函数可积与存在原函数的关系
存在原函数和可积的关系
存在原函数和可积的关系首先，函数可积≠函数有原函数两者之间并无关系！函数有原函数，是指有一个函数的导数等于这个函数，即存在一个可导函数，其导函数等于目标函数。
函数可积，是指如果f(x)在[a,b]上的定积分存在（即曲线和轴围出来的面积存在且不为无穷），则说f(x)在[a,b]上可积，即f(x)是[a,b]上的可积函数。
（注意区间限制）①若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数。
②若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数。
（有震荡间断点，依然可能有原函数）①若f(x)在[a,b]上连续，则在该区间必然可积。
（暗含有界）②若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则在该区间必然可积。
③ 若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则在该区间必然可积。
很明显原函数和可积函数之间没有联系。
如果一个函数是连续的，那么它既可以是可积的，也可以是原函数，但是对于一个在某个区间上具有不连续性的函数，如果在那个区间上存在第一种不连续性，那么原函数不存在是必然的，但是它仍然是尽可能可积的；如果只有第一种间断，那一定是可积的。
其实个人认为，在几何意义上判断函数是否可积可能更方便。
一些举例如下：But Why is that当一个函数可积时，就意味着在这个区间上存在定积分。
然后通过莱布尼茨公式，将函数的可积性与原函数的存在性联系起来，将上下极限代入可积函数的原函数进行减法求值，即只要可积函数就有原函数。
越看越觉得合理，那么问题出在哪里借用吴忠祥老师的话:经典错误，标准零分。
忽略了一个问题，两个函数相等需要同时满足两个条件：①定义规则相同②自变量的定义域D相同解释看图片吧~写的很清楚了（网上截得）•如果一个被积函数在闭区间内可积，那么这个函数在此闭区间内的变上限积分函数是连续的，（177题）但不一定可导，除非f(x)连续。
即：f(x)连续，则它的积分可导，否则不可导。
数学分析中的反例问题
摘要数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立与否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words:proposition; counter example;structure;mathematical analysis; reflect目录1.引言数学分析在数学专业中占有重要的基础地位,反例在数学分析中的应用也越来越受到重视,其实反例的作用不仅仅体现在数学分析中,像实变函数中的康托尔三分集就是一个经典的例子,也可充当很多命题的反例,第一个无处可微的连续函数的例子是由Weierstrass 用振动曲线cos y x π= 构造提出的: 0cos()n n n b a x π∞=∑[13],这使得人们对连续和可微之间的关系研究又提高到了另一个高度,是理性的结果,打破了长期以来的模糊的错误的观点,从此以后,人们又仿效他做了适当的修改,构造出越来越多的反例,反例的作用越来越得到人们的肯定和重视,由此可见,能构造出反例来推翻一个命题和证明一个命题的正确性同等重要,构造反例关键在于巧妙,反例不是凭空想象的,而是根据要求和已有的知识经过很严密的思考得出来的,在运用和构造反例的过程中可以让我们对知识点理解的更加透彻,使我们的思路更加清晰,对提高我们的数学思想和数学能力有着很大的帮助作用.2. 反例在加深理解定义及相关概念中的体现 周期函数并不是非常数的周期函数都有最小正周期,下面我们寻求一个没有最小正周期的非常数的周期函数,可以证明非常数的连续周期函数必有最小正周期[5],所以我们构造的函数一定是不连续的,如狄利克雷函数,1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,它的周期是全体有理数,因而没有最小正周期.复合函数(),()y f u u g x ==,已知00lim ()x x g x u →=,0lim ()u u f u A →=,若0x x →的过程中()g x 始终保持有0()g x u ≠,则复合函数的极限0lim (())x x f g x A →=[12].注意这里的0()g x u ≠容易忽略,但确实又是必不可少的,例如： 及,()0,x x u g x x ⎧==⎨⎩为无理点为有理点,这时0x →时0u →,0u →时()1y f u =→,但复合后的极限不存在,因为1(())0x f g x x ⎧=⎨⎩，为无理点，为有理点.由此可知0()g x u ≠是不能去掉的,但是如果外层函数连续,则lim (())(lim ())x x x x f g x f g x →→=,就不必假定在极限过程中0()g x u ≠了.极值若连续函数()f x 在0x 点有极大值,则在此点的某一领域内一定满足()f x 在此点的左侧递增右侧递减.这个命题初看很正常,感性认识是对的.但是事实并非如此,例如,212(2+sin ),0()=00x x f x xx ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩， , ()f x 在0x =0取得极大值2,而在0x =0的任意小的领域内都时正时负,故在0x =0的左右两侧任意领域内()f x 都是震荡的.一致连续定义1[1] 设f 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>,存在()0δδε=>,使得对任何1x ,2x ∈I,只要12||x x δ-<,就有12|()()|f x f x ε-<,则称函数f 在区间I 上一致连续.由一致连续的定义可以证明,在有限开区间上一致连续的两个函数之积仍然是一致连续函数.现在我们来看在有限开区间上一致连续的两个函数之商和在无穷区间上一致连续的两个函数之积是否还是一致连续函数.通过反例我们可以知道这时就不一定成立了,如：1与x 在（0,1）上一致连续,但其商1x在（0,1）上不一致连续. x 与x 在(0, +∞)上一致连续,但2x 在(0, +∞)上不一致连续.导数定义2[1] 设函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义,若极限 存在,则称函数f 在点0x 处可导.由定义可知函数的可导是针对一点而言的,所以存在只在一点可导,在这一点的任何领域内都不可导的函数,因为连续也是针对点而言的,我们知道存在只在单点连续的函数,在这一点的任何领域内都不连续,如黎曼函数,那么是否存在这样的函数,只在一点可导,在其他任一点都不连续,这样的函数是存在的,如()f x =2()x D x 仅在点0x =0处可导,在其他任意一点都不可导,且不连续,其中()D x 是狄利克雷函数.2. 可导函数()f x 在某点满足'0()0f x >,但不能断定()f x 在0x 的某领域内单调递增,如212sin ,0()=00x x x f x xx ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩， , 则'1114sin 2cos ,0()=0x x f x x xx ⎧+-≠⎪⎨⎪=⎩1， , 在0x =0点,'(0)=1>0f ,但在原点的任意领域内'()f x 都取正值和负值. 3.导函数不一定连续.例如21sin ,0()=0x x f x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩0， , 则'112sin cos ,0()=0x x f x x xx ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩0， , '()f x 在0x =点间断,并且是第二类间断点,其实这并不是偶然,因为导函数是没有第一类间断点的,并且还可以证明导函数如果有第二类间断点一定是振荡型的第二类间断点.3. 反例在掌握定理的内涵与外延中的体现 柯西收敛准则定理 [1]（柯西收敛准则）数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>,存在正整数N,使得当n,m >N 时有n m a a ε-<. 下面列出两个命题（1） 数列{}n a 收敛的充要条件是[5]：对任给的0ε>,N ∃,当n N >时,对一切1,2,3,p =,都有n p n a a ε+-<（2） 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>,对1,2,3,p ∀=,N ∃,当n N >时,有n p n a a ε+-<对于以上两个命题,再结合柯西收敛准则,我们很难一下子看清楚哪个是对的,看似他们的表述很接近,貌似都对,实则不然,对于命题2,虽然p 是任意的,但是是在选取N 前就给定的,可能每一个p 都会对应着一个不同的N ,这样就会使得N 的选取和p 的取值有关,从而找不到一个公共的N 使的对任何一个p 都成立,这就是命题2和命题1最本质的区别,经过初步分析我们还不能断定命题2是错误的,如果能举一个反例推翻就可以了,而这种反例是存在的,比如令111123n a n=++++, 则111||121n p n pa a n n n p n ε+-=+++<<++++, 对任意给定的p ,当n 充分大时成立,所以是满足命题2的要求的,但是我们知道111123n a n=++++是发散的,所以命题2是不对的.通过这个反例可以看出反例在加深理解定理中的作用是不言而喻的.stolz 公式定理∞∞型Stolz 公式 若{}n y 严格递增且lim n n y →∞= +∞,11limn n n n n x x l y y -→∞--=-,则11limlim n n n n n n n n x x xl y y y -→∞→∞--==-（l 是有限数,+∞或-∞） οο型Stolz 公式 若{}n y 严格递减且lim 0n n y →∞=,lim 0n n x →∞=,11limn n n n n x x l y y -→∞--=-,则11limlim n n n n n n n n x x xl y y y -→∞→∞--==-（l 是有限数,+∞或-∞） 注意上面的l 可以是有限数,也可以是+∞或-∞,但是11lim n n n n n x xy y -→∞--=∞-, 一般推不出limnn nx y →∞=∞,例如令 {}n x =222(0,2,0,4,0,6,),n y =n,这时虽然11limn n n n n x x y y -→∞--=∞-,但是n n y x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=(0,2,0,4,0,6,),即lim n n n xy →∞≠∞.要特别注意的是Stolz 公式的逆命题是不成立的,现以∞∞型Stolz 公式为例, 即使{}n y 严格递增且lim n n a →∞= +∞,lim n n n x l y →∞=,但是推不出11lim n n n n n x xl y y -→∞--=-,如我们用Stolz 公式很容易知道如果lim n n a a →∞=,则12limnn a a a a n→∞+++=,但是由此等式反过来我们是推不出lim n n a a →∞=的,例如：令n a =(1)n -,显然12lim0nn a a a n→∞+++=,但是lim 0n n a →∞≠.针对上例我们还可以得到推不出lim n n a a →∞=是因为{}n a 的极限不存在,如果存在的话,lim n n a a →∞=一定成立,所以加上{}n a 单调这个条件就可以确定lim n n a a →∞=成立,因为如果{}n a 单调就可以保证{}n a 的极限是存在的,要么是有限数,要么是+∞或-∞,而这三种情况恰好在Stolz 公式的使用范围内,这也是我们构造的反例一定不能是单调数列的原因.比式判别法设1n n a ∞=∑为正项级数,且+11n n a a <,但1n n a ∞=∑不一定收敛,例如：11n n ∞=∑ 上例对理解比式判别法有重要作用,我们知道,如果1n n a ∞=∑为正项级数,且存在某正整数0N 及常数q （0<q<1）, 若对一切n>0N ,成立不等式+1q n n a a ≤,则级数1n n a ∞=∑收敛.这说明了0<q<1的重要性以及对理解+1q n n a a ≤<1和+11n naa <两者这间的区别都有很大帮助. 比较原则1n n u ∞=∑收敛,且lim nn n u l v →∞=(0l <<+∞),这时1n n v ∞=∑不一定收敛,由于如果1n n u ∞=∑,1n n v ∞=∑是两个正项级数,若lim nn n u l v →∞=(0l <<+∞),这时1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑一定是同敛态的,所以1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑不能同时为正项级数,令1n n u ∞=∑=1-nn ∞=∑（1,1n n v ∞=∑=1-nn ∞=∑（1+1n, 这时即使lim1nn n n u v n→∞==+（-1, 但1n n v ∞=∑=1-nn ∞=∑（1+1n还是发散的,这就说明比较法一定不要忘记使用的范围是正项级数之间的比较.阿贝尔判别法若{}n a 为单调有界数列,且级数1n n b ∞=∑收敛,则级数1n n n a b ∞=∑收敛.如果把单调这个条件去掉,命题是否还成立呢,例如,1n n b ∞=∑收敛,lim n n a →∞=1,那么1n n n a b ∞=∑一定收敛吗,要构造反例说明这个命题的错误的性,要清楚的知道所构造的反例中n a 不能单调,且1n n b ∞=∑不能为正项级数,因为如果1n n b ∞=∑是正项级数,则当n 足够大时,1n n n a b ∞=∑也是正项级数,又因lim n n a →∞=1,由比较法可得1n n b ∞=∑和1n n n a b ∞=∑同敛态,综上分析可令n b=n（-1, n a=n（-1+1nn +, 显然1n n b ∞=∑收敛且lim n n a →∞=1,但是是发散的,说明单调这个条件是必不可少的.莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法要满足的三个条件 1.2.3.lim =0n n a →∞⎧⎪⎨⎪⎩交错级数单调递减下面通过反例来说明这三个条件缺一不可,缺条件1时,11n n ∞=∑满足条件2和3,但是11n n∞=∑发散缺条件2时,n a =21,1,n n n n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数,1-nnn a ∞=∑（1）满足条件1和3,但是1-nnn a ∞=∑（1）=1111-+-+4316发散,即2111-)n n n∞=∑（发散. 缺条件3时,11-+nn n ∞=∑（1）（1）满足条件1和2,但是11-+nn n ∞=∑（1）（1）是发散的.所以在运用莱布尼茨判别法时,一定要验证这三个条件,特别是第二个容易遗漏.4. 反例在辨析重要结论的逆命题中的体现1. .有界变差数列都是收敛数列[6].逆命题不真.2132431||||||||n n n A a a a a a a a a c -=-+-+-++-<（c 为常数）,则称数列{}n a 为有界变差数列[1].可以证明有界变差数列都是收敛数列,但是收敛数列却不一定是有界变差数列,例如：{}11111,1,,,,,,22n a n n⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭, 显然lim n n a →∞=0,但是2.若1limn n na a a +→∞=,0n a >,则1n =.逆命题不对.例如：2(1)n n a =+-={}1,3,1,3,1,3,,1n =,但是21213n n a a +=,2213n n a a -=,故1lim n n naa +→∞不存在.这就是在级数收敛判别法中能用比式判别的一定可以用根式判别法来判定,而在有些题目中能用根式判别法却不能用比式判别法的原因,这也说明根式判别法比比式判别法应用的范围更大一些.3. 众所周知,若()f x 的导函数在I 上有界,则()f x 一定一致连续[8].我们的问题是逆命题是否成立呢答案是否定的,因为()f x =0,1）上一致连续,但 在（0,1）上是无界的.这里还有个重要的结论,若()f x 在[),a +∞上连续且处处可导,且'lim |()|x f x A →+∞=（有限或无限）,则当且仅当A 为有限时,()f x 在[),a +∞一致连续. 证 ⇒ 因为A 有限,12|()()|f x f x -=|'()f ξ|12||x x -≤M 12||x x -,由Lipschitz 条件可得()f x 一致连续.⇐ 反证法：假如A=+∞,令0ε=1,1x =b>0, 2x =b+1n,对n N ∀∈,b 充分大时,有12|()()|f x f x -=|'()f ξ|1n≥0ε=1, 故()f x 非一致连续.4. 若()f x 在(,)a +∞内可导,并且'lim ()=A x f x →+∞,则()lim=A x f x x→+∞.[9]这由推广的洛必达法则很容易得到,但是此命题的逆命题不真.如()=sin f x x ,(,)x a ∈+∞,sin limx xx →+∞=0,但是 不存在.5. 若()=0ba f x dx ⎰可积,则()f x 在[],ab 一定有界[5].反之不真.例如狄利克雷函数1,()1x f x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,在[],a b 内有界,但是()D x 是不可积的.6. 若()f x 可积,则|()|f x 和2()f x 都可积[11],但逆命题不真.例如1,()1x f x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,|()|f x ,2()f x 在[],a b 内都可积,但是()f x 在[],a b 内是不可积的.7. 我们知道如果1n n a ∞=∑收敛,n a >0且n a 单调递减,则lim 0n n na →∞=,[3]即递减的正项级数如果收敛,其通项一定是比1n高阶的无穷小量.我们考察此命题的逆命题正确与否,即如果lim 0n n na →∞=,n a >0且n a 单调递减,是否一定有1n n a ∞=∑收敛.下面给出反例的构造过程,n a 是比1n 高阶的无穷小量,如果只是单纯的构造比1n高阶的无穷小量n a =i 1n （i>1）,则1n n a ∞=∑一定收敛,所以不妥,我们要找一个比任何i n （i>0）增长速度要慢的函数,这样才有可能构造出恰当的反例,自然会想到lnn,即令n a =1ln n n,则n a 满足lim 0n n na →∞=,n a >0且n a 单调递减,但是2n n a ∞=∑=21ln n n n∞=∑却是发散的.（+21ln dx x x∞⎰=+ln 21dt t ∞⎰,令t=ln x ）注意,还可以用反例说明此命题中n a 单调递减是必不可少的,即存在n a >0且1n n a ∞=∑收敛,但是lim 0n n na →∞≠,即n a 不是1n高阶的无穷小量.例如：21,1,n n na n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为整数平方时其他,1n n a ∞=∑=2222222*********1+++++++2345678910+++所以1n n a ∞=∑收敛,但是显然n a ≠1n ο（）. 5. 反例在论证辩证关系中的体现lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系由推广的洛必达法则我们还可以知道,设()f x 在(,)a +∞内可导,若lim ()x f x →+∞,'lim ()x f x →+∞都存在,则'lim ()x f x →+∞=0.现在我们来进一步探讨在()f x 在(,)a +∞内可导的前提下lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞之间的关系.下面的两个反例告诉我们他们是无关条件,即()f x 在(,)a +∞内有界可导,且有lim ()x f x →+∞存在,但'lim ()x f x →+∞不一定存在,例如2sin ()=x f x x,(0,)x ∈+∞则2'22sin ()=2cos x f x x x-,显然lim ()=0x f x →+∞但是'lim ()x f x →+∞不存在. 反之如果()f x 在(,)a +∞内有界可导,且'lim()x f x →+∞存在,但lim ()x f x →+∞不一定存在,例如：()=cos(ln )f x x ,(0,)x ∈+∞,它在(0,)+∞上有界且可微,且'sin(ln )()=x f x x-, 所以'lim ()x f x →+∞=0,但是lim ()x f x →+∞不存在. 原函数与可积函数之间的关系1．可积但不一定存在原函数.例如黎曼函数1,,,()0,0,1p x p q q p qq f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩互素，以及（0，1）内的无理数, 1()=0f x dx ⎰,但是()f x 是没有原函数的,因为导函数没有第一类间断点且具有介值性,而黎曼函数在无理点连续,在有理点间断,并且是第一类间断点,况且()f x 没有介值性,因为取不到无理数,所以()f x 是没有原函数的.从这个例子中也可以看出有无数个间断点的函数也可能可积,进一步我们会知道黎曼可积的一个充要条件是几乎处处连续,因为有理点可列,显然黎曼函数符合要求. 2.有原函数但不一定可积.例如221212sin cos ,0()00x x f x x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩， , 在区间[]-1.1上()f x 有原函数221sin ,0()00x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩， ,但是()f x 在[]-1.1上不可积,（因为()f x 在[]-1.1上无界）.()a f x dx +∞⎰收敛与lim ()x f x →+∞=0的关系1.无穷积分()af x dx +∞⎰收敛,未必就有lim ()x f x →+∞=0. 例如收敛,但是2lim sin 0x x →+∞≠上例中我们看到2sin x 在+x →∞的过程中2sin x 的取值有正有负,现在我们来加强约束条件. 2. ()af x dx +∞⎰收敛,()f x 0≥,且()f x 是连续函数,未必就有lim ()x f x →+∞=0. 例如此时,()f x dx +∞⎰=112122n n ∞=⋅⋅∑=112n n ∞=∑=1,所以0()f x dx +∞⎰收敛,()f x 0≥,()f x 是连续函数,但是lim ()x f x →+∞≠0.我们可以看到上面构造的函数既不是单调函数也不是一致连续函数且lim ()x f x →+∞都不存在,这并不是偶然,因为如果()f x 满足单调,一致连续,极限存在中的任何一条,那么一定有lim ()x f x →+∞=0.再加强约束将上述条件()f x 0≥改为()f x >0,依然不能肯定lim ()x f x →+∞=0.这时我们只要考虑函数()f x =max 21,()g x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,其中()g x 按上式中()f x 同样的方式定义.可积和绝对可积以及平方可积之间的关系1. 绝对可积必可积[9],反之不然. 例如()f x =sin x x 在()0+∞，上可积,但|()f x |=|sin xx|在()0+∞，上不可积. 2.可积未必平方可积. 例如1+∞⎰收敛,但21sin x dx x +∞⎰不收敛. 这个结论的直观体现也很明显,因为条件可积很可能是因为正负项相消造成的,而一旦平方后就不存在正负项相消的现象,并且函数值增长的速度还会加快,最终导致不在收敛.3对瑕积分,平方可积必可积[14]; 对无穷积分,平方可积未必可积. 例如()f x =231x,显然2()f x 在[)1+∞，上可积,但()f x 在[)1+∞，上不可积.要知道瑕积分和无穷积分的最大区别是,对瑕积分而言,当自变量趋于瑕点时,函数值一定是趋于无穷的,而平方会加快趋于无穷的速度,既然快速的都收敛了,慢速度的一定会收敛,这是对瑕积分平方可积必可积的一种直观解释.对于无穷积分而言,当lim ()x f x →+∞=0时,平方会加快趋于零的速度,导致本来不收敛但是平方后就会收敛的现象,这是对无穷积分平方可积未必可积的一种直观解释. 4对瑕积分,平方可积必绝对可积[10],反之不然; 对无穷积分,绝对可积与平方可积没有必然联系. 例如：()f x,显然()f x 和|()f x |在[]01，上可积,但2()f x =1x 在[]01，上不可积. 平方可积未必绝对可积的例子在3中已给出.现举例说明对于无穷积分来说,绝对可积未必平方可积,很多书中为此列的例子是()f x =32sin x dx x+∞⎰,|()f x |在[)+∞0，上可积,但2()f x 在[)+∞0，上不可积,我们会发现,2()f x 在[)+∞0，上不可积是因为瑕积分引起的,而不是无穷积分的原因,因为+2()f x dx ∞⎰=230sin xdx x +∞⎰=2130sin x dx x ⎰+2+31sin x dx x∞⎰, 2130sin xdx x ⎰发散,2+31sin x dx x ∞⎰收敛,下面我们寻找一个只是无穷积分的例子,如： 则+0|()|f x dx ∞⎰=1124nn n ∞=⋅∑=112n n ∞=∑=1,但是+2()f x dx ∞⎰=1144nn n ∞=⋅∑=11n ∞=∑+→∞,所以+20()f x dx ∞⎰发散.在这里要注意和级数的区别,我们知道对于级数来说,绝对收敛平方必定收敛,因为就级数而言,如果收敛,通项一定趋于零,平方后最后趋于零的速度一定更快,所以必顶收敛,但是无穷积分不一样,对积分而言,只要最后面积趋于零的速度够快就可以,和函数值()f x 没有必然的联系,所以就会导致平方后面积趋于零的速度变慢,最终发散.从这也可以看出级数和无穷积分虽然存在很大联系,但是区别也是很大的.6.结论通过本文一些经典反例在数学分析中的应用,我们清楚的看到了反例构造的巧妙性和逻辑性,通过列举的这些反例,使我们对数学分析中容易混淆的概念更加清晰,反例在说明逆命题的成立与否的作用是不言而喻的,本文列举的逆命题不真的反例使我们在另一个方面对定理或命题有了更全面的认识.当我们苦苦的要证明一个命题是正确的时候,我们首先是认为找不到反例推翻的,因为找到的话就不真了,所以反例的应用可以让我们少做很多无用功.本文对更加透彻全面的理解数学分析中的相关概念命题和定理以及对培养我们的数学思想都有很大促进作用.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析上册[M](第三版).北京:高等教育出版社,2001.[2]华东师范大学数学系.数学分析下册[M](第三版).北京:高等教育出版社,2001.[3]郑庆玉,郭政.数学分析方法[M].北京:电子工业出版社,2010.[4]研究生入学考试试题研究组.研究生入学考试考点解析与真题详解-数学分析[M].北京:电子工业出版社,2008.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001.[6]明清河.数学分析的思想与方法[M].山东:山东大学出版社,2004.[7]金秀山.谈微积分中的反例[J].甘肃科技纵横.(4):1-7.[8]王俊青.数学分析中的反例[M].西安:电子科技大学出版社,1996.[9]董海瑞.浅谈数学分析中反例的应用.太原大学教育学院学报.2009,zl期.[10]严镇军.从反面考虑问题[M].安徽:中国科学技术大学出版社,1986.[11]费定晖等.吉米多维奇数学分析习题集[M].山东:山东科学技术出版社,2005.[12]冯素芬.试论数学反例及其构造[J].北京工业职业技术学院学报,(3):2-9.[13] B. R. Gelbaum,J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis[M].Dover: Dover Publications Inc,2003.[14] Vladimir A. Zorich . Mathematical analysis[M].世界图书出版公司,2006.[15] Tom M. Apostol. Mathematical analysis[M]. China Machine Press,2004.。
可积但没有原函数
可积但没有原函数在数学中，函数的可积性是一个重要的概念。
一般来说，如果一个函数在一些区间上满足一些条件，那么它就被认为是可积的。
可积性可以通过积分来刻画，如果一个函数可以被积分，那么我们就说它是可积的。
在实分析中，我们经常使用的是黎曼积分，黎曼积分是以黎曼和的思想为基础的一个积分方法。
黎曼和是一个极限，它可以用来衡量函数在一些区间上所有的取值的累加和。
如果函数在一些区间上的黎曼和存在，那么我们就说它是可积的。
黎曼和的存在性可以根据柯西准则来判断。
然而，存在这样一类函数，它们虽然满足黎曼可积的条件，但却没有原函数。
所谓原函数，就是一个函数，它的导数等于给定函数。
通常情况下，我们通过求导来找到一个函数的原函数。
但是，对于一些函数来说，它们没有原函数。
那么，为什么有的函数可以被积分，但却没有原函数呢？一个简单的例子是Dirichlet函数。
Dirichlet函数在实数轴上的定义是这样的：对于有理数x，函数的值是1；对于无理数x，函数的值是0。
Dirichlet函数是一个典型的不连续函数，它在任意区间上都不满足连续性。
然而，令人惊讶的是，它是黎曼可积的。
这意味着我们可以对Dirichlet函数进行积分，得到一个有限的积分值。
然而，Dirichlet函数没有原函数。
这是因为Dirichlet函数在任意点的导数都不存在，所以它没有原函数。
另一个例子是希尔伯特曲线函数。
希尔伯特曲线函数是一个分形函数，它在单位正方形上的定义是这样的：将单位正方形顺时针分成四个小正方形，然后依次连接四个小正方形的中点，这样就得到一个曲线。
然后，再将这条曲线作为新单位正方形，重复上述过程。
希尔伯特曲线函数是一个具有很多奇特性质的函数，其中之一是它是黎曼可积的。
然而，希尔伯特曲线函数也没有原函数。
事实上，没有原函数的函数在数学中并不少见。
许多分析学中的函数，如间断函数、分段函数、分形函数等都可能存在没有原函数的情况。
没有原函数的函数在一些数学应用中也起到了重要的作用，比如在测度论中的应用，这些函数提供了一种度量无法被Riemann进行积分的集合的方法。
函数的原函数存在与黎曼可积的关系
第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021doi：10.3969/j.i s s n.1008-1399. 2021. 01.023函数的原函数存在与黎曼可积的关系程磊，李静(信阳学院数学与统计学院，河南信阳"；"000%摘要本文讨论原函数存在与黎曼可积之间的联系与区别，通过列举具体的函数来说明函数的原函数存在与黎曼可积是相互独立的概念，两者之间是互不7含的关系.关键词原函数；牛顿-莱布尼兹公式；黎曼可积中图分类号 〇13文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0077 - 03Primitive Functions and Riemann IntegrabilityCHENG Lei and LI Jing(School o f Mathematics and S t a t i s t i c s，Xinyang College，Xinyang "6"000, China)A bstract The relation and difference between the existence of primitive functions and Riemann integrabiti-ty are discussed.By examples，w e show that the two concepts are different，independent of each other，and they don’t have implication relation.K eyw ords primitive function，Newton —Leibniz formula，Riemann integrable1引言在高等数学中，牛顿-莱布尼兹公式[1’2]将不定 积分和定积分结合了起来，在连续的条件下，可以利 用原函数来求定积分.因此，许多学生将原函数的存 在性与黎曼可积等价起来.但实际上，二者的关系并 非这样简单.文献[3]证明了“每一个具有第一类间 断点的函数，其原函数一定不存在”，并举例说明了 “在区间[a，]上存在原函数的无界函数/(:r)不一 定黎曼可积/文献["]重点讨论了“第二类间断点构 成一个正测度集的有界函数必不黎曼可积”，文中运 用了实变函数的知识来说明这一问题.本文中，我们 首先列出原函数存在和关于黎曼可积的一些定理，然后通过具体的函数来论述二者的联系与区别，其 中通过构造函数，重点讨论了在区间上存在原函数的有界函数不一定黎曼可积.2原函数存在和黎曼可积的基本结论为展示所论问题的方方面面，将有关原函数和收稿日期！ 2020 - 03 - 27 修改日期2020- 10 - 13作者筒介：程磊（1988 —)，男，河南信阳，硕士，助教，Ramsey理论，Email：chenglei2020@.黎曼可积的基本定理梳理如下，这些定理在《高等数 学》和《数学分析》教材或辅导书中都有证明.2.1关于原函数的_些定理[12]定理1若/(；c)在[a , 6]上连续，则j/(:c)d:c在.定理2(达布定理）设f X：r)在[a，]上可微，且f(a) *圹（），则对r(a)，r(6)之间的任何实 数A，存在6)(，6)，使得圹（）= A.推论1若/(：r)在[a，6]上具有第一类间断点，则J/(：r)d:r不存在•注意 不连续的函数也可能有原函数.例如&]\#2sin — ,# * 0F i x) = 1 #，-0，x = 0其导数f2xsin — —cos1，# * 0/(x) = 1 x x，-0，x = 0可以看出/(x)在x 50处不连续，但有原函数F(x)，此时x = 0为/(x)的第二类间断点.78高等数学研究2021年1月2.2 关于黎曼可积的一些定理%u，5]定理3 若/(z)在[a，6]上连续，则p/(:c)drJ a存在.定理4 若/(：r)在&，]上有界，且只有有限个间断点，则「/(：r)d:r存在.J a定理5 若/(：r)是&，]上的单调函数（即使有无穷多个间断点），则f/(：r)d：r存在.J a定理6若/Or)在&，]上黎曼可积，则/(r)在[a，]上有界.推论2 若/(r)在[a，6]上无界，则f/(r)d:ra在.定理7 有界函数黎曼可积的充分必要条件是 不连续点所组成的集合勒贝格测度为0.I r2sin r * 0F(x) = 1r2其导数为/(r)为当"％ w时，2rsin—cos ^r * 0r r■2槡"* cos("T t) = (—l)"^12槡"* ?所以/(r)在r =0处无界，由推论2}/(r)在含有 0的区间内黎曼不可积.43 函数有界，且有原函数，但未必黎曼可积3 函数的原函数存在与黎曼可积的联系原函数存在和黎曼可积在一定的条件下有某种 联系，而牛顿-莱布尼兹公式恰恰反映了这种关系.定理8[1’2]若/(r)在[a，]上连续，且F(r)为/(r)的一个原函数，则/(x)d x =F(b') —F(a).注意若/(r)在[a，b]上黎曼可积，除有限个 点外，F (r) = /(r)，且F(r)在[a J]上连续，贝[J/(,x)d x = F(b) —F(a).4 函数的原函数与黎曼可积的区别邹应编写的《数学分析》[6]中称：并不是每一个 数的 界 数 是 积的!要构造出这样一个函数并非易事.下面我们构造一个这样的函数，分两个阶段：先构造[0，1]中一个无处稠密的子集A，然后构造一个[0，1]上的函数，处处 可微，其导函数有界，但却在A上处处不连续.第一步:我们首先构造一个集合，从集合[0，1]中移去中间的1部分，剩余&，=]u[：，]，然后从 [0，=]中移去中间的1部分，并从[8，1]中移去中间的1部分，剩余[0，：] U [7,8] U [8,22] U面 们 的 数 在的情况下，函数的原函数与黎曼可积并无蕴含关系.4.1 函数在某_区间上黎曼可积，但原函数不_定例如0,0"r# 2/(r) = 1，1贝1 "r" 1可以求得[/(r)d:c = 1，但r = 1为/(r)的第一 J0 2 2类间断点，所以在[0，1]上J/(r)d:r不存在.4.2 函数无界，且有原函数，但未必黎曼可积例如[][12，1].反复进行下去，记得到的集合为a.集合A的勒贝格测度L(A) = 1 — ' ^ =n_ 02,且具有以下性质：()集合a无处稠密，不含区间.(i i)给定区间/1，2,…贝"，满足两两不交且U ^P[0，1]，只要L(U U〉1，则这些区间中4=14=12至少有一个含A中的值.第二步:使用集合A和函数fr2sin 1,r* 0/(x) =I r，构造函数 V(r).-0，x = 0将/(r)在区间[0，8]做一些改动，在[，1]第2"卷第1期程 磊，李 静：函数的原函数存在与黎曼可积的关系79的最后一个驻点后，保持此时的函数值直到1，如图 1所示.图i做关于I 5 1的镜面复制，不在[0，"'上的值 定义为〇,得到图2所示的函数.记上面这个函数为/i(x)，不难发现/i(x)处 处可导，但是@m/1(x)和lim/1(x)不存在.复制并移动整个函数/i(x)，使它的[0，"]部分恰好处于集合A中被去掉的所有长度为"的区间中（即第一次去除的区间（|，:）），保留区域外的值为0,如 图3所示.这一^部分就是构造V(x)的第一^步.第三步:类似地，让/(x)在区间&，1]上使其在经过最后一个驻点后，保持函数值直到X 5 1，并相应地作关于X 5 1的镜面复制，不在[0，#]上的值32 1;定义为0，记这样得到的函数为/2 X)，如图4所示.复制并移动整个函数/2 (X)，使它的&，1]部分恰好处于集合A中被去除的所有长度为1的区16间中（即为（：，7)和（3：，2_2))，保留区间外的〇值，如图5所示.这一部分就是构造V(x)的第二步.第四步：不断利用/(x)在[0，"^]上的部分构造/…(X)，并作关于X 5 "2的镜面复制，并将未定义的部分定义为0，复制并平移人（X)，使它非恒为0 的部分恰好处于集合A中被去除的所有长度为4i 的区间，作为V(x)的一部分，最终就可以构造整个 V(x)函数.很显然V\x)在集合A的所有点处都不连续，而U A) 5 1，由定理7，f(X)黎曼不可积.(下转第90页）90高等数学研究2021年1月J.课尾穿插配有随堂小测题，供学生自查和自 纠.例如，【§7.3-2随堂测验提示与答案】设总体o2)，其中o2未知，若样本容量《和置信水平1-«均不变，则对于不同的样本值，总体均值//的双侧置信区间的长度（）。
函数可积原函数一定连续吗
函数可积原函数一定连续吗
不一定。
不定积分寻找的是原函数，这个原函数的导数就是被积函数，这个被
积函数是不可以出现间断点的。
一旦出现了间断点，不定积分将手足无措，无法解决，所以就要求被积函数不可以有任何的间断点。
因为被积函数没有任何间断点，原函数的导函数就等于被积函数，这
是不定积分设定的。
在这样的情况下的可积函数是指被积函数，积出来的
原函数是连续的。
在原函数可导的假设下，它连续是先决条件，连续不一定可导，而可
导的函数必须是连续函数。
原函数既然可导，那原函数就必须连续，这是
可导的必要条件。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。
是我国清代数学家李善
兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。
李善兰
给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。
”中国古代用天、地、人、
物4个字来表示4个不同的未知数或变量。
这个定义的含义是：“凡是公
式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。
”
所以“函数”是指公式里含有变量的意思。
我们所说的方程的确切定
义是指含有未知数的等式。
但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算
术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结引不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！不定积分1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间上连续，则f(x)在区间上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积3、定积分的若干重要性质性质如果在区间上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
推论如果在区间上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx性质设M及m分别是函数f(x)在区间上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间上连续，则在积分区间上至少存在点ξ。
使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。
4、关于广义积分设函数f(x)在区刚上除点c ( a<c<b )外连续，而在点c 的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx 都收敛，则定义∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否则(只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。
关于函数的原函数与可积性关系的讨论
证： 明
Ｍ △（ ｏ ， △（ ０ 。 ｘ ） ｍ ｘ ）
Ｆ ｏＺ）Ｆ ｏ Ｊ＋ ｒ一 。△ｆ （＋ｘ （）ｆ ｚ 一 。 广 ｘ ｘ Ｘ一 ｘ一１ ｘ ｆ ＋ ０
ａ Ｊ ａ Ｊ ０ ｘ
ｆ ｘ ￣ ［ ， ］ 可 积 ， 以 ｆｘ ￣ Ｅ ， ］ 有 界 。则 ｆｘ 在 （ 。 ｌ ｘｌＸ ＋ ｌ ｘ１ｃ ［ ， ３ ； ￣ 、 确 界 （ ）Ｅ ａ ｂ 上 － 所 （ ）Ｅ ａ ｂ 上 （ ） ｘ 一 Ａ ，０ Ａ ） ａ ｂ ￣ ｆ 下
使得
所 以
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（ 吉 学 院数 学 计 算 机 系 ， 吉 ， ３ ｌ ｏ 昌 昌 ８ １ｏ ）
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一 一 一 摘 要 本文举例说明了可积函数未必存在原函数， 而有原函数的函数未必可积。文中定理 ２ 推广了华东师范大学的数
２一 ｘ
学 分 析 中 的 定 理 １ ． ７举 例 说 明 了其 逆 命 题 不 成 立 。定 理 ３给 出 了 其 逆 命 题 成 立 的 条 件 。 ０１ ，
关 键 词 原函数 函数可积
中 图 分 类 号 ： ［ １４ ＇ ７７ ０
文献标识码 ： Ａ
一 文 章 编 号 ： １０— ５一 ０２一３ ０５０ ０８ ６９（ ０） — ０—３ ９ ２ ００
在 《 学 分 析 》 材 中 ， 函数 的原 函数 与 可 积 性 的关 系讨 论 较 少 。下 面 对 它 们 的关 系 给予 初 步 讨 论 。 数 教 对 函数 具 有 原 函数 与可 积 没有 必然 联 系 。
高等数学导函数重要知识点总结
关于导函数的连续性问题在数学中有一个达布定理（可把它称为导函数的介值定理）。
1. 达布定理：设()x f 在[]b a ,可导，()()b f a f -+'≠'，则对于()a f +'和()b f -'之间的任意实数u ，在()b a ,内至少存在一点c ，使得()u c f ='。
证明：设()()ux x f x F -=，则()x F 在[]b a ,可导，()()u a f a F -'='++，()()u b f b F -'='-- 因为u 是()a f +'和()b f -'之间的任意实数，所以()a F +'和()b F -'一定异号， 若设()0≤'+a F ，则()0≥'-b F 因为()()()0lim ≤--='+→+a x a F x F a F a x ，根据极限的局部保号性，则()()a F x F ≤()()()0lim ≥--='-→-bx b F x F b F b x ，根据极限的局部保号性，则()()b F x F ≤ 所以，()a F 与()b F 都不是()x F 的最小值，因为()x F 在[]b a ,上是连续的，所以在[]b a ,上一定存在最值。
设()x F 的最小值在c 点取得，则()0='c F ，即()0=-'u c f ，即()u c f ='。
通过以上证明，达布定理其实就是说明了，若函数()x f 在[]b a ,上可导，虽然()x f '在[]b a ,上不一定连续，但是()x f '在[]b a ,上可取()a f '和()b f '之间的任何值。
2． 达布定理的推广------（又称导函数的零点定理）：设()x f 在[]b a ,可导，()()b f a f -+''与异号，则至少存在一点()b a c ,∈使得()0='c f 。
24-第24讲微积分的基本公式
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第二十三讲微积分的基本公式第五章一元函数的积分本章学习要求：▪熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.▪熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.▪理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪熟悉牛顿—莱布尼兹公式.▪理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。
▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
▪能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章一元函数积分学第二节微积分的基本公式一. 积分上限函数二. 微积分基本公式请点击一. 积分上限函数 (变上限的定积分), , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f . d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰ba x x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x F xa x a ∈==⎰⎰O xya b x x )(x f yO xy a b x x )(x f y =⎰x axx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=ab b a x x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=x b b x t t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数.. d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1 证 . ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x F b a R x f xa ∈=∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x F x x F x F -∆+=∆⎰⎰⎰∆+∆+=-=x x x x a xx a tt f t t f t t f d )(d )(d )( .|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x F x x x xx x ∆≤≤=∆≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x F x ∈即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=-∆+xx x t t f x F x x F 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x F x x F xx x ∆==-∆+⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxx f x x F x x F x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么 ？ 条件定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰ , )( 0处连续在点如果会不会有这样的结论：x x f? )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F xa ='=⎰且处可导在点则, )(0即有处连续在点x x f.|)()(| , ),U( 0, ,0 00εδδε<-∈>∃>∀x f x f x x 时当),()( 00即要要x f x F =').(d )(lim )()(lim 0000000x f x x tt f x x x F x F xx x x x x =-=--⎰→→d )(d )( )(d )(00x x tx f t t f x f x x t t f xx xxxx --=--⎰⎰⎰ε<--≤⎰ d |)()(| ||100t x f t f x x x x就是说，我们猜想的结论成立.⎰=-baxa b d定理 3, ],[ ]),,([)( 0处连续且在点若b a x b a R x f ∈∈. )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F x a='=⎰且处可导在点则(在端点处是指的 左右导数 )例1='⎰) d cos (xa t t d cos d d ⎰xat t x .cos x =?) d cos ( ='⎰xax x 定积分与积分变量的记号无关.)(x F.cos ) d cos ( x x x xa='⎰例 2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 2 022x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?, 一般地 , )( , )( 则可导若C x f x ∈ϕ. )())(() d )( ()()( x x f t t f x F x aϕϕϕ'⋅='='⎰例3 解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=2cos(sin)lim2xxe xx-→--=.21e=罗必达法则)())(()d)(()(xxfttfxaϕϕϕ'⋅='⎰下面再看定理 2 .)()( d )()( 你会想到什么？及由x f x F t t f x F xa='=⎰定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰.)()())((,)(xfxFCxFxF='='+则存在若.,)(则必有无穷多个若存在这样的xF.)()(),()(),()(2121CxFxFxfxFxfxF=-='='则若.d)(,)(⎰b a xxfxF就可以计算定积分若能找到这样的CxxfxF xa=-⎰d)()()()(d)(aFbFxxf ba-=⎰定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题 .二. 微积分基本公式1. 原函数的定义2. 微积分基本公式请点击1. 原函数的定义定义'xFfF=若在某区间xx上有,)()()则称I为(x在区间f.(上的一个原函数I)一个函数要有原函数由前面的讨论可知,:则必有无穷多个原函数:,他们构成一个函数族xF+(C).CF+fx是否包含了)()(的所有原函数？我们要问：xI )( )( ),( 上的任意两个在区间是设x f x G x F,则有原函数. I ,)()( ),()(∈='='x x f x G x f x F . ) ( I )()( 为常数即C x C x F x G ∈≡-. I ,)()( ∈+=x C x F x G 故. :差一个常数任意两个原函数之间相就是说. )( )(的所有原函数包含了x f C x F + , I , 0)()())()(( ∈='-'='-x x G x F x G x F 于是例4, 2sin cos sin 2)(sin 2x x x x ==', 2sin )sin (cos 2)cos (2x x x x =--='-cos )( , sin )( 22x x G x x F -==故 . 2sin )( 的原函数都是x x f =:)()( C x G x F =-验证1cos sin )cos (sin 2222=+=--x x x x. 1 =C 即定理, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F. )( 的形式有原函数可表示为C x F) . ,(为任意常数其中C 定积分的计算归结为求相应的原函数的计算..仅相差一个常数的任意两个原函数之间什么样的函数的原函数一定存在？问题定理 ],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x F b a C x f xa ∈=∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f . I )( , ) I ()( 上原函数存在在则若x f C x f ∈ 推论 1 推论2.域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论3.区间内原函数存在初等函数在其有定义的几个问题?是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内., 1cos )( ,.成它的定义域由孤立点构例如不一定-=x x f., I 存在的函数的原函数一定不每个具有第一类间断点上在区间. ] 1 ,1[ sgn ,上在区间符号函数例如-=x y 下面来推证该结论 .? I,, I )( 上是否有原函数存在区间则函数在且只有一类间断点上有界在区间如果x f. )( ) ,( , ] ,[ )( 0的第一类间断点为上有定义在设x f b a x b a x f ∈, )( ] ,[ )( 则有上有一个原函数在如果x F b a x f . )( , )(lim , )1(000x f I I x f x x x ≠=→但存在为可去间断点时当, 得由拉格朗日中值定理 , )(lim )(lim )()(lim )(000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='→→→ξξ. )()( , )( 000x f x F x f I ≠'≠故由于 . ] ,[ )( , 0上的原函数不存在在为可去间断点时即当b a x f x =')(x F ,)(0b x x x f ≤<00 )(x x x f =.)(0x x a x f <≤, )2(0为跳跃间断点时当x, 得由拉格朗日中值定理 .)(lim )(lim )()(lim )( 000000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='+++→→→+ξξ .)(lim )(lim )()(lim )( 111000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='---→→→-ξξ. ; ,0100x x x x <<<<ξξ其中 . , )(lim , )(lim 101000I I I x f I x f x x x x ≠==-+→→但存在. )( )( , 10的原函数不是故由于x f x F I I ≠. 数的原函数一定不存在上具有一类间断点的函在区间I, 综上所述上可积是否等价于函数在],[ba],[上有原函数存在？函数在ba不一定！.在原函数的充分条件函数可积不是该函数存上可积，在例如，]1,1[,111)(-⎩⎨⎧≤≤<≤-=xxxf.]1,1[上原函数不存在但在-从微积分基本定理来看:d )()( , ] ,[ )( ⎰=xa t t f x Fb a x f 函数上可积时在当. ] ,[ 上连续在b a , , 可导的必要条件函数的连续性只是函数但是. , 连续函数不一定可导就是说. ] ,[ , ) ] ,[ ()(上不一定存在原函数它在时b a b a R x f ∈.函数的可积充分条件函数存在原函数不是该⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 0 0 1sin )(22x x xx x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-=0 0 0 ]1 ,1[ 1cos 21sin 2 )(22x x x x x x x x f 且 函数是函数. ]1 ,1[ )( , ]1 ,1[ 上不可积在但上的一个原函数在区间--x f. )0U( )( : )( 0 内无界在的奇点是因为x f x f x =函数的连续性是函数既有原函数又可积的充分条件.?仍为初等函数初等函数的原函数是否.),0(sin)(!)12)(12()1()(,.12上的一个原函数在区间是初等函数例如不一定∞+=++-=∑∞+=+xxfnnxxFnnn.)(.含有无穷多项这里想想初等函数的定义xF不是初等的上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f xa ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x a a -=+===⎰故则令, 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f b a b a -==⎰⎰2. 微积分基本公式基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例5,cos )(sin x x ='.10sin 2sin sin d cos 2020 =-==⎰πππx x x 问题的关键是如何求一个 函数的原函数.例6.2)1arctan(1arctan arctan d 111 111 2π=--==+--⎰x x x .21)0sin 42(sin 21 2sin 21d 2cos 40 4 0 =-⋅==⎰πππx xx例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)莱布尼茨公式—牛顿).()( )(d )( a F b F x F x x f b aba-==⎰))(()()(a b f a F b F -=-ξ拉格朗日中值定理函数的可微性d )()( ⎰=xax x f x F 不定积分、定积分微积分基本公式d )( ))(( =∈⎰bax f C x f ξ积分中值定理。
fx可积的条件
fx可积的条件fx可积是数学中一个重要的概念，它在微积分、实分析、偏微分方程等领域有着广泛的应用。
所谓fx可积，是指函数f(x)在区间[a, b]上存在一个原函数F(x)，使得对于该区间上的任意一个子区间[c, d]，都有：∫[c, d]f(x)dx = F(d) - F(c)为了更好地理解fx可积，我们需要了解一些相关的概念。
首先，一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，意味着在这个区间内，任意一个点x的极限存在且唯一。
其次，函数f(x)在区间[a, b]上有界，表示存在一个上确界M和下确界m，使得对于所有x∈[a, b]，都有m ≤ f(x) ≤ M。
fx可积的条件有：1.连续函数：如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么它在此区间上一定是可积的。
因为连续函数在区间内任意一点处的极限存在，这为积分运算提供了保证。
2.有界函数：有界函数在区间[a, b]上存在上确界和下确界，这意味着对于任意一个子区间[c, d]，都可以找到一个M和m，使得m ≤ f(x) ≤ M。
这样一来，对于这个子区间上的积分，结果必然是有限的。
3.周期函数：周期函数具有周期性，即f(x+T) = f(x)，其中T为函数的周期。
因为周期函数在区间[0, T]上连续且周期性重复，所以它是可积的。
4.单调函数：单调函数在区间[a, b]上单调增加或单调减少。
对于单调增加的函数，我们可以使用牛顿-莱布尼茨公式计算其积分；对于单调减少的函数，我们可以先求原函数的相反函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算。
要判断一个函数fx是否可积，我们可以采用以下方法：1.牛顿-莱布尼茨公式：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
2.积分换元法：如果函数f(x)难以直接积分，我们可以通过换元法将其转化为更容易积分的形式。
例如，设u = g(x)，则∫[a, b]f(x)dx = ∫[a,b]f(g(u))du。
考研数学定与不定积分的知识点
考研数学定与不定积分的知识点考研数学定与不定积分的知识点不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F （x），使对任一x∈I都有F’（x）=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的.最大值和最小值，则m （b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛，则定义∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。
原函数存在性与可积性概念辨析
x
y
x
0
x y x-0
由于
x 0 < N0 < x , x < N1 < x 0 .
I0 X I1, 故 F( x ) 不是 f ( x ) 的原函数.
综上所述, 在区间[ a, b] 上具有第一类间断点的 函数的原函数一定不存在.
定理 6 设 f ( x ) 在区间[ a, b] 上有原函数, 即
本文将结合具体例子, 讨论了原函数存在性与可 积性之间并没有必然联系.
1 函数可积性与原函数存在性基本结论 在数学分析教材中, 函数 f ( x ) 在区间[ a, b] 上 的可积性, 有以下结论[ 1-2] : 定理 1 若函数 f ( x ) 在区间[ a, b] 上连续, 则函 数 f ( x ) 在[ a, b] 上可积. 定理 2 若函数 f ( x ) 在区间[ a, b] 上有界, 且有 有限个间断点, 则函数 f ( x ) 在[ a, b] 上可积. 定理 3 若函数 f ( x ) 在[ a, b] 上单调, 则函数 f ( x ) 在[ a, b] 上可积. 而关于函数 f ( x ) 在[ a, b] 上原函数的存在性问 题, 则有以下定理: 定理 4 若函数 f ( x ) 在[ a, b] 上连续, 则积分上 限函数
个原函数 F ( x ) , 则有
f ( x),
x 0 < x [ b,
Fc( x ) = f ( x 0 ) , x = x 0 ,
f ( x),
a [ x < x0.
( ) 当 x 0 为可去间断点时, 存在
但是,
lim f ( x ) = I ,
x yx 0
I X f (x 0).
原函数存在的三个条件
原函数存在的三个条件1.引言1.1 概述在数学中，原函数指的是一个函数的导数等于给定函数的函数。
也就是说，如果函数G(x)是函数f(x)的导数，则函数f(x)是函数G(x)的原函数。
原函数在微积分和积分学中起着重要的作用。
原函数的存在性一直是数学家们关注的问题。
在这篇文章中，我们将讨论原函数存在的三个条件。
这些条件是确保一个函数存在原函数的基本要求。
首先，一个函数f(x)在某个区间I上必须是连续的。
连续性是指函数在该区间上的图像没有任何断点或间断。
如果函数在一个区间上是连续的，那么它就具备了存在原函数的第一个条件。
其次，函数f(x)在区间I上必须是可导的。
可导性意味着函数在该区间上的导数存在。
导数表示了函数在不同点上的斜率或变化率。
如果函数在某个区间上是可导的，那么它满足了存在原函数的第二个条件。
最后，函数f(x)在区间I上的导函数必须在该区间上是连续的。
也就是说，导函数必须是一个连续函数。
如果函数的导函数在一个区间上是连续的，那么它就符合了存在原函数的第三个条件。
总而言之，一个函数存在原函数的三个条件是连续性、可导性以及导函数的连续性。
只有当一个函数同时满足这三个条件时，我们才能说该函数存在原函数。
这些条件在数学分析和实际问题的求解中都具有重要的意义，它们帮助我们理解函数的性质和解决相关的积分问题。
在接下来的文章中，我们将详细讨论这三个条件，并探讨它们的应用和意义。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式来编写:文章结构部分旨在介绍本文的组织结构和各个部分的内容，以使读者能够清晰地了解文章的整体框架。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
概述部分将阐述原函数存在的问题以及解决这些问题的重要性。
文章结构部分即当前所在部分，将详细介绍本文的组织结构。
目的部分将详细说明本文的目标和意义，即为读者提供关于原函数存在的三个条件的全面了解。
正文部分将包括第一个要点和第二个要点两个小节。
原函数存在与Riemann可积
原函数存在与Riemann可积
于书敏;张安梅
【期刊名称】《通化师范学院学报》
【年(卷),期】2003(024)002
【摘要】通过举例说明定积分与不定积分(原函数)是两个不同的概念,它们的存在性没有必然的蕴含关系.
【总页数】2页(P7-8)
【作者】于书敏;张安梅
【作者单位】通化师范学院数学系,吉林通化,134002;通钢一中
【正文语种】中文
【中图分类】O241.4
【相关文献】
1.有关原函数存在性与函数可积性关系的探讨 [J], 张丽春;李文钰;杨月婷;
2.函数连续与函数可积和原函数存在性的关系 [J], 孔真
3.函数的连续性、单调性、可积性及原函数存在性之间的关系 [J], 赵秀;李红银;雷飞
4.Riemann可积与存在原函数的关系 [J], 薛怀玉
5.函数的原函数存在与黎曼可积的关系 [J], 程磊;李静
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不定积分知识点总结
不定积分知识点总结不定积分知识点总结引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！不定积分1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的'原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。
使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。
4、关于广义积分设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a<c<b )外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx 都收敛，则定义∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否则(只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。
分段函数_函数的可积性与原函数存在性
第 2 期 马保国 ,等 :分段函数 、函数的可积性与原函数存在性
203
又 f 在[ - 1 ,1 ]上无界. 事实上 ,对任意 M > 0 ,取 n = ( [ M ] + 1) 2 , x0 =
1 2
nπ∈[
-
1
,1] ,有
| f ( x0 ) | = 22nπsin2 nπ- 2 nπco s2 nπ
显然 ,当 A = 0 时 , f 有原函数
F( x) =
x2 sin
1 x
,
x ≠0 ,
0,
x = 0.
当 A ≠0 时 , f 在含有原点的任何区间上均不存在原函数.
另外 ,显然函数 f 在任何包含原点的有限闭区间[ a , b]上是有界的 , 且只用一个间断点 x = 0. 从而
f 在区间[ a , b]上可积.
该例说明 ,存在含有非无穷型第二类间断点的可积函数 ,它不存在原函数 ;同时 ,给出了一个不连续
的函数 ,既是可积的 ,又存在原函数.
最后 ,对于第三类可积函数即单调函数. 如果 f 在闭区间 [ a , b]上单调且连续 , 则自然 f 在区间
[ a , b]上存在原函数 ;如果 f 在闭区间[ a , b]上单调但不连续 ,那么 ,由于单调函数的间断点是第一类的 ,
所谓分段函数 ,是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式表示 ,而是用几个不同的解析式来 表达的函数 ,有时可能要用无穷多个解析式. 分段函数一般定义为 :设 I 是一个区间 , f 在 I 上有意义且 满足
n
(i) I = ∪Ii , Ii ∩I j = i =1
则称 f 为 I 上的分段函数.
1 分段函数
众所周知 ,在数学分析中重点讨论的是有广泛应用的初等函数. 对于非初等函数的讨论常出现在一 些重要概念和理论问题的进一步剖析和讨论中 ,它的主要应用之一就是构造满足某些要求的反例 ,由此 对概念或定理进行辨析与阐述 ,分段函数就是这样一类重要的函数. 如 , 狄利克莱函数 、黎曼函数 、符号 函数等就是这方面应用的典范.
分段函数、函数的可积性与原函数存在性问题分析
分段函数、函数的可积性与原函数存在性问题分析作者：丁军猛来源：《速读·中旬》2016年第08期摘要：在数学教学当中主要分为两部分教学内容，分别是函数和几何，由此我们可以这样说，函数内容占据着数学领域的半壁江山，在高等数学教学当中函数依然是非常重要的教学内容，特别是在关于函数的可积性与原函数的存在性关系上教师也曾反复多次强调二者并无联系，本文将主要讨论和分析分段函数、函数的可积性与原函数存在性的问题。
关键词：分段函数；函数可积性；原函数；存在性问题自从微积分概念出现以来，在某种程度上把不定积分也就是原函数与定积分即函数可积的概念相联系起来，因此很多数学初学者便想当然的认为原函数的存在性和函数的可积性之间有着紧密的关系，也就是原函数存在则函数具有可积性，反之函数具有可积性那么原函数必定存在，但是经过分段函数的研究证明，函数的可积性与原函数的存在性之间并无半点联系，更没有初学者所想的相互关系。
一、分段函数的概述分段函数从字面上看就是分为好几段的函数，虽然它被分为好几段但是仍然属于一个整体，也就是说分段函数是一个函数，并不是好多个函数，在任何一个函数当中都有自变量x和与之相对应的值域y，而分段函数则是根据自变量具体数值的不同它的取值范围也不再固定，是会随着自变量的改变而改变，也就是说在分段函数中的每一段函数的定义域合并在一起才是整个分段函数的定义域，同样每一段函数的值域合并在一起才是整个分段函数的值域。
因为分段函数的特殊性，可以对函数的奇偶性、单调性、最小正周期、函数的最大值、最小值包括自变量的范围等都可以展开具体的讨论，解决分段函数的方法有很多，常见的有待定系数法、公式法和数形结合法等等。
二、函数的可积性（一）可积函数的定义在积分函数当中，可积函数分为两种，一种是勒贝格积分，另外一种叫做黎曼可积，也就是我们所说的黎曼积分。
简单来说就是指若函数f（x）在[a，b]上存在积分，那么我们便认为函数f（x）在[a，b]上可积，也就是说函数f（x）在[a，b]上具有可积性。
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函数可积与存在原函数的关系
本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。
得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。
本文主要给出两个反例。
一、 存在定积分但不存在原函数的例子
定义函数如下：
⎩
⎨⎧=⋃∈=2/1,1]1,2/1()2/1,0[,0)(x x x f 该函数显然有界，x =1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，0d )(1
0=⎰x x f 。
但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用
导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。
可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得
0d )()(0≡=⎰x
t t f x F 显然它的导数并不是f (x )，而是f (x )在x =1/2处作连续开拓后的函数。
关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。
二、 存在原函数但不存在定积分的例子。
定义函数如下：
⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=0
,010,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f 首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：
⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0
,010,1sin )(22x x x x x F 为此目的，只需证明)()('x f x F =对任何x ∈[0,1]成立，而0<x ≤1时该式的成立是显然的，关键是证明)0()0('f F =，这里的)0('F 要理解为单侧导数。
因为 200()(0)1lim lim sin 00x x F x F x x x
++→→-==-，这表明)0('F 存在，并且)0()0('f F =，这就证
明了)(x F 是)(x f 在原函数，即)(x f 在原函数存在。
现在来考虑)(x f 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间[0,1]无界，因为任意0>δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，在这个区间上，21sin 2x
x 是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但21cos 2x
x -这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取πn x x n 21
==，则其值为πn 22
1-，但若取π)12(1
+==n y x n ，则其值为π)12(2
1+n ，只要n 充分大，便可使),0(,δ∈n n y x ，同时)(,)(n n y f x f 却可以大于任何预先给定的正数。
这就是说，任意0>δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，从而在闭区间[0,1]无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以)(x f 的定积分不存在。
综合上面的结果，函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。
下面是关于导函数连续性定理的资料：
导函数连续性定理：若函数)(x f 在0x 的邻域)(0x U 内连续，在0x 的
空心邻域)(00x U 内可导，并且导函数)('0x f 在0x 处存在极限a ，
a x f x x =→)('lim 00，那么函数)(x f 在0x 处存在导数，并且a x f =)('0。
证明：设0x x <，)(0x U x ∈，则)(x f 在闭区间],[0x x 上连续，开区间),(0x x 内可导，于是由拉格朗日中值定理得
)(')()(0
0ξf x x x f x f =--，其中),(0x x ∈ξ 在上式中令-→0x x （即x 从左侧趋向0x ，此时ξ也从左侧趋向0x ），得到
a f x x x f x f x x x x ==----→→)('lim )()(lim 000
0ξ，即a x f =-)('0
这表明)(x f 在0x x =处左导数存在，且等于a ，同理可证明右导数存在，也等于a ，从而)(x f 在0x x =处存在导数，且等于a 。
注：条件中)(x f 在0x 处的连续性不可缺，因为拉格朗日中值定理要求闭区间连续，那么在证明左导数存在的时候必须要求)(x f 在0x 处左连续，证明右导数存在的时候要求)(x f 在0x 处右连续，合起来就是)(x f 在0x 处连续。
（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。
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