高中数学竞赛辅导——函数(精品课件)

____1.
当 x 20,
1
D 时, f ( x) 2x 1 ,则 f (log1 24) 的值是( ) 2
(A) 23 24
(B) 5 6
(C) 5 2
(D) 1 2
A 实根,则这 6 个实根之和为( )
(A)18 (B)12 (C)9 (D)0
2.( 教 程 P55 5) 对 任 意 整 数 x , 函 数 f ( x) 满 足
f ( x 1) 3.(教程
1 1
P70 8)
f ( x) ,若 f (1) f (x) f ( x) 是周期为
2 ,则 f (2007) 2 的奇函数,
1答案
2答案
⑶解:∵ y x x2 3x 2 的定义域为 ,1 2,
⑴易知 y x x2 3x 2 在2, 上是增函数, ∴当 x 2, 时, y 2, ;
⑵当 x ≤1时∵ y x x2 3x 2 x 3 (x 3)2 1 3
2
2 42
=
1 4
3 在 ,1 上是减函数
一.函数的值域(最值)及其求法 思考 1.求下列函数的值域:
⑴y ⑶y
x
x
1,1
x
1 x
2 3x
2
⑵ y x2 (教程 P38 )
x x

(教程 P38
1 3
,1
)
1,
3 2
2,
思考 2.若函数 y log3( x2 ax a) 的值域为 R ， 则实数 a 的取值范围是______.（94 年第 5 届“希 望杯”全国数学邀请赛）a ≤4或 a ≥0
解：∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5 =(x2+5x+5)2+4
设 t=x2+5x+5，则 y=t2+4，对 t=x2+5x+5=(x+ 5 )2 5 ，x∈[-3,3]，易知 24
注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数， 所以 3x＋y＝－x ∴4x＋y＝0
(2)解：原方程化为(x＋8)2007＋(x＋8)＋x2007＋x＝0 即(x＋8)2007＋(x＋8)＝(－x)2007＋(－x)
构造函数f(x)＝x2001＋x 原方程等价于f(x＋8)＝f(－x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x＋8＝－x ∴ x＝－4为原方程的解
tmin=
5 4
，tmax=29
∴y=t2+4,t∈[ 5 ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ 5 ,29]，
4
4
∴ymin=4
故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在［-3,3］上的最小值是 4.
练习 3.∵ f ( x) ( x 3)2 ( x2 2)2 x2 ( x2 1)2 ∴可知函数 y f ( x) 的几何意义是抛物线 y x2 上的点 P( x, x2 ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA PB ≤ AB 10
练习 4.∵ f ( x) ( x t)2 t 2 t , 1≤ x ≤1 .
当 t ≤ 1时, f ( x)max f (1) ; 当 1 t 1时, f ( x)max f (t ) ;
当 t ≥1时, f ( x)max f (1) ;
3t 1 (t ≤ 1)
∴
f
( x)max
u( x) x2 ax a( x R) 的 最 小 值 不 大 于 0 ， 即
a a2 ≤ 0 解得 a ≤ 4 或 a ≥0 . 4
[评注]：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数 形式（关于 x 的二次方程）获得解答；解法二运用对数 函数和二次函数的性质获得思路.
练习一: 函数的值域(最值)及其求法
3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有
f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x＝ 3 2
于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
思考 2. (1)已知(3x＋y)2007＋x2007＋4x＋y＝0， 求 4x＋y 的值.
(2)解方程:(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0 思考 3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有 f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实 数根，那么所有实数根的和为( )
即有一个根就是 3 ，其余 100 个根可分为 50 对，每一对
2
的两根关于 x＝ 3 对称
2
利用中点坐标公式，这 100 个根的和等于 3 ×100＝150,
2
所有 101 个根的和为 3 ×101＝ 303 .选 B
2
2
练习二:
1.( 教 程 P55 5) 设 函 数 f ( x) 对 一 切 实 数 x 满 足: f (3 x) f (3 x) ,且方程 f ( x) 0 恰有 6 个不同
( x 3)2 1 3 x 2
2 42
∴当 x ≤1时, 3 y ≥ 1 2
综上所述,函数 y x
x2
3x
2
的值域为
1,
3 2
2,
[法一]：根据函数值域定义，对于任意实数 y ，关于 x 的
方 程 log3 ( x2 ax a) y 即 x2 ax a 3y 0 恒 有 解，因此 a2 4(a 3y ) a2 4a 4 3y ≥ 0 ——（*） 恒成立， 43y 0 （*）式成立的充要条件是 a2 4a ≥ 0，解得 a ≤ 4 或 a ≥0 . [法二]：根据对数函数和二次函数的性质，
竞赛辅导(三)函数(上)
引入
知识要点
思考一
练习一
练习二
思考二
竞赛辅导(三)函数(上)
函数的定义域、值域、图象与性质是 历届高中数学联赛中的重点和热点内容， 通常出现在一试的题目中，并以二次函数 问题为最，作为代数解决问题的工具，也 时常需运用函数思想来解决一些更有挑战 的竞赛试题.
函数 1.函数的值域(最值)及其求法
t
2
t
t 1
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
( x)max
min
1 4
二.函数的性质与图象
思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x，总有 （1）f (a－x) = f ( b + x )，这里 a，b 是常数，
问函数的图像有什么性质，证明你的结论；
（2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里 a，b 是常数， 问函数的图像有什么性质，证明你的结论．
1.(教程 P44 9)函数 y x 2x 1 的值域是( A)
(A)
y
y
≥
1 2
(B)
y
y
≤
1 2
(C)
y
y≥0(D) y
y ≤0
2.(教程 P85 5)函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在
［-3,3］上的最小值是 4 .
3.( 教程 P86 14)求函数 f (x) x4 3x2 6x 13 x4 x2 1
即R、bSy两2x点2y a关0于x 定 a点2Mb
∴线段RS的中点是定点M( a b ,0).
2 对称，而R、S是曲线y = f (x)上的动点．
∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M（ a b ,0）对称．
2
2.(1)解：构造函数f(x)＝x2007＋x，则 f(3x＋y)＋f(x)＝0
主要方法有单调性法、换元法、判别式法、不 等式法、配方法. 2.函数的性质与图象
主要指单调性、奇偶性、周期性、对称性等， 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧 妙地利用函数及其图象的相关性质,可以使问题得到 简化,从而达到解决问题的目的. 3.二次函数问题(热点问题)
在高考和高中联赛中都占有重要的地位. 注意解析式与函数的图象的关系. 4.函数方程与迭代(了解一下) 含有未知函数的等式的方程叫做函数方程.
(A)150
(B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
1答案
2答案
3答案
1.解:(1)设y = f (a－x) = f ( b+ x )则点P (a－x，y)，
Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上．
∵ (a x) (b x) a b 且P、Q 两点纵坐标相等，
∴ PQ
2
垂直直线
x
a
b
2
，且被其平分，
∴∴P、函Q 两数点y关=于f直(x线)的x 图2a 像2 b关对称于而直P线、Q又x 是a曲 线b y对= 称f (x．)上的
(2)设 y= f (a－x)=－f (b + x ),则点R (a－x,y)2，S ( b+x,
－y)都在函数y = f (x) 的图像上．
的最大值. 10
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1