高中数学-余弦定理(1)
高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
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第六章 平面向量及其应用
【解析】(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6＝
4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，所以 BC2－9BC ＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.
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第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任
何三角形．
()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
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第六章 平面向量及其应用
易错警示 解题漏条件致误
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2＋c2，求A的取 值范围．
错解：∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0. ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2>0.
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第六章 平面向量及其应用
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人教A版高中数学高二必修5课件余弦定理(一)
第三边所对的角是直角.
1.1.2 余弦定理(一)
32
1.1.2 余弦定理(一)
5
[预习导引]
1.余弦定理 三角形中任何一边的 平方等于其他两边的 平方 的和 减去这两边与它们的 夹角 的余弦的积的 两倍 . 即a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
1.1.2 余弦定理(一)
1.1.2 余弦定理(一)
9
(2)在△ABC中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角 形.
解 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2 或 c＝
6－ 2
2 ，
1.1.2 余弦定理(一)
10
当c＝
6＋ 2
1.1.2 余弦定理(一)
8
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 21＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 法二 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×21＝ 23， 由b＜c，∴C＝60°或120°， 当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形. ∴a＝3.
解 ∵c＞a，c＞b，∴角C最大. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－12， ∵0°＜C＜180°，∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°.
1.1.2 余弦定理(一)
17
规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理 求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据 边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k， 从而转化为已知三边解三角形.
6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
高中数学必修二课件：余弦定理
要点2 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 (1)已知两边及其夹角，解三角形； (2)已知三边，解三角形． 要点3 推论 在△ABC中(1)c2＝a2＋b2⇔C为__直_角___； (2)c2>a2＋b2⇔C为___钝_角___； (3)c2<a2＋b2⇔C为__锐__角___．
1．判断下列命题是否正确． (1)勾股定理是余弦定理的特例． (2)余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素． (3)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一．
课后巩固
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－
3 5
，则三角形
的第三边长为( B )
A．52
B．2 13
C．16
D．4
解析 设第三边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×－35＝52，∴x＝2 13.
2．在△ABC中，a＝3，b＝ 7，c＝2，那么B等于( C )
A．30°ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 2π 3 ， ∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0. ∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
5．在△ABC中，a2＋abb2c＋c2(coas A＋cobs B＋cocs C)＝____12____．
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
(2)推论：cos A＝____2_b_c____，cos B＝____2_a_c____， cos C＝____2_a_b____．
(3)余弦定理的另一种常见变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos
B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
余弦定理-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、余弦定理
3，余弦定理与勾股定理的关系：
在△中,由余弦定理得 = + − ，若角 = °,
则 = ，于是 = + − · · = + ，
这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
探究一
思考：
三角形中边角关系很丰富，本节继续研究，如已知两边及其夹角，
怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三角呢？
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究一
我们利用向量来研究：
如图，在△中，设 =a, =b, =c，根据向量的数量积，
可得 =•=(-)•(-)=2−2 • + 2
地，求边长时，使用余弦定理，求角时，使用余弦定理的变形；
(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时
要根据条件灵活选择；
(3)应用变形，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角；
(4)余弦定理及变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形
全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.
3
2
所以 = 2 + 2 − 2 ≥ 2
即bc ≤ 2 .
故 =
2
≤
2
2
·
3
2
=
− 2 ，
3 3
.
4
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P116练习
1， 3.
2，120.
3，3.696.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
课堂小结
一、余弦定理
6，面积公式的推广：
1.2 余弦定理(1)
1.2 余弦定理（1）江苏省靖江高级中学 朱锦萍教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用． 教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式AC BA BC +=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc Bb Aa sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ 二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段． 因为AC BA BC +=（如图1），所以）（）（AC BA AC BA BC BC +⋅+=⋅222AC BA AC BA +⋅+=ABC图1222cos 2)180bA cb c ACA +-=+-︒+=即 A bc c b a cos 2222-+=， 同理可得 B ac c a b cos 2222-+=，Cab B a ccos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：A bc c b acos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=， Cab b a ccos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ． 所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a ccos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2BCAD 图3所以，22222222(AC AD )AC AD 2AC AD BDa D C BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD ADACcos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==． 所以)cos cos sin sin 2sincoscos (sin4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin[sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin4sin42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 余弦定理也可以写成如下形式：bc ac b A 2cos 222-+=，ca ba c B 2cos 222-+=，abcb a C 2cos 222-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用 1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值． 解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=caba c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得22222cos 2ba C ab b ac +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+． 2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形 （3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小． 练习答案： （1）32π=A （2）B （3）32π=C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。
高中数学必修五 第一章余弦定理
【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
求证：a2 b2
c2
sin A B
. sin C
【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB，
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得：a2 b2
c2
a cos B bcos A， c
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，
∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，
cos C a2 b2 ∴cC2=1210°或60°.
2ab
2
角形中最大内角，
由余弦定理
∴C=120°. cos C a2 b2 c2 1，
2ab
2
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解 三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实 际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系 式的运用：
【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的 形状.
【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得 a a2 b2 c2 ,
2b
2ab
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(CB)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
高中数学人教A版必修(第二册)(余弦定理)
高 中数学 人教A版 （2019 ）必修 （第二 册）6. 4.3 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
二、余弦定理 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.3 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
余弦定理： 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册余）弦6定. 4理.3) 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
二、余弦定理 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册余）弦6定.4理.3) 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指 出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量 之间的关系吗？
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册余）弦6定. 4理.3) 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
四、典型例题 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册余）弦6定.4理.3) 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
1.余弦定理及其推论
余 a2=b2+c2-2bccosA
C
aB
所以
A
2
B(C
BC
A)2
C2BC2A2CBC
A
C2BC2A2|C| BC || Ac o s C
即c2=a2+b2-2abcosC
同理可得a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB
于是，我们就得到了三角形 边角关系的一个重要定理：
从这里的推导过 程，你感受到向量运 算的力量了吗？
新人教版高中数学必修2课件：6.4.3 第1课时 余弦定理
图④
当堂检测
1.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= 3+1,
b= 3-1,C=120°,则 c=(
A. 10
B. 6
)
C.3
D.2 3
答案 A
解析 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=( 3+1)2+( 3-1)2-2×( 3+1)×
( 3-1)cos 120°=10,解得 c= 10.故选 A.
2
2
22 +( 3+1) -( 6)
1
6的边所对的角为 θ,由余弦定理的推论,得 cos θ=
= 2,所
2×2×( 3+1)
以 θ=60°,故最大角与最小角之和为 180°-60°=120°.
探究三
利用余弦定理判断三角形形状
例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形
以 a= 3.
(2)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°,即
a2-9a+18=0,解得 a=3 或 a=6.当 a=3 时,A=30°,C=120°;当 a=6 时,由余弦
定理的推论,得 cos A=
∴A=90°,∴C=60°.
B.a=4,b=5,c=6
C.a=4,b=6,c=7
D.a=3,b=3,c=5
答案 D
解析 对于D,由余弦定理的推论,得cos C=
2 + 2 -2 32 + 32 -52
余弦定理(1)
解法一:cos 15°=cos(45°-30°)= 6+ 2,
4
sin 15°=sin(45°-30°)= 6- 2.
4
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C =4+8-2 2×
( 6+ 2)=8-4 3,∴c= 6- 2.
由正弦定理,得 sin A=������sin C = 2 × 6- 2=1.
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： cos A b2 c2 a 2
2bc cos B a 2 c2 b2
2ac cos C a 2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
高中数学必修二(人教版)《6.4.3第一课时 余弦定理》课件
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则
此人
()
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
解析：设三角形的三条高所在的三边长分别为 a，b，c，利用三角形面积相 等，得到113a＝111b＝15c，即 a∶b∶c＝13∶11∶5，故三角形三边长可设为 13m,11m,5m，m>0，因为 13m 是三角形中最长的边，设它的对角为 A，由 余弦定理得 cos A＝5m22＋×151mm×21－1m13m2＝－12130<0，所以角 A 为钝角．故此人能作出 一个钝角三角形． 答案:D
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
【对点练清】
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A
＋B)＝13，则 c＝
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172
π，C＝π4.
[方法技巧] 已知三角形的三边求角的基本步骤
【对点练清】 1．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数．
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
余弦定理(一)
当 堂 检 测 巩 固 新 知
2 19 2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c =______
解析
2
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
2
1 ＝4 ＋6 －2×4×6×(－2)＝76，
∴c＝2 19.
当 3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为 堂 a2＋b2－c2 ab 1 检 解析 cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2ab 2 测 π 巩 固 新 知
c
2
c c ( a b) ( a b)
﹚
a a b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
a b 2 ab cos C
2 2
c a b 2 ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2 ac cos B
新 知 应 用
解 解：由余弦定理，得 决 2 2 2 0 BC AB AC 2 AB AC cos 120 问 1 2 2 4 5 2 4 5 ( ) 题 2
61(km)
合 在△ABC中，已知b =5,c= 5 3 ,A=300,解三角形. 作 解：由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2abcos A 探 2 2 5 5 3 2 5 5 3 cos30 究 理 解 新 知
符号语言：
推论： b2+c2 - a2 cosA= 2 2 2 2bc a b c 2bc cos A 2+c2 - b2 a 2 2 2 cosB= b a c 2ac cos B 2ac 2+b2 - c2 2 2 2 a c a b 2ab cosC cosC= 2ab
人教版高中数学全套教案导学案2.余弦定理(1)
备课人授课时间课题§1.1.2余弦定理（一）课标要求余弦定理教学目标知识目标余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法技能目标运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
情感态度价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、复习引入：如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a, AC=b,AB=c,已知a,b和∠C，求边c(图1．1-4)二、讲解新课：[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1．1-5，设CB a=，CA b=，AB c=，那么c a b=-，则()()22222c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅(图1．1-5)学生思考学生探究证明方法1BcabCAcbBCAa教学过程及方法从而2222cosc a b ab C=+-同理可证2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-2222cosc a b ab C=+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2+-=b c aAbc222cos2+-=a c bBac222cos2+-=b a cCba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
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你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，或三角形方法.
思考2:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1:
如果已知三角形的两边A 及其夹角，那 么这个三角形的其它边C 和角B确定吗？
情境设置
问题2:
余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考1:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ bcCaBFra bibliotek探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即:如图，在△AC BC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4:
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4:
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例:
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5:
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例:
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2:
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即:如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即:如图，在△ABC中，
练习:
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围:
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论: b2 c2 a2
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3:
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3:
余弦定理及其推论的基本作用是什么？