高等量子力学理论方法-二次量子化
高等量子力学补充专题二次量子化简介
im( xn xn1 ) 2 m ) 对自由粒子，已知 xntn | xn1tn1 2it exp( 2t
由于W(Δ t)与V(x)无关，可用自由粒子情况算出
1 w t m 2it
于是，对 t 0 ，有
九、Feynman路径积分公式
1. 无限小时间间隔的一段路径， x n t n
x n 1 t n 1 1 e iSn ,n 1 / Wt
w(Δ t)只与Δ t而（假定）与V(x)无关的权重因子。
由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而
2 x x 2 mx m n n1 xn xn1 S n, n 1 dt V x t V tn1 2 t 2 2 tn
x "| eiHt / |a ' a ' | eiHt0 / x ' x ", t | x ', t0
a'
这里 x ", t | 和 | x' , t 0 是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。 因 b' , t | a' , t 0 是从 | a' , t 0 到 | b' , t 态的跃迁振幅，故 x", t | x' , t 0
所有路径对 x N t N | x1t 1 的贡献： x N t N | x 1 t 1 ~
若 0，则相邻路径的贡献倾向于抵消。
所有路径
e
iS N ,i /
对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的， 因而可相干增强。所以 0 时挑出的轨道为经典轨道。
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
二次量子化的哈密顿量
二次量子化的哈密顿量二次量子化是量子力学中的一种重要方法，用于描述多粒子系统的相互作用和运动。
它是在二次量子化框架下，通过引入产生算符和湮灭算符来重新表述系统的哈密顿量，从而更加方便地进行计算和分析。
在二次量子化中，我们将系统的基态视为真空态，并引入湮灭算符和产生算符来描述系统中的粒子数目和激发态。
湮灭算符a_i可以将第i个粒子湮灭，而产生算符a_i†可以将第i个粒子产生。
这种描述方式使得我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
在二次量子化框架下，系统的哈密顿量可以表示为湮灭算符和产生算符的线性组合。
例如，对于一个自由粒子系统，其哈密顿量可以写成：H = ∑_i ε_i a_i† a_i其中，ε_i表示第i个粒子的能量。
这个哈密顿量描述了自由粒子系统中粒子的能量和粒子数目之间的关系。
对于相互作用系统，其哈密顿量可以写成：H = H_0 + H_int其中，H_0表示系统的自由哈密顿量，描述了粒子的动能和势能；H_int表示相互作用哈密顿量，描述了粒子之间的相互作用。
在二次量子化中，我们可以通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述这两部分哈密顿量。
通过二次量子化的方法，我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
例如，在处理费米子系统时，我们可以引入费米算符来描述系统的基态和激发态，并通过对这些算符进行代数运算来得到系统的物理性质。
二次量子化的方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述多粒子系统的相互作用和运动，还可以用于研究物质的凝聚态性质、相变行为等。
通过二次量子化的方法，我们可以更加深入地理解量子力学中的多粒子现象，并为实验和理论研究提供了重要的工具。
总之，二次量子化是量子力学中一种重要的描述多粒子系统的方法。
它通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述系统的哈密顿量，从而方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
二次量子化方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛应用，并为我们深入理解量子力学中的多粒子现象提供了重要的工具。
二次量子化理论
s 2 s1 SM
2 s- S
就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出 (- 1)
。可是，另一方面，根据自旋与
对 称 性的 关系的相对论量子力学 结论，这 全同双 粒子系统的 总波 函 数在粒子交换时 应出
(- 1)2 s （ s 为整数时 + 1 ，半整数时 - 1 ，前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子
y PN (x N ) 】 Sy P1 (x1 )y P2 (x2 )L
2． 两个全同粒子体系 a） 设这个系统由费米在组成，所以它的总波函数必定相对于两粒子交换为反对称的， 即，如交换坐标是对称的，则交换自旋就必定是反称的，反之亦然。如果忽略一些小的相对 论效应， 则系统的哈密顿可分解为空间部分与自旋部分之积， 这样系统的波函数就可以写成 一个空间部分和一个自旋部分的乘积——可分离自旋变量，那么自旋部分波函数被合成为
k
由y nA 表达式得到一个重要结论：如果在 n1 , n 2 , L 中有任何两个数值相同，系统的 1 , n2 ,L 反对称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反对称的波函数才不为零，由此，费 米子系统中，不可能有两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相 容原理（1925） ” 。 <玻色子体系> 与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，于是不存在泡利不相容原理 那样的现象，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说， n1 , n 2 , L 中有 些是相同的（就它们是态编号来说） ，或 n1 , n 2 , L 可以大于 1（就它们是粒子数来说） 。 一个特殊的基本的对称态可表为
S yn (x1 , x 2 , Lx N ) = 1 , n2 ,L
二次量子化粒子数算符和哈密顿量算符对易关系
二次量子化是量子力学中的一个重要概念，它将系统的宏观描述从波函数转换为了场算符。
在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符是非常重要的概念，它们之间的对易关系对于描述物质的性质和行为有着重要的意义。
本文将从二次量子化的基本理论入手，探讨粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系的意义及其在物理学中的应用。
一、二次量子化的基本理论二次量子化是对一次量子化的推广，它主要应用于多体系统的描述。
在一次量子化中，系统的状态由单粒子波函数描述，而在二次量子化中，系统的状态则由多个单粒子波函数乘积构成的波函数描述。
二次量子化的基本思想是将粒子视为一个场，而不是单个粒子，场的激发态就是粒子数不同的态。
在二次量子化中，系统的态可以用多个产生算符作用在真空态上得到。
二、粒子数算符和哈密顿量算符粒子数算符是用来描述系统中粒子的数目的算符，它作用在系统的态矢量上得到系统中粒子的数目。
而哈密顿量算符则是描述系统的能量的算符，它是系统动力学性质的标量函数。
粒子数算符和哈密顿量算符在二次量子化中有着重要的地位，它们之间的对易关系对于描述系统的行为和性质有着重要的意义。
三、粒子数算符和哈密顿量算符的对易关系在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来描述系统的性质。
粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来确定系统的基态能量和激发态能量。
在一个系统中，如果粒子数算符和哈密顿量算符对易，那么系统的粒子数是守恒的，在准经典极限下，这就相当于系统的宏观性质。
而如果粒子数算符和哈密顿量算符不对易，那么系统的粒子数就不是守恒的，这就相当于系统的量子性质。
四、粒子数算符和哈密顿量算符对易关系的应用粒子数算符和哈密顿量算符对易关系在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述凝聚态物质中的超流、超导、玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
它们还可以用来描述量子场论中的费米子、玻色子以及它们之间的相互作用。
粒子数算符和哈密顿量算符对易关系还可以用来描述量子信息学中的量子比特、量子纠缠、量子密度矩阵等量子信息学的现象。
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
Z
Brillouin磁化率公式：
负温度（如晶格排列磁矩体系）：
1 1 S ln ( E ) , ( E ) : E处状态数 kT k E E
若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任 意k）：ρkk=1/N 对应于完全随机的系综，与β ->0（即T∞）的 正则系综分布相同
十四、配分函数
ρkk的分母为
是统计力学中的配分函数，可写为
ρ在能量本征态基中可写为
据此可得体系的所有性质， A tr e 对A=H，有
Ψi(x’)是对应于|α(i)>的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和。 混合态系综分解也是不唯一的（如不同平面波或波包 的叠加）
十一、密度算符与量子统计力学
对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：
该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
U
H
A
Z
k k
N
A k e Ek
N
E e
k k N k
N
Ek
Ek e
Ek e
(ln Z )
与统计力学的对应知β =1/kT.
应用举例：均匀磁场中的电子系综
e /2 0 0 e /2 , Z=e /2 e /2
关于算符函数矩阵的运算
12.26-二次量子化-费米子情形
1. 费米子子的全反对称态
设共有������个单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}, 共有������个费米子, 则必有 ������ ≤ ������.
������ = 4, ������ = 3
如果我们坚持对������个粒子使用标号, 可将第������个粒子所占据的态的 1
会生成������!个项, 组成一个全反对称态.
������(1)
������
������,������ ������
=
1 ������!
[������������
(������1 1
|������������1 ⟩)(
������������2
…
������������������
) + [������������ ( ������������1 )(������1 1 |������������2⟩…
要求对该态总任意两个态指标的对换都是反对称的.
若引入具有反对易关系的产生算符: ���������†��� , ���������†��� = 0 → (���������†��� )2= 0, 则可写 |������⟩���(������������������,���������������) = ���������†���1 … ���������†���������|0,0,…, 0⟩
⟩…
������������������
1
2
|������1⟩ |������2⟩ |������3⟩
|������⟩���(���3,2) = |1,1,0⟩
我们规定������个费米子按1 ≤ ������1 < ������2…< ������������ ≤ ������标号.
二次量子化
二次量子化二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。
然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性，物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
二次量子化简介
n !
!
2
t
f (n1L
n ,t)
i
iT
i
ni
L
ni L N!
! 2
f (n1L
ni L
n ,t)
1
i j
iT
L j ni
(ni 1)!L (nj 1)!L N!
2
f (n1L
ni 1L
nj 1L n ,t)
1
i jkl
ij V kl
1 2
ni
n
j
L
(ni
1)!L
(nj 1)!L (nk 1)!L N!
可简化为：
ih t
f (n1L
n , t)
i
i T i ni f (n1L ni L n , t)
1
1
i T j (ni )2 (n j 1)2 f (n1L ni 1L n j 1L n , t)
i j
i jk l
ij V kl
1 2
(ni
)
1 2
(n
j
)
1 2
(nk
1
1) 2 (nl
E'
W
W'
1 2 nE
(nE'
EE'
)
EE' V WW '
C(n1 L nE 1L nW 1L nE' 1L nW' 1L n,t)
i
j
k
l
1 2ni (nj
ij
)
ij V kl
C(n1 L ni 1L nk 1L nj 1L nl 1L n,t)
薛定谔方程变为：
高等量子力学 课件 【ch03】二次量子化方法
粒子数表象
于是谐振子哈密顿算符用声子数算符可记为
应当注意，这里的n 是算符。 上面的讨论并未涉及状态随时间的演化问题，或者说我们仅仅讨论了初始时刻的状态描述。 由于在粒子数表象 中我们将状态记为产生算符作用在真空态的形式(见式(3.9)),所以方便的是使 真空态不随时间改变，而使力学量 随时间改变，因此常采用海森伯绘景。在海森伯绘景中， 一维 自由谐振子湮灭算符b(t)所满足的动力学方程为
粒子数表象
历史上最早定义的相干态为谐振子相干态，它是谐振子的一些量子力学状态，处于这些态中 的粒子按 量子力学规律运动，与在同一势场中具有相同能量的经典粒子的简谐运动最为接近。为简单起见，我们 讨论一维运动。经典谐振子的运动规律xc(t)与其能量表达式为
式中， x0 为振幅， 为角频率， 为初相。为了与量子力学进行比较，将上述二式改写为
为了在粒子数表象中进行各种计算，需要引进粒子产生算符和湮灭算符。利用它们，就可以 把粒子数表象
的基矢及各种类型的力学量方便地表示出来，而且在各种计算中，只需利用这些产 生算符和湮灭算符的基
本对易关系，量子态的置换对称性即可自动得到保证。为了初学者方便， 在引进产生算符和湮灭算符之
前，简单回顾一下一维谐振子的代数解法中的升算符和降算符概念。
其中矩阵元为
压缩算符的意义
如果V 与时间有关， 当然也可能与时间有关。在特殊情况下，若V 与时间无关，则 可取 一次量子化理
论中的单粒子哈密顿算符 的本征态，相应的本征值为Ea,于是有
。这时，量子场
哈密顿算符式(3.85)可简化为
求式(3.87)的本征值和本征矢是一个二次量子化方案中的问题。其中，
的第一行与第二行相同，行列式等于零，即
。这表明这样的体系状态不存在。这正是泡利
二次量子化与场量子化
二次量子化与场量子化量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，其在理论物理学中占据着重要的地位。
而在量子力学的发展过程中，二次量子化和场量子化这两个概念也扮演着重要的角色。
本文将介绍这两个概念的背景、原理以及应用。
一、二次量子化的背景和原理1. 量子力学的初步建立量子力学是基于波粒二象性的理论，创立之初描述的是单个粒子的行为。
例如，薛定谔方程可以描述单个粒子的波函数演化。
然而，当牵扯到多粒子系统时，用波函数描述将变得复杂而困难。
2. 多粒子系统的场量子化为了处理多粒子系统，物理学家引入了场的概念，将多粒子系统的态用场的概念来刻画。
场的量子化将多粒子系统的态描述从波函数改为算符，进而引入了二次量子化的概念。
3. 二次量子化的原理二次量子化是在场量子化的基础上发展起来的，它在处理多粒子系统中具有巨大的优势。
在二次量子化中，波函数被替代为算符，物理量也相应地被替代为算符。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地描述多粒子系统中的粒子数变化。
二次量子化使得处理多体量子系统的问题更加简洁和有效。
二、场量子化的背景和原理1. 场的概念场是指空间中的某一物理量在各点上取值的函数。
例如，电磁场、量子场等都是以空间位置为参数的函数。
2. 场量子化的目的场量子化的目的是将传统的经典场理论转化为满足量子力学要求的理论。
在量子场论中，场是算符，而其本征态则是粒子的态矢量。
3. 场量子化的原理场量子化的基本原理是将经典场的变量替换为算符，同时引入对易关系和正则量子化条件。
通过这种方式，我们可以得到满足量子力学要求的场的量子理论，从而描述多粒子系统的行为。
三、二次量子化和场量子化的应用1. 二次量子化在凝聚态物理中的应用二次量子化在凝聚态物理学中具有重要的应用价值。
例如，在超导理论中，通过二次量子化的方法可以很方便地描述库伦相互作用和超导电子之间的相互作用。
2. 场量子化在粒子物理学中的应用场量子化在粒子物理学中也有广泛的应用。
量子力学中的二次量子化
量子力学中的二次量子化量子力学是描述微观粒子行为的一种物理学理论，它描述了量子系统的波函数演化，并通过概率的方式预测微观粒子的性质和行为。
然而，传统的量子力学在描述复杂系统时存在一些困难，无法解释多粒子系统的相互作用等问题。
为了解决这些问题，二次量子化发展起来，并成为现代理论物理学的重要分支。
二次量子化是在量子力学的基础上，对多粒子系统进行重新诠释和描述的一种方法。
它通过引入二次量子算符，将粒子的波函数表示为一个算符的形式，使得描述多粒子系统的运算和计算更加方便和简洁。
在二次量子化中，系统中的每个粒子都由一个纯态或者混合态的波函数来描述，它们之间通过升降算符产生或湮灭算符消灭来描述相互作用。
在二次量子化的框架下，我们可以方便地处理多粒子系统的对称性和反对称性问题。
通过引入费米子和玻色子的概念，对应于自旋为1/2的粒子和自旋为整数的粒子，我们可以简洁地描述系统中粒子的统计行为。
费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态不能同时存在多个费米子，而玻色子则不存在这个限制。
二次量子化的框架也为描述相互作用提供了一种便捷的方式。
通过引入相互作用哈密顿量，我们可以方便地描述不同粒子之间的相互作用强度和形式。
这为研究多粒子系统的相互作用行为提供了一种便捷和统一的描述方法，使得我们可以更深入地理解和研究微观粒子之间的相互作用和耦合。
除了对多粒子系统的描述外，二次量子化还在量子场论中起着重要的作用。
量子场论是描述自然界基本粒子相互作用的理论，是粒子物理学的核心理论之一。
二次量子化的思想在量子场论中被广泛应用，使得我们能够描述和研究场的量子化过程，进一步理解与粒子的相互作用和宏观性质。
总结起来，二次量子化在量子力学的基础上建立了一种更加方便和统一的方法来描述多粒子系统的行为。
它通过引入二次量子算符和升降算符，使得多粒子系统的描述和计算更加简洁和方便。
二次量子化不仅为解决多粒子系统的相互作用问题提供了一个框架，还在量子场论中起到了重要的作用。
第八章二次量子化
（1）与场量ψ (r,t) 对应的正则共轭动量场为
π
(r,t)
=
∂L ∂ψ (r,t)
=
i=ψ
*(r,t)
（2）Hamilton 量 Hamilton 密度为
h = πψ − L = =2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ∇ψ *ψ 2µ
对上式积分，得场的 Hamilton 量
H
=
∫
hdr=∫ drψ
* (r , t ) −
1 φ j (q1) N! "
φ j (q2 ) "
" "
φ
j
(qN "
)
.
φk (q1) φk (q2 ) " φk (qN )
若粒子自旋与轨道作用可以忽略，则体系的波函数可以写成坐标函数和自旋函数之积，即
Φ
K (r1s1
,
K r2
s2
,",
K rN
sN
)
=
φ
K (r1
,
K r2
,",
K rN
)
χ
i
N！
P
Pφi (q1)φ j (q2 )"φk (qN ) .
P 表示 N 个粒子在波函数中的某一排列， ∑ 表示对所有的排列求和, ni 代表单粒子哈密顿 P
算符第 i 个本征态的粒子数。
130
b、费米子体系波函数的形式为
φi (q1) φi (q2 ) " φi (qN )
Φ A (q1, q2 ,", qN ) =
§8.3 薛定谔场对易规则的二次量子化 一、二次量子化的两条规则 规则一：将普通场量函数替换为非对易的场算符。
12二次量子化方法
[第12讲]“一次量子化”与“二次量子化”━━ “古怪”与“不古怪”I，前言II，量子力学的建立━━“无厘头”的一次量子化III, Maxwell场协变量子化━━需要“鬼光子”的一次量子化1，Lorentz规范下协变形式量子化2, 不定度规、负模态、鬼光子3、附加条件━━“协变性要求有鬼，条件保证了看不见它们” IV，“ Schrödinger 场”的二次量子化━━其实不古怪1，“ Schrödinger 场”的“经典”场论2，“ Schrödinger 场”按对易规则二次量子化3，“Schrödinger 场”按Jordan-Wigner规则二次量子化4，将两种二次量子化结果转入粒子数表象5, 与全同多体量子力学的等价性━━所以不古怪6，二次量子化中对易规则选择问题V，自作用“ Schrödinger 场”的二次量子化━━再次的不古怪1, 自作用“ Schrödinger 场”的二次量子化2，转入粒子数表象3，转入坐标表象VI，二次量子化方法评论━━可以理解的古怪※ ※ ※I, 前 言学过量子力学的人都知道，文献和书中经常会遇到说法：经典力学经过“一次量子化”“过渡到”量子力学。
其实，从科学观点看，这个“一次量子化”实在是个“无厘头”的东西。
然而，古怪并不到此为止，更有甚者：在量子力学中，再经过 “第二次量子化”，还可以从单粒子量子力学转向建立相对论量子场论。
并且理论与实验还广泛符合，十分成功！本讲专门谈谈这两个古怪。
结论是: 一次量子化是“无厘头”的古怪，二次量子化的基础是波粒二象性，是理性的不古怪。
II ，量子力学的建立━━“无厘头”的一次量子化先简单重复一下“一次量子化”具体内容：将牛顿力学的力学量转化为作用到系统状态空间上的算符（开始了“无厘头”的逻辑飞跃！），同时也就得到坐标和动量的对易规则，构成算符的非对易代数：()ˆˆˆ,,ˆˆ,,,,i j i j r r p p i E E i t x p i i j x y z δ∂⎧→→=-∇→=⎪∂⎨⎪⎡⎤==⎣⎦⎩接着再将牛顿力学能量等式()22p E V r m=+对应地转化成算符方程，作用到表征状态的实变数复值函数(),r t ψ上，就得到状态运动方程：()()()2,,2r t i V r r t tm ψψ∂⎛⎫-=∆+ ⎪∂⎝⎭现在得到了算符的非对易运算规则，又有了状态运动方程，再添加一点与实验测量和物理解释有关的辅助公设，就能建立起非相对论量子力学。
二次量子化简介
• “二次量子化 二次量子化”： 二次量子化
ˆ 一次量子化中力学量的平均值( H )→算符( H ) 对于场的量子化来说， ˆ 的算符性来源于场变量的算符 H 化，即 ∗ +
ˆ ψ (x ) → ψ (x )
ˆ ψ (x ) → ψ (x )
二次量子化一般选用粒子数表象
原因：采用坐标表象描述全同粒子系统的量子态比复杂利用它进行计 算也很不方便，事实上，对于全同粒子编号是没有意义的，只需要把处于 每个单粒子态上的粒子数 (n1 , n2 ,⋅ ⋅ ⋅, nN ) 交待清楚，全同粒子系的量子态就完 全确定了。 全同Bose子体系的量子态可以用下列右矢来标记：
n1n 2 ⋅ ⋅ ⋅ n N
对于Fermi子体系，Pauli原理要求粒子态上的粒子数为1或0，若 n nα = nβ ⋅ ⋅⋅ = 1 其余单粒子态上无粒子， i = 0 ，则量子态可记为：
n α = 1, n β = 1,⋅ ⋅ ⋅
简记为
αβγ
⋅⋅⋅
α , β , γ ⋅ ⋅ ⋅ 指被粒子占据的单粒子态。
α
二次量子化后
ψˆ ( x , t ) = ψˆ +
ˆ+ ˆ 其中 bα为态粒子的产生算符，bα 为态粒子的湮没算符，
∗ ˆ bα (t ) = ∫ ϕα ( x ) ˆ ( x, t )dx ψ ˆ b + (t ) = ϕ ( x ) ˆ + ( x, t )dx ψ
∑ bˆα ϕ α (x ) α ˆ ( x , t ) = ∑ bα ϕ α ( x ) α
1.在经典理论中取连续值谱的物理量，在量子力学中变为 离散值谱的现象 2.参照系统的经典运动规律写出量子运动规律的方法
• “一次量子化 一次量子化”： 一次量子化
二次量子化哈密顿对角化
二次量子化哈密顿对角化二次量子化哈密顿对角化是一个用于研究量子波函数的理论框架，它的主要目的是对于能量本征值的计算和相关的振荡频率进行预测。
该理论基于量子场论和量子力学，给出了对于粒子运动和量子态的描述。
接下来，我们将详细地介绍二次量子化哈密顿对角化的步骤。
步骤一：哈密顿量的写法二次量子化哈密顿对角化的第一步是确定哈密顿量的写法。
哈密顿量可以写成产生算符和湮灭算符的二次型表达式的和，即H = ∑[H(nm) * a^+n * an + 1/2 ∑(H(mnpq) * a^+m * a^+n * an * am)]其中，a^+n是产生算符，an是湮灭算符，H(nm)表示每个模式的单粒子哈密顿量，H(mnpq)是相互作用哈密顿量。
步骤二：对角化哈密顿量二次量子化哈密顿对角化的第二步是对角化哈密顿量。
对角化是一个数学技巧，它可以将哈密顿量化为一组基矢的形式，其中每个基矢对应着一个不同的能量本征态。
具体来说，我们可以使用一组相互作用的自由粒子基矢来对角化哈密顿量。
这些基矢可以表示为产生算符和湮灭算符的乘积形式，它们被称为“准粒子”自由态。
步骤三：简化哈密顿量二次量子化哈密顿对角化的第三步是简化哈密顿量。
简化可以通过将哈密顿量化为自由基矢的形式来实现。
自由基矢是由相同的粒子数的自由粒子基矢组成的非相互作用态。
对于简化后的哈密顿量，它由两部分组成：一个单粒子部分和一个相互作用部分。
步骤四：计算有效汇流二次量子化哈密顿对角化的第四步是计算有效汇流。
有效汇流指的是关于基矢分量的一阶和二阶修正。
为了使求解有效汇流问题更加简单，我们可以引入“费曼图”技术来帮助求解。
费曼图技术是一种计算有效汇流的图像方法。
步骤五：解决动量不守恒的问题二次量子化哈密顿对角化的最后一步是解决动量不守恒的问题。
动量不守恒的问题是由于许多物理现象（如相互作用）导致的。
为了解决这个问题，我们可以引入一个称为Lamb-Dicke附加项的项。
该项允许动量不守恒，同时仍然保持哈密顿量的对角形式。
高等量子力学理论方法-二次量子化
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t N 常有 1 N H T ( xk ) V ( xk , xl ) 2 k l 1 k 1
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标， T是动能，V是粒子间的相互作用势能。
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基展开多粒子波 函数(理论上是严格的)：
( x1...xN , t )
' ' E1 ... EN
C(E ...E
' 1
' N
, t) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms)
二、二次量子化方法
多粒子希尔伯特空间 n1n2 n 1. 抽象不含时态矢 ' ' ' n n n 正交性 1 2 n1 n2 n n n n n n n 完备性 n1n2 n n1n2 n 1 nk 0,1, 2,,
二次量子化基本思想
多体量子体系的理论处理
多体波函数 ( x1...xN , t ) 包含了所有信息，但直接求解薛 定谔方程很困难。常需依赖于： 1. 二次量子化。用二次量子化算符体现全同粒子的统 计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描 述全同粒子的统计方便。 2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只 关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态 能量和寿命等物理信息，可用Feynman-Dyson微 扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。
1 ˆ H bi i T j b j bib j ij V kl bl bk 2 ijkl ij
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
根据x与p的对易关系，得
定义 故有
1` a , a 2 x, p i p, x i 1
m 2 p2 i 1 N a a x x , p 2 2 2 2 m 2
由波函数的对称性得： x p 0
2
2 x0 基态时： x 2m 2
,
m p , 2
2
2 (x) (p) 4
2 2
。
满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。
由 x 2 (a 2 a 2 a a aa ) (a 2 a 2 2 N 1)
在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。
四、本征波函数
用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。
x | a | 0 0 x | m ip m d x | 0 x x | 0 2 m 2 m dx
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
可得
it i 2 2 H , H , x(0) x(t ) x(0) [ H , x(0)] 2 … 2!
1 t 3 2 p(0) p(0) 1 2 2 x(0) t t x(0) … 3! m m 2!
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用单粒子定态波函数的完备集合或完备基展开多粒子波 函数(理论上是严格的)：
( x1...xN , t )
' ' E1 ... EN
C(E ...E
' 1
' N
, t) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms)
二、二次量子化方法
多粒子希尔伯特空间 n1n2 n 1. 抽象不含时态矢 ' ' ' n n n 正交性 1 2 n1 n2 n n n n n n n 完备性 n1n2 n n1n2 n 1 nk 0,1, 2,,
1 ˆ H bi i T j b j bib j ij V kl bl bk 2 ijkl ij
二次量子化不仅是处理全同粒子体系的重要工具，更重要的 是它将量子力学推广到粒子数可变的情形，能够描述粒子的 产生、湮没以及相互转化的过程，只要知道了相互作用的形 式，便可预言它能引起的过程并可计算这些过程发生的概率。
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t N 常有 1 N H T ( xk ) V ( xk , xl ) 2 k l 1 k 1
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标， T是动能，V是粒子间的相互作用势能。
' 1 1 ' 2 2 '
b , b 2. 不含时产生与湮没算符（玻色子） k k ' kk '
b , b b , b k k' k k' 0
n1n2 n
b n 2
bk nk (nk ) nk 1
二次量子化基本思想
多体量子体系的理论处理
多体波函数 ( x1...xN , t ) 包含了所有信息，但直接求解薛 定谔方程很困难。常需依赖于： 1. 二次量子化。用二次量子化算符体现全同粒子的统 计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描 述全同粒子的统计方便。 2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只 关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态 能量和寿命等物理信息，可用Feynman-Dyson微 扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。
1 2
n1n2 n n1 n2 n
f (n1n2 n , t ) n1n2 n
3. 多粒子态矢：
(t )
n1n2 n
二次量子化中的薛定谔方程：
(t )
n1n2 n
f (n1n2 n , t ) n1n2 n
ˆ t i t H t