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r ，则要证明l α⊥，只需证明a r ∥u r，即a u λ=r r .②（法二）设直线l 的方向向量是a r ，平面α内的两个相交向量分别为m n u r u u r 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩r u rr r则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面α的法向量为u r，平面β的法向量为v r ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥r r ，即证0u v ⋅=r r .即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BDAC BDθ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为u r ，直线与平面所成的角为θ，a r 与u r的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a ua uϕθ⋅==r r r⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n u r r 、，再设m n u r r 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n u r r、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：OAOBl◆如果θ是锐角，则cos cos m nm nθϕ⋅==u r r u r r ，即arccos m nm nθ⋅=u r r u r r ；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-u r r u r r ，即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭u r r u r r .5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a r为直线l 的方向向量，b r =PQ uuu r ，则点Q 到直线l 距离为h =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n r ，则P 到平面α的距离就等于MP u u u r在法向量n r 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =u u u r r u u u u rn MP MP n MP ⋅=⋅r u u u r u u u r r u u u rn MPn⋅=r u u u r r ⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MPd n⋅=r u u u r r⑷两平行平面,β之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=r u u u r r⑸异面直线间的距离设向量n r 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP u u u r在向量nr 方向上投影的绝对值.即.n MPd n⋅=r u u u r r6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭I概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭I概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

人教版数学高中必修4_知识点整理(K12教育文档)

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高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角,确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ，弧长为l ，周长为C ,面积为S ，则l r α=，2C r l =+,21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>,则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+=，()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式一:sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=,其中k Z ∈诱导公式二: sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-=诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五:sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=－α απ-απ+απ-2()Z k k ∈+απ2απ-2Sin －sin αsin α －sin α －sin αsin α cos α Coscos α －cos α －cos αcos αcos αsin α(1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2)sin （k π+α）=(－1)k sin α；cos(k π+α）=(－1)k cos α(k ∈Z ）；（3)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

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1．正切函数的定义域
2．正切函数是周期函数
，
∴ 是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
长线交与点 .
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，，
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）；（2）；（3）．
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
1.1.2弧度制（一）
1．定义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
1.1．1 任意角
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
③角的分类：
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角，， ,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4-1.2.1任意角的三角函数（1）
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0) (2,1)
1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
1．3诱导公式
1、诱导公式（五）
2、诱导公式（六）
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
小结：
①三角函数的简化过程图：
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
1.4.1正弦、余弦函数的图象
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2、说明：
1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
（2）余弦函数y=cosx的图象
根据诱导公式 ,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0)
2.单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中为常数，且，）的周期；
（2）若，如：① ； ② ； ③ ，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期
1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
1.奇偶性
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
(2)正弦函数的图形
3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为2（一般称为周期）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（没有最小正周期）
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
② 弧度与角度不能混用．
6．特殊角的弧度
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
7．弧长公式
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
4-1.2.1任意角的三角函数（三）
1. 三角函数的定义
2. 诱导公式
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
当；；
当；
；．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
（1）商数关系：（2）平方关系：
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
，，等。
总结：
1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
弧度制性质：
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
4．角度与弧度之间的转换：