分段线性插值法
插值法——线性分段插值
插值法——线性分段插值 1.插值函数%%分段线性插值function PLI = Piecewise_linear_interpolation(X,f,precision)[m,n] = size(X);a = min(X);b = max(X);X = sort(X);F = subs(f,X);for k = 1:n-1B = Basic_fun(X,k);I = B(1)*F(k)+B(2)*F(k+1);PLI{1,k} = [X(k),X(k+1)];PLI{2,k} = I;t{k} = X(k):(X(k+1)-X(k))/precision:X(k+1);T{k} = subs(I,t{k});Y_real{k} = subs(f,t{k});endfor k = 1:n-1t_((precision+1)*(k-1)+1:(precision+1)*k) = t{k};T_((precision+1)*(k-1)+1:(precision+1)*k) = T{k};Y_real_((precision+1)*(k-1)+1:(precision+1)*k)= Y_real{k};endh = figure;set(h,'color','w');plot(X,F,'r*',t_,T_,'g',t_,Y_real_,'b');xlabel('x shaft');ylabel('y shaft');legend('F：节点对应函数值','T：分段线性插值函数图像','Y_real：真实函数图像');title('分段线性插值');grid onend 2.基函数%%基函数，max(X)>k>0function BF = Basic_fun(X,k)X = sort(X);syms x;BF(1) = (x-X(k+1))/(X(k)-X(k+1));BF(2) = (x-X(k))/(X(k+1)-X(k));end 3.拟合值函数%%线性插值拟合值function LIV = Linear_interpolation_value(X,f,precision,x_value)[m,n] = size(X);a = min(X);b = max(X);X = sort(X);Answer = Piecewise_linear_interpolation(X,f,precision);for i = 1:n-1if x_value >= X(i) && x_value <= X(i+1)s = i;endendLIV{1,1} = '线性插值拟合值';LIV{2,1} = vpa(subs(Answer{2,s},x_value),6);LIV{1,2} = '真实值';LIV{2,2} = vpa(subs(f,x_value),6);LIV{1,3} = '误差';LIV{2,3} = abs(LIV{2,1}-LIV{2,2});end 4.例⼦clear allclcX = -5:1:5;syms x;f = - 0.08858*x^8 + 3.694*x^7 - 64.7*x^6 + 617.8*x^5 - 3490.0*x^4 + 11820.0*x^3 - 23150.0*x^2 + 23580.0*x - 9319.0; precision = 200;%%分段线性插值disp('分段线性插值');Piecewise_linear_interpolation(X,f,precision) 结果分段线性插值S =2×10 cell 数组列 1 ⾄ 4{1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym }列 5 ⾄ 8{1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym }列 9 ⾄ 10{1×2 double} {1×2 double}{1×1 sym } {1×1 sym }>> S{2,:}ans =(227077586881*x)/50000 + 37695704689/2500ans =(3983468847*x)/2000 + 60987657739/12500ans =(7723057429*x)/10000 + 30518164433/25000ans =(2518396259*x)/10000 + 4494858583/25000ans =(3136314129*x)/50000 - 9319ans =(465835271*x)/50000 - 9319ans =(422501*x)/10000 - 1113617/25000ans =4111433/25000 - (622509*x)/10000ans =- (271*x)/80 - 151661/12500ans =2072089/2500 - (10681481*x)/50000 图像如下。
分段线性插值
分段线性插值分段线性插值是一种在机器学习、数学、信号处理等领域中广泛应用的方法。
分段线性插值的主要目的是为漏洞、持续时间等数据展示提供更好的视觉效果，同时也可以使数据更容易进行处理。
在分段线性插值中，每一段数据都可以看作是一条直线段。
通过在相邻数据点之间插入一条直线来实现插值。
每个数据点或任意数段可以称为一个插值区间，插值区间内部的数据点都采用一条直线进行插值，直线的斜率由插值区间上下数据点构成。
例如：在一个区间（x1,y1）和（x2,y2）之间进行插值，其中x1<x<x2。
那么，我们可以使用线性公式y = mx + b来估计数据点的y值。
方程中m是插值区间的斜率，通过公式m = (y2-y1)/(x2-x1)计算。
而b是在插值区间x1和x2之间的截距，通过公式b = y1 - m x1计算。
最后，我们就可以通过已知的数据点，估计同一段中任意点的y值。
下面我们通过一个实例来进一步解释分段线性插值的应用。
比如我们有一组工作时间数据如下:|年份| 工作时间 ||----|----|| 2010 | 6.5 || 2011 | 7.0 || 2013 | 7.5 || 2015 | 8.0 |目前，我们需要在2012年估计工作时间。
首先，我们需要找到分段线性插值的区间。
2012年的数据点在2011年和2013年之间。
因此，我们可以使用2011年和2013年之间的数据点进行插值。
然后，通过计算斜率来确定m和b的值。
斜率可以通过公式m = (y2-y1)/(x2-x1)来计算。
2011年和2013年的工作时间分别是7.0和7.5，年份分别是2011和2013。
因此，斜率为：（7.5-7.0）/（2013年-2011年）= 0.25/2 = 0.125插值区间的y截距b可以通过公式b = y1 - m x1来计算。
这使得我们可以计算出截距：接下来，我们就可以使用斜率和截距来计算2012年的工作时间，这将是我们所需的数据点的估计值：y = mx + b= 0.125 * 2012 + 258.375= 259.875。
计算方法 1.3 分段线性插值
x x x x i 1 i ˆ S ( x ) y y , x x x 1 i i 1 i i 1 x x x x i i 1 i 1 i 于是， S1 ( x ) 是在 [ a , b ] 上是连续函数。
x [xj , xj ] 1 x [xj, xj 1] 其他
2）在插值节点 x 0 上，插值基为：
2 ( x x ) l ( x ) x [ x ,x ] 0 0 0 1 B ( x ) 0 0 其他 3）在插值节点 x n 上，插值基为：
2 ( x x ) l ( x ) n n B ( x ) n 0
1
左，右连接起来！
x
j1
xj
x
j1
2 2 H ( x ) 1 2 l ( x ) l ( x ) y 1 2 l ( x ) l ( x ) y 3 j 1 j j j j 1 j 1 2 2 ( x x ) l ( x ) y ( x x ) l ( x ) y j j j j 1j 1 j 1
k axb
提示：类似于前面的误差估计。 几点说明：
1）只要节点间距充分小，插值法总能获得所要求的精度。 2）局部性。如果修改某个数据，则插值曲线仅在某个局部范围内受影响。
插值节点 x 上，取值为 0 .即 k,k j 1 lj (x k ) 0 k j k j
2 ）在每个小区间 [x 上，插值基 lj (x )都是线性函数 . i, x i 1]
基于以上两方面，我们观察
1
右 左
x
j1
三次样条插值
0)
s(xn 0) s(xn 0)
三弯矩插值法
x xi,
x i+1
s”(x) M i , M i+1
记Mi = s″(xi), f(xi)= yi ,考虑它在任一区间[xi, xi+1]上的形式. 根据三次样条的定义可知 , s(x)的二阶导数 s ″(x)在每一个子区
间[xi, xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数.
2 6
M
i
)(xi1
xi
)
(1)
同理在[xi1, xi ]上讨论得
s(xi )
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6 M i1)(xi
xi1)
(2)
因为s( x)连续，所以（1）（2）即
yi1 yi xi1 xi
1 ( 6 M i1
2 6
M i )(xi1
xi )
yi xi
yi1 xi1
(2) (n 1)内节点处连续及光滑性条件：
s(x s( x
j j
0) 0)
s(x j 0) s(x j 0)
j
1,2,...,n
1
s(x j 0) s(x j 0)
对于待定系数a j ,bj , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为4n 2个，还缺两个，因此须给出两个 条件称为边界条件，有以下三类：
——分段三次插值多项式
分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点 (衔接处)不光滑,即导数不连续。
实际应用中，如机翼设计、船体放样等往往要求有二阶光滑度， 即二阶连续导数。早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条 （所谓样条SPLINE ）用压铁固定在样点上，其它地方让其自 由弯曲，然后画下曲线（称为样条曲线），它实际上是由分段 多项式光滑连接而成，在样点上要求二阶连续可导。
分段线性插值
三次样条插值
插值函数S(x)： （1）S(x)在字区间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次数不高 于3的多项式； （2） Si(x)=yi； （3） S(x)在整个区间[a,b]上有连续的二阶导数。
hk xk 1 xk
yk 1 yk hk S ( x) yk 1 [ (2mk 1 mk )](x xk 1 ) hk 6
[fnodes,minnq,rnw,rnq,ifail]=e01sef(x,y,z) [cz(i,j),ifail]=e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,cx(I),cy(j))
数据拟合
已知平面上n个点，寻求函数f(x)在某种准则下与数据点 最为接近，即曲线拟合得好。
‘nearest’-----最近邻点插值；
‘linear’-------线性插值；-----缺省 ‘spline’-------三次样条插值； ‘cubic’--------三次插值。
散乱数据插iddata(x,y,z,cx,cy,’method’)
返回在网格（cx,cy）处的函数值，注意此处cx行向 量，cy列向量。 （2）插值函数e01sef和e01sff 基于Shephard插值法，两个函数必须同时使用。
mk S ( xk ) mk 1 mk mk 1 2 hk ( x xk 1 ) ( x xk 1 )3 k 2 6hk 1 hk 1 hk y y y yk 1 6 k ( k 1 k k ) n+1个未知量，n-1个方程组 hk 1 hk hk hk 1
二维插值
通过全部已知节点f(xi,yi)=zij(i=0,1,2, …m;j=1,1,2, …n)， 构造一二元函数z=f(x,y)，然后再利用f(x,y)插值，即 z*= f(x*,y *)；分为网格节点插值和散乱节点插值两种。
计算方法分段线性_三次样条插值
计算方法分段线性_三次样条插值分段线性和三次样条插值是两种常用的插值方法，在数值分析和插值问题中广泛使用。
1.分段线性插值分段线性插值是一种简单直观的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用线性函数进行插值。
假设给定的插值节点有n+1 个，节点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并且满足 x0 <x1 < ... < xn。
则对于任意 xx 使得 x 在 [xi, xi+1] 之间，可以通过线性插值得到其函数值 yy，即：yy = yi + (xx - xi) * (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)分段线性插值方法简单易懂，适用于一些较简单的插值问题。
但是由于插值函数在节点之间是线性的，可能不能准确地反映出数据的特征，因此不适用于一些需要高精度的插值问题。
三次样条插值是一种更复杂、更精确的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用三次多项式进行插值。
三次样条插值方法的基本思想是找到一组三次多项式，满足在每个子区间内插值点的函数值和一阶导数值相等，并且两个相邻多项式在节点处的二阶导数值也相等。
具体的求解步骤如下：(1) 假设有 n+1 个插值节点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造 n 个三次多项式，即每个多项式在 [xi, xi+1] 之间插值。
(2) 对每个子区间内的多项式进行插值，设第 i 个子区间的多项式为 Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3、将插值节点的函数值和一阶导数值代入多项式中，可以得到 n 个线性方程，利用这 n 个线性方程可以求解出 n 个子区间的系数。
(3)由于n个子区间的多项式必须在节点处一阶导数值相等，因此再设立n-1个方程，利用这些方程可以求解出n-1个子区间的二阶导数值。
(4)将求解得到的系数和二阶导数值代入每个子区间的多项式中，得到完整的三次样条插值函数。
插值法(2)
例1 给定函数
1 f ( x) = , − 5 ≤ x ≤ 5, 2 1+ x
取其等距节点 xi = −1 +10 i n ( i = 0,1,L, n) ， 构 造的Lagrange插值多项式为
pn ( x ) =
∑
n
j=0
1 l x 2 i ( ) 1+ xj
当 n→∞ 时， n ( x ) 只能在 x ≤ 3.63内收敛，而 p 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。
分段线性插值的余项
Mh 2 f ( x) − ϕ ( x) = R( x) ≤ 8 其中 M = max f ''( x ) a ≤ x ≤b
例
设 f ( x) =
1 ，-1 ≤x ≤1 1 + 25 x 2
将区间[-1，1] 10 等份，用分段线性插值近似计算f (−0.96)。 解：插值节点为 xi = −1 + i / 5, (i = 0,1,L10) ， 因为 -0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间，其上的插值 函数为 x + 0.8 x +1 ϕ ( x ) = f ( −1) + f ( −0.8)
0.2 − 0.2 = −0.1923( x + 0.8) + 0.2941( x + 1) − 1 ≤ x ≤ −0.8
所以 f ( −0.96) ≈ ϕ ( −0.96) = 0.04253
三、评价 分段线性插值简便易行，节点加密误差 变小，且插值函数只依赖于本段的节点 值，计算误差基本不扩大、稳定。但在 节点处插值函数不可微，光滑度不够。 分段三次Hermite插值函数是插值区间上 的光滑函数，总体是直至一阶导数连续， 它与函数在节点处密合程度较好。
分段线性插值法
《数值分析》实验报告实验序号：实验五实验名称：分段线性插值法1、实验目的：随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge现象）。
为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。
2、实验内容：求一个函数（X）用来近似函数f（x），用分段线性插值的方法来求解近似函数（X）并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间［a,b］上，给定n+1个插值节点a x0 X j x2 ... x n b和相应的函数值y。
，y i,…，y n，求一个插值函数（x），满足以下条件：（1）（X j） y j（ j 0,1,2,…,n）；（2）（x）在每一个小区间［X j,X ji］上是线性函数。
1对于给定函数f（x）2,-1 X 1。
在区间-1,1上画出f（x）和分段线性插1 25x值函数（x）的函数图像。
1.分段线性插值的算法思想：分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数丨j（X），然后再作它们的线性组合。
分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取1,其它节点上函数值取0。
插值基函数如下：X X n 1 ——,X n 1 X X nI n (X ) X n X n 10, 其它 设在节点a w X 0<X 1<…W b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数 L (X )满足： (1)L(X ) € C[a,b] (2)L(x[i]=y[i]) (3) L(X )在每个小区间(x[i],x[i+1] )上是线性插值函数C( x )叫做区间[a,b]上对数据(x[j],y[j]) (j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
利用一介拉格朗日函数，直接得到线性插值函数为：L(X 0)= ( X -X [1] ) /x[0]-x[1];(x[0] w X w X [1])L(X 0)=0(X [1] w x w X [n])分段线性方程的表达式：0( X ) =E (j=0,..,n)y[j]*L[j](x);3、实验代码：// LDIg.cpp : implementation file//#include "stdafx.h"#i nclude "L.h"#i nclude "LDlg.h"#ifdef _DEBUG#defi ne new DEBUG_NEW#un def THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE.#en difx X j 1,X j 1 X X jX j X j 1X X-,X g X X i l o (X ) X o X i0, 其它I j (X ) 亠X j X j X j 1X X j 1 0, 其它/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CAboutDlg dialog used for App Aboutclass CAboutDlg : public CDialog{public:CAboutDlg();// Dialog Data//{{AFX_DATA(CAboutDlg)enum { IDD = IDD_ABOUTBOX };//}}AFX_DATA// ClassWizard generated virtual function overrides//{{AFX_VIRTUAL(CAboutDlg)protected:virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX);// DDX/DDV support //}}AFX_VIRTUAL// Implementationprotected://{{AFX_MSG(CAboutDlg)//}}AFX_MSGDECLARE_MESSAGE_MAP()};CAboutDlg::CAboutDlg() : CDialog(CAboutDlg::IDD)//{{AFX_DATA_INIT(CAboutDlg)}//}}AFX_DATA_INITvoid CAboutDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CAboutDlg)//}}AFX_DATA_MAP}BEGIN_MESSAGE_MAP(CAboutDlg, CDialog)//{{AFX_MSG_MAP(CAboutDlg)// No message handlers//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CLDlg dialogCLDlg::CLDlg(CWnd* pParent /*=NULL*/): CDialog(CLDlg::IDD, pParent){//{{AFX_DATA_INIT(CLDlg)// NOTE: the ClassWizard will add member initialization here//}}AFX_DATA_INIT// Note that LoadIcon does not require a subsequent DestroyIcon in Win32 m_hIcon = AfxGetApp()->LoadIcon(IDR_MAINFRAME);void CLDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX)CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CLDlg)// NOTE: the ClassWizard will add DDX and DDV calls here //}}AFX_DATA_MAP }BEGIN_MESSAGE_MAP(CLDlg, CDialog)//{{AFX_MSG_MAP(CLDlg)ON_WM_SYSCOMMAND()ON_WM_PAINT()ON_WM_QUERYDRAGICON()ON_BN_CLICKED(IDC_LARGRI, OnLargri)ON_BN_CLICKED(IDC_BUTTON2, OnButton2)ON_BN_CLICKED(IDC_HERMITE, OnHermite) //}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CLDlg message handlersBOOL CLDlg::OnInitDialog(){CDialog::OnInitDialog();// Add "About..." menu item to system menu.// IDM_ABOUTBOX must be in the system command range.ASSERT((IDM_ABOUTBOX & 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX);ASSERT(IDM_ABOUTBOX < 0xF000);CMenu* pSysMenu = GetSystemMenu(FALSE);if (pSysMenu != NULL){CString strAboutMenu;strAboutMenu.LoadString(IDS_ABOUTBOX);if (!strAboutMenu.IsEmpty()){pSysMenu->AppendMenu(MF_SEPARATOR);pSysMenu->AppendMenu(MF_STRING, IDM_ABOUTBOX, strAboutMenu);}}// Set the icon for this dialog. The framework does this automatically // when the application's main window is not a dialog SetIcon(m_hIcon, TRUE); // Set big iconSetIcon(m_hIcon, FALSE); // Set small icon// TODO: Add extra initialization herereturn TRUE; // return TRUE unless you set the focus to a control}void CLDlg::OnSysCommand(UINT nID, LPARAM lParam){if ((nID & 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX){CAboutDlg dlgAbout;dlgAbout.DoModal();}else{CDialog::OnSysCommand(nID, lParam);}}// If you add a minimize button to your dialog, you will need the code below// to draw the icon. For MFC applications using the document/view model,// this is automatically done for you by the framework.void CLDlg::OnPaint(){if (IsIconic()){CPaintDC dc(this); // device context for paintingSendMessage(WM_ICONERASEBKGND, (WPARAM) dc.GetSafeHdc(), 0);// Center icon in client rectangleint cxIcon = GetSystemMetrics(SM_CXICON);int cyIcon = GetSystemMetrics(SM_CYICON);CRect rect;GetClientRect(&rect);int x = (rect.Width() - cxIcon + 1) / 2;int y = (rect.Height() - cyIcon + 1) / 2;// Draw the icondc.DrawIcon(x, y, m_hIcon);else}CDialog::OnPaint();}}// The system calls this to obtain the cursor to display while the user drags // the minimized window.HCURSOR CLDlg::OnQueryDragIcon(){return (HCURSOR) m_hIcon;}void CLDlg::OnOK(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC(); pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);// 画坐标轴与原函数for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));for(x=-1; x<=1; x+=0.001)}double j=400.0/(1+25*x*x);pDC->SetPixel(x*500,j,RGB(255,0,0));}pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y 箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");}void CLDlg::OnLargri(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);// 画坐标轴for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}double yx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x 箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y 箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");// 拉格朗日差值的函数double yy[12],lx[12],ly[12];double l_fenzi[12],l_fenmu[12];double l_x,l_y;for(i=0; i<=10; i++){yy[i]=1.0/(1+25*yx[i]*yx[i]);}for(i=0; i<=10; i++){l_fenmu[i]=1.0;for(j=0; j<=10; j++){if(i!=j)l_fenmu[i]=l_fenmu[i]*(yx[i]-yx[j]);}}double qq,pp;for(qq=-1; qq<=1; qq+=0.0003){for(i=0; i<=10; i++){l_fenzi[i]=1.0;for(j=0; j<=10; j++){if(i!=j)l_fenzi[i]=l_fenzi[i]*(qq-yx[j]);}}pp=0;for(i=0; i<=11; i++){pp=pp+1.0/(1+25*yx[i]*yx[i])*l_fenzi[i]/l_fenmu[i];pDC->SetPixel(qq*500,pp*390+5,RGB(132,112,225));}}void CLDlg::OnButton2(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);// 画坐标轴与原函数for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}double yx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};double yy[14];for(i=0; i<=10; i++){yy[i]=1.0/(1+25*yx[i]*yx[i]);}pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1"); pDC->TextOut(490,-10,"1"); pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //xpDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y 箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");// 线性分段差值的图像CPen pen;CPen*oldpen;pen.CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(0,0,0));oldpen=pDC->SelectObject(&pen);for(i=0; i<10; i++){pDC->MoveTo(yx[i]*480,yy[i]*400);pDC->LineTo(yx[i+1]*480,yy[i+1]*400);}void CLDlg::OnHermite()箭头}int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);// 画坐标轴与原函数for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}double yx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};double yy[12];for(i=0; i<=10; i++){yy[i]=1.0/(1+25*yx[i]*yx[i]);}pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x 箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y 箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");// 分段三次Hermite 差值的函数double x0,x1,yd1,yd0,y1,y0;for(i=0; i<10; i++){x0=yx[i],x1=yx[i+1];y0=1.0/(1+25*x0*x0);y1=1.0/(1+25*x1*x1);yd0=-(50*x0)*1.0/((1+25*x0*x0)*(1+25*x0*x0));yd1=-(50*x1)*1.0/((1+25*x1*x1)*(1+25*x1*x1));for(double qq=x0; qq<x1; qq+=0.005){double pp= y0*(1+2*(qq-x0)/(x1-x0)) * (qq-x1)/(x0-x1) (qq-x1)/(x0-x1)+y1*(1+2*(qq-x1)/(x0-x1)) * (qq-x0)/(x1-x0) * (qq-x0)/(x1-x0) +yd0*(qq-x0) * (qq-x1)/(x0-x1) * (qq-x1)/(x0-x1) +yd1*(qq-x1) * (qq-x0)/(x1-x0) * (qq-x0)/(x1-x0);pDC->SetPixel(qq*500,pp*400,RGB(225,185,15));}}4. 实验截图5. 实验结果分析:分析：分段线性插值的方法克服了Lagrange插值法当节点不断加密时，构造的插值多项式的次数不断升高，高次多项式虽然是连续的，但是不一定都收敛到相应的被插函数而产生Runge现象。
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
分段线性插值法求插值-Read
分段线性插值法求插值摘要本文根据题目的要求,利用分段线性插值法对采样点和样本值进行插值计算。
为了更好的评断模型的优化性，我们同时采用了最近点插值，3次多项式插值和3次样条插值法来处理同样的问题，作为分段线性插值方法的参考模型。
根据插值函数计算区间内任意取样点的函数值。
最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数g(x)的图象进行对比。
通过对本题四个问题的解答，并观察对比函数图象我们得到了如下两个重要的结论：（1）在同一取样点，利用不同的插值方法可能会得到不同的函数值，所得函数值与原函数的标准函数值的误差大小决定了该插值方法的“好坏”。
而最优化的插值方法往往依赖于被插值函数。
本题中，在函数式g(x)对应X,Y的条件下，可以根据对比函数图象明显看出：分段线性插值方法和3次多项式插值方法优于3次样条插值和最近点插值。
（2）在插值计算中，取样点的多少往往会影响所得插值函数优化程度。
一般情况下，取样点越多所得插值函数越优化，对应的函数值与标准函数值越接近。
通过对本题四个问题相应对比函数图象的观察，我们也明显看出：在区间[-6 6]内，当取样点为21，41时，分段线性插值法进行插值计算得到的函数图象基本上与原函数g(x)吻合。
AbstractIn this article ,we use piecewise linear interpolation to compute the sampling point and sample value according to the request of question. In order to judge the model's quality in a better way, we use nearest interpolation, cubic interpolation and spline interpolation regarded as the model reference of piecewise linear interpolation to deal the question in the same way at the same time. Then draw the function picture by function value of any sampling point in the interval of interpolating function. Finally, we make a comparison between the original function g(x) image and the interpolating function image.At the base of analysing the final result and comparing the constrastive image . We can summarize two items of important conclusion as follows:(1)At the same sampling point , different interpolating method canobtain different function value. Usually , the optimizationalgorithm depends on the size of error between the objectfunction value .(2) When processing interpolating compute , the number of thesampling point will make an effect on the quality of a model.Commonly, the more multitudinous the sampling points wereused ,the more precise the interpolation model will be .目录一．问题的重述 (1)二．问题的分析 (1)三．问题的假设 (1)四．分段线性插值原理 (2)五．问题的求解 (2)六．插值方法的优劣性分析 (5)附录 (6)一．问题的重述已知211)(xx g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差。
分段线性插值法
例2. 给出数据表如下：
Xi yi 19.1 76.3 25 77.8 30.1 79.25 36 80.8 40 82.35 15.1 83.9 50 85.1
生成插值函数及其图形，并求当x = 27.1时的函数值。
解：In[1]：= data={{19.1,76.3},{25,77.8},{30.1,79.25},{36,80.8},{ 40,82.35},{45.1,83.9},{50,85.1}};
采用分段插值是一种办法。
一、分段线性插值的概念
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连 接起来逼近 f ( x )
设已知节点a x0 x1 xn b 上的函数值为： y0 , y1 yn 构造插值函数 ( x) 使其满足： (1) ( xi ) yi (i 0,1,2,..., n)
g1=ListPlot[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[18]];
Interpolation[A,InterpolationOrder->3] g2=Plot[%[x],{x,0,0.8}] Show[g1,g2] N[%%%[0.12],20] N[%%%%[0.72],20] N[f[0.12],20] N[f[0.72],20]
i 1 ( x x ) i j f ( x ) L2 ( x ) yk j i 1 ( x k x i ) k i 1 jk
i 1
这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何 上就是用分段抛物线代替 y=f(x) ， 故分段二次 插值又为分段抛物插值。
2. 插值函数
函数InterPolation通过在数据点之间进行多项式 插值，构造一个近似函数（分段插值函数） ， 该函数通过已知的数据点，其调用格式如下：
分段线性插值
考察函数
f
(x)
1 1 x2
,
5 x5
右图给出了 P5 (x) 和 P10 (x) 的图像,当n 增大时, Pn (x) 在两端 会发出激烈的振荡
,这就是所谓龙格现
象。该现象表明,在
大范围内使用高次
插值,逼近的效果往
往是不理想的
-5
y f(x)
P5(x) 0
P10(x) 5x
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
f
(xk
)
x xk xk1
f (xk1 )
( xk x xk1 )
在几何上就是用折线
y
y=f(x)
替代曲线,如右图所示
若用插值基函数表示,
则在a,b上
0
x0
x1
x2
xn x
n
S(x) li (x) f (xi ) ( a x b)
i0
其中
x
xi
xi1 xi1
,
xi1 x xi
上有误差估计式
f (x) S(x) hi2 max f (x) 8 xi x xi1
其中 hi xi1 xi
例5.19 已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示
x i 30 45 60 90
分段线性插值法
（1） ; (x j ) y j ( j 0,1,2,..., n)
（2） (x) 在每一个小区间[ xj, xj1 ]上是线性函
2
数值分析实验报告
数。
对于给定函数 f (x) 1 ,-1 x 1。在区间-1，1上 1 25x2
画出 f(x)和分段线性插值函数(x) 的函数图像。 1. 分段线性插值的算法思想：
// Center icon in client rectangle
int
cxIcon
=
GetSystemMetrics(SM_CXICON);
int
cyIcon
=
GetSystemMetrics(SM_CYICON);
CRect rect;
GetClientRect(&rect);
int x = (rect.Width() - cxIcon + 1) / 2;
int y = (rect.Height() - cyIcon + 1) / 2;
14
数值分析实验报告
// Draw the icon dc.DrawIcon(x, y, m_hIcon); } else { CDialog::OnPaint(); } }
// The system calls this to obtain the cursor to display while the user drags
: CDialog(CLDlg::IDD, pParent)
{
//{{AFX_DATA_INIT(CLDlg)
// NOTE: the ClassWizard will add member initialization here
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理插值是指在已知数据点的情况下，根据其中一种规则或算法，在这些数据点之间进行预测或估计。
常见的插值方法有：拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值和Kriging插值等。
1.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它假设已知数据点的函数曲线可以由一个多项式来表示。
拉格朗日插值的原理是，通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，拉格朗日插值方法通过构造一个多项式，使得该多项式在每个数据点上的函数值等于给定的函数值。
然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
2.牛顿插值方法：牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法，其原理类似于拉格朗日插值。
它也是通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
不同的是，牛顿插值使用了差商的概念，将插值多项式表示为一个累次求和的形式。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，牛顿插值方法通过差商的计算，得到一个多项式表达式。
然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
3.分段线性插值方法：分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一条直线。
分段线性插值的原理是，通过连接相邻数据点之间的线段，构造一个连续的曲线。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，分段线性插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一条直线。
然后，在每个数据点之间的区域上，通过线性插值来估计未知数据点的函数值。
4.样条插值方法：样条插值是一种基于插值条件和光滑条件的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一个低次数的多项式。
样条插值的原理是，通过确定各个数据点之间的插值多项式系数，使得整个曲线在插值点上的各阶导数连续。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，样条插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一个低次数的多项式。
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
计算方法1.3分段线性插值
目录
• 引言 • 分段线性插值的基本原理 • 分段线性插值的构造方法
目录
• 分段线性插值的应用举例 • 分段线性插值的优缺点及改进方法 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
数值计算中，插值是一种通过已知数 据点来估算未知数据点的方法。
分段线性插值作为一种常用的插值方 法，具有计算简单、易于实现等优点， 在实际问题中得到了广泛应用。
在许多实际问题中，函数关系往往是未知的 ，或者虽然知道函数关系但难以用解析式表 达，此时可以通过插值法来近似地表示函数 关系。
插值的概念和分类
插值的概念
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数 据点。
插值的分类
根据插值函数的形式和构造方法的不同，插值可分为多项式插值、分段插值、 样条插值、三角插值等。其中，分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
每个子区间上的插值函数只与该 区间上的节点有关，因此局部数 据的改变不会影响整个插值函数。
易于实现
分段线性插值的算法相对简单， 易于编程实现，且对计算机资源 要求不高。
分段线性插值的缺点
插值精度有限
由于分段线性插值在每个子区间上都是线性的，因此对于非线性程 度较高的函数，插值精度可能较低。
不光滑
在节点处，分段线性插值函数的一阶导数可能不连续，导致插值曲 线不够光滑。
科学计算与仿真
在科学计算和仿真领域，高维分段线性插值可以作为数值 计算的基本工具之一，用于求解高维偏微分方程和其他复 杂数学问题。
05
分段线性插值的优缺点及 改进方法
分段线性插值的优点
计算简单
分段线性插值相比于其他插值方 法，如多项式插值或样条插值， 计算更为简单，不涉及复杂的数 学运算。
内插值法计算公式
内插值法计算公式插值法是一种通过已知数据点之间进行插值，来求解未知数据点的方法。
它在数学、物理、工程等领域中经常被用于数据处理和函数逼近。
内插值法通过已知数据点之间的数学关系，根据已知数据点的特征和关系，推断出未知数据点的数值。
常见的内插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。
以下将介绍这些常见的内插值方法。
1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种通过已知数据点构造拉格朗日多项式的方法。
给定n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，希望通过这些数据点推断出未知数据点(x, y)的数值。
拉格朗日插值多项式L(x)的表达式为：L(x) = Σ[yi * Li(x)]，其中Li(x) = Π[(x - xj) / (xi - xj)]，i ≠ j。
通过构造拉格朗日多项式，将已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)代入，即可求得未知数据点(x, y)的数值。
2.牛顿插值法：牛顿插值法也是一种通过已知数据点构造插值多项式的方法。
与拉格朗日插值法不同，牛顿插值法使用了差商的概念。
差商表示数据点之间的差别，用来计算插值多项式的系数。
给定n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，希望通过这些数据点推断出未知数据点(x, y)的数值。
牛顿插值多项式N(x)的表达式为：N(x) = Σ[f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)]，其中f[x0,x1, ..., xi]表示差商。
通过计算差商f[x0, x1, ..., xi]的值，将已知数据点(x0, y0),(x1, y1), ..., (xn, yn)代入，即可求得未知数据点(x, y)的数值。
3.分段线性插值法：分段线性插值法是一种将插值区间分成若干小段，每段使用线性插值方法计算的插值方法。
给定连续的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，希望通过这些数据点推断出未知数据点(x, y)的数值。
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《数值分析》实验报告实验序号:实验五 实验名称: 分段线性插值法1、 实验目的:随着插值节点的增加,插值多项式的插值多项式的次数也增加,而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡,带来数值的不稳定(Runge 现象)。
为了既要增加插值的节点,减小插值的区间,以便更好的逼近插值函数,又要不增加插值多项式的次数以减少误差,可采用分段线性插值。
2、 实验内容:求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x ),用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上,给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210与相应的函数值n y y y ,...,,10,求一个插值函数)(x ϕ,满足以下条件:（1）),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ; （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上就是线性函数。
对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=x x x f 。
在区间[]11-，上画出f (x )与分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。
1. 分段线性插值的算法思想:分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ,然后再作它们的线性组合。
分段线性插值基函数的特点就是在对应的插值节点上函数值取 1,其它节点上函数值取0。
插值基函数如下:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(111111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l设在节点a≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L(x)满足:（1）L(x)∈C[a,b]（2）L(x[i]=y[i])（3）L(x)在每个小区间(x[i],x[i+1])上就是线性插值函数￠(x)叫做区间[a,b]上对数据(x[j],y[j])(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
利用一介拉格朗日函数,直接得到线性插值函数为:L(x0)=(x-x[1])/x[0]-x[1];(x[0]≤x≤x[1])L(x0)=0(x[1]≤x≤x[n])分段线性方程的表达式:￠(x)=∑(j=0,、、,n)y[j]*L[j](x);3、实验代码:// LDlg、cpp : implementation file//#include "stdafx、h"#include "L、h"#include "LDlg、h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CAboutDlg dialog used for App Aboutclass CAboutDlg : public CDialog{public:CAboutDlg();// Dialog Data//{{AFX_DATA(CAboutDlg)enum { IDD = IDD_ABOUTBOX };//}}AFX_DATA// ClassWizard generated virtual function overrides//{{AFX_VIRTUAL(CAboutDlg)protected:virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support//}}AFX_VIRTUAL// Implementationprotected://{{AFX_MSG(CAboutDlg)//}}AFX_MSGDECLARE_MESSAGE_MAP()};CAboutDlg::CAboutDlg() : CDialog(CAboutDlg::IDD){//{{AFX_DATA_INIT(CAboutDlg)//}}AFX_DATA_INIT}void CAboutDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CAboutDlg)//}}AFX_DATA_MAP}BEGIN_MESSAGE_MAP(CAboutDlg, CDialog)//{{AFX_MSG_MAP(CAboutDlg)// No message handlers//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CLDlg dialogCLDlg::CLDlg(CWnd* pParent /*=NULL*/): CDialog(CLDlg::IDD, pParent){//{{AFX_DATA_INIT(CLDlg)// NOTE: the ClassWizard will add member initialization here//}}AFX_DATA_INIT// Note that LoadIcon does not require a subsequent DestroyIcon in Win32m_hIcon = AfxGetApp()->LoadIcon(IDR_MAINFRAME);}void CLDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CLDlg)// NOTE: the ClassWizard will add DDX and DDV calls here//}}AFX_DATA_MAP}BEGIN_MESSAGE_MAP(CLDlg, CDialog)//{{AFX_MSG_MAP(CLDlg)ON_WM_SYSCOMMAND()ON_WM_PAINT()ON_WM_QUERYDRAGICON()ON_BN_CLICKED(IDC_LARGRI, OnLargri)ON_BN_CLICKED(IDC_BUTTON2, OnButton2)ON_BN_CLICKED(IDC_HERMITE, OnHermite)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CLDlg message handlersBOOL CLDlg::OnInitDialog(){CDialog::OnInitDialog();// Add "About、、、" menu item to system menu、// IDM_ABOUTBOX must be in the system command range、ASSERT((IDM_ABOUTBOX & 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX);ASSERT(IDM_ABOUTBOX < 0xF000);CMenu* pSysMenu = GetSystemMenu(FALSE);if (pSysMenu != NULL){CString strAboutMenu;strAboutMenu、LoadString(IDS_ABOUTBOX);if (!strAboutMenu、IsEmpty()){pSysMenu->AppendMenu(MF_SEPARATOR);pSysMenu->AppendMenu(MF_STRING, IDM_ABOUTBOX, strAboutMenu);}}// Set the icon for this dialog、 The framework does this automatically // when the application's main window is not a dialogSetIcon(m_hIcon, TRUE); // Set big iconSetIcon(m_hIcon, FALSE); // Set small icon// TODO: Add extra initialization herereturn TRUE; // return TRUE unless you set the focus to a control}void CLDlg::OnSysCommand(UINT nID, LPARAM lParam){if ((nID & 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX){CAboutDlg dlgAbout;dlgAbout、DoModal();}else{CDialog::OnSysCommand(nID, lParam);}}// If you add a minimize button to your dialog, you will need the code below // to draw the icon、 For MFC applications using the document/view model, // this is automatically done for you by the framework、void CLDlg::OnPaint(){if (IsIconic()){CPaintDC dc(this); // device context for paintingSendMessage(WM_ICONERASEBKGND, (WPARAM) dc、GetSafeHdc(), 0);// Center icon in client rectangleint cxIcon = GetSystemMetrics(SM_CXICON);int cyIcon = GetSystemMetrics(SM_CYICON);CRect rect;GetClientRect(&rect);int x = (rect、Width() - cxIcon + 1) / 2;int y = (rect、Height() - cyIcon + 1) / 2;// Draw the icondc、DrawIcon(x, y, m_hIcon);}else{CDialog::OnPaint();}}// The system calls this to obtain the cursor to display while the user drags // the minimized window、HCURSOR CLDlg::OnQueryDragIcon(){return (HCURSOR) m_hIcon;}void CLDlg::OnOK(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);//画坐标轴与原函数for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}for(x=-1; x<=1; x+=0、001){double j=400、0/(1+25*x*x);pDC->SetPixel(x*500,j,RGB(255,0,0)); }pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y箭头pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");}void CLDlg::OnLargri(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);//画坐标轴for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}double yx[]={-1,-0、8,-0、6,-0、4,-0、2,0,0、2,0、4,0、6,0、8,1}; pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");// 拉格朗日差值的函数double yy[12],lx[12],ly[12];double l_fenzi[12],l_fenmu[12];double l_x,l_y;for(i=0; i<=10; i++){yy[i]=1、0/(1+25*yx[i]*yx[i]);}for(i=0; i<=10; i++){l_fenmu[i]=1、0;for(j=0; j<=10; j++){if(i!=j)l_fenmu[i]=l_fenmu[i]*(yx[i]-yx[j]);}}double qq,pp;for(qq=-1; qq<=1; qq+=0、0003){for(i=0; i<=10; i++){l_fenzi[i]=1、0;for(j=0; j<=10; j++){if(i!=j)l_fenzi[i]=l_fenzi[i]*(qq-yx[j]);}}pp=0;for(i=0; i<=11; i++){pp=pp+1、0/(1+25*yx[i]*yx[i])*l_fenzi[i]/l_fenmu[i];}pDC->SetPixel(qq*500,pp*390+5,RGB(132,112,225));}}void CLDlg::OnButton2(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);//画坐标轴与原函数for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}double yx[]={-1,-0、8,-0、6,-0、4,-0、2,0,0、2,0、4,0、6,0、8,1}; double yy[14];for(i=0; i<=10; i++){yy[i]=1、0/(1+25*yx[i]*yx[i]);}pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");// 线性分段差值的图像CPen pen;CPen*oldpen;pen、CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(0,0,0)); oldpen=pDC->SelectObject(&pen);for(i=0; i<10; i++){pDC->MoveTo(yx[i]*480,yy[i]*400);pDC->LineTo(yx[i+1]*480,yy[i+1]*400); }}void CLDlg::OnHermite(){int x00=300,y00=350,i,j;double x;CDC *pDC=GetDC();pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);pDC->SetViewportOrg(x00,y00);//画坐标轴与原函数for(i=-700; i<=700; i++){pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));}double yx[]={-1,-0、8,-0、6,-0、4,-0、2,0,0、2,0、4,0、6,0、8,1}; double yy[12];for(i=0; i<=10; i++){yy[i]=1、0/(1+25*yx[i]*yx[i]);}pDC->TextOut(-30,-10,"0");pDC->TextOut(-30,430,"1");pDC->TextOut(490,-10,"1");pDC->TextOut(-490,-10,"-1");pDC->MoveTo(-10,680); //x箭头pDC->LineTo(0,700);pDC->MoveTo(0,700);pDC->LineTo(10,680);pDC->MoveTo(680,10); //y箭头pDC->LineTo(700,0);pDC->MoveTo(700,0);pDC->LineTo(680,-10);pDC->TextOut(-30,700,"y");pDC->TextOut(700,-10,"x");//分段三次Hermite差值的函数double x0,x1,yd1,yd0,y1,y0;for(i=0; i<10; i++){x0=yx[i],x1=yx[i+1];y0=1、0/(1+25*x0*x0);y1=1、0/(1+25*x1*x1);yd0=-(50*x0)*1、0/((1+25*x0*x0)*(1+25*x0*x0));yd1=-(50*x1)*1、0/((1+25*x1*x1)*(1+25*x1*x1));for(double qq=x0; qq<x1; qq+=0、005){double pp= y0*(1+2*(qq-x0)/(x1-x0)) * (qq-x1)/(x0-x1) * (qq-x1)/(x0-x1)+y1*(1+2*(qq-x1)/(x0-x1)) * (qq-x0)/(x1-x0) * (qq-x0)/(x1-x0)+yd0*(qq-x0) * (qq-x1)/(x0-x1) * (qq-x1)/(x0-x1)+yd1*(qq-x1) * (qq-x0)/(x1-x0) * (qq-x0)/(x1-x0);pDC->SetPixel(qq*500,pp*400,RGB(225,185,15));}}}4.实验截图5、实验结果分析:分析:分段线性插值的方法克服了Lagrange插值法当节点不断加密时,构造的插值多项式的次数不断升高,高次多项式虽然就是连续的,但就是不一定都收敛到相应的被插函数而产生Runge现象。