抓不变量解题
抓不变量 解题方法
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比-抓不变量解题
抓不变量解题，现在再招收一批女职工，那【例1】（知总数，部份量不变）织布厂原有职工250人，其中女职工占710。
现在全厂有职工多少人？么女职工就占全厂现有职工总数的45练1：六（1）班有36名学生，男生数量与女生数量的比是5:4，后来又转来几名男生，这时男生与女生的数量比是11:8。
后来又转来了几名男生？练2：盒子里有红球和黄球共28个，红球与黄球的数量之比是9:5，后来从盒子里拿出几个红球后，红球与黄球的数量比是3:2，后来从盒子里拿出了几个红球？【例2】（和不变）甲、乙两队人数比是7：8，从甲队派30人去乙队，那么甲、乙两队人数比是2：3.则甲队原有多少人？1/ 7练1：一辆客车从甲站开往乙站，途径某地时，已行路程与剩下路程的比是3:5，再行27千米后，已行路程与剩下路程的比变为3:2。
甲、乙两站相距多少千米？练2：小丽读一本书，读了几天以后，已读的页数与未读页数的比是3：5，后来又读了27页，这时已读页数与未读页数的比是9：7，这本书共有多少页？练3：甲、乙两名同学的分数比是5：4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5，那么他们的分数比是5：7，甲、乙原来各得多少分？【例3】（差不变）今年，小清与她爷爷的年龄比是1：6，3年后，小清与她爷爷的年龄比是1：5，小清今年多少岁？2/ 7练1：甲乙两袋糖果的质量比是3：2，如果向甲乙两袋分别加入6kg，这时甲乙两袋的质量比是7：5，原来甲乙两袋一共有多少kg？练2：甲、乙两个人原来的钱数比是3：4，后来甲给乙50元，这时甲、乙两人的钱数比是1：2。
甲、乙共有多少元钱？，又来了10名男生后，男生人数占总人数【例4】（知变化量，部份量不变）阅览室里男生占总人数的13，阅览室原来有多少人？的35练1：袋子里有若干个皮球，其中花皮球占5，后来又往袋子里放入6个花皮球，这时花皮球占总个数的121。
现在袋子里有多少个皮球？23/ 7练2：操场上做游戏的学生中，男生占4，后来又来了5个男生，这时男生和女生人数一样多。
小学六年级奥数- 抓“不变量”解题
二、பைடு நூலகம்讲精练
【例题2】
二、精讲精练
练习2：
二、精讲精练
【例题3】
二、精讲精练
练习3：
二、精讲精练
【例题4】
二、精讲精练
练习4：
二、精讲精练
【例题5】
二、精讲精练
练习5：
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
小学六年级奥数- 抓“不变量”解 题
第21讲
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要 分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分 子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后， 再转化并解答。
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 练习1：
抓不变量解题技巧
抓不变量解题技巧
抓不变量是解题中重要的技巧之一。
不变量是指在问题的求解过程中保持不变的性质或条件。
通过抓住不变量，可以帮助我们更好地理解问题，分析问题，以及找到解决问题的方法。
以下是一些抓不变量的技巧：
1. 观察问题的性质：仔细观察问题，找出其中保持不变的性质。
这可能涉及到数据结构的变化、某种关系的变化或者特定的条件。
2. 列举特例：通过列举一些特殊情况，观察问题的变化规律。
这可以帮助我们找到问题保持不变的部分，并推导出通用的规律。
3. 使用归纳法：如果可以证明某种性质在问题的每一步都得以保持，那么该性质就是一个不变量。
使用归纳法来证明问题中的不变量，可以帮助我们更好地理解问题的解决过程。
4. 分析问题的关键步骤：将问题的求解过程分解为多个步骤，分析每个步骤中保持不变的性质。
这有助于我们更好地理解问题的解决方法，并指导我们进行下一步的求解。
5. 使用反证法：如果可以证明存在某个假设，使得问题的不变量被破坏，那么这个假设就是错误的。
通过使用反证法，可以帮助我们找到问题的不变量，并排除一些错误的假设。
6. 运用数学技巧：对于一些数学问题，我们可以使用一些数学技巧来抓住不变量。
例如，使用数学归纳法，找到问题中递推的关系等。
以上是一些常用的抓不变量的技巧，通过运用这些技巧，我们可以更好地分析和解决问题。
巧抓不变量解题
第5讲 巧抓不变量解题知识导航在解决分数应用题时，有些时候需要找准题目的不变量，抓不变量来解决。
共有三种形式：一是抓住和不变；二是抓住部分不变；三是抓住差不变。
精典例题例1：有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖？ 思路点拨模仿练习有含盐率15％的盐水200千克，要使含盐率降为5％，需要加水多少千克？例2：某校合唱队人数是舞蹈队人数的23，如果将合唱队队员调10人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的87，原合唱队有多少人？思路点拨模仿练习某校一年级有两个班，一班人数是二班人数的53，从二班调5人到一班后，一班人数是二班的人数的97，求原来一、二班共有多少人？例3：将40千克含盐25%和60千克含盐10%的两种盐水混合在一起，求混合后盐水的浓度。
思路点拨模仿练习浓度为 70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克混合后所得的酒精溶液的浓度是多少？例4：某校六年级有学生260人，其中男生占全年级总数的138，为了让女生至少能占总人数的73，那么至少还要招多少名女生？模仿练习一个装有各种颜色钢笔的盒中，共装有36支，其中黑色钢笔支数占总数的125，后来又放进一些黑色钢笔，这时黑色钢笔占总数的32，后来放进多少支黑色钢笔？现在共有黑色钢笔多少支？拓展练习1. 五一班原计划抽51的人参加大扫除，临时又有2人主动参加，使实际参加大扫除的人数是余下人数的31，则原计划抽出多少人参加大扫除？2.某学校开学时中学生占10061，后来有50名小学生转入，这样中学生就只占全校人数的53。
那么开学时有小学生多少人？家庭作业1. 把含盐10％的盐水20千克，改制成含盐20％的盐水。
需要加盐多少千克？2. 有盐水750千克，含盐20％，加了一些水后含盐8％，加水多少千克？3. 将80千克含盐25%和20千克含盐10%的两种盐水混合在一起，求混合后盐水的浓度。
4.乙包糖的重量是甲包糖重量的41，如果从甲包中取出10克放入乙包后，乙包的重量就变为甲包的75。
抓不变量解决问题
01
不变量对问题的解决具有重要影响，需要深入分析其作用和影
响机制。
探讨不变量之间的关系
02
不变量之间可能存在相互影响和制约的关系，需要探讨这些关
系对问题解决的影响。
确定不变量在问题解决中的地位
03
不变量在问题解决中的地位和作用不同，需要根据实际情况进
行判断和选择。
利用不变量制定解决方案
根据不变量制定解决方案
促进创新
在抓住问题的不变量基础上，人们可以尝试不同的解决方案，从而 激发创新思维，找到更好的解决方案。
抓不变量解决问题的应用场景
数据分析
在数据分析中，有些数据指标是不受 其他因素影响的，抓住这些不变量可 以帮助我们更准确地分析数据。
科学研究
在科学研究中，有些实验条件是不变 的，抓住这些不变量有助于我们更好 地控制实验结果和误差。
解决方案顺利实施。
Part
05
总结与展望
总结：抓不变量解决问题的优势与局限
高效性
抓不变量方法能够快速地识别和提取问题中的关键信息，从而有效地解决问题。
通用性
该方法适用于多种类型的问题，无论是数学、物理还是工程领域，都可以通过抓不变量 来简化问题。
总结：抓不变量解决问题的优势与局限
• 实用性：抓不变量方法在实际应用中取得了显著的效果，为许多领域提供了新的解决思路。
VS
详细描述
问题识别能力是解决不变量问题的关键。 我们需要不断学习新知识、积累经验，提 高自己的问题敏感度和洞察力。同时，我 们还要善于从他人的经验和案例中学习， 不断优化自己的问题识别方法。
应对策略二：不断优化解决方案
总结词
在找到不变量后，要持续优化解决方案，确 保其有效性。
完整六年级奥数 抓不变量解题
六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。
619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。
”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。
534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。
由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。
35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
抓不变量解答分数应用题(供参考)
抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。
如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。
又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。
把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。
那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。
(完整版)小升初数学要抓不变量解题
小升初数学要抓不变量解题知识导航:在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。
其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。
为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。
那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。
抓不变量问题主要分以下三种情况。
一.抓住“和不变”在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。
和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。
例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6 倍，从第一桶取出12 千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。
则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1 6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1 4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。
原来第一桶：210×6/7=180（千克）二. 抓住“差不变”有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。
例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48 人，六年二班有学生56 人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？分析：两个班的人数都发生了变化。
谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。
即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。
因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。
抓不变量解决问题 ppt课件
抓不变量解决问题
复习
1、某班男女生人数比为2：3，男生人数是
女生人数的（ 2 ），女生人数是男生人数
3
的（ 3 ），男生人数是全班人数的（ 2 ）。
2
5
抓不变量解决问题
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
16、3：4的前项加上6，要使比值不变，
后项应加上（
）。
抓不变量解决问题
20、在一道减法算式中，被减数与减数
的比为8：5，差比减数少24，这道减法
算式是（
）。
抓不变量解决问题
全班共有58人，男生人数的2/5等 于女生人数的3/8，男女生各有多 少人？
抓不变量解决问题
校图书室有故事书、科技书、文艺书三种， 其中故事书是总数的2/5，科技书与故事书 的比为7:8，已知故事书比文艺书多144本， 故事书有多少本？
甲、乙两袋球的比是2：5，现往 甲袋中放入10个球，这时甲、乙两袋 球的比是3：7，乙袋中有多少个球？
张庄小学六年级学生中女生 占 7 ，后来又转来了15名女生，这 样女1生2 占六年级总人数的 3 ，六年
5
级原来有多少名学生？
部分量不变
抓不变量解决问题
试一试试一试
甲、乙两袋球的比是3：4，从甲 袋拿出50个放入乙袋，这时甲袋中的 球是乙袋的 1 ，原来甲、乙两袋中 各有多少个球2？
抓不变量解决问题
3、甲、乙两车间人数比是3：5，若从乙 车间调10人到甲车间，现在甲、乙车间 的人数比是2：3，两车间共有多少人？ 不变量是（ ）
4、甲、乙两车间人数比是3：5，若乙车 间调进10人，现在甲、乙车间的人数比 是4：7，乙车间原有多少人？ 不变量是（ ）
抓住不变量解题,一题四解,适合五六年级
一个分数，如果分子加上2就成了2/3，如果分子减少了3，分数变成了1/3，问原来分数是多少？ 方法1：前后两种情况的分母是不变的，所以分母必须是一样的。
同时分子一个是加2一个是减去3所以第一个分子比第二个分子大2+3=5，而题目中的分母一样是3，这个时候分子差2-1=1，实际上分子差应该是5，所以分子分母应该同时扩大5倍即乘5，所以第一个分数变成10/15，第二个分数变成5/15，还原得到原来的分子是10-2=8，分母是15，所以原来分数是8/15，或者第二个分子是减去3之后为5，说明原来是3+5=8，分母是15，所以也是8/15方法2：转化为分子加上2之后是分母的2/3，分子减去3之后是分母的1/3，这个地方把不变量分母看作单位“1”，增加2之后的分子为2/3，减去3之后的分子为1/3，第一个分子比第二个分子多2+3=5对应2/3-1/3=1/3，量率对应得到，5÷1/3=15------单位1分母。
分母为15，分子加上2之后是分母15的2/3即10，所以原来分子是10-2=8，所以分数是8/15方法3： 设原来分数是AB 。
322=+A B 313=-A B 通过交叉相乘，乘积相等。
得到：（B+2）×3=2×A（B-3）×3=A ×1得到：3B+6=2A...........①3B-9=A...........②①减去②得到，6+9=A ，A=15,代入得到B=8,所以是8/15。
方法4：解：设分子是X 。
分子增加2变成X+2，这个时候分母是分子的23倍，所以分母是（X+2）×23。
所以得到原来的分子是X ，原来的分母是（X+2）×23。
在第二个条件中，分子减少3,分子变成了X-3，分母还是（X+2）×23这个时候分子和分母的关系是，分母是分子的3倍。
（X-3）×3=（X+2）×23 X=8分母=（8+2）×23=15 所以分母是8/15。
抓“不变量”解题
例6、现有浓度为20%的食盐水80克。把这些食盐水变为浓度为75％的食盐水，需要再加食盐多少克?
举一反三（易错点、方法、技巧、知识串联）
培优题
课 堂 札 记
1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？
例题精讲
基础题
课 堂 札 记
考点一：总量不变
题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。
例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?
例2、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？
例3、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：扫除的人数是未参加的 ,后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的 ，问某班五年级有学生多少人?
9、在阅览室里,女生占全室人数的 ，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的 ，阅览室原有多少人?
10、现有浓度为20%的食糖水160克,把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克？
11、乙队原有人数是甲队的 。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的 .甲乙两队原来各有多少人？
课堂小结
4、甲、乙两个书架放图书册数的比是7︰5，从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙书架上的图书册数的比变为3︰4。甲书架原有图书多少册？
抓住“不变量”解题
一些数学问题，常常会出现数量的增减变化，但与之相关的另外一些量没有改变，如果能抓住题中的“不变量”去分析数量关系，往往会起到重要的作用。
【例1】原来学校田径队女生人数占田径队总人数的13，后来又有6名女生加入，这样女生人数就占田径队总人数的49。
现在田径队有女生多少人？【思路分析】根据条件可知，女生人数发生了变化，总人数也随着发生了变化，但男生人数没有变。
由女生人数占田径队总人数的13，可知女生人数占男生人数的12。
后来有6名女生加入，这样女生人数就占田径队总人数的49。
可以想到，这时女生占男生人数的45。
6名女生就占男生人数的（45-12），根据一个数乘分数的意义，◎相子凡住不变量解题（扫描二维码可见答案，扫码仅需一元）可以求出男生人数，接着就能求出女生人数。
列式解答：6÷（45-12）=20（人）……男生人数20×45=16（人）……女生现在的人数答：现在田径队有女生16人。
【例2】分数319的分子和分母同时加上同一个数，约分后是57，加上的这个数是多少？【思路分析】一个分数的分子和分母同时加上一个相同的数，分母和分子的差是不变的。
所以分数319的分子和分母同时加上同一个数后，分母与分子的差还是19-3=16，而约分后的分数是57，其分母与分子的差是7-5=2，缩小了16÷2=8倍。
要得到约分前的分数，57的分子和分母要分别乘8，即5×87×8=4056，因此加上的数就是40-3=37或56-19=37。
列式解答：19-3=16，7-5=2，16÷2=85×87×8=4056，40-3=37或56-19=37答：加上的这个数是37。
【挑战自我】分数1186的分子和分母同时加上一个相同的数，使得分数变成27，加上的这个数是多少？。
六年级奥数抓不变量解题
六年级奥数抓不变量解题
在六年级奥数中，抓不变量是一种常用的解题方法。
抓不变量是指在问题的每一步变换中，通过找到一个保持不变的性质来解决问题。
以下是一些常见的抓不变量解题方法和例子：
1. 总数不变：问题中的某些属性总数保持不变。
例子：有一串递增的连续整数，如果删除其中一个数，则剩下的数可以排成递增的连续整数。
这里总数不变的抓不变量是递增的连续整数的总数。
2. 和不变：问题中的某些数的和保持不变。
例子：一个棋盘上有若干个棋子，每次转动或移动棋盘上的一行或一列。
证明每次转动或移动后，棋盘上白色棋子的和与黑色棋子的和保持相同。
这里和不变的抓不变量是白色棋子的和与黑色棋子的和。
3. 差不变：问题中的某些数之间的差保持不变。
例子：有一组数字，每次选择其中的两个数a和b，然后将它们替换为a+b 和|a-b|。
证明无论选择哪两个数，替换后的数列的最小值都保持不变。
这里差不变的抓不变量是任意两个数的差的绝对值。
抓不变量方法通常需要通过观察问题的性质和变换规律来发现，并根据它们构造合适的抓不变量。
通过抓不变量，可以简化问题的复杂性，提供思考方向，使问题的解决更加直观和简单。
六年级 抓不变量解题 -六年级必考,大班课课件
第12讲 抓不变量解题1.有关X的“灵魂⼋问”2.抓不变量解题男⽣与⼥⽣的⽐是5:3，如果把男⽣当成X，则⼥⽣为_____男⽣与⼥⽣的⽐是7:3，如果把⼥⽣当成X，则男⽣为_____男⽣与⼥⽣的⽐是5:3，如果把全班当成X，则⼥⽣为_____4男⽣是⼥⽣的 ，如果把男⽣当成X，则⼥⽣为_____94男⽣是⼥⽣的 ，如果把全班当成X，则男⽣为_____94男⽣是⼥⽣的 ，如果把⼥⽣当成X，则全班为_____94男⽣是全班的 ，如果把⼥⽣当成X，则男⽣为_____9男⽣是全班的30%，如果把男⽣当成X，则⼥⽣为_____学校合唱团男⽣⼈数是⼥⽣的40%,⼜来了3名⼥⽣后,男⽣3⼈数是⼥⽣的 .学校合唱团有男⽣多少⼈?8兄弟两⼈各有⼈⺠币若⼲元,其中弟的钱数是兄的80%,若弟给兄24元,则弟的钱数是兄的 ,求兄弟两⼈原来各有多少元?3“抓不变量解题”的⼀般步骤国庆节前⼣，六（2）班同学分成两个组打扫卫⽣，第⼀组和第⼆组⼈数⽐是7：3，后来发现第⼆组⼈⼿明显不够，于是卫⽣委员从第⼀组派5名同学到第⼆组，这时⼀、⼆两组⼈数⽐是3：2，求六（2）班共有多少名同学？去年王爷爷栽了⼀枇桃树和梨树，桃树和梨树的⽐是5：3，今年春季王爷爷⼜种了7棵梨树，这样梨树占两种树总数的 ，求现在两种有多少棵？115数学课外兴趣⼩组中，上学期男⽣占 ，这学期增加21名⼥⽣后，男⽣就只占 了，这个⼩组现有⼥⽣多少⼈？9552有两筐梨，⼄管是甲筐的 ，从甲筐取出5千克梨放⼊⼄管后，⼄筐的梨是甲筐的 ，甲、⼄两筐梨共重多少千克？5397和定部分定⽅程全搞定差不变今年妈妈54岁，⼥⼉26岁，当⼥⼉的年龄是妈妈的 之时，妈妈多少岁？239有两堆⻩沙,第⼀堆重25吨,第⼆堆重21吨.如果从这两堆中各⽤去同样多的⼀部分后,第⼆堆剩下的吨数是第⼀堆的75%.每堆⽤去的吨数是多少?。
小学六年级奥数课件：抓住不变量解题
常用解题方法：一元一次方程，二元一次 方程组，分式方程，归纳法等
抓住“不变量”解题
将43 的分子与分母同时加上某数后得7 ，求所加的这个数
61
9
读懂题意，抓住“不变量”
将一个分数的分母减去2得4 ，如果将它的分母加上1，则得2 ，求这个分数。
5
3
例3.
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5 。如果在它的分子上减去 7
同一个数，这个分数就等于1 ，求原来的最简分数是多少 2
例4.
将一个分数的分母加 3 得7 ，分母加 5 得3 。原分数是多少？
9
4
将一个分数的分母加 3 得7 ，分母加 5 得3 。原分数是多少？
9
4
分子不变，他肯定是3和7的公倍数，将他们的分 子变成21后可发现分母相差1，而题中一次加3， 另一次加5，相差2，故原分数的分子是42，相应 的可得分母
25 ? 3 5?
案例解析：本题的解题关键在于弄明白 依题意可以设x年后，小头爸爸的年龄是大头儿子的3倍，则
有(25+X)/(5+X)=3，得出X=5，也就是5年后，小头爸爸的年龄是大头儿子的3倍。
总体诀窍：找出不变量，找出问 题与题干之间的联系，结合所学 知识，以“不变”应万变解决问
归纳和总结
1.认真读题，读懂题干内容 2.对题干关键性词语做出标注 3.破题--确定变量，从题干提取数据 4.解题--认真计算，仔细检查
课后作业
1.回顾今天所学内容，消 化课知识
2.家庭作业部分三道习题
小升初进阶班奥数
第一讲 抓住“不变量”解题
上课要求
1.兴趣浓厚，热爱这门课程（兴趣） 2.认真听讲，按时完成作业（勤奋） 3.积极作答，遇到问题及时咨询老师（勇敢） 4.敢于质疑，对源自师上课有要求（主见）情境导入
抓不变量解应用题
• 剪去后第二根铁丝的长度为：6÷3/8＝16(分米） 第10页/共12页
举一反三
• 1、有两段布，一段长40米，另一段长30米， 把这两段布都用去同样长的一部分后，发现短 的一段布剩下的长度是长的一段布剩下长度的 60%。每段布用去多少米？
• 解法二： • 因为文艺书本数没变，所以可以先求出文艺书本数：
630 ×（1 －20%） ＝504（本） • 根据已知条件“这时科技书占总数的30%”可知，
买来一部分科技书后文艺书占 两种书总数的1 － 30% ＝70% • 则现在两种书的总数：504 ÷70% ＝720（本）
第6页/共12页
举一反三 1、五年级共有学生54人，其中女生占4/9，后 来又转来若干名女生，这时女生占3/5。转来的 女生有多少人？
• 买来科技书之前，科技书占文艺书的20%÷（1－20%） ＝1/4
• 买来科技书之后，科技书占文艺书的30÷（1 －30%） ＝3/7
• 买来的科技书占文艺书的（3/7 －1/4） ＝5/28
第5页/共12页
再求出现在那就是的本数：504 ×3/7 ＝216（本）
• 进而求出买来的科技书本数：216 －126 ＝90 （本）。
• 2、一个西瓜重20千克，其中98%是水分，将 西瓜在太阳下晒一段时间后，水分占西瓜重量 的95%。西瓜晒后的重量是多少千克？
• 3、浓度为25%的食盐水100克，如果想稀释到 10%的浓度，需加水多少克？
• 4、学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生 占4/9。后来又有几名女生来看书，这时女生人 数占所有看书人数的第97页//共1192页。问：后来又来了几
小学数学 第21周 抓不变量解题
6 2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同
7
1 一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3、
一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个 9
3 数，这个分数就等于 ，求这个分数。
5
例 4：
7
3
将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？
例 5：
1
1
有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于 ；如果分母加 1，这个分数就等于 ，这个分
2
3
数是多少？
1 根据“分子加 1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这
2
1
个分数就等于 ”可知，分母比分子的 3
3
倍少
1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，
所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分
7 子是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。”
9
7 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81
9
7 分子：81×9＝63
81-61＝20 或 63-43＝20
43
7
解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的 与分母的差不变，所以
2
5 10 解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即7=14，
17
10 7
= 。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想 和 的分子和
2 14
14 14
分母再乘以 2。所以
5 10 20 1 7 14 ＝ ＝ ，＝ ＝ 7 14 28 2 14 28
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抓不变量解题
有些数学应用题因为数量关系较为复杂，在进行求解时会有一定的难度，这时可抓住诸多量中一个不变的量进行分析与解答。
例1、某工程，由甲先做了12天，再由甲、乙两人合做，完成任务时，甲做了这项工程的5/8，甲每天的工作量是乙的2/3，如果这项工程由甲单独做，几天完工？
分析与解答：从题中条件可知，这项工程在由甲先做了12天后，剩下的工程是由甲、乙两人合做，才完成剩下的工程，甲、乙两人做的时间是相等的，这是一个不变的量。
另外由题意知道，甲每天的工作量是乙的2/3，因为这项工程，甲做了其中的5/8，乙则做了其中的：1－5/8＝3/8，在乙完成这项工程的3/8这段时间里，甲只能完成这项工程的：3/8×2/3＝1/4，即可得，在甲先做的12天的这段时间里，完成了工程的：5/8－1/4，因此可得，甲单独完成这项工程用的时间是：12÷（5/8－1/4）=32（天）。
例2、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。
出发时，甲、乙两车的速度比是4∶3。
相遇后，两车继续前进，乙车每小时比原来多行35千米。
结果两车同时到达目的地，求甲车每小时行多少千米？
分析与解答：甲、乙两车同时出发，相向而行。
出发时，甲、乙两车的速度比是4∶3，到相遇时用的时间相等，因此可得，这时两车行的路程比也是4∶3，两车相遇后，两车到达目的地的行程比则变为3∶4，如设乙车的速度为“1”，则甲车的速度为4/3，设乙车原来的速度为X，乙车现在的速度则为：X+35，甲车的速度则为4/3X，因为两车在相遇后，又继续前进，并且两车同时到达目的地，
这时两车行的时间又是相等的，时间一定，路程和速度成正比例，因此可得：4∶（X+35）=3∶4/3X，解得，X=45，即乙车原来的速度为每小时行45千米，甲车的速度则为：45×4/3=60（千米）。
例3、把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个小正方体，然后拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积。
分析与解答：因为将这个长方体锯成若干个小正方体，然后再拼成一个大正方体，这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。
因此，我们可抓住大正方体的体积和原来长方体的体积相等这个关键进行解答。
原来长方体的体积为：25×10×4＝1000（立方厘米），因此可得，将这个长方体锯成若干个小正方体然后再拼成一个大正方体的体积也为1000立方厘米。
而1000＝10×10×10＝103，因此可得，这个大正方体的棱长为10厘米，这个大正方体的表面积则为：10×10×6＝600（平方厘米）。