轴扭转计算

习题
试作下列各轴的扭矩图。
题图
图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题图题图
T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
等直圆轴扭转时的变形及刚度条件
5.5.1圆轴扭转时的变形
轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角表示，由（）式 ，可求 段的相对扭转角。
当扭矩为常数，且 也为常量时，相距长度为l的两横截面相对扭转角为
（弧度）（）
式中， 称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。
相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图所示，式中 可利用静力方程确定。
图
3、静力学关系
根据图所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
图
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图（a）所示。
1、作扭矩图（图b）
2、分段求扭转角
式中，
例题主传动钢轴，传递功率 ，转速 ，传动轴的许用切应力 ，许用单位长度扭转角 ，切变模量 ，试计算传动轴所需的直径。
解：1、计算轴的扭矩
2、根据强度条件求所需直径
3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径
故应按刚度条件确定传动轴直径，取 。
本章小结
1、圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大剪应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下：
题图
已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题图
已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图（b）所示。同理可得
（）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题图题图
传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图
图示的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
（a）（b）
图
等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
塑性材料
脆性材料
例题汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
例题图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题图
等直圆轴扭转时横截面上的切应力
5.3.1实心圆轴横截面上的应力
（）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
横截面面积相等的实心轴和空心轴，两轴材料相同，受同样的扭矩T作用，已知实心轴直径 ，空心轴内外径之比值 。试求二者最大切应力之比及单位长度扭转角之比。
钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值 ）的横截面面积相等，钢轴许用应力 ，铝轴许用应力 ，若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？
实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
，
2、圆轴扭转的强度条件为：
利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷截等三类强度计算问题。
3、圆轴扭转变形的计算公式为：
圆轴扭转的刚度条件是：
思考题
直径相同，材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大切应力 和最大单位扭转角 是否相同？
横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
将（）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（）
将（）式代入（）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
图
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
对于图（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
第5章扭转
扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示，常用的螺丝刀拧螺钉。
图
图示，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图
图示，载重汽车的传动轴。
图
图示，挖掘机的传动轴。
图
图所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图），雨蓬梁处于受扭状态。
题图
一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
某钢轴直径 ，扭矩 ，材料的许用切应力 ，单位长度许用扭转角 ，切变模量 ，试校核此轴的强度和刚度。
阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为N3=3kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力 ， ，许用扭转角 ＝。试校核轴的强度和刚度。
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
（）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题图
解：两端面之间扭转角 为
题图
一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
桥式起重机题图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 °/m。试设计轴的直径。
题图
某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。
某传动轴，横截面上的最大扭矩 ，许用切应力 ，试按下列两种方案确定截面直径：⑴横截面为实心圆截面；⑵横截面为 的空心圆截面。