中考数学专题复习 十 函数的实际应用题

专题复习(十) 函数的实际应用题

1．(2016·合肥蜀山区二模)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭用水量划分为两个阶梯，一、二级阶梯用水的单价之比等于1∶2.如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x(m 3)之间的函数关系．其中射线AB 表示第二阶梯时y 与x 之间的函数关系． (1)写出点B 的实际意义； (2)求射线AB 所在直线的表达式．

解：(1)图中B 点的实际意义表示当用水量为25 m 3时，所交水费为70元． (2)设第一阶梯用水的单价为m 元/m 3，则第二阶梯用水单价为2m 元/m 3，设A(a ，30)，

则⎩⎨⎧am ＝30，am ＋2m （25－a ）＝70.解得⎩

⎨⎧a ＝15，m ＝2. ∴A(15，30)，B(25，70)．

设线段AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧15k ＋b ＝30，25k ＋b ＝70.解得⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－30.

∴线段AB 所在直线的表达式为y ＝4x －30.

2．(2016·芜湖南陵县一模)某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y ＝－2x ＋100.

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式(利润＝售价－制造成本)；

(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？

解：(1)z＝(x－18)y

＝(x－18)(－2x＋100)

＝－2x2＋136x－1 800.

∴z与x之间的函数解析式为z＝－2x2＋136x－1 800(18≤x≤50)．

(2)由z＝350，得350＝－2x2＋136x－1 800，

解得x1＝25，x2＝43.

将z＝－2x2＋136x－1 800配方，得z＝－2(x－34)2＋512(18≤x≤50)．

∴当x＝34时，z

＝512.

最大

答：销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元．

3．(2016·合肥十校联考)某企业生产一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1＝190—2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．

(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；

(2)求月产量x的取值范围；

(3)当月产量x(套)为多少时，这种产品的利润W(万元)最大？最大利润是多少？解：(1)y2＝30x＋500.

(2)由题意，得190－2x≥120，解得x≤35.

又x＞0，∴月产量x的范围是0＜x≤35 .

(3)由题意，得

W＝(190－2x)x－(30x＋500)

＝－2x 2＋160x －500 ＝－2(x －40)2＋2 700.

∵－2＜0，且对称轴为直线x ＝40， ∴当0＜x ≤35时，W 随x 的增大而增大． ∴当x ＝35时，W 有最大值，最大值是2 650.

故当月产量为35套时，这种产品的利润最大，最大利润是2 650万元． 4．(2016·晋江模拟)如图，把一张长15 cm ，宽12 cm 的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm .

(1)请用含x 的代数式表示长方体盒子的底面积； (2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积130 cm 2?

(3)试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由． 解：(1)(15－2x)(12－2x)cm 2.

(2)依题意，得(15－2x)(12－2x)＝130，即2x 2－27x ＋25＝0， 解得x 1＝1，x 2＝

25

2

(不合题意，舍去)． 答：当剪去的小正方形的边长为1 cm 时，其底面积是130 cm 2.

(3)设长方体盒子的侧面积S ，则S ＝2[(15－2x)x ＋(12－2x)x]，即S ＝54x －8x 2＝－8⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －2782＋7298(0

当x ＝

278时，S 最大值＝7298

. 即当剪去的小正方形的边长为278 cm 时，长方体盒子的侧面积有最大值729

8 cm 2.

5．(2016·安徽十校联考四模)某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成

本为2 400元，销售单价定为3 000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3 000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2 600元．

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2 600元？

(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其他销售条件不变)?

解：(1)设件数为x，根据题意，得

3 000－10(x－10)＝2 600.

解得x＝50.

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2 600元．

(2)由题意，得3 000－10(x－10)≥2 600.解得x≤50.

当0≤x≤10时，y＝(3 000－2 400)x＝600x；

当10＜x≤50时，y＝[3 000－2 400－10(x－10)]x＝－10x2＋700x；

当x＞50时，y＝(2 600－2 400)x＝200x.

(3)由y＝－10x2＋700x可知抛物线开口向下．

∴当x＝－

700

2×（－10）

＝35时，利润y有最大值，此时销售单价为3 000－10×(35

－10)＝2 750(元)．