轴扭转计算分解
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11圆轴扭转变形与刚度计算
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解 除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作 用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解 除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作 用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
轴强度计算公式完整版
#43;C) －Fr×C－Ma=0
RBV=(Fr×C+Fa×d/2)/(b+C)=3790N RCV=Fr－RBV=111N
M′1V=RBV×b=3790×110=416900Nmm M″1V=RCV×C=111×180=19980Nmm
危险截面计算应力：
ca
M ca W
M 2 (T )2
0.1d 3
1
Mpa
危险截面所需直径：
d
3Βιβλιοθήκη M ca0.1 1
3
M 2 (T )2
0.1 1
mm
［σ-1］－许用弯曲应力，按材料查表(15-1) ★ 危险截面的确定：
综合0500 tg12o15 2280 N 2 .求作支反力及弯矩图 H面：
RBH=FtC/(b+C)=10500×180/(110+180) =6520N
RCH=Ft－RBH=10500-6520=3980N
M1H=RBH×b=6520×110=717000Nmm
S S 2
步骤
1. 作轴的受力计算简图，求支反力
2. 求作支反力及弯矩图（MH、MV图） 3. 求作合成弯矩图（M图） 4. 求作扭矩及扭矩图（αT图） 5. 求作当量弯矩及当量弯矩图（Me图） 6. 强度计算(转轴)
⑵ 按疲劳强度条件精确校核计算
Ⅰ计算危险截面弯曲、扭转应力 危险截面：
M
W
T
WT
载荷大直径小 有应力集中处
Ⅱ 计算弯曲、扭转疲劳的安全系数
S
1 K a m
S
1 K a m
Ⅲ 计算危险截面疲劳强度的安全系数
Sca
RBV=(Fr×C+Fa×d/2)/(b+C)=3790N RCV=Fr－RBV=111N
M′1V=RBV×b=3790×110=416900Nmm M″1V=RCV×C=111×180=19980Nmm
危险截面计算应力：
ca
M ca W
M 2 (T )2
0.1d 3
1
Mpa
危险截面所需直径：
d
3Βιβλιοθήκη M ca0.1 1
3
M 2 (T )2
0.1 1
mm
［σ-1］－许用弯曲应力，按材料查表(15-1) ★ 危险截面的确定：
综合0500 tg12o15 2280 N 2 .求作支反力及弯矩图 H面：
RBH=FtC/(b+C)=10500×180/(110+180) =6520N
RCH=Ft－RBH=10500-6520=3980N
M1H=RBH×b=6520×110=717000Nmm
S S 2
步骤
1. 作轴的受力计算简图，求支反力
2. 求作支反力及弯矩图（MH、MV图） 3. 求作合成弯矩图（M图） 4. 求作扭矩及扭矩图（αT图） 5. 求作当量弯矩及当量弯矩图（Me图） 6. 强度计算(转轴)
⑵ 按疲劳强度条件精确校核计算
Ⅰ计算危险截面弯曲、扭转应力 危险截面：
M
W
T
WT
载荷大直径小 有应力集中处
Ⅱ 计算弯曲、扭转疲劳的安全系数
S
1 K a m
S
1 K a m
Ⅲ 计算危险截面疲劳强度的安全系数
Sca
转轴扭转强度、刚度校核
max M n/Wn (1500 103 / 29800 )MPa 50.3MPa＜[ ]
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
圆轴扭转
空心圆截面：
Wt
D3
16
(1
d4 D4
)
D3
16
(1 4 )
四 等直圆杆扭转时的应力
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求 最大、最小切应力。
解：
max
T
Wt
T
16
D3
(1
d4 D4
)
max min
16 1000
4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上标出数值和正负号
例题1 画出图示杆的扭矩图 3kN·m Ⅰ 5kN·m Ⅱ 2kN·m
解： AC段
m 0
AⅠ 3kN·m
CⅡ
T1 T2
3kN·m
B 2kN·m
T1 3 0 T1 3kN m
BC段 m 0
T2 2 0 T2 2kN m
ρ
τdA b dA
O2 T
四 等直圆杆扭转时的应力
4 极惯性矩
【公式3-16；公式3-18】
IP
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP
32
(D4
d4)
d D
极惯性矩单位： m4
四 等直圆杆扭转时的应力
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
例题3 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
圆轴扭转变形与刚计算
2 dsdx
2G
l
T2
T2
8 2G dsdx
l
8
2G
ds
dx
T为常数的等截面杆
V
T 2l 2GI t
=W=T / 2
式中：
It
4 2 ds
Tl
GI t
27
三、开口薄壁杆的扭转应力
max
3T max
n
hi i 3
i 1
3Tl
n
G hi i 3
i 1
3
1
2
28
【例题5】 如图所示为相同尺寸的闭口钢管和开口 钢管，承受相同的扭矩T。设平均直径为d，壁厚为t，
试比较两者的强度和刚度。
d
t (a)
d
t (b)
29
T 2
Tl
GI t
4 2 I t ds
解：1. 对闭口薄圆环， A d 2 s d ，则
dT
t
t
(a)
(b)
相同的扭矩，由于应力分布不同导致了应力大 小差别。
33
课后练习
思考：
一等直圆杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生 切应变吗？当受到扭转时，杆内会产生正应变吗？
作业：
4-16 4-27 4-32 4-33
34
T1-T2=0
T1
T2
mG2 I p2 G1Ip1 G2 Ip2
T2
2
1
T1
16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受 扭截面为矩形
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
11.轴的扭转
已知传动轴的转速为300r/min, 主动轮 输 主动轮A输 例11.2* 已知传动轴的转速为 入功率为P 入功率为 A=500kW。从动轮 。从动轮B,C,D输出功率 输出功率 分别为 PB =150kW, PC =150kW, PD =200kW. 求作：该轴扭矩图。 求作：该轴扭矩图。 解: （1）计算主、从动轮传递的外力偶矩 ）
第 11 章
轴的扭转
11.1
扭转概念及外力偶矩计算
11.1.1 扭转的概念
扭转及变形是一种因转动引起的常见现象。 扭转及变形是一种因转动引起的常见现象。 通过扭转传递功率的构件（转动的杆） 轴：通过扭转传递功率的构件（转动的杆）.
m
m
m
m
11.1.2 外力偶矩的计算
已知： 已知：输入输出功率 P (kW) ，转速 n (r/min) . 则：外力偶矩
如图. 用截面法计算扭矩 计算扭矩： 解: 如图 用截面法计算扭矩： T = m = 156N ⋅ m 实心段AC： ① 实心段 ：
16 T 156 × 103 τ max1 = = ≈ 24 ( MPa) 3 W p1 6.55 × 10 W p1 =
π
D 3 ≈ 0 .2 × 32 3 = 6 .55 × 10 3 ( mm 3 )
M e = 9550 P / n ( N ⋅ m )
M e dϕ dW = = M eω 证明： 证明：Q P = dt dt
ω = 2π n
∴ P = 2πnM e P ∴ Me = 2π n
P
n
Me
输入功率P以 、转速n以 为单位代入， 输入功率 以kW、转速 以 r/min为单位代入， 为单位代入 那么，外力偶矩M 那么，外力偶矩 e为:
轴的扭转强度计算
非定位轴肩→便于装配→h=(0.5～1)mm
定位轴肩→零件定位→ h ＝3~5 mm 2.设计轴肩时应注意: (1)轴承定位轴肩(套筒)不能过高 (2)轴长应略短于轮毂宽度 (3)安装标准件轴段直径， (a)滚动轴承 (b)联轴器 (c)密封件 (4)轴肩圆角ｒ 轮毂孔圆角Ｒ(倒角Ｃ)
轴上有键槽时： 放大轴径：一个键槽：3~5%
二个键槽：7~10%
取标准植
13.3 轴的强度计算
二、轴的弯扭合成强度计算
转轴同时承受扭矩和弯矩，必须按二者组合强度进行计算。通常 把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件的力作为集中力， 其作用点取为零件轮毂宽度的中点上。具体的计算步骤如下：
①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置 ②轴上零件装拆、调整方便 ③轴应具有良好的制造工艺性等 ④尽量避免应力集中
13.2 轴的结构设计
二、零件在轴上的固定 1、周向固定 为了传递运动和转矩，防止轴上零件与轴作相对转动。常用的 周向固定方法有键、花键、销、过盈配合、 弹性环联接、成形联接等。
碳钢比合金钢价廉，对应力集中的敏感性比较低，适用于一般要求的轴。 合金钢比碳钢有更高的力学性能和更好的淬火性能，在传递大功率并要求减小 尺寸和质量、要求高的耐磨性，以及处于高温、低温和腐蚀条件下的轴常采用 合金钢。在一般工作温度下（低于200℃），各种碳钢和合金钢的弹性模量均 相差不多，因此相同尺寸的碳钢和合金钢轴的刚度相差不多。
一、轴的扭转强度计算
用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径dmin
对于圆截面的实心轴，其抗扭强度条件为：
强度条件
T
T WT
9.55 106
0.2d 3
定位轴肩→零件定位→ h ＝3~5 mm 2.设计轴肩时应注意: (1)轴承定位轴肩(套筒)不能过高 (2)轴长应略短于轮毂宽度 (3)安装标准件轴段直径， (a)滚动轴承 (b)联轴器 (c)密封件 (4)轴肩圆角ｒ 轮毂孔圆角Ｒ(倒角Ｃ)
轴上有键槽时： 放大轴径：一个键槽：3~5%
二个键槽：7~10%
取标准植
13.3 轴的强度计算
二、轴的弯扭合成强度计算
转轴同时承受扭矩和弯矩，必须按二者组合强度进行计算。通常 把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件的力作为集中力， 其作用点取为零件轮毂宽度的中点上。具体的计算步骤如下：
①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置 ②轴上零件装拆、调整方便 ③轴应具有良好的制造工艺性等 ④尽量避免应力集中
13.2 轴的结构设计
二、零件在轴上的固定 1、周向固定 为了传递运动和转矩，防止轴上零件与轴作相对转动。常用的 周向固定方法有键、花键、销、过盈配合、 弹性环联接、成形联接等。
碳钢比合金钢价廉，对应力集中的敏感性比较低，适用于一般要求的轴。 合金钢比碳钢有更高的力学性能和更好的淬火性能，在传递大功率并要求减小 尺寸和质量、要求高的耐磨性，以及处于高温、低温和腐蚀条件下的轴常采用 合金钢。在一般工作温度下（低于200℃），各种碳钢和合金钢的弹性模量均 相差不多，因此相同尺寸的碳钢和合金钢轴的刚度相差不多。
一、轴的扭转强度计算
用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径dmin
对于圆截面的实心轴，其抗扭强度条件为：
强度条件
T
T WT
9.55 106
0.2d 3
第九节圆轴扭转
结论
横截面： 像刚性平面一样， 只是绕轴线旋转了一个角度。 在此假设的基础上，推倒出的应力与变形计算公式，符 合试验结果，且与弹性力学一致
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
BB' dx
d
dx
d
dx
距圆心为 的任一点处的； 与点到圆心的距离成正比。
d
dx
max
E
T1 WP1
16 1114 π 703 10-9
Pa
16.54MPa
max
H
T2 WP2
16 557 π 503 10-9
Pa
22.69MPa
max
C
T3 WP3
16 185.7 π 353 10-9
Pa
21.98MPa
，
例4 一轴AB传递的功率为 PK 7.5kW
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴：
Tm a x Wt
[
]
([] 称为许用切应力。)
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
Tm a x Wt
[ ]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tm a x
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
3
n1=n2= 120r/min
D1n1 D3n3
n＝3 n1
DD31＝n1
Z Z
1 3
＝360r/min
2、计算各轴的扭矩
化机基础(力学)_第三章轴扭转
【5.3】一轴以300转/分的转速传递331kW的功率，如 [ ]=40MPa，[ ]=0.5°/m，G=80GPa，求轴的直径。
解：
（1）计算扭矩：
P 331 M e 9550 9550 10537 N m n 300
T M e 10537 m N
（2）设计轴径 T T 由强度条件： max W 3 [ ] t d 16
轴扭转时，横截面上的扭矩T引起切应力 ，故横截面 上各点只有切应力，与该点所在半径垂直，方向与截 面扭矩转向保持一致。
第三节 纯剪切
一、切应力互等定理
围绕横截面上某点取一微小六面体，称为单元体。 y
’
dy x dx z
由平衡条件：
M 0
dy dz dx
'dx dz dy
二、扭矩和扭矩图
1. 研究AB轴各横截面上的内力 me me
1
A me
1 T1-1 1 x 1 T1-1
B
求AB段内的任 一横截面上的内 力：用截面法计 算内力。
m 0
T11 me 0
me
T11 me
注：
1. 内力名称——扭矩T 2. 扭矩正负号规定，利用右手螺旋法则，当拇指背离截 面时，T为正；反之，为负。 不论取截面的哪一侧研究，所得结果的正负号一致。 T1-1 mB mA 1 T1-1
轴：工程上将以扭转变形为主的构件称为轴
第二节
扭转时力偶和内力的计算
一、外力偶矩的计算
作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是给出 轴的转速n和传递的功率P。
n1 27.5kW 7.5kW A n B
C
n=960r/min
轴的扭转刚度计算(“扭转”相关文档)共6张
Ip=π* 扭转角度=T*l/Байду номын сангаасG*Ip)=3.
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
扭首转先角 将度长=度T单扭*l/位(G化*转Ip为)=米3角.(m) 度=T*l/(G*Ip)=3.82e-5 rad=2.19e-3 deg 扭转刚度Kt=T/扭转角度=4.57 Nm/deg 已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为，求扭转刚度？
轴的扭转刚度计算方法
张志军
几种材料特性举例：
82e-5 rad=2. 首先将长度单位化为米(m) 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为，求扭转刚度？ 82e-5 rad=2. 82e-5 rad=2. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
公式求解：
已知：直径为已10m知m，：长度为直300径mm，为受到1扭0矩m为，m求扭，转刚长度？度为300mm，受到扭矩为，求
82e-5 rad=2.
扭转刚度？ 82e-5 rad=2.
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
首先将长度单位化为米(m) 首先将长度单位化为米(m)
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 首先将长度单位化为米(m)
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为，求扭转刚度？ 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
扭首转先角 将度长=度T单扭*l/位(G化*转Ip为)=米3角.(m) 度=T*l/(G*Ip)=3.82e-5 rad=2.19e-3 deg 扭转刚度Kt=T/扭转角度=4.57 Nm/deg 已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为，求扭转刚度？
轴的扭转刚度计算方法
张志军
几种材料特性举例：
82e-5 rad=2. 首先将长度单位化为米(m) 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为，求扭转刚度？ 82e-5 rad=2. 82e-5 rad=2. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
公式求解：
已知：直径为已10m知m，：长度为直300径mm，为受到1扭0矩m为，m求扭，转刚长度？度为300mm，受到扭矩为，求
82e-5 rad=2.
扭转刚度？ 82e-5 rad=2.
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
首先将长度单位化为米(m) 首先将长度单位化为米(m)
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 首先将长度单位化为米(m)
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3. 已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为，求扭转刚度？ 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.
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5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
（5.2）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（5.3）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图5.11所示，式中 可利用静力方程确定。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
（5.2）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（5.3）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图5.11所示，式中 可利用静力方程确定。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即