第六节多值函数
第六 节 多元函数的极值及其求法
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二、多元函数的极值和最值
1、【二元函数极值的定义】 xy ⑴【实例】 观察二元函数 z x 2 y 2 的图形 e
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⑵【二元函数极值的定义】
设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ：若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极大值；若 满足 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极小值；
z
z xy
(3)
O
1 1
y
双曲抛物面（马鞍面）
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x
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2、【多元函数取得极值的条件】
【定理 1】 （必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具 有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏 导数必然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
x (0,6)
y
由 f x 4 x ( x 6) 2 x 2 0 ,
得 x1 0 ( 边界点舍去 ) , x2 4
o
x y6
D
x
y (6 x ) | x 4 2,
f (4,2) 64,
比较后可知 f ( 2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
进价：1元 售价：x元 收益：x 1元/瓶 进价：1.2元 售价：y 元 收益：y 1.2元/瓶
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
06第六节多元函数的极值及其求法.docx
第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元两数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★引例★二元函数极值的概念例1・3★极值的必要条件★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤★例4★例5★求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格郎H乘数法★例12★例13★例14★例15★例16*数学建模举例★线性冋归问题★线性规划问题★内容小结★课堂练习★习题6-6内容提要：一、二元函数极值的概念定义1设函数z = /（兀刃在点（勺,北）的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于（兀°,%）的任意一点（兀,刃，如果/（兀，刃 </（兀0，%），则称函数在（兀（）,儿）有极大值；如果/（兀，刃>/（兀0，%），则称函数在（心,北）有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数z = /（X, y）在点（兀0，北）具有偏导数，.目.在点（兀0，）；0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即f x（无），y（））= 0, f y（心,y（）） = 0. （6.1）与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件)设函数z二f(x,y)在点(兀,儿)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又人(心儿)"'人(兀0』0)=。
•令f xx(x Q,y Q) = A, 4(x0,j0) = B, /,v(x0,y0) = C.(1)当AC-B2> 0时,函数/(x,y)在(兀°,%)处有极值,且当A >0时有极小值/(x0,y0)；A < 0时有极大值/(勺,儿);(2)当AC-B2< 0时，函数f(x,y)在(兀(),儿)处没有极值；(3)当AC-B2= 0时，函数f(x,y)在(兀0，凡)处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数/(x,y)具有二阶连续偏导数，则求z = /(兀』)的极值的一般步骤为：第一步解方程组久(兀,〉，)=0,人(兀,刃=0,求出/(x,y)的所有驻点；第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x, j)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数/(兀,刃的最大值和最小值的一般步骤为：(1)求函数/(X, y)在D内所有驻点处的函数值；(2)求/(x, y)在£>的边界上的最大值和最小值；(3)将前两步得到的所有函数值进行比较，其屮最大者即为最大值，最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如杲根据问题的性质，可以判断出函数/(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得，而函数/(x,y)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x, y)和0(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z = fg刃在D内满足条件gy) = 0的极值问题，可以转化为求拉格朗H函数L(x, y, 2) = f (x, y) + A(p(x, y)(其中2为某一常数)的无条件极值问题.于是，求函数z = /(兀』)在条件°(九刃=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1)构造拉格朗H函数L(x, y, A) = f(x, y) + y)其屮2为某一常数;(2)由方程组L x = f x (兀,y)+九<Px (兀,y) =0, < L y = f y (x, y) + A(p y (兀,y) =0,L 入—0(兀,y) = 0解出x,y,A,其中x』就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗tl乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：四、数学建模举例例题选讲:二元函数极值的概念例1 (E01)函数z = 2x2 +3y2在点(0, 0)处有极小值.从几何上看，z = lx1 + 3y2表示一开口向上的椭圆抛物而，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-1).例2 (E02)函数z二-+ >,2在点(0,0)处有极大值.从几何上看，z二-+ >,2表示一开口向下的半圆锥面，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-2).例3 (E03)函数z = /-x2在点(0,0)处无极值.从儿何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3)例 4 (E04)求函数/(x, y) = ? - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x的极值.解先解方程组解得驻点为(1,0), (1, 2), (-3,0), (-3, 2).再求出二阶偏导数(x,y) = 6x + 6, f xy(x,y) = 0, f yy Xx,y) =-6y + 6.亠一 9 [ fXx,y) = 3x 2 +6x-9 = 0在点(1,0)处，AC — B 2=12・6>0,又彳 9, A>0,厶a )2-3),2+6)=0故函数在该点处有极小值/(1,0) = -5; 在点(1,2)处，(-3,0)处，AC-B 2=-12-6<0,故函数在这两点处没有极值；在点(-3, 2)处，AC-B 2=-U-(-6) >0,又A v0,故函数在该点处有极大值/(-3,2) = 31.例5证明函数z = (1 + e y )cosx-ye y 有无穷多个极大值而无一极小值.又 A = z ：. =-(l + o' )cos 七 B = z xy =-e y sinx, C = z ；. =e y (cosx-2-y). 在点(2砸,0)g z)处,4 = 一2, B = 0, C = -l, AC-B 2=2>0t又A v 0,所以函数z 取得极大值；在点(⑵2 +1)龙,一2)仇w Z )处,A = 1 + 0-2, B = 0, C = —0-2, AC-B 2 = -e~2-e _4<0,此时函数无 极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6求函数/(兀,刃=兀2-2兀y + 2y 在矩形域D = {(x, y) | 0 < x < 3,0 < y < 2}上的最大值和最小值.解 先求函数f(x,y)在D 内驻点.由f x = 2x-2y = 0, f y =-2x + 2 = 0求得/在D 内部 的唯一驻点(1, 1),且/(1J) = 1.其次求函数/(兀,刃在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段厶 —在厶上y = 0, /(x,()) = /,()5x53.这是x 的单调增加函数，故在厶上f 的最大值为 /(3,0) = 9,最小值为 /(0,0) = 0.同样在厶2和厶4上/也是单调的一元函数，易得最大值、最小值分别为/(3, ()) = 9, /(3,2) = 1 (在厶2 上)，/(0,2) = 4, /(0,0) = 0(在厶4 上)，而在厶上〉，=2, /(x, 2) = X 2-4X + 4, 05兀5 3,易求出/在厶上的最大值/(0,2) = 4,最小值= -(l + e v )sinx = 0= e?v (cosx-l-y) = 0 x = k 兀 尸(_护_1伙wZ )・/(2, 2) = 0.将/在驻点上的值/(1,1)与厶，厶2上3，厶4上的最大值和最小值比较，最后得到/在D上的最大值/(3,0) = 9,最小值/(0,0) = /(2,2) = 0.例7求二元函数z = /(x, y) = x2y(4 -x- y)在直线x + y = 6 , x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，解方程组/；(兀,y) = 2xy(4-x-y)-x2y = 0f；(x, y) = x2 (4-x- y) - x2 y = O'得唯一驻点(2,1),且/(2,1) = 4,再求/(兀,y)在D边界上得最值，在边界兀 + y = 6上，即y = 6 —兀,于是/(x,y) = x2(6-x)(-2),由f； - 4x(x一6) + 2x2 = 0,得x} - 0, x2 - 4 i > y = 6 - x = 2,而/(4,2) = -64,所以/(2,1) = 4为最大值，/(4,2) = -64为最小值.例8求函数/(x,y) = 3x2 + 3y2一/在区域D:x2+y2 <16±的最小值.解先求/(x, y)在D内的极值.由= 6兀一3x2, fy(x,y) = 6y,解方程组］& - 3” = 0得驻点©()),(2, 0).由于6y = 0f： (0,0) = 6, £； (0,0) = 0, f；y (0,0) = 6,龙(2,0) = -6, (2,0) = 0, f；y (2,0) = 6.所以，在点(0, 0) ^bB2-AC = -36<0, A = 6>0,ttffi (0, 0)处有极小值/(0,0) = 0.在点(2,0)处B2-AC = 36>0,故函数在点(2,0)处无极值.再求f (x, y)在边界x2 +y2 = 16上的最小值.由于点(x, y)在圆周x2 +y2 = 16上变化，故可解出y2=16-x2(-4<x<4),代入/'(x,y)中，有z = /(x,y) = 3x2 + 3>,2一兀3 = 48-x3(-4 <x< 4),这时z是兀的一元函数，求得在|~4,4］上的最小值z'=4 =-16.最后比较可得，函数/(x, y) = 3x 2 + 3y2 -?在闭区间D 上的最小值/(4,0) = -16.例9求z=「7 的最大值和最小值.x+b+i （宀于+］）_2曲+刃二（兀2 +），2+1）_2）心+刃 —（宀 3）2 -，△ - ―（X 2+^2+1）2因为lim 厂弓 =0,即边界上的值为零.又 口 +y +1例10 (E05)某厂要用铁板做成一个体积为2加3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解 设水箱的长为”,宽为艸,则其高应为2/xym.此水箱所用材料的面积此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点(兀,y). 令人=2 y ——-=0, A v = 2 x ——T =0.解这方程组,得唯-•的驻点x = V2, y = V2.根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点.因此当水箱的长为呵”、宽为呵川、高为甘乖=臥时，水箱所用的材料最省.注：体积一定的长方体小,以立方体的表面积为最小.例11 (E06)设s 为商品A 的需求量，§2为商品3的需求量，其需求函数分别为q } = 16-2p )+4/?2，?2 = 20 + 4门 一10/?2,总成本函数为 C =2q 2,其中 M ，% 为商 品A 和B 的价格，试问价格卩,必取何值时可使利润最大?2 2、（2 2） 初+ y ——+ %—=2 与 + _ + _ 1 厂 小 （兀y ） A =2 （x > 0, y >0）.=0,解得驻点丄_LJi'近/ 血丿‘1r解按题意，总收益函数为R = P4 + P 2q 2 = 〃|(16-2#|2-+4/?2)+ 卩2(20 + 4/?| -IO%)，于是总利润函数为L = R_C = q 、(P\_3) + q2(P2 _2)-3)(16-2刃 + 4”2)+ (卩2一2)(20 + 4p -10卩2)・为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：- = 14-4/?! +8血=0,学=4(。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
Z,所以函数 g(x)的图象关于点
π
,0
3
,g(x)的图象的对称轴为直线 2x-
A 项错误;令
中心对称,故
π
2π π
5π
<-2 +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,在区间
3
12
间为
π
0,12
,故 C 项正确;f
项错误.故选 BC.
π
x+ 6
+1=2cos
π
2x+
3
2π
2x- =kπ,得
有的点(
π
x+ 5
的图象,只要把函数 y=3sin
)
4
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
3
B.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变
4
C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
3
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
π
x+5
的图象上所
答案 C
解析 依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
4
倍,横坐标不变.
π 3π
0, ,π, ,2π.
2
2
微思考 如图所示为函数y=sin(ωx+φ)的部分图象.利用零点代入求φ时,
ωx1+φ,ωx2+φ取哪些值?
提示 若利用x1这样的零点(图象经过(x1,0)时函数单调递减)代入求φ的值,
应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2,0)时函数
2
移 φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为(
第八章第六节多元函数的极值
H h 2 3 3V , 才能使制作材料最省。
50
总结求实际问题的最值步骤如下：
第一步：建立函数关系式，确定定义域；
第二步：求出所有驻点；
第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。
三 条件极值
先看如下的例子：
在 x y 1 的条件下，求函数 z xy 的极值。
解：从 x y 1 中解出 y 1 x, 并代入 z xy
若固定 y y0, 则 z f (x, y0 ) 是 一个一元函数，则该
函数在 x x0处取得极值，又因为 z f (x, y0 ) 对
x x0处可导，故 z
df (x, y0 )
0
x x x0 y y0
dx
x x0
同理可证
z 0 y x x0
y y0
将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点， 则必要条件可叙述为：
是否为极值点。 总结：求极值的步骤：
第一步：确定定义域（若未给出）；
第二步：解方程组 f x( x, y) 0, f y( x, y) 0 求得一切实数解，可得一切驻点。
第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A， B，C。
第四步：定出 B2 AC 的符号，按充分条件的 结论做出结论。
例1 求函数 z x2 ( y 1)2 的极值。 解：此函数的定义域为{(x, y) | x R, y R}
（1） 当 B2 AC 0, 点 P0 ( x0, y0 ) 是极值点， 且 A 0 时，点 P0 ( x0, y0 ) 是极大值点，且 A 0 时， 点 P0 ( x0 , y0 ) 是极小值点。
（2） 当 B2 AC 0时，点 P0 ( x0, y0 ) 不是极 值点。
（3）当 B2 AC 0 时，不能确定点 P0 ( x0, y0 )
多元函数
第一节多元函数的概念 多元函数的定义 先看几个例子 例题1 直圆柱体的侧面积S和底面半径 和高H之间的依 和底面半径R和高 例题 直圆柱体的侧面积 和底面半径 和高 之间的依 赖关系可用公式S=2 πRH ,｛(R，H)︱R＞ 0，H＞ 0｝表 赖关系可用公式 ｛ ， ︱ ＞ ， ＞ ｝ 示。当（R，H）的值在一定范围内取定一对数值时，S的 ， ）的值在一定范围内取定一对数值时， 的 对应值就随之确定了。 对应值就随之确定了。 例题2 气缸内理想气体的容积V与压强 ，绝对温度T之间 例题 气缸内理想气体的容积 与压强p，绝对温度 之间 与压强 的关系为V=RT/p,其中 是常数，｛ ，p)︱T＞ 0，p＞ 其中R是常数，｛(T， ) 的关系为 其中 是常数，｛ 是随T、 变化而变化的 变化而变化的。 0｝,V是随 、p变化而变化的。当（T，p）在一定范围内取 是随 ， ） 定一对数值时， 的对应值就随之确定了 的对应值就随之确定了。 定一对数值时，V的对应值就随之确定了。 例题3 一氧化氮的氧化过程为2NO+O2→2NO2，由实验可 例题 一氧化氮的氧化过程为 →2N 在此过程中，其氧化速度V与一氧化氮的克分子浓度 与一氧化氮的克分子浓度x、 知，在此过程中，其氧化速度 与一氧化氮的克分子浓度 、 氧气的克分子浓度y之间的关系为 之间的关系为V=Kx2y, ｛(x，y)︱ 氧气的克分子浓度 之间的关系为 ， ) 0≤y≤1｝，其中K为反应速度常数 ｝，其中 为反应速度常数。 0≤x≤1, 0≤y≤1｝，其中 为反应速度常数。当(x,y)在一 在一 定范围内取定一对数值时， 的对应值就随之确定了 的对应值就随之确定了。 定范围内取定一对数值时，V的对应值就随之确定了。
定义1 给定一个数对集合D和一个实数集合 和一个实数集合M,若 定义 给定一个数对集合 和一个实数集合 若 按照某一确定的对应法则f， 内每一数对 内每一数对（ ， ） 按照某一确定的对应法则 ，D内每一数对（x，y） 有惟一的一个实数z∈ 与之对应 则称f是定义 与之对应， 有惟一的一个实数 ∈M与之对应，则称 是定义 上的二元函数， 在D上的二元函数，记作 ：D→M，其中数对集 上的二元函数 记作f： ， 称为函数f的定义域 中任一点（ ， ） 合D称为函数 的定义域，D中任一点（x，y）根 称为函数 的定义域， 中任一点 据对应法则f所对应的实数 所对应的实数z，称为f在点 在点（ ， ） 据对应法则 所对应的实数 ，称为 在点（x，y） 的函数值，记作z=f (x，y)。 的函数值，记作 ， 。 若把定义域中的点（ ， ）的两个坐标x与 作为 若把定义域中的点（x，y）的两个坐标 与y作为 变量看待，则称这两个变量为函数f的自变量 的自变量， 变量看待，则称这两个变量为函数 的自变量，z 称为函数f的因变量 的因变量。 称为函数 的因变量。 类似地，可以定义三元函数、四元函数，…，n 类似地，可以定义三元函数、四元函数， ， 元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。 元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第6节多元函数的极值与最值
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z;, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) h( x, y, z) .
f x ( x, y, z) gx ( x, y, z) hx ( x, y, z) 0
令
f f
y ( x, z( x,
y, y,
z) z)
gy ( x, gz ( x,
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
12
定理2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
16
二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题.
例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx
Ly
10x 20x
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 24
0， 0
解得唯一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 唯一驻点为极大值点，
即为最大值点，
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极值的求法
定理1（必要条件）
微积分教学大纲
微积分教学大纲一、使用说明一课程性质微积分是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一,它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用;微积分作为一学年的课程,是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的,制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解,为进一步学习专业课打下坚实的基础;二教学目的通过本课程的学习,使学生较好地掌握微积分特有的分析思想,并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解,并能运用其手法解决实际问题中的简单课题;三教学时数本课程共132学时,8学分;四教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;五面向专业经济学、管理学所有本科专业;二、教学内容第一章函数一教学目的与要求教学目的使学生正确理解函数的定义;理解函数的各种表示法,特别是分析表示法;了解函数的几何特性及图形特征,了解反函数、复合函数概念;熟练掌握基本初等函数的性质及图形,掌握初等函数的结构并能确定其定义域,能列出简单的实际问题中的函数关系;基本要求1、理解实数与实数的绝对值的概念;2、理解函数、函数的定义域和值域,熟悉函数的表示法;3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征;4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数;5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法;6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质;7、了解分段函数的概念;8、会建立简单应用问题的函数关系;二教学内容函数的定义,函数的几何特性,反函数,复合函数,初等函数,经济中的常用函数;教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形;2、初等函数的概念,复合函数的复合步骤的分解方法;3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数;教学难点：1、复合函数的复合步骤的分解方法;2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法;第一节预备知识一、实数二、绝对值三、区间四、邻域五、集合第二节函数概念一、常量与变量二、函数的定义与表示法三、函数定义域的求法第三节函数的几何特性一、函数的单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四节反函数一、反函数的定义及其图形二、反三角函数及其主值第五节复合函数一、复合函数的定义二、运算及举例第六节初等函数一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形二、初等函数的定义第七节分段函数一、分段函数的概念二、分段函数的图形特征第八节建立函数关系的例子一、总成本函数、总收入函数、总利润函数二、需求函数、供给函数三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数6学时;第二章极限与连续一教学目的与要求教学目的通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则,了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质; 基本要求1、了解数列极限与函数极限概念;关于数列极限与函数极限分析定义不做要求;2、了解无穷小量的概念与基本性质,掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系;3、知道两个极限的存在性定理,并能用于求一些简单的极限;夹逼定理,单调有界数列的极限存在性定理;4、熟练掌握两个重要极限,两个重要极限的证明不作要求;5、了解函数连续性的概念,函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法;6、了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论;7、了解闭区间上连续函数的基本定理,基本定理的证明不作要求;8、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法;二教学内容数列极限,函数极限,极限的基本性质,无穷小及无穷大,极限的四则运算,极限存在准则及两个重要极限,函数连续的概念及性质;教学重点：1、极限概念、极限的运算法则;2、两个重要极限,求极限的一些基本初等方法;3、函数连续性的概念、间断点的分类;教学难点：1、极限的概念;2、分段函数的连续性;3、间断点的分类;第一节 数列的极限一、数列的概念二、数列极限的定义与几何意义三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性第二节 函数的极限一、0x x →时,函数()f x 的极限二、x →∞时,函数()f x 的极限三、函数极限的几何解释四、单边极限第三节 极限的基本性质一、唯一性二、有界性三、保号性四、不等式性第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量的定义与基本性质二、无穷小量的比较三、无穷大量的定义四、无穷小量与无穷大量的关系第五节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限的存在性定理一、夹逼定理二、单调有界数列的极限存在性定理第七节两个重要极限一、0sin1lim xx x→=二、1(1)lim xxex→∞+=第八节函数的连续性一、函数的改变量二、函数的连续性,左连续与右连续三、函数的连续性与极限的关系四、函数的间断点及其分类五、连续函数的和、差、积、商的连续性六、反函数与复合函数的连续性七、初等函数的连续性七、分段函数的连续性第九节闭区间上连续函数的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零点定理三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第三章导数与微分一教学目的与要求教学目的让学生理解导数与微分的概念,导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系;掌握导数四则运算法则,初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法,会求简单的n阶导数;基本要求1、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系;2、熟练掌握基本初等函数的导数公式;3、熟练掌握导数的四则运算法则;4、掌握反函数的导数公式证明不作要求;5、熟练掌握复合函数的链式求导公式证明不作要求6、掌握隐函数求导法与对数求导法;7、了解高阶导数概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法;8、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性;9、知道边际与弹性的概念,会求解简单的经济应用问题;二教学内容导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用;教学重点：1、导数定义,利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数;2、复合函数的导数;3、微分的定义以及计算方法;教学难点：1、导数概念的建立;2、复合函数的导数;3、微分概念的建立,微分形式不变性;第一节导数的概念一、变速直线运动的速度二、平面曲线的切线斜率三、导数的定义与几何意义四、可导与连续的关系第二节基本初等函数的导数公式推导基本初等函数的导数公式;第三节导数的四则运算导数的和、差、积、商的求导法则;第四节反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、隐函数的导数四、对数求导法第五节高阶导数的概念与求法一、高阶导数的概念二、高阶导数求法第六节微分一、微分的定义与几何意义二、可导与可微的关系三、微分法则与微分基本公式四、微分形式的不变性第七节导数与微分的简单应用一、边际与弹性概念二、边际与弹性经济学意义三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数16学时;第四章中值定理与导数的应用一教学目的与要求教学目的使学生掌握中值定理的条件和结论;会用中值定理进行简单的推理论证,熟练运用洛必达法则求不定式的极限,掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法,并会描绘简单函数的图形,会用到书分析一些简单的经济问题;基本要求1、能叙述Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理,知道这些定理之间的联系,会利用这些定理证明一些简单的证明题如证明不等式;有关这些定理的证明不作要求;2、熟练掌握00型、∞∞型的洛必达法则,了解其它未定式的定值方法;注意洛必达法则适用的条件;3、熟练掌握函数单调性的判别法;4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题;5、掌握曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法;6、掌握函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形;二教学内容中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的判定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘;教学重点：1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式;2、用洛必达法则求0,∞∞型的极限化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为型或∞∞型;3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性;4、经济应用问题:最大利润,最小成本等;教学难点：1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进;2、化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为型或∞∞型;3、利用单调性和极值证明不等式;第一节中值定理一、Rolle 定理二、Lagrange 定理三、Cauchy 定理第二节 洛必达法则一、洛必达法则二、洛必达法则的条件及其应用第三节 函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性及其判别法二、函数的凹凸性及其判别法、拐点第四节 函数的极值与最值一、函数极值的定义二、函数取极值的必要条件与充分条件三、函数最值的概念四、求函数最值的基本步骤第五节 函数作图一、曲线的渐进线二、函数作图第五节 经济应用举例一、最大利润二、最小成本三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数18学时;第五章 不定积分一教学目的与要求教学目的通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分;基本要求1、了解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质;2、熟悉基本积分公式;3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法;4、会计算三种简单的分式的不定积分：A dx x a -⎰, ()m A dx x a -⎰,22(40)Mx N dx p q x px q +-<++⎰ 二教学内容不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分;教学重点：1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式;2、换元法,分部积分法教学难点：1、第一换元法,第二换元法,分部积分法;2、有理函数式化部分分式代数和;第一节不定积分的概念一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义三、不定积分的基本性质第二节基本积分表基本积分公式;第三节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法第四节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式应用第五节有理函数的积分一、简单分式的不定积分二、真分式的分解三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第六章定积分一教学目的与要求教学目的使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题;基本要求1、了解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理;2、会求变上限积分的导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式;3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式;4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用问题;5、了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法;知道广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的收敛条件;知道Γ函数的定义、性质与递推公式;二教学内容定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分;教学重点：1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算;2、定积分的换元法及分部积分法;3、平面图形的面积计算;教学难点：1、定积分几何意义,变上限定积分;2、广义积分的敛散性;3、”微元法”的基本思想;第一节定积分的概念与性质一、曲边梯形的面积二、定积分的定义与几何意义三、定积分的基本性质四、积分中值定理第二节微积分基本定理一、变上限积分与原函数存在定理二、变上限积分的求导方法三、牛顿——莱布尼兹公式第三节定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法第四节定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、简单的经济应用问题第五节广义积分初步一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算三、广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的敛散性判别四、Γ函数的定义、性质与递推公式五三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第七章多元函数微积分学一教学目的与要求教学目的使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标系去计算积分;基本要求1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离;了解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念;2、了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法;3、知道二元函数的极限与连续性的概念;4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法;5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法;6、了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的方法;7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法,会计算一些简单的二重积分二教学内容多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用;教学重点：1、偏导数的运算;2、复合函数的偏导数和全微分;3、条件极值与拉格朗日乘数法;4、二重积分定义,性质;5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分教学难点：1、二元函数极限的概念;2、高阶偏导数的运算;3、复合函数的偏导数;4、极值应用问题的求解;5、二重积分定义;6、二重积分的定限第一节预备知识一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念第二节多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域与几何意义三、二元函数的极限与连续性第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义与计算方法二、全微分的定义与计算方法第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数概念与微分法二、隐函数微分法第五节高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、高阶偏导数的求法第六节多元函数的极值与最值一、二元函数极值的定义二、极值的必要条件与充分条件三、条件极值与拉格朗日乘数法四、多元函数最值的概念与求法第七节二重积分一、曲顶柱体体积二、二重积分的定义与基本性质三、二重积分的计算法四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数28学时;第八章无穷级数一教学目的与要求教学目的使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间的求法.基本要求1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念;2、掌握几何级数与P级数敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性;3、掌握级数收敛的条件,以及收敛级数的基本性质;4、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法;5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法;6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法;二教学内容常数项级数的概念与性质；正项级数的判别法；任意项级数的判别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间;教学重点：1、正项级数收敛性的判别;2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念;3、幂级数的收敛半径和收敛区间教学难点：1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法;2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念;第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数及其一般项与部分和的概念二、无穷级数收敛与发散的定义三、收敛级数和的概念四、几何级数与调和级数的收敛性五、无穷级数收敛的必要条件六、收敛级数的基本性质第二节正项级数一、正项级数收敛的概念二、正项级数收敛的充分必要条件三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法四、P级数的敛散性第三节任意项级数一、交错级数的概念二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念四、绝对收敛与条件收敛的判别法第四节广义积分的敛散性判别法一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法二、广义积分的绝对收敛性三、Β函数的定义四、Β函数与Γ函数的关系第五节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数的概念三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念四、幂级数敛散性判别法五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法六、幂级数的基本性质第六节函数的幂级数展开一、泰勒公式及其余项二、泰勒级数与麦克劳林级数三、幂级数展开定理四、将函数展成幂级数的方法直接展开法、间接展开法五、基本初等函数的幂级数展开三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第九章微分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应用问题.基本要求1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法;3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用;教学重点：1、微分方程的概念;2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法;教学难点：1、各种类型的微分方程的判别;2、建立实际问题的微分方程第一节微分方程的基本概念一、微分方程的定义二、微分方程的阶、解通解、特解、定解条件三、微分方程的初值问题第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第三节高阶微分方程一、n阶微分方程的一般形式二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法三、几种特殊的高阶微分方程的解法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;第十章差分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解差分方程的基本概念;掌握一阶,二阶常系数线性齐次差分方程的解法;会解一些特殊的一阶,二阶常系数线性非齐次差分方程;了解差分方程在经济学中的简单应用;基本要求1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法;3、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容差分方程的基本概念；一阶与二阶差分方程的解法；差分方程在经济学中的应用;教学重点：1、差分与差分方程的概念;2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解;教学难点：二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;第一节差分方程的基本概念一、差分与差分方程的概念二、差分方程的阶、解通解、特解第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶齐次差分方程的通解二、一阶非齐次差分方程的特解与通解第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶齐次差分方程的通解特征根解法二、二阶非齐次差分方程的特解与通解第四节 n阶常系数线性差分方程一、n阶齐次差分方程的通解特征根解法二、n阶非齐次差分方程的特解与通解第五节差分方程在经济学中的简单应用一、“筹措教育经费”模型二、价格与库存模型三、国民收入的稳定分析模型三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;三、考核方式闭卷笔试;四、教材选用1、朱来义：微积分第二版,高等教育出版社,2004年3月第2版;。
多元向量值函数的导数与微分
y f ( x)
y1 f1 ( x1 , x2 ,, xn ) y2 f 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ym f m ( x1 , x2 ,, xn )
5.1 一元向量值函数的导数与微分 定义5.1 设 f : U ( x 0 ) R R m , x 0 x U ( x 0 ), 若
y ( y1 ,, ym ), f ( f1 ,, f m )T y f ( x)
14/20
F ( x, y) 0
?
向量值函数的导数与微分 西安交通大学 李换琴
定理5.4(隐函数存在定理) 设F连续可微，且满足 ）F（x0，y0 ） 1 0;
工科数学分析基础
李换琴 西安交通大学理学院
hqlee@
第五章
多元函数微分学及其应用
第一节 n维Euclid空间点集的初步知识 1 第二节 多元函数的极限与连续性 第三节 多元数量值函数的导数与微分 第四节 多元函数的taylor公式与极值问题 第五节 多元向量值函数的导数与微分 第六节 多元函数微分学在几何上的应用 第七节 空间曲线的曲率和挠率
2 x1 x2 u 例4 1 u2 2 2 2 设w f ( u) u2 u3 , u g ( x ) x1 x2 , 求D( f g ) 2 u 1 x1 x2 3
f ( x0 ) Df ( x 0 ) x1 f ( x0 ) x2
0
f ( x0 ) f ( x0 ) x n
定义 D 2 f ( x 0 ) D ( Df ( x )T ) 为f 在 x0 处的二阶导数. x 则有
第六节多元函数的极值与最值
(2)求偏导
F f 0
x x x
令
F f 0
y y y
解得 (x, y) 及
F
0
(3)判断求出的点(x, y) 是否为条件极值点,
通常都是根据问题本身的实际意义确定.
例6 设长方体三边长度之和为a,试问三边
各取什么值时所得长方体的体积最大?
解 设三边长度各为 x, y, z 体积为V
A f xx ( x0 , y0 ) B fxy ( x0 , y0 ) C f yy( x0 , y0 ) D B2 AC
(1)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极大值点 (2)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极小值点 (3)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不是极值点
D B2 AC 9 36xy
对 (0,0) D 9 0 不是极值点
对 (1,1) D 27 0 且 A 6 0是极小值点
此时极小值为 f (1,1) 1.
补充 求 f (x, y) x2(2 y2 ) y ln y 的极值.
(2009年考研真题9分)
解 zx 2x(2 y2 ) zy 2x2 y ln y 1
(4)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不确定.
例1 求 z x3 y3 3xy 的极值.
解 zx 3x2 3 y zy 3 y2 3x
令
zx 3x2 3 y 0
zy 3 y2 3x 0
解得 (0,0) (1,1)
A zxx 6x B zxy 3 C zyy 6 y
令
zx
2x(2
y2)
0
zy 2x2 y ln y 1 0
解得 (0, 1 )
e
2023年中考数学总复习第三章《函数》第六节 二次函数的实际应用
2023年中考数学总复习第三章《函数》第六节二次函数的实际应用一、选择题1.［2020·邢台模拟］把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为h＝10t-t 2（0≤t≤14）．若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围是（）A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤502.［2020·长沙］“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸时间（t 单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at 2+bt+c （a≠0，a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A． 3.50分钟B． 4.05分钟C． 3.75分钟D． 4.25分钟（第2题图）（第3题图）3.［2020·石家庄裕华区一模］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球运动的时间为6s；③小球抛出3s 时，速度为0；④当t＝1.5s 时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（）A.①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题4.［人九上课本P52，T8改编］某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．三、解答题5.［人九上课本P52，T5高仿］如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m ），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为y m 2．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若改造后观花道的面积为13m 2，求x 的值；（3）若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．（第5题图）6.［2020·遵化二模］随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x（单位：km ），乘坐地铁的时间y 1（单位：min ）是关于x 的一次函数，其关系如下表：（1）求y1关于x 的函数解析式；（2）李华骑单车的时间y 2（单位：min）也受x 的影响，其关系可以用y 2＝x 2-11x+78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．地铁站A B C D E x/km 79111213y 1/min1620242628。
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
(整理)第六章第六节多元函数的极值及其求法
第八节 二元函数的极值 一、 二元函数的极值 1． 定义2． 极值存在的必要条件：定理：如果函数()y x f ,在点()00,y x 处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有()0,00='y x f x()0,00='y x f y驻点：满足()0,00='y x f x()0,00='y x f y 的点注：驻点可能是极值点，极值点不一定是驻点，极值点有可能是偏导数不存在的点。
例1求()22,y x y x f +=的极值例2求()222,yx R y x f --=的极值例3讨论()1,22+-=x y y x f 是否有极值。
注：驻点不一定是极值点。
3． 极值存在的充分条件：定理 如果函数()y x f ,在点()00,y x 的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且()00,y x 是它的驻点，设()A y x f xx=''00, ()B y x f xy=''00,()C y x f yy=''00,ACB -=∆2①00<<∆A 且，则()00,y x f 是极大值。
②00><∆A 且，则()00,y x f 是极小值。
③0>∆，则()00,y x f 不是极值。
④0=∆ ，需另法判断。
例4求函数()5126,23+-+-=y x x y y x f 的极值。
注：极值的一般求法： ①解方程组()()⎩⎨⎧='='0,0,y x f y x f y x求出一切驻点；②对每一个驻点，求出()A y x f xx=''00, ()B y x f xy=''00,()C y x f yy=''00,③对每一驻点，由判别式法判断。
4．多元函数最值的求法：在实际应用中，只有一个驻点，即为所求的点。
例 5 要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？例6 某工厂生产两种产品I 与II ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品I 与y 单位的产品II 的总费用是：())(3301.03240022元y xy x y x +++++求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？二、 条件极值与拉格朗日乘数法 无条件极值：自变量x 与y 相互独立 条件极值：有约束条件 ()0,=y x g拉格朗日乘数法 （一）()()⎩⎨⎧→=→=约束条件函数0,,y x g y x f z①构造拉格朗日函数()()()y x g y x f y x F ,,,,λλ+=②解方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=='='+'='='+'='0,00y x g F g f F g f F y y y x x x λλλ解出的()y x ,可能为极值。
多元函数微分学的几何应用
t t0
向量值函数极限存在、连续、可导 的充分必要条件
向量值函数f ( t )当t t0时的极限存在的充分必要条件是： 在函数f ( t )当t t0时的极限存在时，其极限 lim f ( t ) lim f 1 ( t )， lim f 2 ( t )， lim f 3 ( t )
t t0 t t0 t t0 t t0
f ( t )的三个分量函数f1 ( t )，f 2 ( t )，f 3 ( t )当t t 0时的极限存在；
（5 ）
向量值函数f ( t )在点t0的某一邻域内有定义，若 lim f ( t ) f ( t0 )
t t0
则称向量值函数f ( t )在点t0 连续.
二、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 假定(t), (t), (t)都在[, ]上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为 x x y y zz
(t0 ) (t0 ) (t0 )
0
0
0
定义2 向量值函数f ( t )在点t 0的某一邻域内有定义，如果 f ( t 0 t ) f ( t 0 ) lim t 0 t 存在,那么就称这个极限向量为向量值函数r f ( t )在t 0处
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z， 显然， z 沿 l 绕支点 z 0 两 周后 ， w 值 还原， 因此 ， z 0 是 w z 的
支点 . 例如， 函数 w
(n 1) 2 1 1 阶支点 .
3
除了 z 0 外，可以验证 z 亦是 w
z 的
1 一阶支点 . 要说明这一点， 只需令 z ，则有 t
w 平面的上半平面， 0 Arg w π .
而在平面 T2 上也
作类似的切割，但割线上缘对应于 Arg z 2π ，下缘对 应于 Arg z 4π ，同样， z 在该平面上变化时亦不得跨 越割线， 在该平面上的 下半平面 .
z 值对应的函数值位于 w
Argz＝0
0
平面的
2
T1
T2
图 2.5
10
这称为多值函数 w z的两个单值分支.
1
2. 支点 当
z 沿闭合路径 l
| z0 |e
i arg z0 iπ 2
（ l 包围 z 0 ）绕行一周而回到
z0
，
Arg z 增加了 2π ． (如图 2.3)按 照 (2.3.60),
从而 w
w
的辐角增加 π ，
=
，这就进 入了另一单值分支 w 2 . 由此
可见， （ 2.3.60）的 w1 和 w 2 不能看作两个独 立的单值函数 . 当 然， 如果从
z0 出 发，沿另 一闭合路径 l （ l 不包围 z 0 ） 绕 行 一 周 而 回 到 z0 ， Arg z 没 有 改 变 ， w 仍 然 等 于
z0 ei arg z
支 w2 .
y
y2 x
x
图 2.4
5
(2)黎曼面 多值函数w z 的黎曼面 w z ，黎曼采用的办法是 对于多值函数： 使得w 值与 z 形成一一对应的关系. 这里约定，对两个单值分支，宗量的变 化范围分别是 2π 对于单值分支 w1 ： 0 Arg z ； 对于单值分支 w 2 ： 2π Arg z 4 .π
w 的主辐角有两个值 这样，
1 1 1 arg z, 2 arg z π 2 2
（对应于 n 0 和 n 1 ）： 相应地给出两个不同 w 的值
w1 z ei arg z / 2 i arg z / 2 iπ (2.3.60) w z e 2 i arg z / 2 =z e
l
0
/ 2
， 仍然在 单值分支 w1 ， 而没有转入另一单 值分
y
z0
l
0 图 2.3
x
2
因此， z 0 点具有这样的特征：当 z 绕该点一周 回到原处时，对应的函数值不复原 . 一般地说，对于多值函数 w f z ，若 z 绕某点 一周，函数值 w 不复原，而在该点各单值分支函数值 相同，则称该点为多值函数的支点 . 若当 z 绕支点 n 周，函数值 w 复原，便称该点为多值函数的 n 1 阶
7
由于在割开的两个平面上，宗量变化时均 不得跨越割线，因而任何闭合线都不包含支点 z 0 于其内，因此函数值也只能在一个单值 分支上变化 . 进一步我们将平面 T1 和平面 T2 作如下结 合，将平面 T1 的割线上缘与平面 T2 的割线下缘 连起来，而将平面 T1 的割线下缘与平面 T2 的割 线上缘连起来，构成一个两叶的面，(如图 2.5 所示) 称为函数 w
z 的黎曼面.
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Argz＝0.5
多值函数 w z 的黎曼面
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黎曼面 由许多层面放置于一起而构成 的一种曲面叫做黎曼面 .利用这种曲 面，可以使多值函数的单值支（单值 分支）和支点概念在几何上有非常直 观的表示和说明.对于某一个多值函 数，如果能作出它的黎曼面，那么， 函数在黎曼面上就成为 单值函数.
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现在用几何图形来表示， 如图 2.5. 在上平面 T1 上， 从 z 0 开始，沿正实轴方向至无限远点将其割开，并 规定，割线上缘对应 Arg z 0 ，下缘 Arg z 2π ，这 样，在该平面上变化时，只要不跨越割线，其辐角便被 限制在 0 Arg z 2 π 范围内，则对应的函数值 w 位于
1 1 w ， 当 t 绕 t 0 一周回到原处时，w t t
值不还原，绕两周后 w 值还原，因此 t
0 ，即
z 为 w z 的一阶支点 .
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3. 黎曼面 (1) 多值实变函数的对应思想 我们知道，以一维空间的形式（如列表方式） 很难表达实变函数的多值性， 如函数 y 2 x . 但在 二维空间就能直观地表示出来，如图 2.4 所示．黎 曼 (Riemann)正是运用这一思想进行拓展，方便地 解决了复变函数的多值对应问题 .