高考数学必考难点:圆锥曲线的知识点梳理(共10页)
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高考数学必考难点:圆锥曲线知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线C 的方程是f(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y
)=0;点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1,C 2的交点⇔{
),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同
的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆:
1、定义:点集{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2
(2)一般方程:①当D 2+E 2-4F >0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2
,2(E D
--半径是2
422F
E D -+。配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为
(x+
2D )2+(y+2
E
)2=4
4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点(-
2D ,-2
E ); ③当D 2+E 2-4
F <0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则|MC |<r ⇔点M 在圆C 内,|MC |=r ⇔点M 在圆C 上,|MC |>r ⇔点M 在圆C 内,其中|MC |=2
020b)-(y a)-(x +。
(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交⇔有两个公共点;直线与圆相切⇔有
一个公共点;直线与圆相离⇔没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
B
A C Bb Aa d
+++=
与半径r 的大
小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆双曲线抛物线
定义1.到两定点F1,F2的距离之和为
定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.(0 1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对 值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨 迹 2.与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等的点的 轨迹. 轨迹条件点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a= 点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M||MF|=点M到直线l 的距离}. 图形 方程 标准 方程 1 2 2 2 2 = + b y a x (b a>>0) 1 2 2 2 2 = - b y a x (a>0,b>0) px y2 2= 参数 方程为离心角) 参数θ θ θ ( sin cos ⎩ ⎨ ⎧ = = b y a x 为离心角) 参数θ θ θ ( tan sec ⎩ ⎨ ⎧ = = b y a x ⎩ ⎨ ⎧ = = pt y pt x 2 22 (t为参数) 范围─a≤x≤a,─b≤y≤b |x| ≥ a,y∈R x≥0 中心原点O(0,0)原点O(0,0) 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴; 长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x轴