回溯法递归回溯算法步骤符号约定
算法分析与设计回溯法ppt课件
问题求解的方法
硬性处理法
– 列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 – 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
– 实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为 回溯法
回溯法思想
第一步：为问题定义一个状态空间(state space)。这 个空间必须至少包含问题的一个解
第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型 的组织方法是图或树
第三步：按深度优先的方法从开始结点进行搜索
– 开始结点是一个活结点（也是 E-结点：expansion node） – 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点，那么这个新结点将
权衡：限界函数生成结点数和限界函数 本身所需的计算时间
效率分析
效率分析中应考虑的因素
– （1）—（3）与实例无关 – （4）与实例相关
有可能只生成O(n)个结点，有可能生成 几乎全部结点
最坏情况时间
– O(p(n)2n)，p(n)为n的多项式 – O(q(n)n!)，q(n)为n的多项式
Monte Carlo效率估计（1）
解空间
隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况， 如0/1背包问题中的背包重量M
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法求解的经典问题（2） 子集和数问题
回溯法_ppt课件
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
回溯法 符号三角形
回溯法符号三角形1. 引言回溯法是一种常见的解决问题的算法，它通过穷举所有可能的解来找到问题的最优解。
符号三角形是一种由符号组成的图形，通常用于逻辑推理和数学计算。
本文将介绍回溯法在解决符号三角形问题中的应用。
2. 符号三角形问题符号三角形是由一系列符号组成的等边三角形，每个位置可以填入不同的符号。
例如，下面是一个由A、B、C、D四个符号组成的符号三角形：AB CD A B给定一个符号三角形，我们需要找到一种填充方式，使得每个位置上填入的符号满足特定条件。
这个条件可以是相邻位置上填入的符号不能相同，或者每行每列上填入的符号之和等于某个特定值。
3. 回溯法解决符号三角形问题回溯法是一种递归搜索算法，它通过尝试所有可能的解来找到最优解。
在解决符号三角形问题中，我们可以采用回溯法来穷举所有可能的填充方式，并判断是否满足条件。
3.1 算法思路回溯法解决符号三角形问题的基本思路如下：1.遍历符号三角形的每个位置，从第一行第一个位置开始。
2.在当前位置尝试填入一个符号。
3.判断当前填入的符号是否满足条件，如果满足则继续下一步，否则回溯到上一步。
4.如果已经遍历完所有位置，并且所有填入的符号都满足条件，则找到了一个解。
输出这个解，或者记录下来。
5.继续尝试下一个可能的填充方式，重复步骤2-4，直到遍历完所有可能的填充方式。
3.2 代码实现下面是使用Python语言实现回溯法解决符号三角形问题的代码：def backtrack(triangle, row, col, symbols):if row == len(triangle):# 找到了一个解print_solution(triangle)returnfor symbol in symbols:triangle[row][col] = symbolif is_valid(triangle, row, col):# 符号满足条件，继续下一步next_row, next_col = get_next_position(row, col) backtrack(triangle, next_row, next_col, symbols)triangle[row][col] = Nonedef print_solution(triangle):for row in triangle:for symbol in row:print(symbol or ' ', end=' ')print()def is_valid(triangle, row, col):# 判断当前填入的符号是否满足条件if row > 0 and triangle[row][col] == triangle[row-1][col]: return Falseif col > 0 and triangle[row][col] == triangle[row][col-1]: return Falsereturn Truedef get_next_position(row, col):# 获取下一个位置if col < row:return row, col+1else:return row+1, 0def solve_triangle(triangle, symbols):backtrack(triangle, 0, 0, symbols)# 测试代码triangle = [[None]*i for i in range(1, 5)]symbols = ['A', 'B', 'C', 'D']solve_triangle(triangle, symbols)4. 总结回溯法是一种通过穷举所有可能的解来找到问题最优解的算法。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
试探法(回溯法)
程序＝数据结构+算法软件＝程序+文档试探法（回溯法）是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来解，可以利用试探的技术求解。
试探法是搜索算法中的一种控制策略。
它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况进行试探，在试探过程中，一旦发现原来的选择的假设情况是错误的，就退回一步重新选择，继续向前试探，如此反复进行，直至得到解或证明无解。
实例：生成彩票号码组合常见的彩票号码都是由一些数字组成的，生成彩票号码其实就是将所有数字进行不同的组合。
例如，假设有一种彩票，每注由7个1-29的数字组成，且这7个数字不能相同，编写程序生成所有的号码组合。
执行结果：从上例代码可看出，程序代码很繁琐，且程序不具有通用性。
例如，要将程序改为生成5位数的不同组合，就需要删除其中的两层循环。
其实，解决这类问题更好的办法是使用试探法，逐步计算出所有可能的组合。
首先分析可按如下顺序生成彩票号码：29 28 27 26 25 24 2329 28 27 26 25 24 2229 28 27 26 25 24 2129 28 27 26 25 24 20……29 28 27 26 25 24 129 28 27 26 25 23 22……从上面列出的顺序可看出，生成组合时，首先变化最后一位（第7位），当最后一位数为1时，将回溯计算倒数第二位（第6位），使该位（第6位）减少1，然后再变化最后一位数（第7位），通过这样的递归调用，即可生成所有的号码组合。
现在用5个数字产生3个数字的组合来演示程序执行的过程MAXN=3NUM=5i i5lottery[2]=num[4]=5 4lottery[1]=num[3]=4 in,m n,m3lottery[0]=lottery[2]=3543 combine(4,2)combine(3,1)2lottery[0]=lottery[1]=25421lottery[0]=lottery[0]=1541i3 lottery[1]=num[2]=3 2 lottery[0]=lottery[1]=2532n,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1531combine(2,1)n,mcombine(5,3) 2 lottery[1]=num[1]=2 in,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1521combine(1,1)i4lottery[2]=num[3]=4 3 lottery[1]=num[2]=3 in,m n,m 2 lottery[0]=lottery[1]=2432 combine(3,2)combine(2,1) 1 lottery[0]=lottery[0]=14312 lottery[1]=num[1]=2 in,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1421combine(1,1)3lottery[2]=num[2]=3 in,m 2 lottery[1]=num[1]=2 icombine(3,2) n,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1321combine(1,1)程序执行情况。
学习电脑信息五大常用算法之四：回溯法
五大常用算法之四：回溯法五大常用算法之四：回溯法1、概念回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点"。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法"的美称。
2、基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。
当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯.（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束.而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、用回溯法解题的一般步骤：（1）针对所给问题,确定问题的解空间:首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、算法框架(1）问题框架设问题的解是一个n维向量(a1，a2,………，an),约束条件是ai(i=1,2，3，…。
,n)之间满足某种条件,记为f（ai)。
（2）非递归回溯框架1：int a[n］,i；2：初始化数组a［］；3: i = 1；4: while (i〉0(有路可走）and （未达到目标）) // 还未回溯到头5：{6：if（i > n）// 搜索到叶结点7：｛8: 搜索到一个解，输出；9: ｝10：else// 处理第i个元素11: ｛12：a［i]第一个可能的值；13: while(a［i］在不满足约束条件且在搜索空间内) 14：｛15：a［i］下一个可能的值；16：｝17: if（a[i]在搜索空间内）18: {19：标识占用的资源;20: i = i+1; // 扩展下一个结点21: }22: else23: {24：清理所占的状态空间；// 回溯25：i = i –1;26: ｝27: ｝（3）递归的算法框架回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度,框架如下：1: int a［n］；2：try（int i）3：{4：if（i>n）5: 输出结果；6：else7：｛8: for(j = 下界; j 〈= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径9：{10: if（fun(j）) // 满足限界函数和约束条件11: ｛12: a[i］= j；13：。
《数据结构与算法设计》第12章 回溯法
12.1.1 问题的解空间
（7）解空间树：为了便于在解空间中搜索可行解和最优解，通 常将问题的解空间组织成树的形式，称为解空间树。在解空间树 中，节点代表解向量的当前状态，分支代表决策阶段的选择。解 空间树的根节点代表解向量的初始状态（空向量），叶子节点代 表一个完整的解，其余节点代表某种选择下的一种解向量状态。
12.1 回溯法概述
12.1.1 问题的解空间
（1）问题的解向量：如果一个复杂问题的求解过程可以被划分 为n个依次进行的决策阶段，那么该问题的解可以表示为一个向 量X=(x1,x2,…,xn)，其中，xi表示第i个决策阶段的选择，向量X称 为问题的解向量，对应问题的一种状态。 （2）显约束：对于解向量X=(x1,x2,…,xn)，分量xi的取值范围称 为显式约束条件（显约束）。显约束仅限定了解向量中分量的 取值范围，并未限定分量之间应当满足的关系，故仅仅满足显 约束的解向量未必满足问题的要求，即未必是满足问题要求的 解。
12.1.4 子集树与排列树
12.1.4 子集树与排列树
➢ 排列树
若给定问题是求解n个元素满足某种条件的排列，则该问题的 解空间树称为排列树。这类问题的解包含的元素数目总是n个， 不同的解的区别在于元素排列顺序不同。
例如，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）：一 个商品推销员要去若干个城市推销商品，已知城市之间的路程（ 或旅费）。该推销员从一个城市出发，途径每个城市一次，最后 回到出发城市。请问推销员应该如何选择行进路线，才能使总的 路程（或旅费）最短（或最少）。
即 P(x1, x2 , , xk+1) P(x1, x2 , , xk ) ， 0<k<n
第5章 回溯法
4
C 20 D
10
求赋权图G 的具有最小 权 的 Hamilton圈
B
C D B
C
D B
D
C
D
C
D
B
C
B
A
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5.1回溯法的算法框架—基本思想
例2．定和子集问题：
已知一个正实数的集合 A={w1,w2,……wn},和正实数M．试求A的所有子集S，使得S中 的数之和等于M。 这个问题的解可以表示成0/1数组{x1,x2,……xn}，依据w1是 否属于S，x1分别取值1或0。故解空间中共有2n个元素。它的树 1 结构是一棵完全二叉树。
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5.1回溯法的算法框架—基本思想
从例3来看，解空间的确定与我们对问题的描述有关。 如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。这是 因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题的可 行解以至最优解。 当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质 的子集时，相应的解空间树称为子集合树。此时，解空间有 2n 个元素，遍历子集树的任何算法均需Ω(2n)的计算时间。 如例2。 当所给的问题是确定n个元素的满足某种性质的排列时， 相应的解空间树称为排列树，此时，解空间有n!个元素。遍 历排列树的任何算法均需Ω(n!)计算时间，如例1和例3。本 章只讨论具有上两类解空间树的求解问题。
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5.1回溯法的算法框架—递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t); i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1); } } f(n,t)和g(n,t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过子 树的起始编号与终止编号，h(i)表示当前扩展结点处x[t]的 第i个可选值。
回溯算法
种 不 同的解 ，后来 有人 用 图论 的方法 解 出９ 种 结果 。可 ２
以用 回溯 的算 法 求 出这９ 种 结果 。 图 ｌ 其 中 的一种 结 ２ 是 果。 （ Ｑ表示 皇后 的位 置 ）
Ｑ
Ｑ
Ｑ
Ｑ
ｉ ｉ ｔ ｇ ｒ ： ｎｅ ｅ ； ｂ ｇｎ ｅ ｉ
Ｑ
ｉ 当前 状 态 为 边 界 ｆ
中国 装 观代 备
ＥＮＤ；
ＳＮ ４９．３ Ｃ１７１＂ Ｓ１ ２４ Ｎ１ ９４／１８ ６
－
的状况 。在 八皇后 问题 中 ，将 行位 置作 为状 态 。
（） 界 条 件 ： 即在 什 么 情 况 下 程 序 不 再 递 归 下 ３边 去 。 在 八 皇 后 问题 中 ，将 等 于 ｎ ｌ （ 生 一 种 成 功 放 ＋ 产 法 ）作为边 界条 件 。如 果是求 满足 某个 特 定条件 的一条 最佳路 径 ，则 当前状 态 到达边 界 时并非 一定 意 味着 此 时
ＥＮ Ｄ ；
Ｐ ＯＣ Ｄ Ｒ Ｅ ＵＲＥＴ Ｙ（ Ｌ Ｉ Ｅ Ｒ ； Ｒ Ｈ，： ＮＴ ＧＥ ）
、 Ｒ ，， Ｉ Ｔ ＩＪＦ： Ｎ ＥＧＥＲ；
ＢＥＧＩ Ｎ
（） 条件 和最优 性要求 ：约束 条件是 这个数 没有 ４约束 被填过， 一个就填 上，然后填 下一个 位置（， １ 找到 １ ＋） ｌ ： ｌ
ＳＮ 】 ＳＮ 】Ａ Ｉ】 计算 ＼ 向对角 线 的和 ） ［２： ［ ２＋ ［Ｉ ｛ ＝ ，； 方
Ｅ ＮＤ ；
法 ，对于 每一种 填法 都验 证每 行 、每列 、对 角线 上的和 是不 是 等于 １ ，其 中有 ８ 填 法符 合 每行 、每列 、对 角 ５ 种 线之和 都等 于 １。 ５ （） 状态 ：填 的第ｈ ，第 ｌＵ 为状态 。 １ 定义 行 Ｙ作
递归和回溯
递归和回溯递归和回溯是计算机科学中重要的概念，它们被广泛地应用在算法和程序设计中。
递归（Recursion）是指一种程序设计技术，它将问题的解决方法分解为更小的子问题，依次解决子问题，最后将各个子问题的解合并起来得到问题的解。
而回溯（Backtracking）则是指一种试探性的搜索算法。
回溯算法通过递归依次试探问题的每一种可能解决办法，对于无解或者不符合要求的情况进行回溯，寻找新的解决方案。
本文将从定义、应用、优化三方面详细讲解递归和回溯算法。
一、递归的定义及应用1.1 递归的概念递归是一种程序设计技巧，它将一个问题分解为更小的子问题，问题的解决方法与子问题的解决方法相同，通过递归调用子问题的解决方法，最终得到问题的解决方法。
递归有两个必要条件：一是递归终止条件（递归出口）；二是递归调用（自调用）。
综上所述，递归程序必须具备的特点是具有递归出口和自调用两个基本属性。
1.2 递归的应用递归在程序设计中的应用非常广泛，常见的应用包括：树结构遍历、排序、搜索、字符串处理、图的深度优先搜索等等。
递归应用最为广泛的领域是算法和操作系统。
在算法领域中，递归是解决分治、动态规划等问题的主要思想，如快速排序、归并排序和斐波那契数列等都是基于递归设计的。
在操作系统中，递归的应用也比较广泛，比如UNIX系统中使用递归算法实现打印目录下所有文件的函数，Windows系统中使用递归算法查询注册表等。
1.3 实例分析：斐波那契数列斐波那契数列是指：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。
其中第1项和第2项为1，从第3项开始，每一项为前两项的和。
斐波那契数列可以用递归方式写出如下代码：```c++ int fib(int n) { if (n <= 2){ return 1; } return fib(n - 1) + fib(n - 2); } ```该递归函数表示了斐波那契数列的定义，在递归函数中，首先判断n是否小于等于2，如果是，直接返回1；如果不是，继续递归调用fib(n-1)和fib(n-2)，最后将两个递归函数的返回结果相加作为函数的返回结果。
回溯法 符号三角形
回溯法符号三角形
回溯法是一种求解约束满足问题的方法，符号三角形问题也是一种约束满足问题。
在符号三角形问题中，我们需要找到有多少种不同的符号三角形，使得其包含特定数量的“+”和“-”。
回溯法可以通过穷举所有可能的解来解决符号三角形问题。
具体来说，我们可以从第一行开始，不断改变每个符号，然后递归地搜索所有可能的解。
在搜索过程中，我们可以使用异或运算符来表示符号三角形中相邻两行之间的关系，并利用约束函数来排除不符合条件的解。
由于“+”和“-”的数目必须相等，因此我们可以将问题转化为求解异或树的问题。
在异或树中，每个节点表示一个符号，根节点表示第一行的符号，其他节点的值可以通过对其子节点的值进行异或运算得到。
在搜索过程中，我们可以利用异或树的性质来剪枝，排除不符合条件的分支。
通过回溯法，我们可以找到所有符合条件的符号三角形，并计算出它们的数量。
C语言高级特性递归与回溯算法
C语言高级特性递归与回溯算法C语言高级特性：递归与回溯算法递归和回溯算法是C语言中一种非常重要的高级特性，它们在解决一些复杂问题和优化代码时发挥着关键的作用。
本文将会介绍递归和回溯算法的原理和应用，并通过具体的示例来说明它们的使用方法。
一、递归算法递归是指一个函数在执行过程中调用自身的过程。
递归算法通常包括两个部分：递归出口和递归调用。
递归出口是指当满足某个条件时结束递归的条件，而递归调用则是指在函数内部调用自身来解决规模更小的问题。
递归算法在解决一些具有重复性结构的问题时非常高效。
例如，计算一个数的阶乘，可以使用递归算法来实现：```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) { //递归出口return 1;} else {return n * factorial(n - 1); //递归调用}}int main() {int n = 5;printf("The factorial of %d is %d\n", n, factorial(n));return 0;}```上述代码定义了一个计算阶乘的递归函数factorial。
在函数内部，通过递归调用来计算规模更小的问题，直到n等于0或1时返回结果。
二、回溯算法回溯算法是一种通过尝试所有可能的解来找到问题解决方法的搜索算法。
在遇到有多个解可选的情况下，回溯算法会尝试每一种可能，并通过剪枝策略来避免不必要的计算。
回溯算法通常涉及到构建决策树和遍历树上的节点。
以八皇后问题为例，考虑如何在8x8的棋盘上放置8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
下面是用回溯算法解决八皇后问题的示例代码：```c#include <stdio.h>#define N 8int board[N][N];int isSafe(int row, int col) {int i, j;// 检查当前位置的列是否安全for (i = 0; i < row; i++) {if (board[i][col] == 1) {return 0;}}// 检查当前位置的左上方是否安全for (i = row, j = col; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { if (board[i][j] == 1) {return 0;}}// 检查当前位置的右上方是否安全for (i = row, j = col; i >= 0 && j < N; i--, j++) { if (board[i][j] == 1) {return 0;}}return 1;}int solve(int row) {int col;if (row >= N) { // 所有行都已经安全放置皇后，找到解 return 1;}for (col = 0; col < N; col++) {if (isSafe(row, col)) {board[row][col] = 1; // 放置皇后if (solve(row + 1)) { // 递归调用return 1;}board[row][col] = 0; // 回溯，撤销放置皇后}}return 0;void printBoard() {int i, j;for (i = 0; i < N; i++) {for (j = 0; j < N; j++) {printf("%d ", board[i][j]); }printf("\n");}}int main() {if (solve(0)) {printf("Solution:\n");printBoard();} else {printf("No solution found.\n"); }return 0;}上述代码使用回溯算法来解决八皇后问题。
第7讲-回溯法
– 显示约束:Si=(1,2,3,…4),1i4 – 隐示约束：没有两个xi(1i4)可以相同（在不同的
列上），且没有两个皇后在同一斜对角线上。
０
１
５
２
应用举例
a
b
c
f
d
e
应用回溯法求解3着色问题； 应用回溯法求解哈密顿回路问题。
两种形式的问题的解
问题的解是所搜索集合的子集，以达到某种优 化目标
问题的解是所搜索集合中元素的一个排列，以 达到某种约束要求
回溯法可以很方便地遍历一个集合的所有子集 或所有的排列
子集树
当问题是需要求n个元素的子集，以便达到某种优化
目标时，我们可以把这个解空间组织成一棵子集树。
若Si的大小为k，则有kn个子集。当n很大时，解空间 将非常巨大。
x1 第1层
S2 第2层
……
……
S1
S2 ……
……
第n层
Sn ……
子集树的回溯法伪码
Backtrack(i) 递归描述
1 if i > n then update(x)
2 else
７
×××× ×
××
１２３４ １
３４
８
××
１２
问题举例
子集和数问题：已知n+1个正整数： w1,w2,…,wn和M，要求找出wi的和数等于 M的所有子集。
– 解的表示1：用其和数为M的wi的下标来表示解向 量。则可以用k-元组(x1,x2,…,xk)来表示解,1kn。 不同的解可以是大小不同的元组。
3 for each a ∈Si do
子集和问题回溯法
子集和问题回溯法子集和问题是一个经典的组合优化问题，它要求找出给定集合中所有可能的子集，使得子集的元素之和等于目标值。
而回溯法是一种解决组合优化问题的常用算法。
在子集和问题中，我们可以使用回溯法来逐步构建子集，并在每个步骤中判断当前子集的元素之和是否满足目标值。
如果满足，就将当前子集加入结果集中；如果不满足，就终止当前分支的搜索。
具体的回溯法算法如下：1. 定义一个结果集来存储满足条件的子集。
2. 定义一个路径集来存储当前构建的子集。
3. 定义一个递归函数 backtrack(start, target)，其中 start 表示当前开始构建子集的位置，target 表示当前需要满足的目标值。
4. 在递归函数中进行以下操作：- 判断当前子集的元素之和是否等于目标值，如果是，则将当前子集加入结果集中。
- 从 start 开始遍历集合，并进行以下操作：- 将当前元素加入路径集中。
- 调用递归函数 backtrack(start + 1, target - nums[start])。
- 将当前元素移出路径集，进入下一轮循环。
5. 调用递归函数 backtrack(0, target)。
通过以上步骤，我们可以找出给定集合中所有满足元素之和等于目标值的子集。
回溯法在解决组合优化问题时非常高效，但是随着集合大小的增加，搜索空间也会指数级增长，因此在实际应用中可能需要进行剪枝操作以提高算法效率。
总结起来，子集和问题回溯法是一种解决组合优化问题的经典算法，它通过逐步构建子集并判断元素之和是否满足目标值来找出所有满足条件的子集。
这种算法在实际应用中具有较高的效率和灵活性。
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法——回溯法
算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。
⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。
回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。
例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。
例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。
通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。
从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。
例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。
回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。
回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。
回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。
其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1）
1. 解向量：问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树； 5. (2)限界函数：某个函数表达式或关系式。 6. 不真时，用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法：具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时，根结点为活结点，也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点，寻找儿子结点： 4. 如找到新结点，新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• （1〕掌握递归回溯
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min 邋ç t1ni + t2 nk ÷ ç ÷ ç ÷ 桫 k = 1 i= 1
上式的定义存在局限 , 要求任意作业经过机器 1 处
理后不需等待即可被机器2处理
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《算法设计与分析》
批处理作业调度的回溯解法(1)
回溯法
基本思想 : 建立一棵排列树 , 并在解空间树上回溯
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《算法设计与分析》
回溯法框架:以旅行售货员问题为例(4)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
具体算法
bestx 表示当前最优解 ,bestc 表示当前最优值 ,cc 表
示当前费用,x表示当前解
递归回溯:用递归函数实现回溯
Backtrack(int t) 1. if t>n then 2. Output(x) 3. else 4. for i← f(n,t) to g(n,t) 5. x[i]← h(i) {x用来记录可行解的各个结点 } 6. if Constraint(t) && Bound(t) 7. Backtrack(t+1) 8. end if 9. end for 10. end if
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《算法设计与分析》
装载问题的描述
回溯法
问题描述
概述 有一批n个集装箱要装上2艘载重量为c1和c2的轮船, n 装载问题 其中集装箱i的重量为wi,且 wi ? c1 c2 批处理作业调度 i= 1 n后问题 目标:确定一个合理的方案,将n个集装箱装上2艘船 0-1背包问题 形式化描述 最大团问题 图的着色问题 给定一个集合 W={w1,w2,…,wn}, 装载问题的目标是
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《算法设计与分析》
回溯法,古来有之
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
诗经· 秦风· 蒹葭
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《算法设计与分析》
回溯法的基本思想
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
输入 : 结点数目 n,源点 j,距离矩阵 a 输出 : 巡游路线 Backtrack(j,n) 1. if j=n then 2. if (a[x[n-1]][x[n]]!=NULL && a[x[n]][1]!=NULL && cc+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]<bestc) then 3. bestx← x 4. bestc← cc+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1] 5. end if 6. end if 7. for i← j to n 8. if a[x[j-1]][x[i]]!=NULL && cc+a[x[j-1]][x[i]]<bestc 9. exchange x[i] and x[j] //用于生成排列树 10. cc← cc+a[x[j-1]][x[j]] 11. Backtrack(j+1,n) 12. cc← cc-a[x[j-1]][x[j]] 13. exchange x[i] and x[j]
设Z是解空间树第i层上的当前扩展结点,令
r=
j = i+ 1
å
n
wj
表示剩余集装箱的重量和
上界函数:
Bound (i) = cw + r
剪枝规则:当Bound(i)<=bestw时,可将Z的右子树剪
去
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《算法设计与分析》
装载问题的回溯算法II(2)
å
n
F2i
i= 1
称为该作业调度的完成时间和
目标:对于给定的 n个作业,制定最佳作业调度方案 ,
使其完成时间和达到最小
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《算法设计与分析》
批处理作业调度问题的描述(2)
回溯法
简单结论:存在最佳作业调度使得在机器1和机器2
概述 上作业以相同次序完成 装载问题 形式化描述 批处理作业调度 给定n个正整数N={1,2,…,n}和tji(i=1,2,…,n,j=1,2,…, n后问题 0-1背包问题 n).批处理作业调度是要求 N的一个序 {n1,n2,…,nn}, 最大团问题 使得 n 骣 k 图的着色问题 ÷
回溯法框架:以旅行售货员问题为例(1)
回溯法
问题描述 : 某个售货员要到若干城市推销商品 , 已
概述 知各个城市之间的路程,他要选定一条从驻地出发, 装载问题 经过每个城市一遍,最后回到驻地的路线 批处理作业调度 目标:使总的路线最短 n后问题 0-1背包问题 形式化描述 : 给定一个带权图 G=(V,E), 寻找 G 的一 最大团问题 条包含V中所有顶点的回路,使其总代价最小 图的着色问题
有2项任务要分别在 2台机器上完成 .每一个作业必 须先由机器 1处理,然后再由机器 2处理 .作业 Ji需要 机器j的处理时间为tji，i=1,2,…,n,j=1,2.对于一个确 定的作业调度 , 设是 Fji 是作业 i 在机器 j 上完成处理 的时间.则所有作业在机器2上完成处理的时间和
f =
å
要确定是否存在W的一个划分,使得W1∪W2=W,W1 wi c2 ∩W2=φ,且 邋 wi ＃c1 ,
基本思想
wi 挝 W1 wi W2
首先将第一艘轮船尽可能装满
将剩余的集装箱装上第二艘轮船
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《算法设计与分析》
装载问题的回溯算法I(1)
回溯法
装载问题可转化为一个特殊的0-1背包问题
回溯法求解过程
定义解空间,并将其组织成树或图的形式 以深度优先方式搜索解空间 ,在搜索过程中用剪枝
函数避免无效搜索
递归回溯 迭代回溯
《算法设计与分析》
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回溯法框架:以旅行售货员问题为例(2)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
计算复杂性
n个集装箱要建立深度为n个子集树,叶结点的数目
为2n,因此T(n)=O(2n)
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《算法设计与分析》
装载问题的回溯算法II(1)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
用剪枝函数改进递归回溯
在问题的解空间树中按深度优先策略 ,从根结点出
发搜索解空间树 . 当遍历至某一结点时 , 先判断该 结点是否包含问题的解
如果肯定不包含 ,则跳过对其子树的搜索 ,逐层向其
祖先结点回溯
否则 ,继续以深度优先顺序遍历以该结点为根的子
树
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《算法设计与分析》
计算复杂性
子集树共有2n个结点,因此T(n)=O(2n)
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《算法设计与分析》
批处理作业调度问题的描述(1)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
问题描述
给定n个作业的集合J={J1,J2,…,Jn}.每一个作业Ji都
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
递归回溯
输入 : 集装箱的重量 w[],轮船载重量 c[],集装箱的数目 n 输出 : 最优值 bestw MaxLoading(w,c,n) 1. bestw← 0 {初始化最大载重量 } 2. cw← 0 {初始化目前的载重量 } 3. Initialize( ) 4. Backtrack(1) Initialize() 1. r← 0 2. for i← 1 to n 3. r← r+w[i] 4. end for
概述 搜索最优解 , 从而确定 n 个作业的一个序 , 即 n 个作 装载问题 业的一个排列 批处理作业调度 符号约定 n后问题 0-1背包问题 二维数组M表示作业的处理时间 最大团问题 bestf表示当前最小完成时间和 图的着色问题 bestx表示当前的最优解
x表示当前的作业调度 f1表示机器1完成处理的时间 f2表示机器2完成处理的时间
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《算法设计与分析》
批处理作业调度的回溯解法(2)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
算法步骤
输入 : 数组 M,遍历层数 L 输出 : 最优值 bestw Flowshop(M,L) 1. if L>n then {遍历到了叶结点 } 2. bestx← x 3. bestf← f 4. return 5. end if 6. for j← L to n {从第 L层遍历至第 n层 } 7. f1← f1+M[x[j]][1] 8. f2[L]← max{f2[L-1],f1}+M[x[j]][2] 9. f← f+f2[L] 10. if f<bestf then {计算当前解对应的值 ,并剪枝 } 11. exchange x[L] and x[j] {生成排列树 } 12. Flowshop(M,L+1) 13. exchange x[L] and x[j] 14. end if