纵断面设计教案

授课时间2009年3月27日1，2节
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方式
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2学时
授课
题目
第12讲：竖曲线
目的与要求：
1. 了解竖曲线的作用、线形；
2．掌握竖曲线计算方法；
3. 掌握竖曲线最小半径计算方法。

重点：1．竖曲线计算方法；
2. 竖曲线最小半径计算方法。

难点：1．竖曲线最小半径计算方法
授课内容摘要：
第4章纵断面设计
竖曲线
竖曲线的作用及线形；竖曲线要素的计算公式；竖曲线的最小长度和最小半径；逐桩设计高程计算。

参考文献：1．《公路工程技术标准》JTG B01-2003
2．《公路路线设计规范》JTG D20-2006
3．《道路勘测设计》. 张雨化主编，人民交通出版社出版
教具课件PPT课件
习题
作业
作业：习题4-2,4-3
课后小结：
No. 12
竖曲线
第12讲：2学时
4.3.1 竖曲线的作用及线形
定义：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车所设置的一段曲线。

变坡点：相邻两条坡度线的交点。

变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值之差代替，用ω表示，即
ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
竖曲线的作用：
（1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的突变。

（2）保证公路纵向的行车视距：
凸形：纵坡变化大时，盲区较大。

凹形：下穿式立体交叉的下线。

（3）将竖曲线与平曲线恰当组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒
适感。

竖曲线线形：圆曲线
二次抛物线
《规范》规定采用二次抛物线。

要求：抛物线纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。

一般情况下，竖曲线在
变坡点两侧是不对称的，但两切线长保持相等。

由于在纵断面上只计水平距离和竖直高度，斜线不计角度而计坡度。

因此，竖
曲线的切线长与曲线长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两
坡度线的交角用坡度差表示。

4.3.2 竖曲线要素的计算公式
取xoy 坐标系如图 4.3.1所示，设变坡点相邻两纵坡坡度分别为i 1和i 2。

二次抛物线一般方程（包含抛物线顶、底部）为
2
21x R
y =
（4.3.1） 式中：R ——抛物线顶点处的曲率半径。

对竖曲线上任一点P ，其斜率（即通过该点的切线的坡度）为 R
x
dx dy i P ==
（4.3.2） 1．竖曲线长度L ：
由于在纵断面设计中长度是指两点间的水平距离，因此竖曲线的长度及切线长均为其在水平面上的投影。

故ωR i i R Ri Ri x x AB L B A =-=-=-==)(2121，即
ωR L = （4.3.3）
2．竖曲线切线长T ： 因为T = T 1 = T 2，则
2
2ωR L T ==
（4.3.4）
3．竖曲线上任一点竖距h ：（如图4.3.1）
因为)(212
x i y R
x y y PQ h A P Q P --=-==，且2
21A A x R y =，化简得 R
x R x x R x y x i R x h A
A P P A P 22)(22
2
12
+
--=--=
R
x R x x h A P 22)(22=
-= （4.3.5） 同理，可对于下半支曲线的竖距h 为：
R
x L h P 2)(2
-=
（4.3.6） 图4.3.1 竖曲线要素计算图
若设计算点与离开竖曲线终点的距离为x ’，x ’= L - x P ，则R
x h 2'2
=。

4．竖曲线外距E ：
上半支曲线x = T 1时，R T E 22
11=
下半支曲线x = T 2时，R
T E 22
22=
由于外距是边坡点处的竖距，则E 1 = E 2 = E ， 故 R
T R T 222
221=
，即T 1 = T 2 = T 4
88222ω
ωωT L R E R
T E =
===
或
（4.3.7） R
x y 22
= （4.3.8）
4.3.3 竖曲线的最小长度和最小半径 1．凸型竖曲线最小半径和最小长度
凸型竖曲线最小长度应以满足视距要求为主，按竖曲线长度 L 和视距 S 的关
系分为两种情况。

（1）当 L ﹥S 如图 4-3a ） 所示
R d h 2211=、R
d h 22
2
2= ，得112Rh d =，222Rh d =，则 )(22121h h R d d s +=+=)(221h h L
+=ω
2
212min )
(2h h S L +=
ω （4.3.9）
ω
min
min L R =
（4.3.10）
当采用停车视距时，,2)(,1.0,2.122121≈+==h h m h m h 即
42min ωT S L = ， 4
2
min T
S R = （4.3.11）
当采用会车视距时，m h h 2.121==，则
6.92min ωC S L =， 6
.92min C
S R = （4.3.12） 式中：R ——竖曲线半径，m ；
h 1 ——司机视线高，即目高 h l =1.2m ； h 2 ——障碍物高，即物高 h 2=0.1m ； 其它符号意义同前。

（2） L ﹤S 如图4-3b ）所示，将竖曲线延长到21,h h 的垂直方向上，
,2221211R t R d h -= 则 2
1
112t Rh d += R
t R d h 2222222-
=， 则2
2222t Rh d += 从图中知 l t Rh l d t -+=-=2
11112
解之得 2
11l
l Rh t -=
（4.3.13） 同样从图中知 )(2)(2
2222l L t Rh l L d t ---=--=
解之得 2
22l
L l L Rh t --
-= （4.3.14） 而 21t L t S ++=，
代入得 l L Rh L l Rh S -+
+=
2
12 （4.3.15） 取 0=dl ds ，即 0)(2
221=-+-=l L Rh l Rh dl ds
解之得 L h h h l 2
11+=
（4.3.16）
代入上式并整理得 2)(221L h h L R S ++= =2
)(1221L
h h ++ω
221min )(2
2h h S L +-
=ω
（4.3.17）
ω
min
min L R =
（4.3.18）
当采用停车视距时， ω
4
2min -
=T S L （4.3.19）
)4
2(1
min ω
ω
-=
T S R （4.3.20）
当采用超车视距时， ω
6
.92min -
=C S L （4.3.21）
)6
.92(1
min ω
ω
-
=
C S R （4.3.22）
表 4.3.1 凸型竖曲线最小半径和最小长度
设计速度（km/h ）
《标准》规定值（m ）
极限最小半径
一般最小半径
竖曲线最小长度
120 11000 17000 100 100 6500 10000 85 80 3000 4500 70 60 1400 2000 50 40 450 700 35 30 250 400 25 20
100
100
20
2．凹型竖曲线最小半径和最小长度
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力，确定凹竖曲线半径时，应以离心加速度为控制指标 。

离心加速度：R
V gR v a 132
2== （4.3.23）
根据试验，认为离心加速度应限制在～s2比较合适。

但考虑到不因冲击而造成的不舒适感，以及视觉平顺等的要求，我国《标准》规定采用a= m/s 2。

6
36
31322
2.V L .V a V R min
ω==
=或 凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心力要求外，还应考虑两种视距的要求：一是保证夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离；二是保证跨线桥下行车有足够的视距。

3．按汽车行驶时间的要求确定竖曲线最小长度 《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s 行程要求 。

2
.16.3min V t V L ==
（4.3.25） 表 4.3.2 凹型竖曲线最小半径
设计速度（km/h ）
《标准》规定值
极限最小半径（m ）
一般最小半径（m ）
120 4000 6000 100 3000 4500 80 2000 3000 60 1000 1500 40 450 700 30 250 400 20
100
200
《 标准》规定的一般最小半径约为极限最小半径的 ～ 倍。

竖曲线最小长同凸型竖曲线。