二次量子化
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11
同样地，推广到N个BOSE子体系
ni !
i 1 N
s
n1 ...nN ( q1...qN )
N!
P
P[k1 (q1 )...kN (q N )]
其中， P 表示只对处于不同状态的粒子进 行对换而构成的置换。 这样表示出的波函数比较繁琐，甚至说 没必要。因为全同粒子本来无需编号，但是 要写出这样的波函数又不得不编号。
16
同样地，对于Fermi 子, 结合Pauli 原理， 脱离表象后， n 1, n 1...n 1... 11 ...1 ... ... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
17
Bose子体系
引入单粒子i 态的粒子湮灭与产生算符ai , ai ， 满足[ai , ai ] 1， [ai , a j ] [ai , a j ] 0 其归一化能量本征态为 1 n2 n1n2 ... (a1 ) n1 (a2 ) ... 0 , (在i 态上有ni 个Bose子） n1 !n2 !.. 同时，为粒子数算符 ni ai ai 的本征态，本征值为ni , 也为总粒子数算符的本征态，其对任一两个Bose子的交换是对称的 类似的有，
二次量子化
1
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →发展了二次量子化方法 † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 † 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
2
§1 全同粒子系的量子态描述
_ i 1
27
^
^
其余N-1个粒子在正交归一性的影响下，贡献数为，
ni !
N
非对角元(体系初末态只差一个单粒子态） ( ...( ni 1)...( nk 1)... , F ...ni ...nk ... ) N ( ...( ni 1)...( nk 1)... , f (1) ...ni ...nk ... ) 考虑有贡献的矩阵元fik , 其个数为， ( N 1)! n1 !n2 !...ni !...(nk 1)!... 非对角矩阵元为 ...ni !...(nk 1)!... ( N 1)! N (ni 1)nk fik N! n1 !n2 !...ni !...(nk 1)!... (ni 1)nk f ik
3
●为什么要引入粒子数表象？
1. 全同粒子的交换对称性 何为全同粒子？ 2. 全同性与量子化的概念区别于经典
4
一、多粒子体系的哈密顿量
●对哈密顿量的分析
例，氦原子中两个电子组成的体系：
2 2 2 2 2 ˆ H hi p1 / 2m p2 / 2m 2e / r1 2e / r2 e / r1 r2 i 1 2
... ... a a a ... 0 ,
a , a , a 分别表示各态上的粒子产生算符，
19
考虑到，交换反对称性要求，
... ...
a a a ... 0 a a a ... 0 (a a a a ) ... 0 Fermi子的产生算符满足反对易关系，即为 a a a a [a , a ] 0 特例， a a 0( Pauli原理） 相应的伴式， ... 0 ...a a a [a , a ] 0
a n1n2 ...n ... n 1 n1n2 ...(n 1)... ^
a n1n2 ...n ... n n1n2 ...(n 1)...
18
Fermi子体系的描述
同样地，对于Fermi 子, 结合Pauli 原理， 脱离表象后， n 1, n 1...n 1... 11 ...1 ... ... ... 再考虑其，一个单粒子态最多只允许占据一个粒子，
两个量子态有何不同？粒子角色对调，同一量子态
6
一般性考虑，扩展至N个粒子的全同体系， (q1 , q2 , , q N ) 若Pij 表示第i 和j粒子的交换算符，则 Pij (q1 , q2 , qi q j , q N ) (q1 , q2 , q j qi , q N ) Pij 与描述的量子态完全一致，最多差一因子， Pij , Pij , 且有，Pij 1
A k k (q1 , q2 ) 即此种态不存在， 以上式知，若k1=k2,则
1 2
Pauli原理。（不能有两个全同的Fermi子处于同一个 但粒子态）
10
推广至 N个Fermi 子体系， 1 k1 ... kN (q1...q N ) N!
A A
k ( q1 )
1
... k 1 (q N )
1 2 1 2 1 2
^
N
^
^
a 1
1 2
1 2
1 2
25
f (1) 为任意挑选粒子，再乘以总数N为总矩阵元。 其次考虑 f (a ) 为单体算符，故矩阵元的计算 故有， F 矩阵元( n ' n ' ... , F n n ... )
1 2 1 2
^
^
只需考虑体系的初末态相同或只差一个单粒子态的情况。
^ ^
1.
F （ n ' n ' ... , F n n ... ) N ( n ' n ' ... , f (1) n n ... )
1 2 1 2 1 2 1 2
^
^
两种情况考虑：对角元与非对角元
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对角元 f kk (k (q1 ), f (1) k (q1 )) (k , f k ) ( N 1)! n1 !n2 !...(nk 1)!... ( N 1)! F N f kk N ! k n1 !n2 !...(nk 1)!...
n
23
§2.2.1 Bose子单体算符
• 引入思路：由坐标表象下算符的矩阵元 表示及平均值计算，推广至粒子数表象 下。若两种情况下算符矩阵元和平均值 一致，则说明粒子数表象可代替坐标表 象。
24
设， F f (a ), ( N个单粒子算符 f (a ) 之和）。
a 1 ^ N ^ ^
2 2 2
即，
2 1, 1,
Pij有两个本征值，
7
Pij Pij (对称） ; (反对称）
为全同粒子系的关系式， 即，全同粒子系的交换对称性给予系统的波函数 以极大的限制。即要求对于其中的任何两个粒子的 交换, 或为，对称，或为，反对称。 [Pij , H ] 0 Pij为守恒量
i 1
N
N!
P
P[k1 (q1 )...kN (q N )]
14
Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性 † 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose 子，脱离q表象，有 n1n2 ...nN , (粒子数表象或Fock表象）
20
由单粒子态的归一性， 1 a a 0 a 0 湮灭算符的含义，a 0 0 一般性， a ... 0 a ... ... 利用以上关系，得 (a a a a ) ... 0( 占据） (a a a a ) ... 0( 空着） a a a a [a , a ] 0( )
8
Pauli原理
设两个全同粒子组成的体系， 考虑其Hamilton 量，H h (q1 ) h (q 2 ), h (q ) k (q ) k k (q ), 1.交换对称（bose子） 1 k1k2 (q1 , q2 ) (1 P 12 ) k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) 2 1 [ k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) k1 (q 2 ) k 2 (q1 )] 2
首先，考虑q表象下全同Bose 子系的N粒子波函数，
N! P 其中，P表示只对处于不同状态的粒子进行对换而构成的置换. 计算 F 矩阵元（ n ' n ' ... , F n n ... )
1 2 1 2
s n ... n (q1...q N )
1 N
ni !
i 1
N
P[ k1 (q1 )... k N (q N )]
22
若以粒子数形式表示， n1n2 ... 对Fermi 子，n i 1
1
or n
0,
a ...n ... (1) 1 ...1 ... n 0
1
a ...n ... (1) 1 ...0 ... n 1
^
^
考虑 F 的交换对称性，且 n ' n ' ... , n n ...中各粒子所处地位相同，
1 2 1 2
^
（ n ' n ' ... , F n n ... ) （ n ' n ' ... , f (a ) n n ... ) N（ n' n' ... , f (1) n n ...
12
§2 N个全同粒子体系的波函数
——粒子数表象
13
由上得知：
• Fermi子
1 k1 ...kN (q1...qN ) P P[k1 (q1 )k2 (q 2 )...kN (q N )] N! P
A
• Bose子
s n ...n (q1...qN )
1 N
nபைடு நூலகம் !
21
其次考虑，a a 和a a的情况， 利用，a a 0, 及a ... ... 关系式， 有， (a a a a ) ... ... (a a a a ) ... ... 即，a a a a 为恒等算符， a a a a [a , a ] 1 综上, [a , a ] ; [a , a ] [a , a ] 0( Fermi子） 比较[ai , ai ] 1; [ai , a j ] [ai , a j ] 0( Bose 子) 对易与反对易 对称与反对称
交换两个电子，H显然不变，即有， [P 12 , H ] 0, 其中P12 为粒子1和2的交换算符。
5
二、全同粒子系的坐标表象
首先考虑两个全同粒子组成的体系， 该体系以波函数 (q1 , q2 )描述，q1 , q2分别为两个 粒子的' 全部'坐标. 当两个粒子交换时，
(q1 , q2 ) P (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 12
...
k (q1 ) ... k (q N )
N N
1 k1 ... kN (q1...q N ) P P[ k1 (q1 ) k2 (q 2 )... k N (q N )] N! P 其中， P表示N个粒子的某个置换， P为奇置换或偶置换 1 定义 P P, 成为反对称化算子。 N! P
s
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2.交换反对称性（Fermi 子） 1 A k1k2 (q1 , q2 ) (1 P 12 ) k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) 2 1 [ k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) k1 (q 2 ) k 2 (q1 )] 2 1 k1 (q1 ) k 1 (q 2 ) 2 k 2 ( q1 ) k 2 ( q 2 )
同样地，推广到N个BOSE子体系
ni !
i 1 N
s
n1 ...nN ( q1...qN )
N!
P
P[k1 (q1 )...kN (q N )]
其中， P 表示只对处于不同状态的粒子进 行对换而构成的置换。 这样表示出的波函数比较繁琐，甚至说 没必要。因为全同粒子本来无需编号，但是 要写出这样的波函数又不得不编号。
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同样地，对于Fermi 子, 结合Pauli 原理， 脱离表象后， n 1, n 1...n 1... 11 ...1 ... ... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
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Bose子体系
引入单粒子i 态的粒子湮灭与产生算符ai , ai ， 满足[ai , ai ] 1， [ai , a j ] [ai , a j ] 0 其归一化能量本征态为 1 n2 n1n2 ... (a1 ) n1 (a2 ) ... 0 , (在i 态上有ni 个Bose子） n1 !n2 !.. 同时，为粒子数算符 ni ai ai 的本征态，本征值为ni , 也为总粒子数算符的本征态，其对任一两个Bose子的交换是对称的 类似的有，
二次量子化
1
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →发展了二次量子化方法 † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 † 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
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§1 全同粒子系的量子态描述
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^
其余N-1个粒子在正交归一性的影响下，贡献数为，
ni !
N
非对角元(体系初末态只差一个单粒子态） ( ...( ni 1)...( nk 1)... , F ...ni ...nk ... ) N ( ...( ni 1)...( nk 1)... , f (1) ...ni ...nk ... ) 考虑有贡献的矩阵元fik , 其个数为， ( N 1)! n1 !n2 !...ni !...(nk 1)!... 非对角矩阵元为 ...ni !...(nk 1)!... ( N 1)! N (ni 1)nk fik N! n1 !n2 !...ni !...(nk 1)!... (ni 1)nk f ik
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●为什么要引入粒子数表象？
1. 全同粒子的交换对称性 何为全同粒子？ 2. 全同性与量子化的概念区别于经典
4
一、多粒子体系的哈密顿量
●对哈密顿量的分析
例，氦原子中两个电子组成的体系：
2 2 2 2 2 ˆ H hi p1 / 2m p2 / 2m 2e / r1 2e / r2 e / r1 r2 i 1 2
... ... a a a ... 0 ,
a , a , a 分别表示各态上的粒子产生算符，
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考虑到，交换反对称性要求，
... ...
a a a ... 0 a a a ... 0 (a a a a ) ... 0 Fermi子的产生算符满足反对易关系，即为 a a a a [a , a ] 0 特例， a a 0( Pauli原理） 相应的伴式， ... 0 ...a a a [a , a ] 0
a n1n2 ...n ... n 1 n1n2 ...(n 1)... ^
a n1n2 ...n ... n n1n2 ...(n 1)...
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Fermi子体系的描述
同样地，对于Fermi 子, 结合Pauli 原理， 脱离表象后， n 1, n 1...n 1... 11 ...1 ... ... ... 再考虑其，一个单粒子态最多只允许占据一个粒子，
两个量子态有何不同？粒子角色对调，同一量子态
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一般性考虑，扩展至N个粒子的全同体系， (q1 , q2 , , q N ) 若Pij 表示第i 和j粒子的交换算符，则 Pij (q1 , q2 , qi q j , q N ) (q1 , q2 , q j qi , q N ) Pij 与描述的量子态完全一致，最多差一因子， Pij , Pij , 且有，Pij 1
A k k (q1 , q2 ) 即此种态不存在， 以上式知，若k1=k2,则
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Pauli原理。（不能有两个全同的Fermi子处于同一个 但粒子态）
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推广至 N个Fermi 子体系， 1 k1 ... kN (q1...q N ) N!
A A
k ( q1 )
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... k 1 (q N )
1 2 1 2 1 2
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a 1
1 2
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f (1) 为任意挑选粒子，再乘以总数N为总矩阵元。 其次考虑 f (a ) 为单体算符，故矩阵元的计算 故有， F 矩阵元( n ' n ' ... , F n n ... )
1 2 1 2
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只需考虑体系的初末态相同或只差一个单粒子态的情况。
^ ^
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F （ n ' n ' ... , F n n ... ) N ( n ' n ' ... , f (1) n n ... )
1 2 1 2 1 2 1 2
^
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两种情况考虑：对角元与非对角元
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对角元 f kk (k (q1 ), f (1) k (q1 )) (k , f k ) ( N 1)! n1 !n2 !...(nk 1)!... ( N 1)! F N f kk N ! k n1 !n2 !...(nk 1)!...
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§2.2.1 Bose子单体算符
• 引入思路：由坐标表象下算符的矩阵元 表示及平均值计算，推广至粒子数表象 下。若两种情况下算符矩阵元和平均值 一致，则说明粒子数表象可代替坐标表 象。
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设， F f (a ), ( N个单粒子算符 f (a ) 之和）。
a 1 ^ N ^ ^
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即，
2 1, 1,
Pij有两个本征值，
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Pij Pij (对称） ; (反对称）
为全同粒子系的关系式， 即，全同粒子系的交换对称性给予系统的波函数 以极大的限制。即要求对于其中的任何两个粒子的 交换, 或为，对称，或为，反对称。 [Pij , H ] 0 Pij为守恒量
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N
N!
P
P[k1 (q1 )...kN (q N )]
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Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性 † 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose 子，脱离q表象，有 n1n2 ...nN , (粒子数表象或Fock表象）
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由单粒子态的归一性， 1 a a 0 a 0 湮灭算符的含义，a 0 0 一般性， a ... 0 a ... ... 利用以上关系，得 (a a a a ) ... 0( 占据） (a a a a ) ... 0( 空着） a a a a [a , a ] 0( )
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Pauli原理
设两个全同粒子组成的体系， 考虑其Hamilton 量，H h (q1 ) h (q 2 ), h (q ) k (q ) k k (q ), 1.交换对称（bose子） 1 k1k2 (q1 , q2 ) (1 P 12 ) k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) 2 1 [ k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) k1 (q 2 ) k 2 (q1 )] 2
首先，考虑q表象下全同Bose 子系的N粒子波函数，
N! P 其中，P表示只对处于不同状态的粒子进行对换而构成的置换. 计算 F 矩阵元（ n ' n ' ... , F n n ... )
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s n ... n (q1...q N )
1 N
ni !
i 1
N
P[ k1 (q1 )... k N (q N )]
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若以粒子数形式表示， n1n2 ... 对Fermi 子，n i 1
1
or n
0,
a ...n ... (1) 1 ...1 ... n 0
1
a ...n ... (1) 1 ...0 ... n 1
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考虑 F 的交换对称性，且 n ' n ' ... , n n ...中各粒子所处地位相同，
1 2 1 2
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（ n ' n ' ... , F n n ... ) （ n ' n ' ... , f (a ) n n ... ) N（ n' n' ... , f (1) n n ...
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§2 N个全同粒子体系的波函数
——粒子数表象
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由上得知：
• Fermi子
1 k1 ...kN (q1...qN ) P P[k1 (q1 )k2 (q 2 )...kN (q N )] N! P
A
• Bose子
s n ...n (q1...qN )
1 N
nபைடு நூலகம் !
21
其次考虑，a a 和a a的情况， 利用，a a 0, 及a ... ... 关系式， 有， (a a a a ) ... ... (a a a a ) ... ... 即，a a a a 为恒等算符， a a a a [a , a ] 1 综上, [a , a ] ; [a , a ] [a , a ] 0( Fermi子） 比较[ai , ai ] 1; [ai , a j ] [ai , a j ] 0( Bose 子) 对易与反对易 对称与反对称
交换两个电子，H显然不变，即有， [P 12 , H ] 0, 其中P12 为粒子1和2的交换算符。
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二、全同粒子系的坐标表象
首先考虑两个全同粒子组成的体系， 该体系以波函数 (q1 , q2 )描述，q1 , q2分别为两个 粒子的' 全部'坐标. 当两个粒子交换时，
(q1 , q2 ) P (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 12
...
k (q1 ) ... k (q N )
N N
1 k1 ... kN (q1...q N ) P P[ k1 (q1 ) k2 (q 2 )... k N (q N )] N! P 其中， P表示N个粒子的某个置换， P为奇置换或偶置换 1 定义 P P, 成为反对称化算子。 N! P
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2.交换反对称性（Fermi 子） 1 A k1k2 (q1 , q2 ) (1 P 12 ) k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) 2 1 [ k1 (q1 ) k 2 (q 2 ) k1 (q 2 ) k 2 (q1 )] 2 1 k1 (q1 ) k 1 (q 2 ) 2 k 2 ( q1 ) k 2 ( q 2 )