哈尔滨师范大学数学考研真题数学分析

2008年攻读硕士学位研究生入学考试 应用数学 基础数学 运筹学 专业（ 方向）实分析专业基础课 试 题一.1.nn n n 3lim3+∞→ 2.xe x xx -+→10)1(lim3.)1(lim -∞→n n x n ⎰xdx arcsin .4 5.'sin y x x 求6.求级数的和 +-+-!61!41!2117.证明：22222222211,sin ,cos ),(y ux u u r r u r ru r y r u y x f u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂===θθθ则而 二.1lim ,0lim =>=∞→∞→n n n n n a a a 求证三．证明：若函数f(x)在[0,1]单调减少，则nf f n k f n dx x f n k )1()0()(1)(11-≤-∑⎰=四．证明若函数f(x)在[a,b]上存在二阶导数且连续f(a)=f(b),f(c)>0,其中a<c<b,则在(a,b)内至少存在一点ξ使0)('<ξf 五．判断函数列上的一致收敛性在]2,1[],1,0[1)(22xn nxx f n += 六证明：函数)0,0()0,0(00000),(""2222122xy xx y x f f y x y x e y x f 与数）连续且存在二阶偏导，在原点（=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧=+-七.求二重积分所围区域积分区域为⎰⎰==Dx y y x D dxdy y y,:sin 2 八．求三重积分所围区域积分区域为4,2:,)(2222=+=+⎰⎰⎰z y x z D dxdydz y x D九．若f(x,y)是定义在R 2上的实值函数，且对固定的y ∈R 1.f(x,y)是1R x ∈上的可测函数。

对固定的x 1R ∈.f （x,y ）是y 1R ∈上的连续函数，则f(x,y)是R 2上的可测函数。

十．设)(x f 、 )()(1x f x f k 是E 上几乎处处有限的可测函数，若对任给的,0>δ存在E E ⊂δ,且m(δE )<δ,使得{)(x f k }在E\δE 上一致收敛于f(x),则{)(x f k }在E 上依测度收敛于f(x) 十一. )(x f k 在E 上依测度收敛，g(x)在E 上几乎处处有限，证明：)(x f k g(x)在E 上依测度收敛。

2007年攻读硕士学位研究生入学考试 应用数学 基础数学 运筹学 专业（ 方向）实分析专业基础课 试 题一．1.求数列1.231，1.23131，1.2313131，….的极限2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→x b a x x lim（a,b>0） 3.dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→02222)(lim4.⎰edx x 1)sin(ln5.求级数nn n 1)1(11∑∞=--的和 6.设xe y 2sin =，求'y7．设22y x z +=，求y=f(x)为由方程122=+-y xy x 所确定的的隐函数，求22,dx z d dx dz 二．设 2,1),(21,0,0110=+=>>--n a k a a k a n n n ，证明数列{n a }的极限存在且等于k 三．若函数f(x)在[a,b]可积，证明存在⎰⎰=∈bxxadt t f dt t f b a x )()(],[使得四．设函数f(x)在[21，1]上连续，证明{)(x f x n}在[21，1]一直收敛的充要条件是f(1)=0 五．设函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0,并对任意的)()(),1,0('x f x f x =∈,则在[0,1]上f(x)0≡)0.0(),0,0()0,0(),(,000),(.''''2222xyxx f f y x f y x y x y x f 的二阶偏导数在点求设函数六=+≠+⎩⎨⎧=⎰⎰--21222),(.x x xdyy x f dx 序改变下面累次积分的次七所围成与是由曲面，其中，柱面坐标的累次积分化为直角坐标将三重积分八2,12),,(.22==+=⎰⎰⎰z z y x z V dxdydz z y x f V{}εεεσδε<≠∈>∀<≥-∈>≥∃>∀>∀)})()(({(,0E (.)()((,,1,0,0E }({.(1(.x h x f E x m x h x f x f x f E x m N m n N x f E x f E x f m n n 使得），必有直线上的连续函数上实值可测函数，则）是设是直线上的可测集，十一有当敛，证明测函数列，并依测度收上的几乎处处有限的可是）设十上可测函数是）上可测函数，证明）是设九2006年攻读硕士学位研究生入学考试 应用数学 基础数学 运筹学 专业（ 方向）实分析专业基础课 试 题''2sin 414622210cos sin ),(.7.61.5sin cos tan .4)11(lim .31lim .2321lim .1.2y x e y e x y y y e y dx xx dx xx x x x x n x x x y x x x x n x nnnnn 所确定，求由方程已知求计算下列各题一=-==+-+-++++++-∞→→∞→⎰⎰)(),(,0)()(],[(.0)(,0))((],[)(.lim lim ,2,1,,2)(,.'''2111111=<≡===+=>-+∞→∞→++⎰ξξf b a b f a f b a x f x f dx x f b a x f b a n b a b b a a b a b a ban n n n n n n nn n 使得内至少存在一点则在可导，且）在若函数四则上连续，有在证明若函数三皆存在且相等与证明令给定两正数二⎰⎰∞→∞→=≤<≤<≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=110)(lim )(lim 2]1,0[)(1(,1221100)2((.dxx f dx x f k x f k x nn x n n x n x nxn x f n n n n n k k n 为何值时，）（上一致收敛在为何值时，））设五上半部上侧为其中八，其中：计算七处偏导及可微性在六22223332222222222,.1.)0,0(00,,01sin ),(.R z y x S dzdx y dydz x dxdy z xy x dxdy y x y x y x y x xy y x f S D=++++≤+--=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=+⎰⎰⎰⎰+2005年攻读硕士学位研究生入学考试 应用数学 基础数学 运筹学 专业（ 方向）实分析专业基础课 试 题一. 计算.())0(2),(.7),sin()(),112.6!1!21!111.51arcsin .4,,14lim .321lim .2)2124321(lim .1'222'2121223110y yexex y y dyx x f x x f y n dxxx x c a c x x ax x x nn x y x x x x n 所确定，求由方程已知求（设的和求级数求=+==+-=+++++--=++----⋅⋅----→+→∞→⎰{}222222'04D ,sin .00),(00,,1),(.]1,0[)(,2,1,)1()(.0)(lim ,0)(lim )0[)(.)(1lim,)(lim 0)(.lim ,lim ,0)(lim }{.ππ≤+≤+==⎩⎨⎧+==-===∞+==∞+=-⎰⎰⎰∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→y x dxdy y x y x f y x y x y x f x f n x nx x f xx f x f x f A dt t f x A x f x f b a b a b a Dn n n x x xx x n n n n n n n n n ：其中计算、七不连续）处偏导数都存在，但，在点（，证其他情形或当设二元函数六收敛。

上逐点收敛，但非一致在证设五证上可导，且，在若四证）上可积，且，在（若三存在且相等。

则为递减数列，且为递增数列，证明：若二 {}{}(){}εεεσσε=≠∈>∀<≥-∈>≥∃>∀>∀+==++++⎰⎰⎰))()(()(,0)(.)()(,,1,0,0)(.E )(1)(.)(31,2.22222V222x h x f E x m x h E x f E x f x f E x m N m n N E x f x f E x f y x z z y x V dxdydz z y x m n n 恒得必有直线上的连续函数上实值可测函数，则是是直线上的可测集，设十一，有当敛，证测函数列，并依测度收上的几乎处处有限的可是设十上的可测函数。

是上的可测函数，证明是设九所围成。

与曲面为由曲面其中计算八2004年攻读硕士学位研究生入学考试 应用数学 基础数学 运筹学 专业（ 方向）实分析专业基础课 试 题{}{}分）五证明分）若四）处可微。

，在（证明设（使得内至少存在一点证明在可微，并且在设函数分）三数列，则为单调递增且有上界的分）若数列（二的收敛性判别级数求设分）分，共计算（每小题一20.(.2sin ,2sin 10.(00),(00,,01sin )(),(.2.)())1,0(,0)1(,1)0(]1,0[)(.115.(sup lim 10.!2.5)1323(lim .4),,(.31lim .2)2(642)12(531lim.1306.022022222222'12222⎰⎰∑⎰∞+∞+∞→∞-∞→∞→∞→==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=-====-+∂∂=+⋅⋅-⋅⋅ππξξξξπdx x x dx x x y x f y x y x y x y x y x f f f f f x f a a a n n x x xz y x xy f z dxxx n n n n n n nn n x x nn n{}{}{}上的可测函数是函数上的可测函数列，证明是）分）设八）的点集为上收敛到在上有定义，证明在点集设分七一致收敛于上，内的任意闭子区间在求证令）内有连续的导数在（分）设六为正向。

围成体的表面，外法线和是其中（计算所围成区域面积（计算有曲线‘E x f E x f k x f x f E x x f E x f E n x f x f x f x f b a x f n x f n x f x f b a x f z y x a z S dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz s r q p sy x ry x qx y px y k k k n N n N k n n n n )(inf }({10.(1()()()()2,1(),(),()10.().(21)(],[),(:)()21()(.(),)(15.(0,)2().2)0,02,2,2,2.1111'22223S222222≥∞=∞=∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∈⋂⋃⋂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==--=++-+<<<<====⎰⎰ βα{}{}{}{}⎰⎰⎰==∈≤<∈∃>∀∈=>-∈+∞<∞→≥>∞→EEk k k k N x x n k k k dxx f x g dx x f x g k E x x x f x g x f x f x f x f dx x f N N R L f x f x f E x m x f E x f E x f x f x f E m )()()()(lim ,2,1,),()()(),(E )(E )(),()10.()(,,0),(.0))(((inf lim )(}({)(),(),(,)(10.(21:021则适合，如果有可积函数是任意有界的可测函数上依测度收敛于在上的可测函数列，且是设分十一使得则对设十）的充要条件是上依测度收敛于在）函数，证明上几乎处处有限的可测是分）设九 ψψεεααα哈尔滨师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试 应用数学 基础数学 运筹学 专业（ 方向）实分析专业基础课 试 题(){}∑⎰⎰⎰⎰∞=∞→→∞→∞→→==≠=⎪⎩⎪⎨⎧=+-+≤+=-+==+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=+∞==+∞=>>==+++++-+12222222'22222222212]1,0[)(2,1,2,1,1,1,01)(]1,0[8.()5,2(),2,3(),1,1(,)()(24),,)2sgn(.112.(,)()(),()(10.()0,0(),(,0,0,0),(.2),()(,)(lim ,)(lim ,()(.115.(1lim ,1,0,lim 10.(arctan ln .42.3ln .2tan )2ln(lim.1205(.n n n LDx ax n n n n n n n eex x u n n nx n x nx u C B A L dy y x dx y xy x y x D dxdy y x I b a x f x f b a x f y x f y x y x y x xy y x f a x f B x f A x f a x f a a a a a dxdyx y y x nx x x dxx xx 在优级数。