上海市普陀区2017届高三数学一模(含答案)

上海市普陀区2017届高三一模数学试卷

2016.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A

B = 2. 若22π

π

α-<<，3sin 5

α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()f x -=

4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=

5. 设k R ∈，22

12

y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若2

3()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是

7. 方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x = 8. 已知圆222

:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是

9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒， 1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为

6

π， 则三棱锥1A ABC -的体积为 10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）

11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为

R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，

2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0

x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函

数()F x 零点的个数是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）

A. 11a b

> B. 11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b >

14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞

=”成立的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要

15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）

A. a 与b 可能垂直，但不可能平行

B. a 与b 可能垂直，也可能平行

C. a 与b 不可能垂直，但可能平行

D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行

16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +的最小值为1，则下列判 断正确的是（ ）

A. 若||a 确定，则θ唯一确定

B. 若||b 确定，则θ唯一确定

C. 若θ确定，则||b 唯一确定

D. 若θ确定，则||a 唯一确定

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知a R ∈，函数1()||

f x a x =+

； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤； （2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；

18. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上

位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9

PF F ∠=

12PF F ∆的面积为

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值，

并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；

19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83

/g cm ，总重量为

5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）；

（1）这堆螺帽至少有多少个；

（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要

耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？

（结果精确到0.01）

20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有

2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-； （1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+；

（3）设1

1n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得 1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；

21. 已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ， 均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；

（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；

（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2x g x a =+的“平衡”数对相同；

（3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π

<≤）的“平 衡”数对，求2212m m +的取值范围；