12.21二次量子化:玻色子情形-单体算符
玻色子
玻色子百科名片在微观世界,有一类粒子称为玻色子,如光子、粒子、氢原子等,它们具有整数自旋(0,1,……),它们的能量状态只能取不连续的量子态,但允许多个玻色子占有同一种状态。
目录[隐藏]简介规范玻色子玻色子的类型粒子的自旋玻色子和费米子希格斯玻色子中间矢量玻色子[编辑本段]简介玻色子玻色子(boson),得名于印度物理学家玻色.。
玻色子[1](boson) 是依随玻色-爱因斯坦统计,自旋为整数的粒子。
不遵守泡利不相容原理。
在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。
符合玻色-爱因斯坦统计:由全同玻色子组成的孤立系统,处于热平衡时,分布在能级εi的粒子数为,Ni=gi/(e^(α+βεi)-1)。
α为拉格朗日乘子、β=1/(kT),由体系温度,粒子密度和粒子质量决定。
εi为能级i的能量,gi为能级的简并度。
遵从玻色-爱因斯坦统计的微观粒子。
玻色子的自旋为0或整数,例如光子、π介子等。
由玻色子或偶数个费米子组成的复合粒子的自旋也是0或整数,因而它们也是玻色子。
[编辑本段]规范玻色子量子场论表明,粒子之间的基本相互作用是通过交换某种粒子来传递的,即基本相互作用都是由媒介粒子传递的,这类媒介粒子统称为规范玻色子。
传递引力相互作用的媒介子是引力子g,是引力场量子,它是自旋为2的零质量粒子。
希格斯粒子和引力子,是理论上被预言而在实验中尚未得到存在的直接证据的两个粒子。
[编辑本段]玻色子的类型希格斯玻色子假想图胶子- 强相互作用的媒介粒子,自旋为1,有8种,胶子是传递夸克之间色相互作用的媒介粒子,是“色场”的量子。
两个不同色状态的夸克通过胶子紧密地结合在一起,所以胶子必定是双色的。
光子- 电磁相互作用的媒介粒子,自旋为1,只有1种。
g和中间玻色子(w+、w-及z0 )分别是电磁相互作用和弱相互作用的媒介子,在电弱统一理论中,这四种粒子都是电弱作用的场量子,它们都是零质量的粒子。
但是由于对称性的破缺,只有一种媒介子(g光子)保持了零质量,而其他三种获得了巨大的质量。
量子力学知识:量子物理中的二次量子化
量子力学知识:量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式,它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中,一个粒子的运动是由波函数描述的,而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题,那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等,研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况,而在多体问题中,我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用,这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题,科学家们提出了二次量子化方法,这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来,我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中,我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符,这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子,从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子,这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式,并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式,从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题,还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如,通过二次量子化方法,我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中,所有粒子都处于同一个量子态,它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性,那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来,并帮助我们理解这个现象的同时,还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象,二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象,例如超流性、超导性等。
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时,
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − , p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化, 在粒子数表象 中, 状态由产生算符作用于真空态的形式表示, 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中,
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
量子力学中的量子场论与二次量子化
量子力学中的量子场论与二次量子化在量子力学的发展历程中,量子场论和二次量子化是非常重要的概念和方法。
量子场论是一种描述微观粒子行为的理论框架,而二次量子化则是将量子力学的基本概念扩展到多粒子体系的方法。
本文将介绍量子场论的基本知识和二次量子化的概念,以及它们在量子力学研究中的应用和意义。
一、量子场论1.量子场的概念在经典物理学中,物质和场是分开考虑的,而在量子场论中,物质和场被统一起来考虑。
量子场是一种能量和动量在空间中传播的物理场,它可以看作是许多谐振子的集合。
量子场论通过对场算符的量子化来描述不同种类的粒子。
2.量子场算符量子场算符是量子场论的基本工具,它们可以创造和湮灭粒子。
对于费米子,如电子,量子场算符是具有反对易关系的费米子算符;对于玻色子,如光子,量子场算符是具有对易关系的玻色子算符。
3.场的量子化量子场理论将经典的场理论量子化,通过将经典场变量替换为动量和哈密顿算符的算符形式,从而得到了量子场的描述。
量子场的量子化过程涉及到将场展开为一组谐振子模式,而这些模式称为量子场的模式展开。
二、二次量子化1.多粒子态和Fock空间二次量子化是将量子力学的基本概念推广到多粒子体系的方法。
在二次量子化中,多粒子态由一系列粒子的量子数来描述,而不再是单个粒子的波函数。
Fock空间是用于描述多粒子态的数学空间,它由一系列单粒子态的张量积构成。
2.产生算符和湮灭算符二次量子化中,使用产生算符和湮灭算符来操作多粒子态。
产生算符可以将系统中没有粒子的态变为有一个粒子的态,而湮灭算符则将有一个粒子的态变为没有粒子的态。
这两个算符满足一系列对易或反对易关系。
3.二次量子化的物理意义二次量子化的方法可以更方便地描述多粒子体系的行为,例如,可以通过产生算符和湮灭算符来计算多粒子态的能量、动量等守恒量。
此外,二次量子化还是研究粒子之间相互作用和散射等过程的重要工具。
三、应用和意义1.量子场论在粒子物理中的应用量子场论是研究基本粒子物理学的重要工具,例如,量子电动力学(QED)是量子场论的一个重要分支,用于描述电磁相互作用。
二次量子化基础
二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程(或其它场方程)的解),(t x ψ看做场算符,展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式,在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。
这种方式便于作独立粒子近似,即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用,Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 (1)计及互换反对称性,试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =(2)式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用(2),能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ (3)利用散度定理和i ϕ在边界为零,上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明:N =2时,)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性,对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此,略去x 和r 的下脚标后,有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ (4) ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--(5)此即(3)式中后两项的展开形式,证毕。
二次量子化粒子数算符和哈密顿量算符对易关系
二次量子化是量子力学中的一个重要概念,它将系统的宏观描述从波函数转换为了场算符。
在二次量子化中,粒子数算符和哈密顿量算符是非常重要的概念,它们之间的对易关系对于描述物质的性质和行为有着重要的意义。
本文将从二次量子化的基本理论入手,探讨粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系的意义及其在物理学中的应用。
一、二次量子化的基本理论二次量子化是对一次量子化的推广,它主要应用于多体系统的描述。
在一次量子化中,系统的状态由单粒子波函数描述,而在二次量子化中,系统的状态则由多个单粒子波函数乘积构成的波函数描述。
二次量子化的基本思想是将粒子视为一个场,而不是单个粒子,场的激发态就是粒子数不同的态。
在二次量子化中,系统的态可以用多个产生算符作用在真空态上得到。
二、粒子数算符和哈密顿量算符粒子数算符是用来描述系统中粒子的数目的算符,它作用在系统的态矢量上得到系统中粒子的数目。
而哈密顿量算符则是描述系统的能量的算符,它是系统动力学性质的标量函数。
粒子数算符和哈密顿量算符在二次量子化中有着重要的地位,它们之间的对易关系对于描述系统的行为和性质有着重要的意义。
三、粒子数算符和哈密顿量算符的对易关系在二次量子化中,粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来描述系统的性质。
粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来确定系统的基态能量和激发态能量。
在一个系统中,如果粒子数算符和哈密顿量算符对易,那么系统的粒子数是守恒的,在准经典极限下,这就相当于系统的宏观性质。
而如果粒子数算符和哈密顿量算符不对易,那么系统的粒子数就不是守恒的,这就相当于系统的量子性质。
四、粒子数算符和哈密顿量算符对易关系的应用粒子数算符和哈密顿量算符对易关系在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述凝聚态物质中的超流、超导、玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
它们还可以用来描述量子场论中的费米子、玻色子以及它们之间的相互作用。
粒子数算符和哈密顿量算符对易关系还可以用来描述量子信息学中的量子比特、量子纠缠、量子密度矩阵等量子信息学的现象。
二次量子化
16
同样地,对于Fermi子,结合Pauli 原理, 脱离表象后,
n 1, n 1...n 1... 11...1...
... ...
为在粒子数表象中进行各种计算,下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
17
Bose子体系
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出,描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐,故引入粒子数表象, 即,无需进行编号, 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可, 为此,此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子,脱离q表象,有
(ni 1)nk fik
二次量子化形式
Fˆ f a a
28
由q表 象过渡至粒子数表象,求其矩阵元与上面比较:
_
首先, F ...nk ...ni... F ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ... 利用粒子数算符性质
f ...nk ...ni... n ...ni...nk ...
f n
对非对角元,
^
...(nk 1)...(ni 1)... F ...ni...nk ...
... ...
k1(qN ) k N (qN )
A k1... kN
(q1...qN
)
1 N!
P
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式(无相互作用)
由于泡利不相容原理的存在,要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点,人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法,就是二次量子化。 二次量子化的引入:Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义:
+
代入哈密顿量表达式,有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换:
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N :
二次量子化
1 p P[ (q1 ) (q2 )... N (qN )] N! p
P-置换算符 p 1 是置换P的奇偶性。
斯莱特(slater)行列式
19
(q1 ) (q2 ) ... (qN ) 1 (q1 ) (q2 ) ... (qN ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N! (q1 ) (q2 ) ... (qN )
= (q1, q2 qi q j qN )
则 ―反对称波函数 A(当两粒子交换,波函数反号, 即处于反对称态)
11
s A ?以N=2,N=3为例: 如何构造 ,
(q1, q2 ), (q2 , q1 ) N=2 有2个量子态:
1 (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 对称波函数: (q1 , q2 ) 2
n1 个粒子处于 1 态; n 2 个粒子处于 2 态……。 但它不可能告诉你,哪一个粒子处于 1 态,那
一个粒子处于 2 态,等等。
4
注意:全同性原理只是说全同粒子不可区分,不可编号,
但并不是说它们的量子态不可区分。例如:氢原子中电
子的波函数用 n,l , m, ms 表示,n,l ,m,m s 四个量子数
(q1 )
(q1 )
(q2 ) (q2 ) (q3 ) (q3 )
18
推广:在坐标表象中,N个全同费米子的归一化的 量子态:
(q1 ) 1 (q1 ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N ! (q1 )
(q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN )
12.26-二次量子化-费米子情形
1. 费米子子的全反对称态
设共有������个单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}, 共有������个费米子, 则必有 ������ ≤ ������.
������ = 4, ������ = 3
如果我们坚持对������个粒子使用标号, 可将第������个粒子所占据的态的 1
会生成������!个项, 组成一个全反对称态.
������(1)
������
������,������ ������
=
1 ������!
[������������
(������1 1
|������������1 ⟩)(
������������2
…
������������������
) + [������������ ( ������������1 )(������1 1 |������������2⟩…
要求对该态总任意两个态指标的对换都是反对称的.
若引入具有反对易关系的产生算符: ���������†��� , ���������†��� = 0 → (���������†��� )2= 0, 则可写 |������⟩���(������������������,���������������) = ���������†���1 … ���������†���������|0,0,…, 0⟩
⟩…
������������������
1
2
|������1⟩ |������2⟩ |������3⟩
|������⟩���(���3,2) = |1,1,0⟩
我们规定������个费米子按1 ≤ ������1 < ������2…< ������������ ≤ ������标号.
二次量子化
二次量子化二次量子化又叫正则量子化,是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中,粒子可以产生和湮灭,普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭,是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式,二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性,所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中,也被广泛应用。
然而,现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一:只用作为埸的自由度的广义坐标,是一维的无穷多个指标的广义坐标,也就是说尽管是多个指标,它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标,只分别对应无穷多个光量子,描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性,物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标,必须把推广成,对应物质埸在处的振动的动量,对应物质波的几率密度,即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献(包括科普)中,我们都能经常看到一个术语,即二次量子化,一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而,所谓的二次量子化其实是一个错误的概念,至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念,其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法,否则也没有特别说明的必要了,而是依然存在于物理文献中的误解,它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学,以薛定谔方程来描述,然后为了统一量子力学和狭义相对论,或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学,他们认为有必要“推广”薛定谔方程,从而找到了克莱恩-戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程,进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量,而是所谓的场,一类在时空每一点都有取值的函数,对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
产生和湮灭算符 玻色子
上述有关全同粒子的对称性假设将不同种类的 全同粒子的态限制为对称、或者反对称. 这极 大地简化了多粒子态理论, 从而允许我们引进一 种包含产生和湮灭算符的更简洁的理论形式, 即 所谓的二次量子化.
1
Fock 空间
Fock 空间的正交基矢包括: 真空或无粒子态;
单粒子态的完备集,{ :(=1,2,3…)}; 双粒子态的完备集{ }; 三粒子态的完备集{ } ;
C ~ 1,
(15a)
C ~ 0, if 0. (15b)
从(14)式, 我们有 C 0.
(15c)
7
从(15)的三个关系式可以分别得到
~ C 1,
(16)
~ C 0, if 0, (17)
故而 C 被称作湮灭算符.
综上, 产生算符C† 增加一个粒子于 轨道(如 果它是空的), 而湮灭算符从 轨道(如果它被占
据)移走一个粒子; 否则, 结果为零.
12
算符方程
1. 考虑算符C† C† , CC 0, 对任意成立
CC 0,
(23)
a 0 ,
a n1, n2,, n , n1, n2 ,, n 1, , n 1,
a n1, n2 ,, n 0, 0.
(30)
29
类似地, 定义 轨道的数算符为a† a :
aa n1, n2,, n , n n1, n2,, n , . (31) 因此, 由关系
这些在空间某点产生和湮灭的新算符被称 之为场算符(field operators).
积 †(x)(x) 称为数密度算符, 而类似于(28)
一次和二次量子化的比较
四、二次量子中的自旋一次和二次量子化的比较单粒子自旋算符单粒子自旋算符的一般形式:,ˆp q f f p q στστ+=** ()()()()()c p s s q s s r m f m r m drdm p q στϕσϕτ+=⎡⎰ * ()()()c s s s s m f m m dm p p στστστ+⎤⎛⎫=⎢⎥⎪⎢⎥∑∑⎰, .p p q f p q στστ+⎝⎭⎣⎦=∑,,p στ32证明一次量子化下的阶梯算符的对易关系在例3.2 证明次量子化下的阶梯算符的对易关系在二次量子化下仍然成立。
,2cc c zS S S +-⎡⎤=()⎣⎦例3.3 证明如下对易关系成立。
1. ,.2mn pn E p m σσδ++⎡⎤=⎣⎦[]2. ,.mn pm E p n σσδ=-[S ],?mn E ±=[],?mn z E S =总自旋算符2222x y zS S S S=++ =(1)1)z z S S S S +-+- =(1).z z S S S S -+++2,0, ,,.S S x y z αα⎡⎤==⎣⎦⎡容易证明:2,0z p p S N N αβ⎤+=⎣⎦,0p p S N N αβ⎡⎤+=⎣⎦因此,自旋本征函数可以同时选作轨道占据数算符的本征函数。
组态函数(Configuration State Function)精确的非相对论波函数是总自旋和投影自旋的本征函数,但行列式波函数通常只是投影自旋的本征函数。
通常在近似计算中采用自旋本征函数作为基组在计算上更为有利,我们可以通过线性组合Slater行列式得到自旋本征函数。
有利我们可以通过线性组合Sl行列式得到自旋本征函数行列式缺乏相应的自旋对称性的原因是自旋ON算符和总自旋算符不对易。
但是,总自旋算符和轨道ON算符对易。
这样,我们可以构造总自旋、投影自旋和轨道ON算符的共同本征函数作为自可以构造总自旋投影自旋和轨道旋本征函数。
高等量子力学 课件 【ch03】二次量子化方法
粒子数表象
于是谐振子哈密顿算符用声子数算符可记为
应当注意,这里的n 是算符。 上面的讨论并未涉及状态随时间的演化问题,或者说我们仅仅讨论了初始时刻的状态描述。 由于在粒子数表象 中我们将状态记为产生算符作用在真空态的形式(见式(3.9)),所以方便的是使 真空态不随时间改变,而使力学量 随时间改变,因此常采用海森伯绘景。在海森伯绘景中, 一维 自由谐振子湮灭算符b(t)所满足的动力学方程为
粒子数表象
历史上最早定义的相干态为谐振子相干态,它是谐振子的一些量子力学状态,处于这些态中 的粒子按 量子力学规律运动,与在同一势场中具有相同能量的经典粒子的简谐运动最为接近。为简单起见,我们 讨论一维运动。经典谐振子的运动规律xc(t)与其能量表达式为
式中, x0 为振幅, 为角频率, 为初相。为了与量子力学进行比较,将上述二式改写为
为了在粒子数表象中进行各种计算,需要引进粒子产生算符和湮灭算符。利用它们,就可以 把粒子数表象
的基矢及各种类型的力学量方便地表示出来,而且在各种计算中,只需利用这些产 生算符和湮灭算符的基
本对易关系,量子态的置换对称性即可自动得到保证。为了初学者方便, 在引进产生算符和湮灭算符之
前,简单回顾一下一维谐振子的代数解法中的升算符和降算符概念。
其中矩阵元为
压缩算符的意义
如果V 与时间有关, 当然也可能与时间有关。在特殊情况下,若V 与时间无关,则 可取 一次量子化理
论中的单粒子哈密顿算符 的本征态,相应的本征值为Ea,于是有
。这时,量子场
哈密顿算符式(3.85)可简化为
求式(3.87)的本征值和本征矢是一个二次量子化方案中的问题。其中,
的第一行与第二行相同,行列式等于零,即
。这表明这样的体系状态不存在。这正是泡利
量子力学中的二次量子化
量子力学中的二次量子化量子力学是描述微观粒子行为的一种物理学理论,它描述了量子系统的波函数演化,并通过概率的方式预测微观粒子的性质和行为。
然而,传统的量子力学在描述复杂系统时存在一些困难,无法解释多粒子系统的相互作用等问题。
为了解决这些问题,二次量子化发展起来,并成为现代理论物理学的重要分支。
二次量子化是在量子力学的基础上,对多粒子系统进行重新诠释和描述的一种方法。
它通过引入二次量子算符,将粒子的波函数表示为一个算符的形式,使得描述多粒子系统的运算和计算更加方便和简洁。
在二次量子化中,系统中的每个粒子都由一个纯态或者混合态的波函数来描述,它们之间通过升降算符产生或湮灭算符消灭来描述相互作用。
在二次量子化的框架下,我们可以方便地处理多粒子系统的对称性和反对称性问题。
通过引入费米子和玻色子的概念,对应于自旋为1/2的粒子和自旋为整数的粒子,我们可以简洁地描述系统中粒子的统计行为。
费米子遵循泡利不相容原理,即同一量子态不能同时存在多个费米子,而玻色子则不存在这个限制。
二次量子化的框架也为描述相互作用提供了一种便捷的方式。
通过引入相互作用哈密顿量,我们可以方便地描述不同粒子之间的相互作用强度和形式。
这为研究多粒子系统的相互作用行为提供了一种便捷和统一的描述方法,使得我们可以更深入地理解和研究微观粒子之间的相互作用和耦合。
除了对多粒子系统的描述外,二次量子化还在量子场论中起着重要的作用。
量子场论是描述自然界基本粒子相互作用的理论,是粒子物理学的核心理论之一。
二次量子化的思想在量子场论中被广泛应用,使得我们能够描述和研究场的量子化过程,进一步理解与粒子的相互作用和宏观性质。
总结起来,二次量子化在量子力学的基础上建立了一种更加方便和统一的方法来描述多粒子系统的行为。
它通过引入二次量子算符和升降算符,使得多粒子系统的描述和计算更加简洁和方便。
二次量子化不仅为解决多粒子系统的相互作用问题提供了一个框架,还在量子场论中起到了重要的作用。
高等量子力学理论方法-二次量子化
b , b 2. 不含时产生与湮没算符(玻色子) k k ' kk '
b , b b , b k k' k k' 0
n1n2 n
b nk (nk 1) nk 1
k
1 2
bk nk (nk ) nk 1
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基展开多粒子波 函数(理论上是严格的):
( x1...xN , t )
' ' E1 ... EN
C(E ...E
' 1
' N
, t) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
Ek:单粒子量子数集合(如nlmms)
二、二次量子化方法
多粒子希尔伯特空间 n1n2 n 1. 抽象不含时态矢 ' ' ' n n n 正交性 1 2 n1 n2 n n n n n n n 完备性 n1n2 n n1n2 n 1 nk 0,1, 2,,
1 2
n1n2 n n1 n2 n
f (n1n2 n , t ) n1n2 n
3. 多粒子态矢:
(t )
n1n2 n
二次量子化中的薛定谔方程:
(t )
n1n1n2 n
ˆ t i t H t
1 ˆ H bi i T j b j bib j ij V kl bl bk 2 ijkl ij
二次量子化不仅是处理全同粒子体系的重要工具,更重要的 是它将量子力学推广到粒子数可变的情形,能够描述粒子的 产生、湮没以及相互转化的过程,只要知道了相互作用的形 式,便可预言它能引起的过程并可计算这些过程发生的概率。
二次量子化理论.
为使拉格朗日方程
(
3
1
0i i
i L L
L x
x t ψ
ψψ=∂∂∂∂∂-
-
=∂∂∂∂/∂∂∂∑
(
3
*
*
*
1
0i i i L L
L x t x ψ
ψ
ψ=∂∂∂∂∂--
*
'
'
3
3'
1
, , , , , 2
x t x t V x x x t x t
d x d x ψψψψ+
⎰⎰
在以上的讨论中, (, x t ψ和质点组( i x t一样,还是一个经典系统,找到正则动量后就可以进行量子化了。量子化的过程是把(, x t ψ和(*, x t ψ看成正则坐
标算符,把(, x t π和(*, x t π看成相应的正则动量算符,并给他们以对易关系。由于现在((*, , x t i x t πψ=而(*, 0x t π=,所以对易关系只有一套,即
一次量子化的对象是系统的正则坐标( i x t ,若系统是(非全同的n粒子系统,则1, 2, 3i n =⋅⋅⋅;而二次量子化的对象是一个复标量场(, x t ψ,如果把
(, x t ψ和(*
, x t ψ
看成独立的广义坐标,则其中的x与前者的i相当,由于x可取
连续的不可数无穷多个值,这是一个无穷多自由度的系统。
((, , S
x t x t ψ
ψ→ ((* , , S x t x t ψψ→
而它们仍满足原来的薛定谔方程,即(36.20式。(2赋予这些算符以同时对易关系式:
二次量子化简介
• “二次量子化 二次量子化”: 二次量子化
ˆ 一次量子化中力学量的平均值( H )→算符( H ) 对于场的量子化来说, ˆ 的算符性来源于场变量的算符 H 化,即 ∗ +
ˆ ψ (x ) → ψ (x )
ˆ ψ (x ) → ψ (x )
二次量子化一般选用粒子数表象
原因:采用坐标表象描述全同粒子系统的量子态比复杂利用它进行计 算也很不方便,事实上,对于全同粒子编号是没有意义的,只需要把处于 每个单粒子态上的粒子数 (n1 , n2 ,⋅ ⋅ ⋅, nN ) 交待清楚,全同粒子系的量子态就完 全确定了。 全同Bose子体系的量子态可以用下列右矢来标记:
n1n 2 ⋅ ⋅ ⋅ n N
对于Fermi子体系,Pauli原理要求粒子态上的粒子数为1或0,若 n nα = nβ ⋅ ⋅⋅ = 1 其余单粒子态上无粒子, i = 0 ,则量子态可记为:
n α = 1, n β = 1,⋅ ⋅ ⋅
简记为
αβγ
⋅⋅⋅
α , β , γ ⋅ ⋅ ⋅ 指被粒子占据的单粒子态。
α
二次量子化后
ψˆ ( x , t ) = ψˆ +
ˆ+ ˆ 其中 bα为态粒子的产生算符,bα 为态粒子的湮没算符,
∗ ˆ bα (t ) = ∫ ϕα ( x ) ˆ ( x, t )dx ψ ˆ b + (t ) = ϕ ( x ) ˆ + ( x, t )dx ψ
∑ bˆα ϕ α (x ) α ˆ ( x , t ) = ∑ bα ϕ α ( x ) α
1.在经典理论中取连续值谱的物理量,在量子力学中变为 离散值谱的现象 2.参照系统的经典运动规律写出量子运动规律的方法
• “一次量子化 一次量子化”: 一次量子化
算符的二次量子化形式
14
在这个特定的对角表示中
V 1 4
CCC C CCC C
1
2
CCCC .
R
R1 CC . (40)
它的优点是无需涉及虚拟的粒子下标, 也不依赖于粒子数.
4
下面证明(39)、(40)之间的等价性, 这 可通过它们对于任意一对n-体态矢具 有相同矩阵元而得证:
5
首先, 我们证明(40)对于基矢的变换不变, 比 如考虑另一基矢表示的相似的算符为
§5.4 算符的二次量子化形式
对于玻色子和费米子来说, 用产生算符、 湮灭算符表示动力学变量的形式在本质 上是相同的, 这里采用费米子来引入这 一形式, 因为它的反对易关系需要更加 注意 +、 号.
1
n个全同粒子系统的力学量有几种类型, 一种可以写成n个单体力学量Ri 之和, 如:
n
动量 Pi i 1
(43)
, ( , )*, , , .
10
根据反对称态矢 2 .
表示的矩阵元为:
x1, x2 , , .
11
又(42)式可表示为
V 1
2
, CCC C
1
2
, CCC C
1
2
( , )CCC C
(42)式
哑元
C C C C 0.
12
V 1
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( , , )CCC C
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+ 1/3( ������1 ������2 1 ������1 ������2 + ������1 ������2 1 ������2 ������1 + ������2 ������2 1 ������1 ������1 )
������ = 2, ������ = 3
1
3
2
|������1⟩ |������2⟩
因此������(1)
������
������,������ ������
共有������ ς���������=������1���!������������!项.
从数学上可以看出������
������! �������=��� 1 ������������!
=
�������=��� 1(������������
������1 看成是与{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}都不同的一个辅
������������
作用后得
1!
������1−1
������! ! ������2
!…
������������
!
=
������1
ς���������=������1���!������������!项.
例如, 对右图有������1 = ������2 = 1, ������3 = 2, ������4 = ������5 = ������6 = 4, 于是可写为直积态: |������1⟩|������1⟩|������2⟩|������4⟩|������4⟩|������4⟩.
Fock态:
|������1⟩ |������2⟩
������ → ������ + 1
������1 → ������1 −1 ������0 = 1
的问题, 但是总粒子数������不变.
=
�������=��� 1 ������������! ������!
������ ������1 ������1 ������2 (123) = ������1 ������1 ������2 (123) + ������1 ������2 ������1 (132) + ������2 ������1 ������1 312
+ ������1 ������1 ������2 (213) + ������1 ������2 ������1 (231) + ������2 ������1 ������1 321 ������
对称性假设说明我们应该必须对直积态进行对称化才能描述������个全同粒子的态.
全对称化操作: 首先注意对于玻色子存在诸如������������ = ������������+1的情况.
对于参考态|������������1⟩|������������2⟩… |������������������⟩,定义算符������������, 使得态 ������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ = σ������ ������������ ������1 ������������ ������2 … |������������(������������)⟩
�������=������1���!������������!),
猜测������������
ς���������=������1���!������������!或许
有某种物理上的含义. 考察蓝色的6项, 它们的共同点是: ������ 1 后面跟的都是 ������1 . 事实上,
这6项都是由������1 1 ������1 ������1 ������2 出发, 将 ������0 = ������1 1
|������1⟩ |������2⟩
������1 = 2, ������2 = 1
归一化因子: 态������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ 是全对称的, 但不是归一化的.
������1 = ������2 = 1, ������3 = 2
的展开式中共有
������! �������=��� 1 ������������!
项.
������=1
Fock态与全对称态的等价: |������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩
������(1)
������
2,3 ������
= (������1 1 + ������2 1 + ������3 1 )
1/3( ������1
������1
������2
+ ������1
������2
������1
+ ������2
������1
������1 )
= 1/3(������1 1 ������1 ������1 ������2 + ������1 1 ������1 ������2 ������1 + ������1 1 ������2 ������1 ������1 )
1
2
3
|������0⟩= ������1 1 |������1⟩ |������1⟩ |������2⟩ ������0 = 1, ������1 = 1, ������2 = 1
������0 = ������2 = ������3 = 1
注意: 1. 对于玻色子, 辅助态相对
于其他已有单粒子态的 位置是无关紧要的. 2. 问题转化为一个:
������1
������1 + 1 ������1 + ������2 σ���������=���−11 ������������ + 1
|������������⟩)
σ���������=���−11 ������������
+
������������
=
������
2 单粒子算符������(1) = σ������ ������������(1)
二次量子化:玻色子情形
1 玻色子的全对称态
设共有������个单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}, 共有������个玻色子.
������ = 4, ������ = 6
• ������ < ������: 至少有两个玻色子占据同一态
4
• ������ > ������: 至少有一个态未被占据
|������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩ Q: 如何利用单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}来表示Fock态|������⟩���(���������,������)?
可见与������������ ������1 ������1 ������2 相比有重复的项, 这是由相同元素之间的置换给出的, 共有 ෑ ������������! 倍的重复.
结论: ������������|������������1⟩|������������2⟩…
������������������
������ = 2, ������ = 3
1
3
2
|������1⟩ |������2⟩
������1 = 2, ������2 = 1
������1 = ������2 = 1, ������3 = 2
一般地,有 ������(1)
������
������,������ ������
������ = 3, ������ = 3
单粒子算符������(1)对全对称态|������⟩���(���������,������)的作用:
由于两者对粒子置换都是对称的, 因此态������(1)|������⟩���(���������,������)也是一个全对称态.
例如,
������项
ς���������=������1���!������������!项
������
������,������ ������
=
������1个
������2个
������������个
������=��� 1 ������������! ������!
������������(|������1⟩
1
…
|������1⟩)(|������2⟩ … |������2⟩) … (|������������⟩ …
1
3
5
如果我们坚持对������个粒子使用标号, 可将第������个粒子所占据的态的 2
6
指标记为������������. 显然有������������ ∈ 1,2, … , ������ . 采用1 ≤ ������1 ≤ ������2…≤ ������������ ≤ ������ 的标号方式是方便的.
(1)
������ = 2, ������ = 3
1
3
其中求和只针对态指标集合 ������1, ������2, … , ������������ 中互不相同的那些元素的所有置换. 2
例如, 对于右图中的情况有: ������������ ������1 ������1 ������2 = ������1 ������1 ������2 + ������1 ������2 ������1 + ������2 ������1 ������1