最长公共子序列求解：递归与动态规划方法
最长公共子序列问题
实验三最长公共子序列问题1.实验环境本实验采用 java 语言编写实现，环境：，编译器： eclipse2.实验目的通过最长公共子序列问题，巩固并详细分析动态规划思想和解题步骤。
3.设计思路最长公共子序列的定义为：设有两个序列S[1..m]和9[仁n],需要寻找它们之间的一个最长公共子序列。
例如,假定有两个序列：S1： I N T H E B E G I N N I N GS2： A L L T H I N G S A R E L O S T则S i和S的一个最长公共子序列为 THING又比如：S1： A B C B D A BS2： B D C A B A则它们的一个最长公共子序列为 BCBA。
这里需要注意的是,一个子序列不一定必须是连续的,即中间可被其他字符分开,单它们的顺序必须是正确的。
另外,最长公共子序列不一定只有一个,而我们需要寻找的是其中一个。
当然，如果要求子序列里面的元素必须连成一片也是可以的。
实际上，连成一片的版本比这里实现的更容易。
4.过程我们可以通过蛮力策略解决这个问题，步骤如下：1.检查S1[1..m]里面每一个子序列。
2.看看其是否也是S2[1..n]里的子序列。
3.在每一步记录当前找到的子序列里面最长的子序列。
这种方法的效率十分低下。
因此本实验采用动态规划的方法实现该算法。
利用动态规划寻找最长公共子序列步骤如下：1.寻找最长公共子序列的长度。
2.扩展寻找长度的算法来获取最长公共子序列。
策略：考虑序列S1和S2的前缀序列。
设 c[i，j] = |LCS (S1[1..i],S2[1..j])，则有 c[m, n] = |LCS(S1 S2)| 所以有c[ i -1 , j -1 ] + 1, 如要 S1[i] = S2[j]c[i, j]=max{ c [ i - 1, j ], c[ i , j -1 ] }, 如果 S1[i]工S2[j] 然后回溯输出最长公共子序列过程:5. 实现源代码package Icsimple; public classLCSImplem {断点调试及代码分析首先在main 方法里定义两个字符串，如：String strl = "ABUEDAB"；Strin(j str2 = ''BDCABA 11;对这两个字符串，使它们的第一个字符为空，即初始化之后的C[][] 的第一行第一列，之所以要空出，是因为c[][]代表的是两个字符串数 组多少个，0的意思就是某个字符串的长度为 0。
动态规划算法原理与的应用
动态规划算法原理与的应用动态规划算法是一种用于求解最优化问题的常用算法。
它通过将原问题划分为子问题，并将每个子问题的解保存起来，以避免重复计算，从而降低了问题的时间复杂度。
动态规划算法的核心思想是自底向上地构建解，以达到求解整个问题的目的。
下面将介绍动态规划算法的原理以及一些常见的应用。
1.动态规划算法的原理1)将原问题划分为多个子问题。
2)确定状态转移方程，即找到子问题之间的关系，以便求解子问题。
3)解决子问题，并将每个子问题的解保存起来。
4)根据子问题的解，构建整个问题的解。
2.动态规划算法的应用2.1最长公共子序列1) 定义状态：假设dp[i][j]表示序列A的前i个字符和序列B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
2) 确定状态转移方程：若A[i] == B[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；若A[i] != B[j]，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。
3) 解决子问题：从前往后计算dp数组中每个元素的值。
4) 构建整个问题的解：dp[m][n]即为最终的最长公共子序列的长度，其中m和n分别为序列A和序列B的长度。
2.2背包问题背包问题是指给定一个背包的容量和一些物品的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，选择若干物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
该问题可通过动态规划算法求解，具体步骤如下：1) 定义状态：假设dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干物品放入容量为j的背包中，能够获得的最大价值。
2) 确定状态转移方程：考虑第i个物品，若将其放入背包，则dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi；若不将其放入背包，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。
3) 解决子问题：从前往后计算dp数组中每个元素的值。
4) 构建整个问题的解：dp[n][C]即为最终的背包能够获得的最大价值，其中n为物品的个数，C为背包的容量。
算法设计与分析复习题目及答案 (3)
分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
几种常见算法的介绍及复杂度分析
几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。
时间复杂度为O(n^2)。
2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。
3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。
4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。
5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。
二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。
2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。
3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。
三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。
时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。
时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。
算法55----最长子序列【动态规划】
算法55----最长⼦序列【动态规划】⼀、题⽬：最长公共⼦序列：给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共⼦序列（Longest Common Sequence）。
⽐如字符串L：BDCABA；字符串S：ABCBDAB 则这两个字符串的最长公共⼦序列长度为4，最长公共⼦序列是：BCBA思路：动态规划：时间O(n * m)，空间O(n * m)创建 DP数组C[i][j]：表⽰⼦字符串L【：i】和⼦字符串S【：j】的最长公共⼦序列个数。
状态⽅程：个数代码：def LCS(L,S):if not L or not S:return""dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]for i in range(len(S)+1):for j in range(len(L)+1):if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 0else:if L[j-1] == S[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])return dp[-1][-1]L = 'BDCABA'S = 'ABCBDAB'LCS(L,S)最长⼦序列代码：设置⼀个标志def LCS(L,S):if not L or not S:return""res = ''dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]flag = [['left'] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 0flag [i][j] = '0'else:if L[j-1] == S[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1flag[i][j] = 'ok'else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])flag[i][j] = 'up'if dp[i][j] == dp[i-1][j] else'left' return dp[-1][-1],flagdef printres(flag,L,S):m = len(flag)n = len(flag[0])res = ''i , j = m-1 , n-1while i > 0 and j > 0:if flag[i][j] == 'ok':res += L[j-1]i -= 1j -= 1elif flag[i][j] == 'left':j -= 1elif flag[i][j] == 'up':i -= 1return res[::-1]L = 'BDCABA'S = 'ABCBDAB'num,flag = LCS(L,S)res = printres(flag,L,S)⼆、题⽬：最长递增⼦序列8}，则其最长的单调递增⼦序列为{5，6，7，8}，长度为4.解法⼀：最长公共⼦序列：O（N^2）这个问题可以转换为最长公共⼦序列问题。
组合优化问题求解方法及其应用
组合优化问题求解方法及其应用组合优化问题是指在一定的约束条件下，在一组可选的元素中选取最优组合的问题。
如何求解组合优化问题一直是计算机科学中的重要研究方向之一。
在实际中，组合优化问题的应用非常广泛，从生产调度到金融风险评估等领域都发挥着重要作用。
本文将介绍几种常见的组合优化问题求解方法及其应用。
一、贪心算法贪心算法是一种简单而常用的求解策略。
它通常从问题的某一个初始状态开始，按照某种局部最优的规则逐步构造问题最终的解，直到满足整个问题的全局最优性。
贪心算法的核心思想就是：每一步都做出一个最优决策，最终达到全局最优解。
贪心算法适用于那些带有最优子结构性质的问题。
所谓最优子结构性质是指：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
比如，在背包问题中，每次选择价值最大的物品来装入背包，就是一种贪心策略。
应用场景：1. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通的带权图中选取一棵生成树，使得所有边权之和最小。
Kruskal算法和Prim算法均属于贪心算法，可以高效地求解最小生成树问题。
2. 背包问题背包问题是指在有限的背包容量下，如何装入最有价值的物品。
贪心策略可以用来求解部分背包问题和分数背包问题。
二、分支限界法分支限界法是一种基于搜索的求解策略。
它通过不断缩小问题解空间，逐步约束问题的规模，最终求得最优解。
具体来说，分支限界法将问题解空间分成一个个子空间，在选择某一子空间的同时，通过对该子空间的搜索和剪枝，逐渐减小问题解空间的规模，直到找到最优解。
应用场景：1. 旅行商问题旅行商问题是指在一张带权完全图中，如何找到一条经过所有顶点的最短路径。
分支限界算法是一种高效的求解方法，通过剪枝技术可以显著降低搜索空间。
2. 整数规划问题整数规划问题是指在满足各种限制条件下，找到一组整数变量的最优取值使得目标函数值最小或最大。
分支限界算法可以用来求解整数规划的松弛线性规划问题。
三、动态规划算法动态规划算法是一种基于记忆化搜索的求解策略。
动态规划中的最长公共子序列
问题分析
▪ 当xm = yn时，有一个子问题，即 ：找出Xm –1和Yn – 1的最长公共子序列
▪ 当xm yn时，有两个子问题，即 (1)找出Xm – 1和Y的最长公共子序列， (2)找出X和Yn – 1 的最长公共子序列。而这两个子问题都包含 了同一个子问题(Xm– 1, Yn–1) 。 因此，本问 题满足子问题重叠性质。
”,面向对象的基本意图是提高软件模块的 复用性。 纯结构化的程序编译后基本上没有多余的代 码，而面向对象的程序有许多。 面向对象以机器的运行复杂度换取编程人员 的编写复杂度。…
计算最优值程序跟踪
X = {A C B D} Y = {A B D A}
c
0 00 00 0 11 11 0 11 11 0 12 22 0 12 33
b
00000 01331 02222 02133 02213
i j x[i]=y[j] c[i-1][j]>=c[i][j1]
11Y
2
N
3
N
4Y
21N
3.3 最长公共子序列
▪ 定义：一个给定序列的子序列是在该序 列中删去若干元素后得到的序列。
找出{A, B, C, D}的所有子序列 思考：有n个元素的序列至多有多少个子
序列？ ✓2n（包括空） ✓说“至多”是因为子序列可能相等（但
具有不同下标序列）
公共子序列
▪ 定义：如果序列Z既是序列X的子序列又 是序列Y的子序列，则称Z是X和Y的公共 子序列。
如：X = {… , C}, Y = {…, B}, zk ≠B, 则在计算最长公共子序列时，可不 考虑Y的最后一个元素B
动态规划解最长公共子序列问题
动态规划解最长公共子序列问题动态规划主要针对最优化问题,它的决策是全面考虑不同的情况分别进行决策,,最后通过多阶段决策逐步找出问题的最终解.当各个阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解.每次决策依赖于当前状态,又随机引起状态的转移.一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,故有”动态”的含义.所以,这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划.一问题的描述与分析字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干字符(可能一个也不去掉)后形成的字符序列..令给定的字符序列X=”x0,x1,x2,…xm-1”,序列Y=”y0,y1,…yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列i=i0,i1,i2,…ik-1,使得对所有的j=0,1,2,…k-1,有xi=yi。
例如X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。
求最长公共子序列。
若A的长度为m,B的长度为n,则A的子序列有2*m-1个，B的子序列有2*n-1个。
采用枚举法分别对A和B的所以子序列一一检查，最终求出最长公共子序列。
如此比较次数（2*2n）接近指数阶，当n较大时，算法太耗时，不可取。
所以要全面考虑不同的情况分别进行决策,,最后通过多阶段决策逐步找出问题的最终解.当各个阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解。
二、算法设计（或算法步骤）A=”a0,a1,a2,……am-1”,B=”b0,b1,b2,……bn-1”,且Z=”z0,z1,z2……zk-1”,为她们的最长公共子序列。
不难证明有一下结论：（1）如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,z2,……zk-2”是“a0,a1,a2,……am-2”和“b0,b1,b2,……bn-2”的一个最长公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,则“z0,z1,z2,……zk-1”是“a0,a1,a2,……am-2”和”b0,b1,b2,……bn-1”的一个最长公共子序列。
2-最长公共子序列问题(无答案)
最长公共子序列问题（LCS）（生物信息学中常用算法）子序列的概念：设X=< x1, x2,┅, x m>，若有1≤i1< i2< ┅<i k≤m，使得Z=< z1, z2,┅, z k> = < x i1, x i2,┅, x ik>，则称Z是X的子序列，记为Z<X。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Z=<B,C,B,A>, 则有Z<X。
公共子序列的概念：设X，Y是两个序列，且有Z<X和Z<Y，则称Z是X和Y 的公共子序列。
最长公共子序列的概念：若Z<X，Z<Y，且不存在比Z更长的X和Y 的公共子序列，则称Z是X和Y 的最长公共子序列，记为Z∈LCS(X , Y)。
最长公共子序列往往不止一个。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Y=<B,D,C,A,B,A>, 则Z=<B,C,B,A>, Z’=<B,C,A,B>, Z’’=<B,D,A,B>均属于LCS(X , Y) ，即X,Y有3个LCS。
如何找出X和Y的一个最长公共子序列？Brute-force法：列出X的所有长度不超过n（即∣Y∣）的子序列，从长到短逐一进行检查，看其是否为Y的子序列，直到找到第一个最长公共子序列。
由于X共有2m个子序列，故此方法对较大的m没有实用价值。
是否能使用动态规划法？如何用？分析：记X i=﹤x1，…，x i﹥即X序列的前i个字符(1≤i≤m)（前缀）Y j=﹤y1，…，y j﹥即Y序列的前j个字符(1≤j≤n)（前缀）假定Z=﹤z1，…，z k﹥∈LCS(X , Y)。
若x m=y n（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有z k = x m = y n且显然有Z k-1∈LCS(X m-1 , Y n-1) 即Z的前缀Z k-1是X m-1与Y n-1的最长公共子序列。
动态规划法求解最长公共子序列含Java代码
C[(m+1)*( n+1)],若 X[i] Y[j]且 C[i-1,j] > C[i,j-1] ，则b[i,j]中记入“,记此时B[i,j] = 2 ; 若 X[i] Y[j]且 C[i-1,j] < C[i,j-1] ，则b[i,j]中记入记此时B[i,j] = 3 ;若 X[i] Y[j]且 C[i-1,j] = C[i,j-1]，则b[i,j] 中记入“f”或“J ”记此时B[i,j] = 4得到了两个数组 C[]和B[]，设计递归输出LCS(X,Y)的算法:一.算法设计假设有两个序列 X 和Y ,假设X 和Y 分别有m 和n 个元素，则建立一个二维数组 记录X 与Y 的LCS 的长度。
将C[i,j]分为三种情况：若 i =0 或 j =0 时，C[i,j]=0 ；若 i,j>0 且 X[i]=Y[j] ，C[i,j]=C[i-1,j-1]+1；若 i,j>0 且 X[i] Y[j],C[i,j]=max{C[i-1,j],C[i,j-1]}。
再使用一个 m*n 的二维数组b , b[i,j]记录C[i,j]的来向：若 X[i]=Y[j]，则 B[i,j]中记入 \\ 记此时 b[i,j] = 1 ;LCS_Output(Directio n[ ][], X[], i, j, le n, LCS[]) { If i=0 or j=0将 LCS[]保存至集合 LCS_SET 中the n return;If b[i,j]=1 the n /*X[i]=Y[j]*/{LCS_Output(b,X,i-1,j-1);将 X[i]保存至 LCS[len-i] ; }else if b[i,j]=2 the n /*X[i] LCS_Output(b,X,i-1,j) else if b[i,j]=3 the n /*X[i]LCS_Output(b,X,i,j-1)else if b[i,j]=4 the n /*X[i] Y[j]且 C[i-1,j]>C[i,j-1]*/Y[j]且 C[i-1,j]<C[i,j-1]*/Y[j]且 C[i-1,j]=C[i,j-1]*/LCS_Output(b,X,i-1,j)公共子序列问题徐康123183LCS_Output(b,X,i,j-1).算法时间复杂度分析由上述对算法的分析得知，求辅助数组C和B所消耗的时间复杂度为O (mn),而查找所有的公共子序列的时间复杂度取决于所遍历的路径，而路径是由算法递归的方向决定的。
Python中的动态规划解析
Python中的动态规划解析动态规划是一种常用的算法思想，可以解决许多实际问题。
在Python中，动态规划的应用广泛，无论是求解最优解还是优化算法效率，都离不开动态规划的思想。
本文将对Python中的动态规划进行解析，并介绍其基本原理、常见应用和实现方法。
一、动态规划的基本原理动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或递归）的方式去解决的算法思想。
它通常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
具体来说，动态规划的基本原理可以概括为以下几步：1. 找到问题的最优子结构，即将原问题分解为若干个子问题；2. 定义问题状态，即确定需要存储的信息，以便用于子问题之间的转移；3. 确定状态转移方程，即问题状态之间的递推关系；4. 确定边界条件，即最小的子问题的解；5. 通过状态转移方程和边界条件，计算出原问题的解。
二、动态规划的应用动态规划在解决实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的动态规划问题及其解决方法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个常见的动态规划问题，其定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n ≥ 2）2. 背包问题背包问题是求解在有限的背包容量下，如何选择装入背包的物品，使得物品的价值最大化或重量最小化的问题。
常见的背包问题包括01背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
3. 矩阵链乘法问题矩阵链乘法问题是求解如何在给定的一系列矩阵相乘的情况下，使得计算乘法的次数最少的问题。
4. 最长公共子序列问题最长公共子序列问题是求解两个序列中最长的公共子序列的问题，常见的解决方法是使用动态规划。
三、动态规划的实现方法在Python中，可以使用递归或迭代的方式来实现动态规划。
1. 基于递归的实现基于递归的实现方式通常会利用递归的性质来解决问题，但由于递归会导致重复计算，因此需要使用记忆化搜索（Memoization）来优化递归过程。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。
它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。
0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。
完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。
3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。
4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。
5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。
以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。
解决问题常用方法
解决问题的常用方法
分治法（归并排序，最大子和段问题）基本思想：将一个难以直接解决的大问题分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
如规模为n的问题可分解成k个子问题，1＜k≤n，这些子问题互相独立且与原问题相同。
分治法产生的子问题往往是原问题的较小规模。
步骤：（1）分解：将原问题分解成一系列子问题。
（2）求解：递归地求解各个子问题。
若子问题足够小，则直接求解。
（3）合并：将子问题的解合并成原问题的解。
动态规划法（0-1背包问题，最长公共子序列问题；寻找最优解）基本思想：将带求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
经分解得到的子问题往往不是独立的，在过程当中，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
（2）递归地定义最优解的值；
（3）以自底向上的方式计算出最优值；
（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
贪心算法（活动选择，背包问题）：当前每一步都是最优的，是当前最好的选择，但不一定是最优解。
回溯法（0-1背包，n皇后问题）：。
最长上升子序列 (lis) 详解
最长上升子序列 (lis) 详解以最长上升子序列 (LIS) 详解为标题最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是一类经典的动态规划问题，它在计算机科学领域中具有重要的应用。
本文将详细介绍LIS问题的定义、解法以及相关应用。
一、问题定义LIS问题的定义是：给定一个序列，找到其中最长的严格递增子序列的长度。
严格递增子序列是指序列中的元素按照原始顺序选取，但可以不连续，并且每个元素都比它前面的元素大。
例如，对于序列[3, 4, -1, 0, 6, 2, 3]，其中的一个最长上升子序列是[3, 4, 6]，长度为3。
二、解法1. 动态规划解法LIS问题可以使用动态规划来解决。
定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。
初始时，将dp数组的所有元素都初始化为1，因为每个元素本身可以作为一个长度为1的上升子序列。
然后，从第二个元素开始遍历原始序列，对于每个元素nums[i]，遍历它之前的所有元素nums[j]，如果nums[i]大于nums[j]，则更新dp[i]为dp[j]+1。
遍历整个dp数组，找到其中的最大值，即为最长上升子序列的长度。
2. 二分查找解法除了动态规划解法外，LIS问题还可以使用二分查找来解决。
定义一个数组tails，其中tails[i]表示长度为i+1的上升子序列的最后一个元素的最小值。
然后，遍历原始序列，对于每个元素nums[i]，如果nums[i]大于tails数组中的最后一个元素，说明可以将nums[i]添加到tails数组的末尾，此时最长上升子序列的长度需要加1。
如果nums[i]小于或等于tails数组中的最后一个元素，说明可以用nums[i]来替换tails数组中比nums[i]大的第一个元素，这样可以使得tails数组中的元素尽可能小，从而可以容纳更多的元素，进而使得最长上升子序列的长度变得更长。
算法原理知识点总结
算法原理知识点总结算法是计算机科学和信息技术领域中的重要概念，是解决问题或执行任务的一系列有序步骤的描述。
算法可以用于各种不同的情景和问题，比如搜索、排序、最短路径等。
本文将介绍一些算法的基本原理和知识点，并对一些常用的算法进行详细的介绍。
一、算法的基本原理1. 算法的定义算法是一系列步骤的描述，用于解决问题或执行任务。
这些步骤必须是有序的，并且能够在有限时间内完成。
算法可以应用于各种不同的情景和问题，比如搜索、排序、最短路径等。
2. 算法的特性算法具有以下几个特性：- 有穷性：算法必须在有限的步骤内完成；- 确定性：算法的每一步必须明确，并且具有确定的含义；- 输入：算法必须有零个或多个输入；- 输出：算法必须有一个或多个输出。
3. 算法的复杂度算法的复杂度是指算法的执行时间和空间资源的消耗。
在计算机科学和信息技术领域中，算法的复杂度通常用大O记号来表示。
大O记号描述了算法在最坏情况下的运行时间的增长速度。
4. 算法的正确性算法的正确性是指算法能够在所有输入情况下得到正确的输出。
为了验证算法的正确性，通常需要对算法进行测试，并且证明其正确性。
二、常用的算法1. 搜索算法搜索算法是用来在数据集中查找特定元素的算法。
常用的搜索算法包括线性搜索、二分搜索和哈希表等。
- 线性搜索：线性搜索是最简单的搜索算法，它遍历整个数据集，查找指定的元素。
线性搜索的时间复杂度为O(n)。
- 二分搜索：二分搜索是一种效率较高的搜索算法，它要求数据集是有序的。
二分搜索通过反复将搜索范围减半，来查找特定的元素。
二分搜索的时间复杂度为O(log n)。
- 哈希表：哈希表是一种使用哈希函数来存储和查找数据的数据结构。
哈希表的时间复杂度为O(1)。
2. 排序算法排序算法是用来将数据集中的元素按照指定的顺序进行排列的算法。
常用的排序算法包括冒泡排序、快速排序和归并排序等。
- 冒泡排序：冒泡排序是一种简单的排序算法，它通过比较相邻的元素，并交换它们的位置来进行排序。
最长公共子序列例题
最长公共子序列例题以下是一个关于最长公共子序列的例题：给定两个序列 X = { x1, x2, ..., xm } 和 Y = { y1, y2, ..., yn }，求 X 和 Y 的最长公共子序列。
举例：X = { a, b, c, b, d, a, b }Y = { b, d, c, a, b, a }最长公共子序列为 LSC = { b, c, b, a }。
解题思路：最长公共子序列问题具有最优子结构性质，可以使用动态规划求解。
设 X 和Y 的最长公共子序列为 Z，其中 Z 的长度为 k。
那么可以用一个二维数组c[m+1][n+1] 来存储 X[i] 和 Y[j] 的最长公共子序列的长度，其中 i 和 j 分别为 X 和 Y 的下标。
根据最优子结构性质，如果 X[i] = Y[j]，那么 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；如果 X[i] != Y[j]，那么 c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])。
最终，c[m][n] 就是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度。
通过动态规划求解最长公共子序列的具体过程如下：1.初始化数组 c，将所有元素初始化为 0；2.遍历 X 和 Y 的每个元素，对于每个元素 X[i] 和 Y[j]，如果 X[i] == Y[j]，则 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；否则，c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])；3.在 c[m][n] 中存储的就是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度；4.从 c 数组中回溯出最长公共子序列。
具体做法是从 c[m][n] 开始，如果c[i][j] == c[i-1][j-1] + 1，说明 X[i] 和 Y[j] 在最长公共子序列中是相邻的，因此最长公共子序列就是 X[i], Y[j]。
然后继续回溯，将 X[i+1], Y[j+1] 加入最长公共子序列中，直到回溯到 c[0][0]。
算法设计与分析动态规划——最长公共子序列LCS及模板
算法设计与分析动态规划——最长公共⼦序列LCS及模板摘⾃这位⼤佬写的对理解DP也很有帮助，我就直接摘抄过来了，代码部分来⾃我做过的题⼀，问题描述给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共⼦序列（Longest Common Sequence）。
⽐如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB则这两个字符串的最长公共⼦序列长度为4，最长公共⼦序列是：BCBA⼆，算法求解这是⼀个动态规划的题⽬。
对于可⽤动态规划求解的问题，⼀般有两个特征：①最优⼦结构；②重叠⼦问题①最优⼦结构设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共⼦序列记为LCS(X,Y)找出LCS(X,Y)就是⼀个最优化问题。
因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共⼦序列。
⽽要找X 和 Y的LCS，⾸先考虑X的最后⼀个元素和Y的最后⼀个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后⼀个元素与Y的最后⼀个元素相同，这说明该元素⼀定位于公共⼦序列中。
因此，现在只需要找：LCS(X n-，Y m-1)1LCS(X n-1，Y m-1)就是原问题的⼀个⼦问题。
为什么叫⼦问题？因为它的规模⽐原问题⼩。
（⼩⼀个元素也是⼩嘛....）为什么是最优的⼦问题？因为我们要找的是X n-1 和 Y m-1的最长公共⼦序列啊。
最长的换句话说，就是最优的那个。
（这⾥的最优就是最长的意思）2）如果xn != ym，这下要⿇烦⼀点，因为它产⽣了两个⼦问题：LCS(X n-1，Y m) 和 LCS(X n，Y m-1)因为序列X 和 序列Y 的最后⼀个元素不相等嘛，那说明最后⼀个元素不可能是最长公共⼦序列中的元素嘛。
（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(X n-1，Y m)表⽰：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(X n，Y m-1)表⽰：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。