12.21二次量子化:玻色子情形-单体算符

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

+ 1/3( ������1 ������2 1 ������1 ������2 + ������1 ������2 1 ������2 ������1 + ������2 ������2 1 ������1 ������1 )
������ = 2, ������ = 3
1
3
2
|������1⟩ |������2⟩
因此������(1)
������
������,������ ������
共有������ ς���������=������1���!������������!项.
从数学上可以看出������
������! �������=��� 1 ������������!
=
�������=��� 1(������������
������1 看成是与{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}都不同的一个辅
������������
作用后得
1!
������1−1
������! ! ������2
!…
������������
!
=
������1
ς���������=������1���!������������!项.
例如, 对右图有������1 = ������2 = 1, ������3 = 2, ������4 = ������5 = ������6 = 4, 于是可写为直积态: |������1⟩|������1⟩|������2⟩|������4⟩|������4⟩|������4⟩.
Fock态:
|������1⟩ |������2⟩
������ → ������ + 1
������1 → ������1 −1 ������0 = 1
的问题, 但是总粒子数������不变.
=
�������=��� 1 ������������! ������!
������ ������1 ������1 ������2 (123) = ������1 ������1 ������2 (123) + ������1 ������2 ������1 (132) + ������2 ������1 ������1 312
+ ������1 ������1 ������2 (213) + ������1 ������2 ������1 (231) + ������2 ������1 ������1 321 ������
对称性假设说明我们应该必须对直积态进行对称化才能描述������个全同粒子的态.
全对称化操作: 首先注意对于玻色子存在诸如������������ = ������������+1的情况.
对于参考态|������������1⟩|������������2⟩… |������������������⟩,定义算符������������, 使得态 ������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ = σ������ ������������ ������1 ������������ ������2 … |������������(������������)⟩
�������=������1���!������������!),
猜测������������
ς���������=������1���!������������!或许
有某种物理上的含义. 考察蓝色的6项, 它们的共同点是: ������ 1 后面跟的都是 ������1 . 事实上,
这6项都是由������1 1 ������1 ������1 ������2 出发, 将 ������0 = ������1 1
|������1⟩ |������2⟩
������1 = 2, ������2 = 1
归一化因子: 态������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ 是全对称的, 但不是归一化的.
������1 = ������2 = 1, ������3 = 2
的展开式中共有
������! �������=��� 1 ������������!
项.
������=1
Fock态与全对称态的等价: |������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩
������(1)
������
2,3 ������
= (������1 1 + ������2 1 + ������3 1 )
1/3( ������1
������1
������2
+ ������1
������2
������1
+ ������2
������1
������1 )
= 1/3(������1 1 ������1 ������1 ������2 + ������1 1 ������1 ������2 ������1 + ������1 1 ������2 ������1 ������1 )
1
2
3
|������0⟩= ������1 1 |������1⟩ |������1⟩ |������2⟩ ������0 = 1, ������1 = 1, ������2 = 1
������0 = ������2 = ������3 = 1
注意: 1. 对于玻色子, 辅助态相对
于其他已有单粒子态的 位置是无关紧要的. 2. 问题转化为一个:
������1
������1 + 1 ������1 + ������2 σ���������=���−11 ������������ + 1
|������������⟩)
σ���������=���−11 ������������
+
������������
=
������
2 单粒子算符������(1) = σ������ ������������(1)
二次量子化:玻色子情形
1 玻色子的全对称态
设共有������个单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}, 共有������个玻色子.
������ = 4, ������ = 6
• ������ < ������: 至少有两个玻色子占据同一态
4
• ������ > ������: 至少有一个态未被占据
|������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩ Q: 如何利用单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}来表示Fock态|������⟩���(���������,������)?
可见与������������ ������1 ������1 ������2 相比有重复的项, 这是由相同元素之间的置换给出的, 共有 ෑ ������������! 倍的重复.
结论: ������������|������������1⟩|������������2⟩…
������������������
������ = 2, ������ = 3
1
3
2
|������1⟩ |������2⟩
������1 = 2, ������2 = 1
������1 = ������2 = 1, ������3 = 2
一般地,有 ������(1)
������
������,������ ������
������ = 3, ������ = 3
单粒子算符������(1)对全对称态|������⟩���(���������,������)的作用:
由于两者对粒子置换都是对称的, 因此态������(1)|������⟩���(���������,������)也是一个全对称态.
例如,
������项
ς���������=������1���!������������!项
������
������,������ ������
=
������1个
������2个
������������个
������=��� 1 ������������! ������!
������������(|������1⟩
1

|������1⟩)(|������2⟩ … |������2⟩) … (|������������⟩ …
1
3
5
如果我们坚持对������个粒子使用标号, 可将第������个粒子所占据的态的 2
6
指标记为������������. 显然有������������ ∈ 1,2, … , ������ . 采用1 ≤ ������1 ≤ ������2…≤ ������������ ≤ ������ 的标号方式是方便的.
(1)
������ = 2, ������ = 3
1
3
其中求和只针对态指标集合 ������1, ������2, … , ������������ 中互不相同的那些元素的所有置换. 2
例如, 对于右图中的情况有: ������������ ������1 ������1 ������2 = ������1 ������1 ������2 + ������1 ������2 ������1 + ������2 ������1 ������1
|������⟩���(���������,������) =
�������=��� 1 ������������! ������!
������������|������������1
⟩|������������2
⟩…
������������������
ℋ =?
������ = ������(1) + ������(2) = ෍ ������������(1) + ෍ ������������(<2)������
|������������⟩
|������⟩���(���4,6) = |2,1,0,3⟩
由于������个粒子是全同的, 因此可以避免谈“哪个粒子”, 而谈及“哪个单粒子态被几个粒子占据”. 设 单粒子态 ������������ 被������������(可以为0)个玻色子占据(例: ������1 = 2, ������2 = 1, ������3 = 0, ������4 = 3), 则有σ���������=��� 1 ������������ = ������. 这样的一个态可以由所谓的(归一化的)Fock态给出:
助态, 然后通过������������操作得来的. 按照这个约定,
1个
������1 − 1个
������2个
������������个
(������1 1 |������1⟩)(|������1⟩ … ������1 )(|������2⟩ … |������2⟩) … (|������������⟩ … |������������⟩)
������1 = 2, ������2 = 1 ������1 = ������2 = 1, ������3 = 2
+ 1/3( ������1 ������1 ������3 1 ������2 + ������1 ������2 ������3 1 ������1 + ������2 ������1 ������3 1 ������1 )
������
������<������
求出了一次量子化哈密顿������在|������⟩���(���������,������)下的矩阵元, 也就求出了������的二次量子化形式ℋ.
在1 ≤ ������1 ≤ ������2…≤ ������������ ≤ ������的约定下, |������⟩���(���������,������)也可写作:
为了求出归一化因子, 我们注意到在求其模方的时候, 只有展开式中每一项与这一项本身的内
积有才贡献, 而所有的交叉项都为零——不同的单粒子态是正交的.
因此问题转化成求(1)式右边共有多少项. 若不估计 ������1, ������2, … , ������������ 中可能存在相同元素这个事 实, 那么应该共有������!项. 例如对上面的例子若使用全对称化算符������, 则有
相关文档
最新文档