2019-2020学年河南省郑州一中高三(上)12月月考数学试卷

合集下载

2020届河南省郑州市一中高三12月联考试题【理科数学】

理科数学试题第1页（共6页）理科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前2020届郑州市一中高三年级12月联考试题理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2019.12.07第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集}4,2,1{},5,3,1{},6,5,4,3,2,1{===Q P U ，则=Q P C U )(A.}1{ B.}5,3{ C.}6,4,2,1{ D.}5,4,3,2,1{2.在复平面内，复数ii21+=z 对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线)0,0()3,12(),1,(>>-=-=b a b n a m ，若n m //，则ba 12+的最小值为A.12B.348+C.15D ．3210+4.已知y x ,满足,080202⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥-y x y x )0(>>+=b a by ax z 的最大值为2，则直线01=-+by ax 过定点A.)1,3(B ．)3,1(-C ．)3,1(D ．)1,3(-5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是A.1B.2C.3D ．4（第5题图）（第9题图）（第11题图）6.已知R b a ∈,，则“0=ab ”是“函数b a x x x f ++=||)(是奇函数”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，则不同的安排方案有A ．168种B ．156种C ．172种D ．180种8.已知数列：)(1,,12,1*N k kk k ∈- ，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列}{n a ：,,13,22,31,12,21,1 则98首次出现时为数列}{n a 的A.第44项B.第76项C.第128项D.第144项9.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3,11===AB DD AD ，G F E ,,分别是棱1,,CC BC AB 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线P D 1与平面EFG 平行，则P BB 1∆面积的最小值为A.43B.1C.23 D.2110.已知函数2||,0()sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的图象经过点)1,0(-B ，且在区间)3,18(ππ上单调.又)(x f 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当32,1217(,21ππ--∈x x 且21x x ≠时，)()(21x f x f =，则=+)(21x x f A.3B.2C.1D.1-11.如图，设抛物线px y 22=的焦点为F ，过x 轴上一定点)0,2(D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于B A ,两点，与y 轴交于点C ，记BCF ∆的面积为1S ，ACF ∆的面积为2S ，若4121=S S ，则抛物线的标准方程为A.2y x= B.22y x= C.24y x= D.28y x=12.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,90,1)(3x x x x x x f ，若关于x 的方程a x x f =+)2(2有6个不同的实数根，则常数a 的取值范围是A.]8,2( B.]9,2( C.]9,8( D.)9,8(第Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.设双曲线12222=-by a x 的左右顶点分别为B A ,，点P 是双曲线上一点，且异于B A ,两点.O为坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率之积为97，则双曲线的离心率为.理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）14.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()4(-=+x f x f ，当]0,3[-∈x 时，x x f -=6)(，则=)2019(f .15.已知在梯形ABCD 中，3,1,===⊥AB DC AD AD AB ，P 为BCD ∆内一点（包括边界），AD y AB x AP +=，则y x +的取值范围为.16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC ∆的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC ∆的欧拉三角形.如图，111C B A ∆是ABC ∆的欧拉三角形(H 为ABC ∆的垂心).已知22tan ,2,3=∠==ACB BC AC ，若在ABC ∆内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为．（第16题图）（第18题图）三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年河南省郑州一中高三(上)期中数学试卷(文科)

2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若x>0、y>0，则x+y>1是x2+y2>1的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案．【解答】先看充分性可取x＝y=23，使x+y>1成立，而x2+y2>1不能成立，故充分性不能成立；若x2+y2>1，因为x>0、y>0，所以(x+y)2＝x2+y2+2xy>x2+y2>1∴x+y>1成立，故必要性成立综上所述，x+y>1是x2+y2>1的必要非充分条件2. 如果复数m2+i1−mi是实数，则实数m＝（）A.−1B.1C.−√2D.√2【答案】A【考点】复数的运算【解析】把给出的复数分子分母同时乘以1+mi，化为a+bi(a, b∈R)的形式，由虚部等于0可求m的值．【解答】m2+i 1−mi =(m2+i)(1+mi)(1−mi)(1+mi)=m2−m+(1+m3)i1+m2=m2−m1+m2+1+m31+m2i．∵m2+i1−mi是实数，则1+m3＝0，所以m＝−1．3. 平面直角坐标系xOy中，已知A(1, 0)，B(0, 1)，点C在第二象限内，∠AOC=5π6，且|OC|＝2，若OC→=λOA→+μOB→，则λ，μ的值是（）A.√3，1B.1，√3C.−1，√3D.−√3，1【答案】D【考点】平面向量的坐标运算平行向量（共线）向量的概念与向量的模【解析】由题意可得点C 的坐标，进而可得向量OC →的坐标，由向量相等可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1 ，解之即可．【解答】∵ 点C 在第二象限内，∠AOC =5π6，且|OC|＝2，∴ 点C 的横坐标为x C ＝2cos5π6=−√3，纵坐标y C ＝2sin5π6=1，故OC →=(−√3, 1)，而OA →=(1, 0)，OB →=(0, 1)，由OC →=λOA →+μOB →可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1，解得{λ=−√3μ=1 ，4. 具有相关关系的两个量x ，y 的一组数据如表，回归方程y ^=0.67x +54.9，则m ＝（）【答案】 C【考点】求解线性回归方程【解析】根据回归方程y ^=0.67x +54.9必过回归中心坐标(x,y)，即可求解m 的值．【解答】样本平均数x =15(10+20+30+40+50)=30，当x =30入回归方程y ^=0.67x +54.9，可得y =75， ∴ y =75=15(62+m +75+81+84)，解得：m ＝685. 要得到函数y ＝sin(2x −π3)的图象，只需将函数y ＝−cos(2x −π)的图象（）A.向左平移π6个单位B.向左平移5π12个单位C.向右平移5π12个单位D.向右平移π3个单位【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数y＝−cos(2x−π)化简得y＝sin(2x+π2)，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案．【解答】将函数y＝−cos(2x−π)化简，得y＝cos2x＝sin(2x+π2)，记f(x)＝sin(2x+π2)，∵函数y＝sin(2x−π3)＝[2(x−5π12)+π2]＝f(x−5π12)，∴将函数f(x)＝sin(2x+π2)的图象向右平移5π12个单位，可得函数y＝sin(2x−π3)的图象．由此可得将函数y＝−cos(2x−π)的图象向右平移5π12个单位，可得函数y＝sin(2x−π3)的图象．6. 根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）．若样本容量为500个，则交通指数在[5, 7)之间的个数是（）A.223B.222C.200D.220【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图先求出交通指数在[5, 7)之间的频率，由此能求出交通指数在[5, 7)之间的个数．【解答】由频率分布直方图得交通指数在[5, 7)之间的频率为：(0.24+0.2)×1＝0.44，∴交通指数在[5, 7)之间的个数为500×0.44＝220．7. 若x>0，y>0，则√x+y√x+√y的最小值为（）A.√2B.1C.√22D.12【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】平方后利用基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x>0，y>0，∴t=√x+y√x+√y>0．∴t2=x+y+2√xy ≥x+yx+y+x+y=12，∴t≥√22，当且仅当x＝y时取等号．∴√x+y√x+√y 的最小值为√22．8. 已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y2=−4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.x24+y23=1 B.x28+y26=1C.x22+y2=1 D.x24+y2=1【答案】A【考点】椭圆的离心率抛物线的标准方程椭圆的标准方程【解析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=−4x的焦点为(−1, 0)，∴c=1，由离心率e=12可得a=2，∴b2=a2−c2=3，故椭圆的标准方程为x24+y23=1，故选A．9. 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条经过焦点F的弦，AB与两坐标轴不垂直，已知点M(−1, 0)，∠AMF＝∠BMF，则p的值是（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图象作AC⊥x轴、BD⊥x轴，设AB的直线方程y＝k(x−p2)(k≠0)，A(x1, y1)、B(x2, y2)，联立直线方程和抛物线方程消去y，由韦达定理求出x1+x2和x1x2式子，由∠AMF＝∠BMF得tan∠AMF＝tan∠BMF，由图象得ACMC =BDMD，用A、B的坐标表示出线段的长，把求出的式子代入化简，列出关于p的方程再化简求值．【解答】如右图作AC⊥x轴，BD⊥x轴，设AB的直线方程为：y＝k(x−p2)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立{y=k(x−p2)y2=2px，得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0，则x1+x2=k2p+2pk2，x1x2=p24，∵∠AMF＝∠BMF，∴tan∠AMF＝tan∠BMF，即ACMC =BDMD，不妨设x1>p2，x2<p2，则AC＝|y1|＝|k(x1−p2)|＝|k|(x1−p2)，BD＝|y2|＝|k(x2−p2)|＝|k|(p2−x2)，且MC＝x1+1，MD＝x2+1，代入ACMC =BDMD得，|k|(x1−p2)x1+1=|k|(p2−x2)x2+1，化简得，2x1x2+(x1+x2)(1−p2)−p＝0，则2×p24+k2p+2pk2(1−p2)−p=0，化简得2−pk2=0，得p＝2．10. 执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A.2018B.2019C.12D.2【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y＝2019时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解【解答】模拟执行程序框图，可得x＝2，y＝0．满足条件y<2019，执行循环体，x＝−1，y＝1；满足条件y<2019，执行循环体，x=12，y＝2；满足条件y<2019，执行循环体，x＝2，y＝3；满足条件y<2019，执行循环体，x＝−1，y＝4；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于2019＝673×3，可得：满足条件y<2019，执行循环体，当x＝2，y＝2019，不满足条件y<2019，退出循环，输出x的值为2．11. 若函数f(x)＝x2+e x−12(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(−∞,√e)B.√e)C.√e √e) D.(−√e,√e)【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数的对称性【解析】由题意可得e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈(−∞, 0)，满足x02+e x0−12=(−x0)2+ln(−x0+a)，即e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0−12−ln(−x0+a)也趋近于负无穷大，且函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，∴ℎ(0)＝e0−12−lna>0，∴lna<ln√e，∴a<√e，∴a的取值范围是(−∞, √e).故选A.12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（）A.|OB|＝e|OA|B.|OA|＝e|OB|C.|OB|＝|OA|D.|OA|与|OB|关系不确定【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|−|PF2|＝2a，转化为|AF1|−|AF2|＝2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】F1(−c, 0)、F2(c, 0)，内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|−|PF2|＝2a，及圆的切线长定理知，|AF1|−|AF2|＝2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|(x+c)−(c−x)|＝2a∴x＝a；|OA|＝a，在三延长F2B交PF1于点C，角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=12CF1=12(PF1−PC)=12(PF1−PF2)=12×2a＝a．∴|OB|＝|OA|．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）数列1,12,12,13,13,13,14,14,14,14,⋯的前100项的和等于________．【答案】19114【考点】数列的求和【解析】根据数列中项为1n 的项数为n ，可得第91项为113，从第92项至第100项均为114，由此可得结论．【解答】由题意，数列中项为1n 的项数为n ，则 ∵ 1+2+3+4+ (13)13×(1+13)2=91∴ 第91项为113，从第92项至第100项均为114 ∴ 数列的前100项的和等于13+114×9=19114在棱长都相等的三棱锥中，已知相对两棱中点的连线长为√2，则这个三棱锥的棱长等于________．【答案】 2【考点】点、线、面间的距离计算【解析】画出图形，通过求解三角形求解三棱锥的棱长．【解答】由题意可知几何体如图：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC ＝BD ＝x ，相对两棱中点的连线长为√2，EF =√2，所以在三角形ABF 中，AF ＝BF =√32x ，所以EF 2＝AF 2−AE 2，可得：2=34x 2−14x 2，解得x ＝2．设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|的值为________．【答案】 7【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线x 2a 2−y 29=1的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，求出a ，由双曲线的定义求出|PF 2|．【解答】 ∵ 双曲线x 2a 2−y 29=1的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，∴ 可得32=3a ，∴ a ＝2．∵ |PF 1|＝3，∴ 由双曲线的定义可得||PF 2|−3|＝4，∴ |PF 2|＝7，已知函数f(x)=|sin(ωx +π4)|(ω>1)在(π,54π)上单调递减，则实数ω的取值范围是________．【答案】 [54, 74] 【考点】正弦函数的单调性【解析】根据x ∈(π, 5π4)时求出ωx +π4的取值范围，由正弦函数的图象与性质列出不等式组求实数ω的取值范围．【解答】当x ∈(π, 5π4)时，ωπ+π4<ωx +π4<5π4ω+π4，由函数f(x)=|sin(ωx +π4)|(ω>1)在(π,54π)上单调递减，则{ωπ+π4≥3π2ω⋅5π4+π4≤2π，解得54≤ω≤75；所以实数ω的取值范围是[54, 74]．三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）已知{a n }是等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18．若b n =√a +√a ．（1）求数列{a n }通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】{a n }是公差为d 的等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18．可得a 1+2d ＝7，2a 1+6d ＝18，解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝3+2(n −1)＝2n +1， b n =√a +√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)，前n 项和T n =12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n +3−√2n +1) =12（(√2n +3−√3)．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n =√a +√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】{a n }是公差为d 的等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18．可得a 1+2d ＝7，2a 1+6d ＝18，解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝3+2(n −1)＝2n +1， b n =√a +a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)，前n 项和T n =12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n +3−√2n +1) =12（(√2n +3−√3)．已知点A(2, 0)，B(0, −2)，F(−2, 0)，设∠AOC ＝α，α∈[0, 2π)，其中O 为坐标原点． (Ⅰ)设点C 到线段AF 所在直线的距离为√3，且∠AFC =π3，求α和线段AC 的大小； (Ⅱ)设点D 为线段OA 的中点，若|OC →|=2，且点C 在第二象限内，求M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cosα的取值范围．【答案】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =√3 在直角三角形FCE 中，FC =CEsin∠CFE =2，又OF ＝2，∠OFC =π3，所以△OFC 为正三角形所以∠FOC =π3，从而α=π−∠FOC =2π3，或α=π+∠FOC =4π3⋯在△AFC 中，AC =√AF 2+CF 2−2AF ⋅CFcos∠AFC =√42+22−2×2×4×12=2√3⋯（2）∵ A(2, 0)，点D 为线段OA 的中点，∴ D(1, 0) ∵ |OC →|=2且点C 在第二象限内， ∴ C(2cosα, 2sinα)，α∈(π2,π)⋯从而DC →=(2cosα−1, 2sinα)，BC →=(2cosα, 2sinα+2)， OA →=(2, 0)，OB →=( 0, −2)．则M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α＝−4√3sinαcosα+4cos 2α ＝−2√3sin2α+2(1+cos2α)＝4cos(2α+π3)+2，因为α∈(π2, π)，所以，2 α+π3∈(4π3, 7π3)，从而−12<cos(2α+π3)≤1，所以M 的取值范围为(0, 6]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算余弦定理【解析】(Ⅰ)过C 作AF 的垂线，垂足为E ，由条件求得∠FOC =π3，从而求得α，在△AFC 中，由余弦定理求得AC 的值．(Ⅱ)由条件求得DC →、OB →、OA →的坐标，化简 M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α的解析式为4cos(2α+π3)+2，再根据α的范围，根据余弦函数的定义域和值域求得M 的范围．【解答】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =√3 在直角三角形FCE 中，FC =CEsin∠CFE =2，又OF ＝2，∠OFC =π3，所以△OFC 为正三角形所以∠FOC =π3，从而α=π−∠FOC =2π3，或α=π+∠FOC =4π3⋯在△AFC 中，AC =√AF 2+CF 2−2AF ⋅CFcos∠AFC =√42+22−2×2×4×12=2√3⋯（2）∵ A(2, 0)，点D 为线段OA 的中点，∴ D(1, 0) ∵ |OC →|=2且点C 在第二象限内， ∴ C(2cosα, 2sinα)，α∈(π2,π)⋯从而DC →=(2cosα−1, 2sinα)，BC →=(2cosα, 2sinα+2)， OA →=(2, 0)，OB →=( 0, −2)．则M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α＝−4√3sinαcosα+4cos 2α ＝−2√3sin2α+2(1+cos2α)＝4cos(2α+π3)+2，因为α∈(π2, π)，所以，2 α+π3∈(4π3, 7π3)，从而−12<cos(2α+π3)≤1，所以M 的取值范围为(0, 6]．如图，四面体ABCD ，AB ＝BC ＝4，AC =BD =4√2，AB ⊥CD ，∠BCD ＝90∘．（1）若AC 中点是M ，求证：BM ⊥面ACD ；（2）若P 是线段AB 上的动点，Q 是面BCD 上的动点，且线段PQ ＝2，PQ 的中点是N ，求动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积．【答案】证明：由题意，AB ＝BC ＝4，AC ＝4√2，很明显△ABC 是等腰直角三角形．又∵ BC ＝4，BD ＝4√2，∠BCD ＝90∘．∴ △BCD 是等腰直角三角形． ∴ CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴ CD ⊥面ABC ．∵ BM ⊂面ABC ，∴ CD ⊥BM ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，M 为AC 中点， ∴ BM ⊥AC ， ∴ BM ⊥面ACD ．由题意，以B 为原点，过点B 垂直于BD 方向为x 轴，BD 所在的直线为y 轴， BA 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可设P(0, 0, z P )，Q(x Q , y Q , 0)，N(x, y, z)． ∵ N 是PQ 的中点， ∴ x =x Q2，y =y Q2，z =z P 2，即{x Q =2xy Q =2y z P =2z ．∵ PQ →=(x Q , y Q , z P )，∴ |PQ|＝|PQ →|=√x Q 2+y Q 2+z P 2=2，将{x Q =2xy Q =2y z P =2z代入上式，即√(2x)2+(2y)2+(2z)2=2．整理，得x 2+y 2+z 2＝1．∵ 由题意易知点N 在四面体ABCD 的内部，∴ 动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面．根据四面体ABCD 的结构可知动点N 的轨迹为116的球面．动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积V =116⋅43π⋅13=112π．【考点】轨迹方程【解析】本题第（1）题先根据题意得出CD ⊥面ABC ，然后根据BM ⊂面ABC ，得到CD ⊥BM ．再证明BM ⊥AC ，即可证明线面垂直；第（2）题通过建立空间直角坐标系将几何问题解析法，通过得出动点N 的轨迹方程为x 2+y 2+z 2＝1得到动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面，即可得到体积．【解答】证明：由题意，AB ＝BC ＝4，AC ＝4√2，很明显△ABC 是等腰直角三角形．又∵ BC ＝4，BD ＝4√2，∠BCD ＝90∘．∴ △BCD 是等腰直角三角形． ∴ CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴ CD ⊥面ABC ．∵ BM ⊂面ABC ，∴ CD ⊥BM ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，M 为AC 中点， ∴ BM ⊥AC ， ∴ BM ⊥面ACD ．由题意，以B 为原点，过点B 垂直于BD 方向为x 轴，BD 所在的直线为y 轴， BA 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可设P(0, 0, z P )，Q(x Q , y Q , 0)，N(x, y, z)． ∵ N 是PQ 的中点， ∴ x =x Q2，y =y Q2，z =z P 2，即{x Q =2xy Q =2y z P =2z ．∵ PQ →=(x Q , y Q , z P )，∴ |PQ|＝|PQ →|=√x Q 2+y Q 2+z P 2=2，将{x Q =2xy Q =2y z P =2z代入上式，即√(2x)2+(2y)2+(2z)2=2．整理，得x 2+y 2+z 2＝1．∵ 由题意易知点N 在四面体ABCD 的内部，∴ 动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面．根据四面体ABCD 的结构可知动点N 的轨迹为116的球面．动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积V =116⋅43π⋅13=112π．设M(2, 1)是椭圆x 2a2+y 2b 2=1上的点，F 1，F 2是焦点，离心率e =√22．（1）求椭圆的方程；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)是椭圆上的两点，且x 1+x 2＝2r ，（r 是定数），问线段AB 的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由．【答案】因为e =c a=√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2，把M(2, 1)代入得4a 2+2a 2=1，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26+y 23=1；设直线AB 的斜率为k ，中点M(2, t)，将A 、B 坐标代入得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，所以k =y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2，即k =−12t ，所以t =−12k ，又因为AB 的垂直平分线的斜率为−1k ，故垂直平分线的方程为y −t =−1k (x −2)，即y +12k =−1k (x −2)，所以y =−1k x +32k =−1k (x −3)，则该直线必过定点(3, 0) 【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】（1）利用M 在椭圆上及离心率可求得椭圆方程；（2）表示出直线AB 的方程及中点M 坐标，再利用A 、B 在椭圆上代入可求的k 的表达式，进而表示出垂直平分线的方程即可求得其过定点．【解答】因为e =c a =√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2，把M(2, 1)代入得4a 2+2a 2=1，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26+y 23=1；设直线AB 的斜率为k ，中点M(2, t)，将A 、B 坐标代入得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，所以k =y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2，即k =−12t ，所以t =−12k ，又因为AB 的垂直平分线的斜率为−1k ，故垂直平分线的方程为y −t =−1k (x −2)，即y +12k =−1k (x −2)，所以y =−1k x +32k =−1k (x −3)，则该直线必过定点(3, 0)已知函数f(x)＝alnx +x 2．（1）若a ＝−4，求f(x)在x ∈[1, e]时的最值；（2）若a >0，∀x 1，x 2∈[1, e]时，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤|2020x 1−2020x 2|，求实数a 的范围．【答案】当a ＝−4时，f(x)＝−4lnx +x 2，f ′(x)=2x 2−4x=2(x+√2)(x−√2)x，当x ∈(0, √2)时，f ′(x)<0；当x ∈(√2, e]时，f ′(x)>0． ∴ f(x)的单调递减区间为(0, √2)，单调递增区间为(√2, e]， f(√2)min ＝2−ln4，f(e)max ＝e 2−4．若a >0，x ∈[1, e]，f ′(x)=2x 2+a x>0，f(x)在区间[1, e]上是增函数，函数y =2020x是减函数，不妨设1≤x 1≤x 2≤e ，由已知，f(x 2)−f(x 1)≤2020x 1−2020x 2，所以f(x 2)+2020x 2≤f(x 1)+2020x 1，设g(x)＝f(x)+2020x=alnx +x 2+2020x ，x ∈[1, e]，则g(x)在区间[1, e]是减函数，g(x)=ax +2x −2020x 2≤0在[1, e]上恒成立，所以a ≤2020x−2x 2=ℎ(x)，ℎ′(x)=−2020x 2−4x <0在[1, e]上恒成立，ℎ(x)单调递减，ℎ(e)min =2020e−2e 2，所以a ≤2020e−2e 2，故0<a ≤2020e−2e 2．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）令a＝−4，代入用导数法判断单调性并求出最值；（2）根据题意，构造函数g(x)，判断函数的单调性，变为恒成立问题，参数分类，求出即可．【解答】当a＝−4时，f(x)＝−4lnx+x2，f′(x)=2x2−4x =2(x+√2)(x−√2)x，当x∈(0, √2)时，f′(x)<0；当x∈(√2, e]时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0, √2)，单调递增区间为(√2, e]，f(√2)min＝2−ln4，f(e)max＝e2−4．若a>0，x∈[1, e]，f′(x)=2x2+ax >0，f(x)在区间[1, e]上是增函数，函数y=2020x是减函数，不妨设1≤x1≤x2≤e，由已知，f(x2)−f(x1)≤2020x1−2020x2，所以f(x2)+2020x2≤f(x1)+2020x1，设g(x)＝f(x)+2020x =alnx+x2+2020x，x∈[1, e]，则g(x)在区间[1, e]是减函数，g(x)=ax +2x−2020x2≤0在[1, e]上恒成立，所以a≤2020x −2x2=ℎ(x)，ℎ′(x)=−2020x2−4x<0在[1, e]上恒成立，ℎ(x)单调递减，ℎ(e)min=2020e−2e2，所以a≤2020e−2e2，故0<a≤2020e−2e2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=1+tcosθy=√3+tsinθ，t为参数，θ∈[0, π)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．（1）在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；（2）设点P(1, √3)，若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|⋅|PB|为定值，并求出该定值．【答案】圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．转换为直角坐标方程为：x2+y2−4x−4√3y=0，转换为标准式为：圆(x−2)2+(y−2√3)2=16，所以圆心的直角坐标为(2, 2√3)．将直线l 的参数方程为：{x =1+tcosθy =√3+tsinθ，t 为参数，θ∈[0, π)．代入(x −2)2+(y −2√3)2=16，所以：t 2−(2√3sinθ+2cosθ)t −12=0，（点A 、B 对应的参数为t 1和t 2），则：t 1t 2＝−12，故：|PA||PB|＝|t 1t 2|＝12．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】圆C 的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2−4x −4√3y =0，转换为标准式为：圆(x −2)2+(y −2√3)2=16，所以圆心的直角坐标为(2, 2√3)．将直线l 的参数方程为：{x =1+tcosθy =√3+tsinθ，t 为参数，θ∈[0, π)．代入(x −2)2+(y −2√3)2=16，所以：t 2−(2√3sinθ+2cosθ)t −12=0，（点A 、B 对应的参数为t 1和t 2），则：t 1t 2＝−12，故：|PA||PB|＝|t 1t 2|＝12．设函数f(x)＝|x +1|+|x −a|(x ∈R)（1）当a ＝2时，求不等式f(x)>5的解集；（2）对任意实数x ，都有f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】当a ＝2时，f(x)＝|x +1|+|x −2|>5，当x ≥2时x +1+x −2>5，可得x >3；当−1≤x <2时x +1−x +2>5，解得x ∈⌀，当x <−1时−x −1+x −2>5，解得x <−2；综上：x ∈(−∞, −2)∪(3, +∞) ……………|x +1|+|x −a|≥|a +1|，对任意实数x ，都有f(x)≥3恒成立， ∴ |a +1|≥3，解得a ≥2或a ≤−4．…………… 【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）通过a ＝2，结合x 的取值，去掉绝对值符号化简求解不等式即可．（2）利用绝对值的几何意义，转化不等式求解即可．【解答】当a ＝2时，f(x)＝|x +1|+|x −2|>5，当x ≥2时x +1+x −2>5，可得x >3；当−1≤x<2时x+1−x+2>5，解得x∈⌀，当x<−1时−x−1+x−2>5，解得x<−2；综上：x∈(−∞, −2)∪(3, +∞)……………|x+1|+|x−a|≥|a+1|，对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤−4．……………。

2019-2020年高三上学期12月月考试题数学含答案

O FED C BA2019-2020年高三上学期12月月考试题数学含答案第I卷(必做题共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是▲．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线斜率为▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为▲．12．对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为▲．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点．(1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。

【100所名校】河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知为虚数单位，且复数满足，若为实数，则实数的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（）A. B. C. D.4.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.5.已知焦点在轴上，渐近线方程为的双曲线的离心率和曲线的离心率之积为1，则的值为（）A. B. C. 3或4 D. 或6.运行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 0B.C. -1D.7.下列说法正确的个数为（）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；②命题“”的否定是“”；③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件；④已知直线和平面，若，则.A. 1B. 2C. 3D. 48.直线与圆相切，则的最大值为（）A. 1B.C.D.9.已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A. 2B. 3C.D.10.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数，若，则方程有五个不同根的概率为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的展开式的常数项为__________．14.已知满足约束条件，且目标函数的最大值为4，则的最小值为__________．15.已知直线与抛物线交于两点，抛物线的焦点为，则的值为__________．16.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若函数，其中，函数的图象与直线相切，切点的横坐标依次组成公差为的等差数列，且为偶函数.（1）试确定函数的解析式与的值；（2）在中，三边的对角分别为，且满足，的面积为，试求的最小值.18.某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的为80人.（1）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？（2）为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家里访征求意见，用表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求的分布列与期望.附：.19.如图，在梯形中，，，.，且平面，，，点为上任意一点.Ⅰ.求证：；Ⅱ.点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置.20.已知动圆与圆外切，与圆内切．（1）试求动圆圆心的轨迹方程；（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意，，恒有成立，试求的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若对于任意的，都有，使得，试求的取值范围．河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。

河南省郑州市数学高三上学期理数12月月考试卷

河南省郑州市数学高三上学期理数 12 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一上·伊春期中) 已知集合，A.，则（）B. C. D. 2. （2 分） (2016 高三上·桓台期中) 下列命题中，真命题是（） A . ∀ x∈R，2x＞x2 B . 若 a＞b，c＞d，则 a﹣c＞b﹣d C . ∃ x∈R，ex＜0 D . ac2＜bc2 是 a＜b 的充分不必要条件 3. （2 分）已知角 α 的终边落在直线 5x﹣12y=0 上，则 cosα=（）A.±B.C.D.﹣4. （2 分） (2016 高一下·河南期末) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a2+a6+a7=18，则 S9 的值为（）A . 64B . 72第 1 页共 14 页C . 54 D . 84 5. （2 分）已知集合 A={x|x2﹣2x+a≥0}，若“x=1”是“x∈A”的充分条件，则实数 a 的取值范围是（） A . （﹣∞，1] B . （﹣∞，1） C . [1，+∞） D . [0，+∞）6. （2 分） (2019 高一上·焦作期中) 已知，，函数，的图像可能是（）A.B.C.D. 7. （2 分）若椭圆 A. B.的离心率为，则双曲线的渐近线方程为第 2 页共 14 页C. D. 8. （2 分） (2019 高二上·湖南期中) 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（） A. B. C. D.9. （2 分） (2019 高三上·安顺模拟) 已知函数，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高二上·成都月考) 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为（）A.B.C.D.第 3 页共 14 页11. （2 分） (2017 高二上·大连期末) 已知椭圆圆上存在点 P 使得∠F1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（的两个焦点分别为 F1 ， F2 ，若椭）A.B.C.D.12. （2 分） (2020·武汉模拟) 已知函数 f（x）＝sin2x+sin2（x），则 f（x）的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·成都月考) 若圆则圆的半径为________．过坐标原点，14. （1 分）向量 =（1，0）， =（1，1），O 为坐标原点，动点 P（x，y）满足 Q（x+y，y）构成图形的面积为________ ．，则点15. （1 分）当 m 取一切实数时，双曲线 x2﹣y2﹣6mx﹣4my+5m2﹣1=0 的中心的轨迹方程为________．16. （1 分） (2019 高三上·牡丹江月考) 如图正方体分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面第 4 页共 14 页的棱长为，、、，平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为________.三、解答题 (共 7 题；共 65 分)17. （5 分） (2019 高三上·郑州期中) 已知等差数列，且成等比数列．的公差（1）求数列的通项公式；，其前项和为，若（2）若，证明：.18. （5 分） (2019 高三上·上海月考) 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线 .（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于、两点，点在第一象限，延长交于点，轴，垂足为，连结并①证明：是直角三角形；②求面积的最大值.19. （10 分） (2017 高二下·高青开学考) 如图，在五面体 ABCDEF 中，FA⊥平面 ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD， M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD．第 5 页共 14 页（1）求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；（2）证明平面 AMD⊥平面 CDE；（3）求锐二面角 A﹣CD﹣E 的余弦值．20. （15 分） (2018·遵义模拟) 已知函数（1）求实数 m 的取值范围；（2）求证：．21. （10 分） (2019 高三上·中山月考) 已知函数（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；的两个零点为．．（2）记在区间内的实根为，函数间有两不等实根，证明．，若方程在区22. （10 分） (2015 高三上·临川期末) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；为参数）．（2）设曲线 C 经过伸缩变换值．得到曲线 C′，设曲线 C′上任一点为 M（x，y），求23. （10 分） (2015·河北模拟) 已知关于 x 的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m 的解集为 R．第 6 页共 14 页的最小（Ⅰ）求 m 的最大值；（Ⅱ）已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a+b+c=m，求 4a2+9b2+c2 的最小值及此时 a，b，c 的值．第 7 页共 14 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 14 页16-1、三、解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、18-2、第 9 页共 14 页19-1、第 10 页共 14 页19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

河南省郑州市第一中学2020届高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案

河南省郑州市第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题本试卷共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A N =，{}3,5B x R z xi z =∈=+=且，（i 为虚数单位），则A B =（）A.4B.4-C.{}4D.{}4-2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（） A.丁酉年 B.戊未年C.乙未年D.丁未年3.点)4在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒4.定义函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则{}max sin ,cos x x 的最小值为（）A.C.2-D.25.已知数列{}n a 的通项()23n a n n N *=+∈，数列{}n b 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的m 的最大整数值为（）A.335B.336C.337D.3386.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点P 、Q 、R 、S ，则抛物线的焦点是（）A.PB.QC.RD.S8.点(),M x y 在圆()2221x y +-=上运动，则224xyx y +的取值范围是（） A.11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.{}11,,044⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.11,00,44⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D.11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9.已知B 、C 为单位圆上不重合的两定点，A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（） A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆10.点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是（）A.(B.()0,2C.(D.()0,111.如图，将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使60BDC ∠=︒，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A.132πB.133π C.2 D.312.已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（） ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域为R ，且其图象有对称轴；④对于任意的()1,0x ∈-，()0f x '<（()f x '是函数()f x 的导函数） A.②③B.①③C.②④D.①②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考试卷数学(文)答案

文科数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号123456789101112答案C D B A C B A C A D C A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．815．116．764．三．解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(1)证明：因为112321n n n n n a S S S n +++=-=-，所以12(21)21n n n S S n ++=-，所以122121n n S S n n +=+-．又11a =，所以1101S =≠．∴数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．…………………………6分(2)由(1)知，1221n n S n -=-，所以1(21)2n n S n -=-⋅．所以2113252(21)2n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，①故232123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②，得2112(222)(21)2n n n T n --=+⨯+++--⋅2212(21)2(32)2312nn n n n -=+⨯--⋅=-⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．………………………………12分18．解析：（1）如图，矩形ABCD 中，CB AB ⊥，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥．又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∵CB BF B =，CB 、BF ⊂平面CBF ，∴AF ⊥平面CBF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF ．…………………………6分（2）几何体F ABCD -是四棱锥、F BCE -是三棱锥，过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ．∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FH ⊥平面ABCD ．则113V AB BC FH =⨯⨯，21132V EF HF BC ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭∴1226V AB V EF==…………………………………………12分19．(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882+=，由平均数与中位数相同，得平均数为88，所以9863567992557870390616a +++++++++++++++⨯+⨯88=，解得4a =．………………………………………………4分(2)依题意，16人中，“基本满意”有8人，“满意”有4人，“很满意”有4人．“满意”和“很满意”的人共有4人．分别记“满意”的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意”的4人为1，2，3，4．从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3),(,4),(,),(,)a b a c a d a a a a b c b d ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意”这一件事，则事件A 由22个基本事件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有22个．故事件A 的概率为2211()2814P A ==．………………………………………12分20．解：(1)依题设12(,0),(,0)A a A a -，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-．由121FA FA ⋅=-，得：(1)(1)1a a ---=-，解得22a =，又因为1c =，所以222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．………………………………………4分(2)圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．依题意设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(21)4220k x k x k +-+-=，则2212122242(1),2121k k x x x x k k -+==++，所以212022221x x k x k +==+，002(1)21k y k x k =-=-+，则直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +，若四边形ADBE 为菱形，则0022E D E D x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，所以2023221E D k x x x k =-=+，022221E D k y y y k =-=-+，若点E 在椭圆C 上，则22222132()()142121k k k k ⋅+-=++，即4222982(21)k k k +=+，整理得42k =，解得k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．………………………12分21．解析：（1）由题意()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e eb f a -=-=-+'，解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,e 2e,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩由于0b >，而2e 0-<，故1a =，1b =．………………………………5分（2）由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()00,10f f =-=，由0m ≤，20x ≥，可得2x mx x ≥+，要证明()2f x mx x ≥+，只需证()f x x ≥．令()()()1e 1xg x x x =+--，则()()2e 2xg x x =+-'，令()()()(3xh x g x h x x e '==+）则，当3x <-时，()0h x '<，()g x '在(,3)-∞-上单调递减，且()0g x '<；当3x >-时，()0h x '>，()g x '在(3,)-+∞上单调递增；且(0)0g '=，所以()g x 在()0-∞，上当单调递减，在(0,)+∞上单调递增，且(0)0g =，故()()()()00,1e 1x g x g x x ≥=+-≥即，即()f x x ≥恒成立，所以2()f x mx x ≥+．………………………………………………………12分22．解：(1)由32sin ρθρ=+得22sin 3ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式中，得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-=．……………………………………4分(2)将l 的参数方程2cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入曲线C 的普通方程，消去,x y 得得24(sin cos )40t t αα+-+=．①因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以216(sin cos )160αα∆=-->，因为22sin cos 1αα+=，所以sin cos 0αα<，又0πα≤<，所以ππ2α<<，设方程①的两根为12,t t ，则12124(cos sin )0,40t t t t αα+=-<=>，所以120,0t t <<，所以1212π||||||||()4(sin cos ))4AM AN t t t t ααα+=+=-+=-=-，由ππ2α<<得，ππ3π444α<-<，所以2πsin(124α<-≤，从而π44α<-≤即||||AM AN +的取值范围是．………………………………10分23．解：（1）(1)(1)|1||1|1f f a a +-=--+>，①若1a ≤-时，则111a a -++>，即21>，即1a ≤-时恒成立；②若11a -<<时，则1(1)1a a --+>，解得12a <-，所以112a -<<-；③若1a ≥时，则1(1)1a a -+-+>，即21->不成立，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-．………………………………………5分（2）由题意知，不等式对于,(,)x y a ∈-∞恒成立，等价于max min 5()(||||)4f x y y a ≤++-，当(,)x a ∈-∞时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，所以2max ()(24a a f x f ==，又因为555|||||(()|||444y y a y y a a ++-≥+--=+，当且仅当5()04y y a +-≤即54y a -≤≤时，等号成立，所以min 55(||||)44y y a a ++-=+，所以2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(0,5]．………………………………10分。

2019-2020年高三上学期12月月考数学试题

I ←1 S ←0While I＜m S ←S +I I ←I +3 End while Print S End2019-2020年高三上学期12月月考数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x | y =ln （1－x ）}，集合B={ y | y =x 2}，则A ∩B = ▲ ．2．已知=+-=+ni m i n m ni im则是虚数单位都是实数其中,,,,11 ▲ ． 3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数的平均数为10，方差为2.则 ▲ ．4．下面求1+4+7+10+…+xx 的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ．5．若命题“∃ x ∈R ，使得x 2+（a +2）x +1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 ▲ . 7．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ▲ ．8．半径为r 的圆的面积S(r)＝r 2,周长C(r)=2r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则 (r 2) '＝2r ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：▲ ．9．已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC=1，OA=x ，OB=y ，若x+y=4，则三棱锥O —ABC 体积的最大值是 ▲ ．10．对于实数x ，若n ∈Z ，n ≤x ＜n +1，规定[x ]=n ，则不等式4[x ]2-40[x ]+75＜０的解集是 ▲ ．11．已知点A(－1,0),B(1,0),若点C(x , y )满足,则|AC|+|BC|= ▲ ． 12．在锐角△ABC 中,若C= 2B,则的范围是 ▲ ．13．已知双曲线的离心率e ∈,在双曲线两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是 ▲ ．14．已知定义域为R 的函数f (x )对任意实数x ，y 满足f (x+y )+ f (x −y )=2f (x )cosy ，且f (0)=0，f ()=1．给出下列结论：①f ()= ②f (x )为奇函数 ③f (x )为周期函数 ④f (x )在（0，π）内为单调函数其中正确的结论是 ▲ ．（填上所有正确结论的序号）. 二、解答题：(本大题满分90分)15．（本小题满分14分)已知函数)cos 3,cos (sin ,)(x x x x f ωωω+=⋅=其中，)(,0),sin 2,sin (cos x f x x x 若其中>-=ωωωω相邻两对称轴间的距离小于（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC 的对边分别是角中的面积. 16．（本小题满分14分）如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥AD ，BE ∥AF ，G 、H 分别是FA 、FD 的中点。

河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学(理)答案

2
2
55
③若 a 1时，则 −1+ a − (1+ a) 1，即 −2 1 不成立，此时不等式无解．
综上所述， a 的取值范围是 (−, − 1) ． 2
(2)将
l
的参数方程

x y
= =
−2 1+
+ t cos t sin ,
,
(
t
为参数)代入曲线
C
的普通方程，消去
x,
y
得
得 t2 + 4(sin − cos)t + 4 = 0 ．
①
因为直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点，
所以 =16(sin − cos)2 −16 0，因为 sin2 + cos2 =1，
又 AB ⊥ AD ， AD PA = A ，所以 AB ⊥ 平面 PAD ，
又 AB 平面 ABCD ，所以平 ABCD ； ………………………4 分
…………………3 分面 PAD ⊥ 平面
11
（2）分别取线段 AD, BC 的中点 O, E ，连接 PO,OE ，因为 ADP 为等边三角
所以 sin cos 0 ，又 0 π ，所以 π π ，
2
设方程①的两根为 t1,t2 ，则 t1 + t2 = 4(cos − sin) 0, t1t2 = 4 0，
所以 t1 0,t2 0 ，
所以| AM | + | AN |=| t1 | + | t2 |= −(t1 + t2 ) = 4(sin − cos ) = 4
所以 Tn = (2n − 3) 2n + 3 ．

2019届河南名校联盟高三12月月考数学(理)试卷答案

%!6!4567+8'Upqrs+8=>?4@A!
uq_`u<6&+/25.9'*05.9'*'
#! )'
!
$'$
!
,'*'
7
h*'
7 5.9/!345*#&槡05.9/ 0 *#h5.9/ 0 *槡00!
%+!*2.&&.*+2!
&.3*
+ !
&
6#+"&."$&'
#!+"*4&+"*!4&."*4!&
'6 }.*4+/#-7* 槡4!/#! XY8* #!7#"##*!#4!/#$槡4!/#&
8'#"##*!#4!/#$槡4!/#'2#4!/#$*!70'7!#7*#$! ,#+$*!+0'2+!&,3#+$*7+!'$+#+*#$&
#""()*+,-./0123435-67389:;<3=>?@0ABCD!
+!-!4567+8'UV-;WXYZMN+8[2\]@A!
EFGH&*+*345+'
? 0
61(IJKLM*+N+7+0OPQRS?D
-!
7!1!4567+8V-WX;T^BV-;_`M+8[2\]@A!

郑州市第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题理含解析

河南省郑州市第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题理(含解析)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

已知全集U=｛1，2,3,4，5，6｝,集合P={1,3，5}，Q=｛1，2，4}，则()U P Q ⋃= A 。

{1｝ B 。

｛3,5} C. {1，2，4,6} D 。

{1，2，3，4，5｝【答案】C【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C. 【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”,否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.在复平面内，复数12i z i +=对应的点位于（ ) A 。

第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D 。

第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可。

【详解】由题意可得：22122221i i i i z i i i ++-====--，则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限。

本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3。

已知向量(,1)m a =-，(21,3)n b =-(0,0)a b >>，若m n ，则21a b +的最小值为（）A 。

12 B.8+C 。

15 D. 10+【答案】B【解析】【分析】由m ∥n 可得3a +2b ＝1，然后根据21a b +=（21a b +)（3a +2b ），利用基本不等式可得结果．【详解】解：∵m =（a ，﹣1)，n =（2b ﹣1，3）(a ＞0，b ＞0）,m ∥n ， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1， ∴21a b +=(21a b +）(3a +2b ）＝843b a a b ++≥8+＝8+，当且仅当43b a a b=,即a 36-=，b 14=,时取等号， ∴21a b +的最小值为:8+．故选:B ．【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．4.已知,x y 满足208020,x x y y -≥+-≤⎧-≥⎨⎩时， ()0z ax by a b =+≥>的最大值为2,则直线10ax by +-=过定点( )A 。

河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学(理)试题 Word版含解析

2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时，0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

2019-2020高三理科数学12月份特供卷(一)(河南省)附解析

2019-2020高三理科数学12月份特供卷（一）（河南省）附解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}ln 1A x x =<，{B y y ==，则A B =（）A ．()0,eB ．()0,+∞C ．[)0,+∞D ．()0,e [)20,+∞2．已知角α的终边经过点()m (m ≠0)，且2sin =5m α，则cos α的值为（）A ．5-B ．10-．5- D ．5±3．函数π()4sin(π)13f x x =++图象的一个对称中心为（）A ．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,16⎛⎫ ⎪⎝⎭4．“33a b >”是“77log log a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢²)．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为π3，弦长等于2米的弧田．按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为（）A ．π3 B ．π3．92-．112- 6．若函数1()3x af x -⎛⎫= ⎪⎝⎭满足(2)(2)f x f x +=-，则()f x 的单调递增区间为（）A ．(2],-∞B ．(1],-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞7．已知πsin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．212m -B ．221m -C ．mD ．21m -8．已知函数2πππ()sin 2cos 1264f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()f x 在[0，2]上的最大值与最小值之和为（）A ．72-B ．52- C ．0 D ．12 9．若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数．例如[1.52]2-=-，[2.094]2=，记{}[]x x x =-，则{}{}{}222log 3log 10log 15+-=（） A ．6- B ．1- C ．1 D ．011．若3tan πtan 7α=，则5πsin 14πcos 7αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 12．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()10f x f x '++>，(0)2019f =，则不等式()2020x x e f x e +>(其中e 为自然对数的底数)的解集为（） A ．(0,)+∞ B ．()(),00,-∞+∞ C ．2019(,)+∞ D ．,02019((),)-∞+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．命题“若2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin x x >”的逆否命题是___________．14．函数()cos sin f x x x θ=+在(0，0)处的切线方程为___________．15．如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小海在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西45°方向，则A 、B 两岛屿的距高为___________海里．16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则函数4()log (2)y f x x =-+的零点的个数为___________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设命题:p 实数x 满足22320x mx m -+<，命题:q 实数x 满足2(2)1x +<．（1）若2m =-，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若0m <，且p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分別为a 、b 、c cos )sin c a B b A -=．（1）求角A ；（2）若a =b c +的最大值．19．（12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ常数，A >0，0ω>，π2ϕ<)的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移t (0π2t <<)单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象过点2π,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递减区间．20．（12分）巳知幂函数()mf x x =的图象过(．（1）求m 的值与函数()f x 的定义域；（2）已知111()lg 2121xxg x m x-=+++-+，求()()g m g m +-的值．21．（12分）已知函数2()21f x ax x =-+．（1）若()f x 的值域为[)0,+∞，求a 的值；（2）已知12a ≤，是否存在这祥的实数a ，使函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数()2ln()f x x a ax =++．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，[]3,4t ∈，若对任意(]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有121211()()f x f x t x x -<-，求实数a 的取值范围．理科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】集合{}{}ln 10A x x x x e =<=<<，{{}0B y y y y ===≥， ∴[)0,A B =+∞，故选C ． 2．【答案】C 【解析】由2sin 5m m r α==，得52r =，所以cos 2x r α===，故选C ．3．【答案】C 【解析】由πππ()3x k k +=∈Z ，得1()3x k k =-∈Z ，取1k =，得23x =，即函数π()4sin π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象一个对称中心为2,13⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ．4．【答案】B【解析】若33a b >，则a b >，当0b a <≤或0a b >≥时，由a b >推不出77log log a b >；反之，若77log log a b >，则有a b >，所以，“33a b >”是“77log log a b >”的必要不充分条件，故选B ． 5．【答案】D【解析】在圆心角为π3，弦长等于2米的弧田中，半径为22=-所以弧田面积12=(弦×矢+矢²)((211122222⎡⎤=⨯+-=-⎢⎥⎣⎦D ．6．【答案】A【解析】解法1：由(2)(2)f x f x +=-知，函数图象()f x 关于2x =对称，所以2a =，函数2y x =-在(2],-∞单调递减，在[2,)+∞单调递增；而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞+∞，上递减，由复合函数的单调性知，函数21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(2],-∞，故选A ．解法2：由函数图象变换可知，2a =且函数21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(2],-∞．故选A ． 7．【答案】B【解析】222ππππcos 2cos 2πcos 2=2sin 1=213666x x x x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B ． 8．【答案】A【解析】2ππππ1ππ()sin 2cos 1cos cos 226422222f x x x x x x ⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭π1πππcos 2sin 2222226x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭．当[]0,2x ∈时，πππ5π,2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ1sin ,1262x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，5(),12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．即()f x 在[0，2]上的最大值1-，最小值为52-，二者之和为57122⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，故选A ． 9．【答案】B【解析】2()24f x x ax '=-+，由函数()f x 存在两个极值点1x 和2x ，得()22440Δa =--⨯>，∴2a >．且122x x a +=，124x x =，∴2222121212()2=48x x x x x x a +=+--，32321211122211()()4433f x f x x ax x x ax x +=-++-+()33221212121()4()3x x a x x x x =+-+++ 223142(484)(48)42833a a a a a a a =⨯⨯----+⨯=-+，令34()83g a a a =-+，22()484(2)g a a a '=-+=-， ∵2a >，()0g a '<，所以34()83g a a a =-+在(2，+∞)上递减，16()(2)3g a g <=，即1216()()3f x f x +<，故选B ． 10．【答案】D【解析】因为21log 32<<，23log 104<<，23log 154<<，所以{}2223log 3log 31log 2=-=，{}22210log 10log 103log 8=-=， {}22215log 15log 153log 8=-=，则{}{}{}22222231015log 3log 10log 15log log log 288+-=+-223108log ()log 102815=⋅⋅==，故选D ． 11．【答案】D 【解析】3tan πtan 7α=，πtan tan37α=， π5π5ππππcos sin cos cos cos sin sin 21414777πππππcos cos sin sincos cos cos 77777αααααααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π1tan tan1372π131tan tan7αα++===---，故选D ．12．【答案】A【解析】设()()x x g x e f x e =+，则[]()()()()()1x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=++=++，∵()()11f x f x '++>，0x e >，∴[]()()()10x g x e f x f x ''=++>，∴()g x 是R 上的增函数，又(0)(0)12020g f =+=，∴()()2020x x g x e f x e =+>的解集为(0,+∞)，即不等式()2020x x e f x e +>的解集为(0,+∞)，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】若sin x x ≤，则π0,2x ⎛⎫∉ ⎪⎝⎭ 【解析】因为命题“若p 则q ”的逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，所以命题“若2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin x x >”的逆否命题是“若sin x x ≤，则π0,2x ⎛⎫∉ ⎪⎝⎭．故答案为：若sin x x ≤，则π0,2x ⎛⎫∉ ⎪⎝⎭． 14．【答案】0x y -=【解析】()cos sin f x x x x '=-，(0)1f '=，又(0)0f =，所以函数()cos sin f x x x θ=+在(0，0)处的切线方程为01(0)y x -=⨯-，即0x y -=．15．【答案】【解析】连接AB ，由题意可知CD =20，∠ACD=45°，∠BDC =45°，∠BCD =90°，∠ACD=45°，∠CAD =30°，∠ADB =60°，在△ACD 中，由正弦定理得，20sin 45sin 30AD =︒︒，∴AD = 在Rt △BCD 中，∵∠BDC =45°，∠BCD =90°， ∴BD ==．在△ABD 中，∠ADB =60°，AD =BD ，所以△ABD 为等边三角形，所以，AB =16．【答案】3【解析】因为(2)()f x f x +=，所以()f x 是周期为2的偶函数，在同一个坐标系中作出函数()y f x =与4log (2)y x =+的图象，观察图象知，它们有3个交点，即4()log (1)y f x x =-+的零点的个数为3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）(3,2)--；（2）(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）当2m =-时，268:0x x p ++<，即42x -<<-，由2(2)1x +<，得31x -<<-．若p q ∧为真，即p 真且q 真，{}{}{}423132x x x x x x -<<--<<-=-<<-，所以实数x 的取值范围(3,2)--．（2）若0m <，222:30x mx p m -+<，即2m x m <<；1:3x q -<<-，:3q x ⌝≤-或1x ≥-，且p 是q ⌝的充分不必要条件，则03m m <⎧⎨≤-⎩或021m m <⎧⎨≥-⎩，即3m ≤-或102m -≤<，故实数m 的取值范围为(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭． 18．【答案】（1）π3A =；（2）【解析】（1cos )sin c aB b A -=，sin cos )sin sin C A B B A -=，]sin()sin cos sin sin A B A B B A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B A B B A +-=，sin sin sin A B B A =，因为sin 0B ≠sin A A =，即tan A =∵()0,πA ∈，∴π3A =．（2）因为a =π3A =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22()3b c bc =+-，∴23()2bc b c =+-．∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴223()2()4b c b c +-≤+， ∴b c +≤b c ==故b c +的最大值为19．【答案】（1）π2s )3(in 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．【解析】（1）由图可知，2A =，7πππ41234T =-=，∴πT =，又2πT ω=，∴2ω=，由7π3π22π()122k k ϕ⨯+=+∈Z ，π2π()3k k ϕ=+∈Z ， ∵π2ϕ<，取k =0，得π3ϕ=，∴π2s )3(in 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）()π()2sin 223g x x t ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦， ∵()g x 的图象过点π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ππ2sin 22233t ⎡⎤⎛⎫-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴π2sin 203t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()π2π3t k k -=∈Z ，∴()ππ26k t k =+∈Z ， ∵π02t <<，∴π6t =，∴2π()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()π2π3π2π22π232k x k k +≤+≤+∈Z ，即()π5πππ1212k x k k -≤≤+∈Z ， ∴函数()g x 的单调递减区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 20．【答案】（1）12m =，定义域为[)0,+∞；（2）1．【解析】（1）幂函数()mf x x =的图象过(，2m =， ∴12m =，∴()f x =[)0,+∞．（2）设111()lg 2121x x h x x-=++-+，则()()g x h x m =+， ∴111111()()lg lg 21212121x x x x h x h x x x --++-=+++++-+--1111121lg lg 1lg102121112112x x x x x x x x x -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪--+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()h x 为奇函数，()()0h m h m +-=， ∴1()()()()22212g m g m h m h m m m +-=+-+==⨯=． 21．【答案】（1）1a =；（2）存在，11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）函数()f x 的值域为[)0,+∞，则()20240a Δa >⎧⎪⎨=--=⎪⎩，解得1a =．（2）由222()log 23log 04x y f x ax x x =-=-+-=，即2223log ax x x -+=，令2()23g x ax x =-+，2()log h x x =，[]1,2x ∈，原命题等价于两个函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点．①当0a =时，()23g x x =-+在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，而()()1101g h =>=，()()2112g h =-<=，∴函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点．②当0a <时，()g x 图象开口向下，对称轴为10x a=<，()g x 在[]1,2上递减， 2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，当且仅当(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，即112a -≤≤， ∴10a -≤<． ③当102a <≤时，()g x 图象开口向上，对称轴为12x a=≥，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，即112a -≤≤，∴102a <≤．综上，存在实数11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使函数2()log 4x y f x =-于在区间[]1,2内有且只有一个点． 22．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）(0，2]．【解析】（1）2()1a x a f x ax x+'=+=，当0a >时，函数定义域为(0,)+∞，()0f x '>恒成立，此时，函数在(0,)+∞单调递增；当0a <时，函数定义域为(0),-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数在(0),-∞单调递增．（2）0a >时，函数定义域为(0,)+∞，()f x 在(0，1]上递增，1y x =在(0，1]上递减，不妨设1201x x <≤≤，则1221()()()()f x f x f x f x -=-，12121111x x x x -=-， ∴121211()()f x f x tx x --＜等价于211211()()f x f x t x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜，即2121()()t t f x f x x x ++＜，令()()2ln()t t g x f x x a ax x x=+=+++， 121211()()f x f x tx x --＜等价于函数()g x 在(0，1]上是减函数，令222()0x a t x ax t g x x x x ++-'=-=≤，即20x ax t +-≤在(0，1]恒成立，分离参数，得t a x x≤-，令()t h x x x =-，2()10t h x x '=--<， ∴()t h x x x=-在(0，1]递减，()(1)1h x h t ≥=-，∴1a t ≤-，又t ∈[3，4]，∴2a ≤，a ，故实数a的取值范围为(0，2]又0。

郑州市数学高三理数12月联考试卷A卷

郑州市数学高三理数12月联考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 在复平面中，复数的共轭复数，则对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2020高三上·天津期末) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分） (2015高二下·上饶期中) 直线与曲线相切，则b的值为（）A . ﹣2B . ﹣1C . ﹣D . 14. （2分）若a,4,3a为等差数列的连续三项，则的值为（）A . 2047B . 1062C . 1023D . 5315. （2分）(2017·湘潭模拟) 如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三上·蓟县期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A .B . ﹣3C . 0D . 17. （2分） (2017高三上·福州开学考) 使（x2+ ）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（）．A .B .C .D .9. （2分）以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线渐近线方程是（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±x10. （2分） (2016高一上·陆川期中) 设a=log4 ，b=log52，c=log45，则（）A . a＜c＜bB . b＜c＜aC . a＜b＜cD . b＜a＜c11. （2分）(2014·福建理) 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆 +y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A . 5B . +C . 7+D . 612. （2分）若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形（如图），则该正四棱锥的体积是（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·盐城期中) 设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则 =________．14. （1分） (2019高一上·嘉兴月考) 已知函数，当时，________，若在上单调递增，则a的取值范围是________．15. （1分）(2017·顺义模拟) 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a2=4，S8=﹣8，则a10=________．16. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 在下列结论中：①函数为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为；④若，则 .其中正确结论的序号为________（把所有正确结论的序号都填上）．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·扬州期末) 已知0＜β＜α＜，tanα=4 ，cos（α﹣β）= ．（1）求sin2α的值；（2）求β的大小．18. （10分）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．19. （10分）在12件同类型的零件中有2件次品，抽取3次进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数．（1）求ξ的分布列、均值和方差；（2）求η的分布列、均值和方差．20. （10分） (2016高二上·常州期中) 如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．21. （10分） (2017高三上·重庆期中) 已知函数f（x）=ex﹣ax2（a∈R）．（1）若g（x）= 有三个极值点x1，x2，x，求a的取值范围；（2）若f（x）≥﹣ax3+1对任意x∈[0，1]都恒成立的a的最大值为μ，证明：5 ．22. （10分） (2017高二下·吉林期末) 在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求及的值.23. （10分） (2018高一上·漳平月考) 已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当时，f（x）=x2-2x（1）求出函数f（x）在R上的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间．（3）求使f（x）=1时的x的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。