大学物理静电场的高斯定理
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（电荷体密度为）
求 均匀带电球体的电场强度分布
解 球外 rR
E
1
40
q r2
r0
3 0
R3 r2
r0
球内 rR
SEdSE4r210
4r31q'
3
0
E r 3 0
E
r
3 0
r
++ R
++
r'
++ R
++
求 电场强度分布
解 对球面外一点P:
取过场点P的同心球面为高斯面
EdS
EdS E dS E4r2
s
s
s
根据高斯定理
qi
E4r2 i
0
rR qi Q
i
qi
E
i
4 0r 2
Q
E 4 0r 2
P
+
+ R r+
++
Q+
对球面内一点:
rR qi 0
i
EdS E4r2 0 s
E0
例 已知球体半径为R，带电量为q
q1 q2 q3
高斯定理
e SE dS10q内
(不连续分布的源电荷)
Φe SE dSV10dV
(连续分布的源电荷)
E
是高斯面内外所有电荷产生的;
e
只与内部电荷有关。
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，
等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
讨论 静电场的高斯定理适用于一切对称分布的静电场；反映电场 是有源场；
(3) 通过闭合曲面的电通量
e de S E d S
穿出、穿入闭合面电力线条数之差
dS2 E
二、静电场的高斯定理
高斯定理的推导
1.点电荷q处在任一球面的球心，则通过此球面的电通量为
eE ds 4 q 0R 2d sq 0
q
则穿过球面的电力线条数为 0
ds
2.由于电力线在空间不能中断，当以
从正电荷起伸向无穷远处，或来自
无穷远到负电荷止）
• 反映电场强度的分布
场强方向沿电场线切线方向，
场强大小取决于电场线的疏密
E dN
•
Leabharlann BaidudS
静电场的电场线不会形成闭合曲线
• 任何两条电场线不会在没有电荷的地方相交
dN
d
S
E
电通量 穿过任意曲面的电场线
条数称为电通量。 Φ e
1.均匀场中dS 面元的电通量
E 与电荷量，电荷的分布有关；
E dS 与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关；
S
利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路：
分析电荷对称性（线.面.体对称）；
根据对称性取高斯面；
根据高斯定理求电场强度。
例题1 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为
求 直线+r 处一点P 的电场强度
解 电场分布具有轴对称性
§4.2 静电场的高斯定理
一、电通量
电场线：形象描写电场强度的假想曲线
规定: 起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）
电场线上的任一点的切线方向为该点电场强度的方向；
通点过E电的场大中小某，点即，垂E直于dEN的单位面积的电场线等于该 dS
ds
E
电场线
电场线的特点:
• 起始于正电荷，终止于负电荷（或
任意一闭合曲面包含点电荷，则通过
此闭合曲面的电通量仍为 q 0
q
R•
3. q在闭合曲面外，由于穿入和穿出的电力线条数相等，
则
e 0
4. 任意闭合曲面内外有多个点电荷
任 意e闭合E 面d 电S通量为
( E 1 E 2 . .E . 5 )d S
q5
q1 q2 q3
0 0 0
q4
EdS10 q内
选取一个圆柱形高斯面
eSE dS
侧 E d S 左 E d 底 S 右 E d 底 S
0 E E S 2 E S S
n
根据2E高S斯 定1理S有 0
E 2 0
E n
思考:两块带电等量异号电荷的“ 无限大 ”平
行平面的电场强度如何计算?
E n
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R
dedN EdS
E c o d S s
矢量面元 d S d Sn
deE dS
2.非均匀场中曲面的电通量
ed e SE d S
n
E
dS
dS
S
dS E
3. 闭合曲面电通量
e de S E d S
说明
(1) n方向的规定：
(2) 电通量是代数量
dS1
π π
2
0 π
2
d Φ e 1 E d S 1 0穿入为负 d Φ e 2 E d S 2 0穿出为正
n
过P点作高斯面
eSE dS
P
侧 E d S 上 E 底 d S 下 E 底 d S
侧 E d S E 侧 d S E 2 r l
根据高斯定理得
r
l n E n
E2rl 1l 0
E 2 0 r
例题2 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度分布具有面对称性
求 均匀带电球体的电场强度分布
解 球外 rR
E
1
40
q r2
r0
3 0
R3 r2
r0
球内 rR
SEdSE4r210
4r31q'
3
0
E r 3 0
E
r
3 0
r
++ R
++
r'
++ R
++
求 电场强度分布
解 对球面外一点P:
取过场点P的同心球面为高斯面
EdS
EdS E dS E4r2
s
s
s
根据高斯定理
qi
E4r2 i
0
rR qi Q
i
qi
E
i
4 0r 2
Q
E 4 0r 2
P
+
+ R r+
++
Q+
对球面内一点:
rR qi 0
i
EdS E4r2 0 s
E0
例 已知球体半径为R，带电量为q
q1 q2 q3
高斯定理
e SE dS10q内
(不连续分布的源电荷)
Φe SE dSV10dV
(连续分布的源电荷)
E
是高斯面内外所有电荷产生的;
e
只与内部电荷有关。
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，
等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
讨论 静电场的高斯定理适用于一切对称分布的静电场；反映电场 是有源场；
(3) 通过闭合曲面的电通量
e de S E d S
穿出、穿入闭合面电力线条数之差
dS2 E
二、静电场的高斯定理
高斯定理的推导
1.点电荷q处在任一球面的球心，则通过此球面的电通量为
eE ds 4 q 0R 2d sq 0
q
则穿过球面的电力线条数为 0
ds
2.由于电力线在空间不能中断，当以
从正电荷起伸向无穷远处，或来自
无穷远到负电荷止）
• 反映电场强度的分布
场强方向沿电场线切线方向，
场强大小取决于电场线的疏密
E dN
•
Leabharlann BaidudS
静电场的电场线不会形成闭合曲线
• 任何两条电场线不会在没有电荷的地方相交
dN
d
S
E
电通量 穿过任意曲面的电场线
条数称为电通量。 Φ e
1.均匀场中dS 面元的电通量
E 与电荷量，电荷的分布有关；
E dS 与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关；
S
利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路：
分析电荷对称性（线.面.体对称）；
根据对称性取高斯面；
根据高斯定理求电场强度。
例题1 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为
求 直线+r 处一点P 的电场强度
解 电场分布具有轴对称性
§4.2 静电场的高斯定理
一、电通量
电场线：形象描写电场强度的假想曲线
规定: 起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）
电场线上的任一点的切线方向为该点电场强度的方向；
通点过E电的场大中小某，点即，垂E直于dEN的单位面积的电场线等于该 dS
ds
E
电场线
电场线的特点:
• 起始于正电荷，终止于负电荷（或
任意一闭合曲面包含点电荷，则通过
此闭合曲面的电通量仍为 q 0
q
R•
3. q在闭合曲面外，由于穿入和穿出的电力线条数相等，
则
e 0
4. 任意闭合曲面内外有多个点电荷
任 意e闭合E 面d 电S通量为
( E 1 E 2 . .E . 5 )d S
q5
q1 q2 q3
0 0 0
q4
EdS10 q内
选取一个圆柱形高斯面
eSE dS
侧 E d S 左 E d 底 S 右 E d 底 S
0 E E S 2 E S S
n
根据2E高S斯 定1理S有 0
E 2 0
E n
思考:两块带电等量异号电荷的“ 无限大 ”平
行平面的电场强度如何计算?
E n
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R
dedN EdS
E c o d S s
矢量面元 d S d Sn
deE dS
2.非均匀场中曲面的电通量
ed e SE d S
n
E
dS
dS
S
dS E
3. 闭合曲面电通量
e de S E d S
说明
(1) n方向的规定：
(2) 电通量是代数量
dS1
π π
2
0 π
2
d Φ e 1 E d S 1 0穿入为负 d Φ e 2 E d S 2 0穿出为正
n
过P点作高斯面
eSE dS
P
侧 E d S 上 E 底 d S 下 E 底 d S
侧 E d S E 侧 d S E 2 r l
根据高斯定理得
r
l n E n
E2rl 1l 0
E 2 0 r
例题2 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度分布具有面对称性