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勾股定理十六种证明方法

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勾股定理16种经典证明方法

勾股定理16种经典证明方法

证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即整理得.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于•把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上， C G D三点在一条直线上••/ Rt △ HAE 也Rt △ EBF,••• / AHE = / BEF•/ / AEH + / AHE = 90o,•/ AEH + / BEF = 90 o.•/ HEF = 180o—90o= 90 o.•四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.•/ Rt △ GDH B Rt △ HAE,•/ HGD = / EHA•/ / HGD + / GHD = 90o,•/ EHA + / GHD = 90o.又••• / GHE = 90o,•/ DHA = 90o+ 90 o= 180 o.•ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.•/ Rt △ DAH 也Rt △ ABE,•/ HDA = / EAB•/ / HAD + / HAD = 90o,•/ EAB + / HAD = 90o,•ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.•/ EF = FG =GH =HE = b —a ,/ HEF = 90 o.•EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于.【证法4】（1876 年美国总统Garfield 证明）以a、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A E、B三点在一条直线上.•/ Rt △ EAD 也Rt △ CBE,••• / ADE = / BEC•/ / AED + / ADE = 90o,•/ AED + / BEC = 90 o.•/ DEC = 180o—90o= 90 o.•△ DEC是一个等腰直角三角形, 它的面积等于.又••/ DAE = 90o, / EBC = 90 o,AD // BCABCD是一个直角梯形，它的面积等于【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.•/ D、E、F 在一条直线上,且Rt △ GEF 也Rt △ EBD,•/ EGF = / BED•/ / EGF + / GEF = 90 ° ,•/ BED+ / GEF = 90 ° ,•/ BEG =180o—90o= 90 o.又••• AB = BE = EG = GA = c ,•ABEG是一个边长为c的正方形.•/ ABC + / CBE = 90 o.•/ Rt △ ABC 也Rt △ EBD,•/ ABC = / EBD•/ EBD + / CBE = 90 o.即 / CBD= 90o.又••• / BDE = 900,/ BCP = 90 o,BC = BD = a .•BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是—个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP// BC,交AC于点P 过点B作BM L PQ垂足为M；再过点F作FN^ PQ垂足为N.•/ / BCA = 90 o, QP// BC•/MPC = 90o，•/ BM丄PQ•/BMP = 90o•BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90o.•/ / QBM + / MBA = / QBA = 90o ,/ABC + /MBA = /MBC = 90o•/ QBM = / ABC又••• / BMP = 90o , / BCA = 90 o , BQ = BA = c ,•Rt △ BMQ B Rt △ BCA同理可证Rt △ QNF也Rt △ AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C、B三点在一条直线上，连结BF、CD 过C作CL丄DE 交AB于点M 交DE于点L.•/ AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD••• △ FAB 也△ GAD••• △ FAB的面积等于，△ GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM的面积=. 同理可证，矩形MLEB的面积=.•••正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB的面积• ，即.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt△ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB,垂足是D. 在厶ADC^D^ ACB 中，•/ / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC△ ADC s △ ACB AD： AC = AC : AB,即.同理可证，△ CDB s △ ACB从而有.• ，即.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC AF交GT于F, AF交DT于R 过B作BP丄AF,垂足为P 过D作DE 与CB的延长线垂直，垂足为E , DE交AF于H•/ / BAD = 90o, / PAC = 90o,•/ DAH = / BAC又••• / DHA = 90o,/ BCA = 90 o,AD = AB = c ，•Rt △ DHA 也Rt △ BCA•DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt △ APB 也Rt △ BCA 即PB = CA = b , AP= a，从而PH = b —a.•/ Rt △ DGT 也Rt △ BCA ,Rt △ DHA 也Rt △ BCA•Rt △ DGT 也Rt △ DHA .•DH = DG = a，/ GDT = / HDA .又••• / DGT = 90o , / DHF = 90 o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o ,•DGFH是一个边长为a的正方形.•GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT —GF = b —a .•TFPB是一个直角梯形，上底TF=b—a,下底BP= b,高FP=a + （b—a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①T =,•= . ②把②代入① 得【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.•/ / TBE = / ABH = 90o,••• / TBH = / ABE又••• / BTH = / BEA = 90 o,BT = BE = b ，•Rt △ HBT 也Rt △ ABE•HT = AE = a .•GH = GT —HT = b —a.又••• / GHF + / BHT = 90 o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90 o,•/ GHF = / DBC•/ DB = EB —ED = b —a,/ HGF = / BDC = 90o,•Rt △ HGF 也Rt △ BDC 即.过Q作QM L AG 垂足是M 由/BAQ = / BEA = 90 o,可知 / ABE=/ QAM 而AB = AQ = c，所以Rt △ ABE 也Rt △ QAM.又Rt △ HBT 也Rt △ ABE 所以Rt △ HBT 也Rt △ QAM.即.由Rt △ ABE 也Rt △ QAM 又得QM = AE = a，/ AQM = / BAE•/ / AQM + / FQM = 90o , / BAE + / CAR = 90o , / AQM = / BAE•/ FQM = / CAR又•••/ QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a ,•Rt △ QMF B Rt △ ARC 即.•,,,又•••，，,【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b ,斜边AB = c .如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E,贝U BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o,点C在O B上,所以AC是O B的切线.由切割线定理，得即，【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b ,斜边AB = c （如图）.过点A作AD// CB过点B作BD// CA贝U ACBD 为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有•AB = DC = c AD = BC = a AC = BD = b ，•，即，【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b，斜边AB = c.作Rt △ ABC的内切圆O O,切点分别为D E、F （如图），设O O的半径为r.•/ AE = AF , BF = BD , CD = CE,= = r + r = 2r, 即,即,又•••==【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt△ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB,垂足是D. 假设,即假设 ,则由可知，或者•即AD: AO AC: AB 或者BD: BC^ BC: AB在A ADC^D A ACB中,•/ / A = / A•••若AD: AC M AC: AB,贝U/ ADO / ACB在A CDB和A ACB中,•/ / B = / B,•若BD BC M BC: AB,贝U/ CDB^Z ACB又••• / ACB = 90o,• / ADO 90o,/ CD M 90o.这与作法CDL AB矛盾.所以，的假设不能成立.证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为= .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ,连结DA、DC, 则AD = c .•/ EM = EH + HM = b + a , ED = a ,••• DM = EM —ED = —a = b .又••• / CMD = 90o, CM = a,/ AED = 90o, AE = b ,•Rt △ AED 也Rt △ DMC•/ EAD = / MDC DC = AD = c .•/ / ADE + / ADC+ / MDC =18Gb,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90 o, / ADC = 90 o.•作AB// DC CB// DA 贝U ABCD是一个边长为c 的正方形.•/ / BAF + / FAD = / DAE + / FAD = 90 o,•/ BAF=/ DAE连结FB"A ABF和A ADE中,••• AB =AD = c , AE = AF = b，/ BAF=/ DAE• A ABF 也A ADE•/ AFB = / AED = 90o，BF = DE = a .•点B、F、G H在一条直线上.在Rt A ABF和Rt A BCG中,AB = BC = c , BF = CG = a , •Rt A ABF 也Rt A BCG•, , ,。

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

2证法 1】（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即证法 2】（邹元治证明）∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o.∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c 2.∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于∠HEF = 90 o.EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直线上， 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上b 2 4 12 abc 24 1 ab2整理得c 21 4 ab 2c 2a 2b 2c 2【证法 3】（赵爽证明）以 a 、 b 为直角边（ b>a ）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba1 2 24 ab b a c 2.2 2 2a b c .证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上 . 把这两个直角三∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形，12 c 它的面积等于 2 .又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD ∥ BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 12 1 12a b 2 2 ab c 2 2 2 2 2 2a b c .【证法 5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 使 D 、E 、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D 、 E 、F 在一条直线上 , 且Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o ― 90o= 90 o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .a 、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，设多边形 GHCBE 的面积为 S ，则 2 21 ab 2 S2 ab,2 2S21 cab 2, ∴a2b 2c 2.【证法 6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （ b>a ） 形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E 、A 、 C 三点在一条直线上 .，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方过点 Q 作 QP ∥ BC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM ⊥ PQ ，垂足为 M ；再过点 F 作 FN ⊥ PQ ，垂足为 N. ∵ ∠BCA = 90 o ，QP ∥ BC ， ∴ ∠MPC = 90o ， ∵ BM ⊥ PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠ MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ， 又∵ ∠BMP = 90o ，∠ BCA = 90 o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt Δ BMQ ≌ Rt ΔBCA. 同理可证 Rt Δ QNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、 BF 、CD. 过 C 作 CL ⊥ DE ， 交 AB 于点 M ，交 DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12a ∵ Δ FAB 的面积等于 2 ， Δ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， B 三点在一条直线上，连结GK F bB 2∴ 矩形 ADLM 的面积 = a . = b 2同理可证，矩形 MLEB 的面积 ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 +2 2 2 ∴ c a b ，即 【证法 8】（利用相似三角形性质证明） 矩形 MLEB 的面积 2 2 2 a b c . b MAL如图，在 Rt Δ ABC 中，设直角边 AC 、 在Δ ADC 和Δ ACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AC 2AD ?AB Δ CDB ∽ Δ ACB ，从而有 BC 2 AD（杨作玫证明） BC 的长度分别为 a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D.同理可证， ∴ AC 2 【证法 9】 做两个全等的直角三角形， 把它们拼成如图所示的多边形 与 CB 的延长线垂直，垂足为∵ ∠BAD = 90 o ，∠ PAC = 90o ，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o ，∠ BCA = 90o ， AD = AB = c ， ∴ Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . DB ?AB BC 2 BD ?AB . AB 2 ，即 a 2 b 2c 2设它们的两条直角边长分别为 a 、 b （ b>a ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . . 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于 R. 过 B 作BP ⊥AF ，垂足为 P. 过 D 作DEE ，DE 交 AF 于 H. b 9 2 A由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即 PB = CA = b ，AP= a ，从而 PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠ GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠ DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形 .∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b ―a ，下底 BP= b ，高 FP=a +（b ―a ） 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为c 2S 1S 2S 3 S 4 S 5①S 8S 3S 41b b a ? a b ab 2 1ab 2= 2S 5 S 8S 9，∴S 3S 421S8=b 2 S 1 S 8 .b 2ab 2②把②代入①，得c 2S 1S 2 2 b S 1S 8 S 8 S 9 =b 2S 2 S 9 = b 2 a 2.222a b c .【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、 b （b>a ），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 成如图所示形状，使 A 、E 、 G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） .∠TBE = ∠ABH = 90o ，∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90 o ， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o ， ∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 S7 S2 .过Q 作 QM ⊥AG ，垂足是 M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90 o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以 Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM. 又 Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以 Rt Δ HBT ≌ RtΔQAM. 即 S8 S5.由 Rt Δ ABE ≌ Rt ΔQAM ，又得 QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠ BAE + ∠CAR = 90 o ，∠ AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ， QM = AR = a ，∴ Rt Δ QMF ≌ Rt ΔARC. 即 S4 S6 .S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1S 6 b 2S 3 S 7 S 8a 、b 、c 的正方形，把它们拼 b8 D61 3ME 45c7 F2C【证法 11】（利用切割线定理证明）在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线 分别于 D 、E ，则 BD = BE = BC = a . 因为∠ BCA = 90o ，点 C 在⊙B 上，所以 AC 是⊙B 的切线 . 由切割线定理，得AC 2 AE? AD= AB BE AB BD = c a c a22= c a ， 即 b 2 c 2 a 2 ，2 2 2∴ a b c .【证法 12】（利用多列米定理证明） 在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB?DC AD?BC AC?BD ，∵ AB = DC = c ， AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴AB 2 BC 2 AC 2 ，即 c 2 a 2 b 2 ， ∴ a 2 b 2 c 2 .设⊙ O 的半径为 r.又∵ S 72aS 2 b 2S 8S 5 ，S 4S6，S 1S 6 S 3 S 7 S 8=S 1S 4 S 3 S 2 S 52=cb 2c 212r c c r 2= 2= r24 r rc4S ABCrcB 作 BD ∥ CA ，则 ACBD【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明） 在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = AbC c. 作 Rt ΔABC 的内切圆⊙ O ，切点分别为 D 、 E 、F （如图），AC BC AB AE CE BD CD=C ECD = r + r = 2r,即 ab c 2r ，ab 2rc .ab22r 2 c，即2a b22ab4r2rc2 c，S ABC12ab，2ab4S ABC ，又∵ S ABC S AOB S BOC1 111 S AOC =cr ar br a b c r2 2 2 =2AC = b ，斜边 AB = c （如图） . 过点 A 作 AD ∥CB ，过点 ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，【证法 16】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 拼成如图所示形状，使 E 、 H 、M 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） 在 EH = b 上截取 ED = a ，连结 DA 、 DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = b a ―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o ， CM = a ， ∠AED =90o ， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ，∴4 r 2 rc 2ab ，∴，∴a 2b 2 2ab 2abc 2 ， 【证法 14】（利用反证法证明） 如图，在 Rt ΔABC 中，设直角边 AC 、 2 2 2 2假设 a b c ，即假设 ACAB 2 AB?AB = AB AD 可知AC AB ? AD ，或者 BC 在Δ ADC 和Δ ACB 中，∵ ∠A = ∠ A ，∴ 若 AD ： AC ≠ AC ：AB ，则 ∠ ADC ≠∠ ACB. 在Δ CDB 和Δ ACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若 BD ：BC ≠ BC ：AB ，则 ∠ CDB ≠∠ ACB. 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ ADC ≠ 90o ，∠ CDB ≠ 90o.2这与作法 CD ⊥ AB 矛盾. 所以， AC2 b 2a 2b 2c 2a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D. BC 2 AB 2，则由 BD = AB ?AD BC 的长度分别为 AB ?BD . 即 AD ： BC 2证法 AB ?BDAC ≠AC ：AB ，或者 BD ： BC ≠BC ：AB.2 AB 2的假设不能成立 .2c.设直角三角形两直角边的长分别为 方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为b ，斜边的长为 abc. 2 作边长是 a 2 b 2 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上2ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的 b 2几个部分，则正方形 ABCD 的面积为a 2b 2 2ab 2abc 2b 2 1ab 22c . c 2=2ab c 2a 、b b>a ），斜边的长为 c. 做两个边长分别为 a 、 b 的正方形（ b>a ），把它们辛卜松证明）15】 a 、 C∴ ∠ ADC = 90o.∴ 作 AB ∥DC ，CB ∥DA ，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 . ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90 o ， ∴ ∠BAF=∠ DAE.连结 FB ，在Δ ABF 和Δ ADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠ BAF=∠ DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90 o ， BF = DE = a . ∴ 点 B 、F 、G 、 H 在一条直线上 . 在 Rt Δ ABF 和 Rt ΔBCG 中，AB = BC = c ， BF = CG = a ， Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.2cS 2 S 3 S 4S5，bS 1 S 2 S 6 ，a S 3 S 7S 1S 5S 4S 6 S 72ab 2S 3S 7S 1S 2S 6=S 2 S 3 S 1 S 6 S 7=S 2S 3 S 4S 5=c 22ab 2c 2勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我 们实际生活中应用也很广泛。

勾股定理的十六种证明方式

勾股定理的十六种证明方式

勾股定理的十六种证明方式【证法1】此主题相关图片如下：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为a、b，斜边长为c，再做三个边长别离为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上能够看到，这两个正方形的边长都是a + b，因此面积相等. 即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)整理取得：a^2+b^2=c^2。

【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，那么每一个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如下图形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c^2.∵RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。

此主题相关图片如下：【证法3】以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，那么每一个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如下图形状.∵RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.∵EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。

勾股定理的16种证明方法

勾股定理的16种证明方法

【证法I）（课本的证明）做8个全等的宜角三角形•设它们的两条直角边长分別为」b •斜边长为c・再做三个边长分别为黑b. c的正方形.把它们像上图那样拼成衲个正方形.从图上可以石到•这两个正方形的边长都是a + b.所以面积相等・即（=+4x 丄ab »2 •整理得卅+尸二代【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角•把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E. B三点形0勺面积等于严在一条直线上，B、F、C三点在一条亘线上，C、G、D三点在一条直线上.VRt A HAE 竺Rf A EBF, :.ZAHE= ZBEF.I ZAEH+ ZAHE = 90°, ••• ZAEH+ ZBEF = 90°. ••ZHEF= 180°-90°= 90° ••・四边形EFGH是一个边长为c的正方形・它的血积等于•R“GDH 竺Rt A HAE,•ZHGD= ZEHA.•ZHGD+ ZGHD = 90°,•ZEHA+ ZGHD = 90°.•ZGHE = 90°f•ZDHA=90°+90°= 180°.• ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于G +疔.（a + 方）+ c 22【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）,以c 为斜边作 四个全等的直角三角形，则每个直角成如图所示形状.I Rt A DAH 今 Rt A ABE,:.ZHDA= ZE AB.…ZHAD+ ZHAD = 90°,••• ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的血积等于心••• EF = FG =GH =HE = b-a,ZHEF 二 90°.・・・EFGH 是一个边长为b ・a 的正方形，它的面积等于直一切[4xga/> + （〃一 G] ；2一 V【证法4] （1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角•把 这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A> E 、CB 三点•“ ZADE= ZBEC.••• ZAED+ ZADE = 90°, ••• ZAED+ ZBEC = 90°.•“ ZDEC= 180°-90°= 90°.-A DEC 是个等腰・酬三角形，乂 I ZDAE = 90°, ZEBC = 90°, : • AD 〃 它的面积等于2BC.三角形的面积等于2 •把这四个直角三勿形拼AbEaB【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的N 角三角形•设它们的两条自旳边长分别为a 、b •斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个名边形•使IX E. F 在一条直线上•过C 作AC 的延长线 交DF 于点P.• • • D. E. F 在一条玄线上，fl. Rf A GEF Q ROEPD :.ZEGF= ZBED.V ZEGF+ ZGEF-9O 0,:.ZBED+ ZGEF = 9()a •••• ZBEG=180o -90°=90°< 又 I AB 二 BE = EG = GA = c •••• ABEG 是一个边长为c 的iE 方形.••• ZABC+ ZCBE = 90n .V Rt A ABC £ Rt A EBD,:.ZABC= ZEBD.••• ZEBD+ ZCBE = 90°<即 ZCBD= 90n .XV ZBDE = 90° • ZBCP = 9 (r •BC ■ BD ■ a.:BDPC 是一个边长为a 的正方形• 同理・HPFG 是一个边长为b 的止方形. 设多边形GHCBE 的面积为S.则a 2+b 2 =5 + 2x 丄”九2【证法6】（顶明达证明）做两个全等的耳用三角形•设它们的两条玄角边长分别为a 、b （b>a>・斜边长为 G 再做■个边长为c 的正方形•把它们拼成如图所示的多边形•使E.A. C 三点在一条直线上.过点Q 作QP 〃BC •交 AC于点P.过点?作15\1丄PQ.垂定头JM ：再过点…ABCD 是■个直角梯形, 丄 它的面积等于㊁FA C BF作FN丄PQ・垂足为N.V ZBCA = 90° . QP 〃BC • ZMPC = 90° ・V BM 丄PQ -:.ZBMP = 9fT ・BCPM 是一个矩形.HI1ZMBC = 90°.V ZQBM+ ZMBA・ ZQBA * 90°・ ZABC+ZMBA= ZMBC = 9(T •••• ZQBM・ ZABC.乂IZBMP = 9(r・ ZBCA = 9(r ・ BQ = BA=c ・【证法7】(欧几里得证明)做三个边长分别为氛b、c的正方形・把它们拼成如图所示形状•使Fk C、B三点在一条宜线上•连结BF ・ CD.过 C 作CL 丄DE.交AB于点交DE于点H /V AF= AC. AB = AD. yZFAB二ZGAD< cZ 来、/A FAB 今AGAD.丄a,V AFAB的面积等丁込“AGAD的面积等弓矩形ADLM的面积的一半.・・•矩形ADLM的面八同理可证•矩形MLEB的面积L・・・正方形ADEB的血积二矩形ADLM的啲枳+矩形MLEB的面积c2 = ♦ b1 . l!|l a2 + = c'.【证法《〕(利用相似三介形性质证如图•在RtAABC中，设直角边AC. BC的长度分别为a. b •斜边AB的长为c・过点C作CD丄AB・垂足是D.在AADC和’ACB中・I ZADC= Z ACB = 90° . ZCAD・ ZBAC.:.A ADC s A ACB.AD : AC = AC : AB.即AC2 =同理町证'ACDB s & ACB.从而竹BC—BD.AB.:.AC1 + HC l = (JD+ DB)A AB・A” 即a,【证法9】(杨作玫证明〉做两个全零的直角三和形•设它们的两条直角边K分别为a、bvb>a) ■斜边长为c •再做■个边长为c的肪0形.把它们拼成如图所示的多边形•过A作AF丄AC. AF交GT于F・AF空2)T于R.过B作BP丄AF.乖足为P.过D作DE与CB的证长线垂直•垂足为E. DE交AF于H.V ZBAD-9 (r\ ZPAC ・ 90匕••• ZDAH= ZB AC.又：・ZDHA = 90°. ZBCA = 90° .AD = AB = c •Rt \ DHA £Rt A BCA<•: DH = BC = a. AH = AC = b.Lh作法可矩.PBCA是一个矩形. 所以RtAAPB 耳Rt A BCA. UP PB = CA = b< AP= a •从而PH = b一a.V Rt A DGT 9 R1 A BCA ■ Rt \ DHA 今RtA BCA. RMDGT 竺Rt DHA.••• DH = DG = a. ZGDT= ZHDA.又I ZDGT-9O0. ZDHF ・ 90卜•ZGDH= ZGDT+ ZTDH = ZHDA+ ZTDH = 90°.••• DGFH定一个边长为a的正方形.••• GF=FH = a.TF 丄AF. TF = GT-GF = b-a.TFPB是一个直角梯形•上底TF-b-a・卞底BPf高FP-a+ (b-a).用数字表示面积的编号(如图片则以c为边长的正方形的面积为=Sn + S人=5, +S、+/>2U +5：+Sqa2 =c2S ' + Sy + 54 =-[/> + (/>・a)] • [a + (b _ a)] Ir•丄a”2 =2 a把②代入①.W【证法10）（李稅证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）.斜边的长为c •做三个边长分别为a、b、c的正方形•把它们拼成如图所示形状•使A. E. G三点在•条亢线上•用数字农示面积的编号（如图）・IZTBE 工ZABHf.••• ZTBH= ZABE.又・・・ZBTH・ ZBEA・ 90°.BT=BE = b.:.R( AHBT 竺R( A ABE.••• HT = AE =〜••• GH = GT-HT=b-x XV ZGHE+ ZBHT = 90°.ZDBC + ZBHT= ZTBH+ ZBHT = 90%••• ZGHF= ZDBC ・VDB = EB-ED = b-a.ZHGE= ZBDC = 90°.••• RtAHGF 丝RtABDC.即w2.过QftQM 丄AG •垂足是M. rf]ZBAQ= ZBEA = 90°.町知ZABE ZQAM. rtl AB-AQ-c.所以RfAABE 幻RcAQAM. X Rt \ HBT £Rt A ABE.所以Rt A HBT 0 Rt A QAM ・即ft] Rt A ABE 旦Rt AQAM.又QM = AE = a. ZAQM = ZBAE.•: ZAQM+ ZFQM ・ W . ZBAE + ZCAR ・ VX)U. ZAQM ・ ZBAE. :.ZFQM=ZCAR.又I ZQMF- Z ARC ・90° • QM • AR • a •:.Rt AQMF9Rt A ARC.g卩•: c*=£ + S, + +S.+ S,.X = S ' 七 S&.b° = S、七 S=± S* =&令+s? + s》+即cr =c2.【证法11】（利用切割线定理证明）在R1AABC中•设垃角边BC = a. AC = b •斛边AB = c.如图•以B为圆心3为半径作例•交AB及AB的延长线分別于D E • WJ BD = BE = BC = a.因为ZBCA = 9（T.点C在0B上•所以AC是OB的切线・由切割线定理•得AC2 =AE^ADA cT =t\【证法12］（利用多列米定理证明）在Rt A ABC中•设口角边BC = a. AC = b •料边AB = c •过点A作AD // CB •过点B作BD 〃CA・则ACBD为炉形.炉形ACBD内接丁一个阕. 根据£列米定理・岡内接阿边形对如线的乘积等丁两对边乘枳之和.冇NB • DC=AD • BC*C • BL>.I AB-DC-c. AD-BC-a.AC = BD = b.AB2 ^BC2 + AC29即c2 =a2+Z>\【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt A ABC中•设宜如边BC • a • AC-b V斜边AB・c・\\ Rt A ADC“勺内切風OCX切点分别为D. E.F （如图）•设OO的半径为「・V AE = AF. BF = BD. CD = CE.:.AC+ BC・ J5 = (JE + CE) + (BD + CD) - (JF + BF)CE + CD = r + r = 2r,HP <J + /) -c = 2r.:,a 4- b-2r + c.• .(€/A Z?y = (2r + c)\ 即 a 2 +62 + lab = 4 (r 2 + rc)+ c 2...s.w r*ny (2r+ c + c)r.・・.・.4(r ? 4-rc)= lab.•: a 2 +/> + 2ab = lab + c 2,【证法14］（利用反证法证明）如图•在R （ A ABC 中.设口角边AC. BC 的K 度分别为a. b •斜边AB 的 长为 c •过点C 作CD 丄AB •垂足是D.假设/+» 斗 '・即假设AC 2 + B^AB 2・则由可如 AC 2 AB^AD 9 或者 BC • BD. Ull AD ： AC A AC ： AB.或者 BD ： BC A BC ： AB.在A ADC 和A ACB 中.I ZA= ZA.・••若 AD ： ACHAC ： AB.则ZADCAZACB.在 ACDB 和 AACB 中.V ZB= ZB. ・・・若BD ： BCHBC ： AB.则 ZCDBHZACB.乂 IZACB-W. 3 (” + b + “AB 2 = AB •AB 二”(初 + BD)AB^AD + AB^ BD A d A• • ZADC A 90 ・形ABCD 把疋方形ABCD 划分成上方左图所示的儿个部分・则匸方形ABCD 的面 枳为© + 6）、二/「+2“；把jE 方形ABCD 划分成上方右图所示的儿个部分•则正方形ABCD 的向积为:+ />" + lab = 2ab + c 2.:.a 2 +b 2 =c\ (« + 疔=4x —ab + c 2 , 2 =2血+ "・【证法16］（陈杰证明）设H 角三角形两胃角边的长分别为a 、b vb>a ）.斜边的长为c.做两个边长分别为冬b 的正方形（b>a ）.把它们拼成如图所示形状•使E. H. M 三点在一条直线上•用数字表示面积的编号(如图〉・ 在EH = b 」.祓取ED = a •连结DA. DC.则 AD = c-I EM = EH + HM = b + a • ED = a ・••• DM -EM-ED = (b + °)-a = b •又 I ZCMD * 90”. CM • a • ZAED = 90°.AE=b. :.Rt A AED 丝 Rt ADMC./. ZEAD= ZMDC • DC = AD = c.VZADE+”DC 十 ZMDC =180°.这与作法CD 丄AB 矛曲・所以・+ 的假设不能成立.【证法15】（辛卜松证明）BZADE+ ZMDC= ZADE+ ZEAD = 90°・••• ZADC = 9 (r.・・・作AB//DC*.CB〃DA •则ABCD是一个边K为c的正方形.V ZBAF+ ZFAD= ZDAE + ZEAD = 90°.••• ZBA F=ZDAE •连纟吉FB・在AABF禾口 A ADE中.V AB =AD = c. AE = AF = b. ZBAF=ZDAE.••• A ABF 也A ADE.:.ZAFB 二ZAED = 90°. BF = DE = a.•…点B、F. G. H在一条直线上.在R( A ABF和Rt A BCG中・T AB * BC * c • BF - CG ・ a.:.Rt A ABF 耳Rt A BCG.•: c2 = S? + + S. + Sq. b2 = S、+S2 + 56. a2 = S=、$ 話=S4 =56+S.•+ />* = S§ + S= + + 5, + 56■s?+S3+s]+ 仅+S?)。

勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+. 【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+. 【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a cb -=， ∴ 222c b a =+. 【证法12】在Rt ΔABC 中，设直角边BC . 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法13】在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42， 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+. 【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+. 【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。

勾股定理的验证验证方法16种.1.3.3 验证方法16种

勾股定理的验证验证方法16种.1.3.3 验证方法16种

证明方法一：课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等. 即 abc ab b a 214214222⨯+=⨯++整理得222cb a =+证明方法二：邹元治证明以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.b ab ab abac b acbacb ac bacbac b a∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +∴()22214c ab b a +⨯=+.∴222c ba =+.证明方法三：赵爽证明以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三D GC FAHEBabcab ca b c a bc角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214c a b ab =-+⨯ ∴ 222c b a =+.证明方法四:1876年美国总统Garfield 证明以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个b acGD ACBFE Ha bab c c AB CD E全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+.∴ 222cb a=+.证明方法五:梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的PH G F E D CB A abc abca b c a bc 一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ab S c 2122⨯+=, ∴ 222c ba =+.证明方法六:项明达证明做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边cccb acbaA B CEFP QM N长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.证明方法七:欧几里得证明做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b ac += ，即 222c b a =+.cba cb a ABCD EFGH MLK证明方法八:利用相似三角形性质证明如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即AB AD AC ∙=2 . 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有AB BD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222c b a =+.ABDC a cb证明方法九:杨作玫证明做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.987654321PQR TH G F E D C BA a b c ab c cc证明方法十:李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.M H Q R T G F ED C B A cb a 87654321证明方法十一:利用切割线定理证明在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC ∙=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.证明方法十二:利用多列米定理证明在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBDa b aaBAC EDc内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ， ∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.证明方法十三:作直角三角形的内切圆证明在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ， ∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.ba ca b c ACB D∴ ()()222c r b a +=+，即()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆， ∴ ABCS ab ∆=42，又∵AOO C A O B A B C S S S S ∆∆∆∆++= =br ar cr 212121++ =()r c b a ++21=()r c c r ++221= rcr+2，∴ ()ABCS rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r 242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.证明方法十四:利用反证法证明如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，c ba r r r O FEDCBA∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.证明方法十五:辛卜松证明设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +. ∴ 22222c ab ab b a+=++,ABDC a cb∴ 222c b a=+.证明方法十六:陈杰证明设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a .ab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2aA AD DBBCC b ababa bab a ccccb aab abb a b a∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++ =2c ∴ 222c b a =+.A BC D EF G HMab c a b cac a bc 1234567。

勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214cab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.EB A ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214ca b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221cab b a +⨯=+.∴ 222c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D . 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AB AD AC ∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BCAC=∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形.B把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 = abb 212-，985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c++--++==922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即27S S =.TE BQ过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =. ∵543212S S S S S c++++=，612S S a+=，8732S S S b++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴8736122S S S S S ba ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC∙=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -， 即22a cb -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BCAD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ， ∴ 222AC BCAB+=，即 222b ac +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ， ∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵abS ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵AOCBOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++= ()rc b a ++21= ()rc c r ++221= rc r +2，∴ ()ABCS rc r∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D . 假设222c b a ≠+，即假设 222AB BCAC≠+，则由AB AB AB∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BCAC≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214cab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c+++=， 6212S S S b++=，732S S a+=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S ba ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.A。

勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的十六种证明方法
1.几何法：构造一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边长。

2. 代数法：将直角三角形三边的长度带入勾股定理的公式中，证明等式成立。

3. 数学归纳法：证明当斜边长为n时，勾股定理成立，再证明当斜边长为n+1时，勾股定理仍然成立。

4. 三角函数法：利用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，证明勾股定理。

5. 相似三角形法：利用相似三角形的性质，证明勾股定理。

6. 矩形法：将一个直角三角形内切于一矩形中，从而证明勾股定理。

7. 差积公式法：利用差积公式(a+b)(a-b)=a-b，证明勾股定理。

8. 面积法：利用直角三角形的两条直角边构成一个矩形，证明勾股定理。

9. 旋转法：将一个直角三角形绕其斜边旋转，证明勾股定理。

10. 图像法：将勾股定理表示为x+y=z的图像，证明勾股定理。

11. 平行四边形法：将直角三角形内切于一个平行四边形中，从而证明勾股定理。

12. 三角形面积法：利用直角三角形的面积公式1/2ab，证明勾股定理。

13. 坐标法：将直角三角形的三个顶点的坐标表示出来，利用距离公式证明勾股定理。

14. 行列式法：利用行列式公式证明勾股定理。

15. 夹角法：通过两向量的夹角关系推导出勾股定理。

16. 对数法：利用对数函数的性质，证明勾股定理。

证明勾股定理的16种方法

证明勾股定理的16种方法

勾股定理证明十六种方法方法一：赵爽弦图证法
方法二：毕达哥拉斯证法
方法三：书本证明方法
法四：利用三角形相似推导
方法五：切割线定理证明
方法六：托勒密定理证明
方法七：利用切线长定理
方法八：总统证法
方法九：八法变式
方法十和方法十一：
总结：上述方法是非常常见的方法，当然同学们可以总结出，用到最多的还是面积法，对于面积法无论证明方法如何变化，图形如何变化，方法都有一种熟悉感。

同时，还有很多其它与圆相关的定理应用，要理解它们，同学们要掌握更多的相关知识。

以下方法，只展示图片，同学们可以自行感悟。

方法十二：
方法十三：面积法
方法十四：拼接法１
方法十五：拼接法２
方法十六：射影定理。

勾股定理地十六种证明方法

勾股定理地十六种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a.因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -， 即222a cb -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵abS ABC 21=∆， ∴ ABC S ab ∆=42， 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）D D设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .实用标准文案文档∴∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB = BC = c，BF = CG = a，∴RtΔABF ≌RtΔBCG.∵54322SSSSc+++=，6212SSSb++=，732SSa+=，76451SSSSS+===，∴6217322SSSSSba++++=+=()76132SSSSS++++=5432SSSS+++=2c∴222cba=+.。

勾股定理20种证明方法

勾股定理20种证明方法

勾股定理20种证明方法勾股定理是中国古代数学中的一个重要定理，也被称为勾股三角形定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。

勾股定理的发现和证明有很多方法，下面我们来看看20种不同的证明方法。

1. 几何方法：这是最常见的证明方法，可以通过绘制直角三角形，然后运用几何知识来证明。

2. 代数方法：可以通过代数运算来证明，将直角三角形的三边长度表示为变量，然后通过代数运算得出结论。

3. 物理方法：可以利用物理学知识，比如平面几何法，来证明勾股定理。

4. 数学归纳法：可以运用数学归纳法来证明勾股定理，将直角三角形的边长依次递增，然后证明其中一个等式成立，推导出其他情况。

5. 解析几何法：可以通过解析几何的方法，利用坐标系和直线方程来证明勾股定理。

6. 函数法：可以通过函数图像和函数性质来证明勾股定理。

7. 同余定理方法：可以通过同余定理来证明勾股定理。

8. 三角函数方法：可以运用三角函数的性质和公式来证明勾股定理。

9. 相似三角形方法：可以通过相似三角形的性质来证明勾股定理。

10. 斜率方法：可以运用直线的斜率来证明勾股定理。

11. 反证法：可以通过反证法来证明勾股定理，假设直角三角形的三边不符合勾股定理，然后推导出矛盾。

12. 三角形面积法：可以通过计算直角三角形的面积来证明勾股定理。

13. 欧拉定理法：可以通过欧拉定理来证明勾股定理。

14. 空间几何法：可以将直角三角形的顶点放置在空间中，运用空间几何知识来证明勾股定理。

15. 弦与切线相交定理：可以利用弦与切线相交的性质来证明勾股定理。

16. 数列方法：可以通过构造数列，运用数列的性质来证明勾股定理。

17. 微积分方法：可以通过微积分的知识来证明勾股定理。

18. 统计方法：可以通过统计实验来证明勾股定理，比如通过大量的直角三角形数据验证勾股定理成立。

19. 推广方法：可以通过勾股定理的推广形式来证明勾股定理，比如勾股定理的逆定理。

20. 全等三角形法：可以通过全等三角形的性质来证明勾股定理。

勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab，整理得a²+b²=c²。

1. 2【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o,∴∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

2. 3【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a . ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27SS =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58SS =. 由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -， 即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = bAD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC ADDC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222ACBC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆，∴ABC S ab ∆=42， 又∵AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442，∴()ab rc r 242=+， ∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+• 可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .D D∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=，732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。

勾股定理16种证明途径

勾股定理16种证明途径

勾股定理16种证明途径勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

本文将介绍勾股定理的16种证明途径。

1. 几何证明通过构造几何图形，利用平行线、相似三角形等几何性质来证明勾股定理。

2. 代数证明通过代数运算和方程的求解，将勾股定理转化为数学问题并证明。

3. 向量证明利用向量运算和向量的性质来证明勾股定理成立。

4. 科学计算证明利用计算机科学的方法，通过数值计算和模拟实验来论证勾股定理的正确性。

5. 几何相似证明通过几何相似的定义及相关性质，推导出勾股定理。

6. 枚举证明通过穷举直角三角形的边长组合，证明勾股定理在所有情况下都成立。

7. 数学归纳法证明通过归纳论证，证明勾股定理在特定情况下成立后，再扩展到所有情况。

8. 黎曼积分证明通过计算勾股定理中的三角函数的积分，证明定理的正确性。

9. 复数证明利用复数的性质和运算，推导出勾股定理成立。

10. 微积分证明通过对直角三角形某一边长的导数和其他边长的关系进行求导证明。

11. 数学逻辑证明通过数学逻辑推理，推导出勾股定理的正确性。

12. 平行四边形证明通过利用平行四边形的性质，将勾股定理转化为平行四边形的关系来证明。

13. 矩阵证明利用矩阵的乘法和特性，将勾股定理转化为矩阵运算的问题来证明。

14. 动态几何证明通过动态几何软件进行几何运算和构造，反复演示直角三角形的变化来证明定理。

15. 平面拓扑证明通过平面拓扑的理论，引入拓扑性质讨论直角三角形构造和斜边的关系。

16. 微分几何证明通过微分几何的定理和公式，推导出勾股定理的正确性。

以上是勾股定理的16种证明途径，每种途径都有其独特的证明思路和方法。

通过了解不同的证明方式，可以更好地理解和应用勾股定理。

勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=， ∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，D D76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。

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勾股定理的十六种证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ 222c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221aΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42， 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a ba 2222++=+；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，D∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。

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