清华理论力学课后答案4

ww w.
4
2 v=6 2m s 2
kh da
题 4-11 图 题 4-12 图 题 4-13 图
v2 = 36 2 m s ρ
4-12 已知图示机构的尺寸如下： O1 A = O2 B = AM = r = 0.2m ； O1O2 = AB 。如轮 O1 按 ϕ = 15π t （ ϕ 单位为 rad）的规律转动，求当 t = 0.5 s 时，杆 AB 上的点 M 的速度和加速度。 解： 点 M 与点 A 有相同的速度和加速度， 即
̇= v=x
hω ， cos 2ωt
̇= a=̇ x
2
w.
2hω 2sinωt . cos3ωt
速度和加速度。 解：由右图所示
co
4-5
若将题 4-4 中的顶杆换成平底的物块 M， 其余条件不变。 试求物块上 B 点的运动方程、
m
4-7
图示滑道连杆机构。已知 BO = 0.1 m； OA = 0.1 m，滑道连杆 BC 绕轴 B 按 ϕ = 10t
课 后
上无滑动运动的速度和加速度， 并求在滚子上与钢板
答
v = vM ' = vM =
钢板加速度
案
2πnd = 0.524m / s 2 × 60
网
dv a= =0 dt
2v2 m = 2.742 m / s 2 d
滚子上 M 点的加速度
n aτ M = 0 ， aM =
w.
co
题 4-14 图
题 4-15 图
OC 杆转角 ϕ 满足 tan ϕ = 4-14 纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求纸盘的角加 速度（以半径 r 的函数表示） 。 解： 设纸盘在 t=0 时刻的初始半径为 R，则在 t 时 刻纸盘减 少的面积为
πR 2 − πr 2 = avt
v = rω
将以上两式分别对时间求导，得
2 2 v = vρ + vϕ = 20 OA2 = 2 m s .
题 4-7 图
A 点的加速度为
aρ =
2 2 a = aρ + aϕ = 40 m s .
也可以用直角坐标法求解，并求出 A 点地切向和法向加速度。 4-8 如图所示，一直杆以 ϕ = ω 0 t 绕其固定端 O 转动，其中 ω 0 为常量。沿此杆有一滑块
e cos 2ωt R 2 − e 2 sin 2 ω
+
2
e 2 sin 2 ωt
4( R − e sin ωt )
2 2 3 2
).
题 4-4 图
vB =
dy B = −eω sin ωt ， dt dv B = eω 2 cos ωt . dt
aB =
4-6
ww w.
b)
题 4-6 图
kh da
解：经分析图 a)、b) 、c) 中 M 点速度和加速度相同。以 O 为原点，水平方向为 x 轴，竖直方 向为 y 轴。对图在 a)、 b) 、c) 中 M 点都有
课 后
a)
答
3）杆 OA 绕 O 轴转动时，通过套在杆上的套筒 M 带动杆 MN 沿水平轨道运动，求 MN 上
案
网
x = h ⋅ tgϕ = h ⋅ tgω t ，
题 4-5 图 c)
y B = R + e cos ωt ，
图示 a 、b、c 三种机构，已知机构尺寸 h 和杆 OA 与铅直线的夹角 ϕ = ωt ，其中 ω 为
常量，分析并比较它们的运动： 1）穿过小环 M 的杆 OA 绕 O 轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加 2）绕 O 轴转动的杆 OA，推动物块 M 沿水平面滑动，求物块 M 上一点的速度和加速度。 一点的速度和加速度。 速度。
有 ρ = 2 2 ， θ = arctan y = 45 ， a n =
'
o
∴ 当 y = 1m 时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为：
vx = v y = ax = −
CB = r 。求摇杆转动方程。
课 后
r sin ϕ = (h − r cos ϕ ) tan θ
由此解出杆的转动方程为
答
解：由题图所示：
m
4-16 图示机构中，杆 AC 以匀速 v 0 沿水平导槽向右运动，通过滑块 A 使杆 OB 绕 O 轴转 动。已知 O 轴与导槽相距 h。试求杆 OB 的角速度 和角加速度。 解： OA 杆转角 ϕ 满足 tan ϕ = 导得
v0 t ， 对时间 t 求 h
̇= ϕ
其中
v0 v ̇̇ = − 0 sin 2ϕ ϕ ̇ cos 2 ϕ ， ϕ h h
解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系 Oxy, 则 A 点 位置坐标为 x = s + l sin ϕ ， y = −l cos ϕ ，即
4-4 如图所示，半径为 R 的圆形凸轮可绕 O 轴转动，带动顶杆 BC 作铅垂直线运动。设 凸轮圆心在 A 点，偏心距 OA = e ， ϕ = ωt ，其中 ω 为常量。试求顶杆上 B 点的运动方程、 速度和加速度。 解：以 O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得
v A = v M = ωr = 15π ⋅ 0.2 = 9.42 m s a A = a M = ω 2 r = (15π ) 2 ⋅ 0.2 = 444.15 m s 2
4-13 机构如图所示，假设 AB 杆以匀速 u 运动， 开始时 ϕ = 0 。试求当 ϕ =
π 时，摇杆 OC 的角速度 4
第四章
4-1
点的运动和刚体基本运动
习题解答
图示曲线规尺的杆长 OA = AB = 200 mm， CD = DE = AC = AE = 50 mm。杆 OA
绕 O 轴转动的规律为 ϕ =
π t rad，并且当运动开始时，角 5
ϕ = 0 ，求尺上 D 点的运动方程和轨迹。 解： 已知 ϕ = 0.2π t ，故点 D 的运动方程为 xD = 200 cos 0.2π t mm yD = 100 sin 0.2π t mm
w.
dy d2 y (1 + y′2 ) 2 ̇= ̇= 式中 ρ = ， y = ex ， ̇ y = ex 2 ′ ′ y dx dx ̇ = 1， ̇ ̇ 当 y = 1 时， x = 0 ， y y =1
co
3
m
v2 dv ， ； at = an = =0 dt ρ
和角加速度。 解：
vt ， 对时间 t 求导得 l v v ̇ = cos 2 ϕ ， ϕ ̇̇ = − sin 2ϕϕ ̇ ϕ l l π 将 ϕ = 代入得 4 v v2 ω= ， α =− 2 . 2l 2l 负号表示 α 与 ϕ 方向相反。
以匀速 v 0 滑动。 设运动开始时， 杆在水平位置， 滑块在 O 点， 试求滑块的轨迹 （以极坐标表示） 。 解： 以 O 为极点，水平方向为极轴，点 M 的运动方程为
ρ = v0 t ， ϕ = ω 0 t
消去时间 t，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为
答
课 后
ρ=
案
v0 ϕ. ω0 π t 3 π t 3
案
2 2 a n = −36 m s 2 ， a y = a n = 36 m s 2 2 2 ω 4-11 如图所示，曲柄 CB 以等角速度 0 绕 C 轴转动，其 转动方程为 ϕ = ω 0 t 。 通过滑块 B 带动摇杆 OA 转动。 设 OC = h ，
网
θ = arctan
r sin ω 0 t h − r cos ω 0 t
网
ww w.
3
kh da
题 4-8 图
aϕ =
1 d 2 dϕ (ρ ) = −4 ⋅ OA ⋅ sin (10t ) . ρ dt dt
4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为
x = 2sin
(m )
y = 4 + 4sin
设 t = 0 时， s = 0 ；坐标 s 的起点和 t = 0 时点的位置一致，s 的正方向相当于 x 增大的方向。 试求轨迹的直角坐标方程 y = f ( x) 、点沿轨迹运动的方程 s = g (t ) 、点的速度和切向加速度 与时间的函数关系。 解：由运动方程消去 t，得轨迹方程： （−2 < x < 2） y = 2x + 4 ，
w.
(m ) ，
d2ρ dϕ − ρ ( ) 2 = −400 ⋅ OA ⋅ cos(10t ) ， 2 dt dt
co
m
t = 0 时，由 ds = dx 2 + dy 2 = s = 4.472 sin π t； 3
π πt ⋅ 20 ⋅ cos dt ，积分得点的运动方程 3 3
点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：
题 4-16 图 ，
带动穿过小环的摆杆 OB 绕 O 轴转动。 4-17 小环 A 沿半径为 R 的固定圆环以匀速 v0 运动， 试求 OB 的角速度和角加速度。若 OB = l ，试求 B 点的速度 和加速度。 解： 设角 ADC 为 θ ，由题义知
的角速度为
̇= ω =ϕ
课 后
角加速度 α = 0 以 O 为原点取直角坐标系，B 坐标为
的规律转动（ ϕ 以 rad 计） 。试求滑块 A 的速度和加速度。 解： 如右图所示。以 B 为极点和 BO 为极轴建立极坐标系，则 A 点的运动方程为
ρ = 2 ⋅ OA ⋅ cos(10t ) ， ϕ = 10t .
A 点的速度为
vρ =
dρ dϕ = −20 ⋅ OA ⋅ sin (10t ) ， vϕ = ρ = 20 ⋅ OA ⋅ cos(10t ) ， dt dt
kh da ww w.