高等数学极限习题500道汇总(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx →+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是： 不存在 答（ ）limx xeA B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x xx n n n ()lim =-+→∞+2121设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ．求极限应用等阶无穷小性质，x x x x )1arctan()1arctan(lim--+→ 求极限．lim x x x x x→+--+0215132 求极限．lim()()x x x x →--+012131416 求极限　为自然数．．lim ()()x nax xn a →+-≠0111求极限．lim()x x x x →-+--3135223设当时，与是等价无穷小，且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()lim ()()()设当时，，是无穷小且证明：．x x x x x x e e x x x x →-≠--00αβαβαβαβ()()()()~()()()()若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()[][]设当时，、是无穷小，且证明： 与是等价无穷小．x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().ln ()ln ()()()设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()吗？为什么？也是等价无穷小与无穷小。

试判定：等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→limsin ()()()()x xxA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大 答（ ）lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答（ ）已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为 答（ ）limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222)1()1)(1)(1(lim 1242nx x x x x n ++++<∞→ 计算极限设 设及存在，试证明：．lim lim n n n n nx x x a a →∞→∞+==≤011求lim(sin cos )x x x x→∞+2212计算极限　lim()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---23223322 计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-⋅+021 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x 计算极限 {}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim 01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n n a r r a aa a{}，试按极限定义证明：，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞→r r a a a n n n n n ．0lim =∞→n n a．语言证明，试用　设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim"")0()(lim 0试问：当时，，是不是无穷小？x x x x→=012α()sin的某去心邻域，使得试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >设，试研究极限f x x xf x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344[]　答（ ） 大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量无穷大量是时，则当，设数列的通项为)()()()()1(12D C B A x n nn n x n n n ∞→--+=以下极限式正确的是 答（ ）()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B xe C x e D xx x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001111111111设，　，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞()limab A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a Ax f x b x x e x f x ax ======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 001)(0答：( )aA A b a D Ab a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x xax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)1ln()(0======⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ，　，当设答：（） 答（ ） 可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当， ，当设2)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(222a Ab a D aA b a C a A b aB aA b a A A b a A x f x b x x ax x f x =======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→[][]设有，，且在的某去心邻域内复合函数有意义。