大学运筹学习题答案1

习题一
1.1 讨论下列问题：
（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A 有5台，利用率为0.8,设备B 有7台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化．
（2）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．
（3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．
（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．
（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．
1.2 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．
310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为
1231231
23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400
150250260310120130,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
及数量如表1－23所示：
【解】
设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
14
1
12342567891036891112132347910121314
min 2300322450
232400
23234600
0,1,2,,14
j
j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪
++++++≥⎪⎪
++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑ 用单纯形法求解得到两个基本最优解
X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为
1341314
1234256789103689111213
2347910121314
min 0.60.30.70.40.8230032245023240023234600
0,1,2,,14
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪
++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩ 用单纯形法求解得到两个基本最优解
X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。

1.4 A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售赢利，其余的只能加以销毁．
出售单位产品A 、B 、C 的利润分别为3、7、2元，每单位产品C 的销毁费为1元．预测表明，产品C 最多只能售出13个单位．试建立总利润最大的生产计划数学模型．
【解】设x 1,x 2分别为产品A 、B 的产量，x 3为副产品C 的销售量,x 4为副产品C 的销毁量，有x 3+x 4=2x 2,Z 为总利润，则数学模型为
123412122343maxZ=3+7+2211231720130,1,2,,4
j x x x x x x x x x x x x x j -+≤⎧⎪+≤⎪⎪
-++=⎨⎪≤⎪≥=⎪⎩
1.5 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
数学模型为
1121311223341112112123122131341223
34max 0.20.20.20.50.60.3300001.230000
1.5 1.2300002000015000100000,1,,3;1,4
ij Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++⎧+≤⎪
-++≤⎪⎪--++≤⎪⎪
≤⎨⎪≤⎪⎪≤⎪≥==⎪⎩
最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z ＝84720
1.6 IV 发展公司是商务房地产开发项目的投资商．公司有机会在三个建设项目中投资：高层办公楼、宾馆及购物中心，各项目不同年份所需资金和净现值见表1－24．三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值．例如，公司按10％投资项目1，现在必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万和100万，获得净现值450万．
公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万．当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用．
IV 公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大．
【解】以1％为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见表（2）。

表（2）
设x j 为j 项目投资比例，则数学模型：
123123123123123
max 45705040809002500100160140450019024016065002003102208000
0,1,2,3
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪
++≤⎪⎪
++≤⎨⎪++≤⎪⎪≥=⎩ 最优解X ＝（0，16.5049，13.1067）；Z=1810.68万元
1.7 图解下列线性规划并指出解的形式：
(1) 12
121212
max 2131,0Z x x x x x x x x =-++≥⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
【解】最优解X ＝（1/2，1/2）；最优值Z=－1/2
(2) 12
12121
2min 32223120,0
Z x x x x x x x x =---≥-⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
【解】最优解X ＝（3/4，7/2）；最优值Z=－
45/4
(3)121212
1212
12min 32211410
2731
,0
Z x x x x x x x x x x x x =-++≤⎧⎪-+≤⎪⎪
-≤⎨⎪-≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解X ＝（4，1）；最优值Z=－
10
(4) 12
1212112max 3812223,0
Z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨
≤⎪⎪≥⎩ 【解】最优解X ＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≥≥-+=0
,6322min 2121212
1x x x x x x x x Z 【解】最优解X ＝（3，0）；最优值
Z=3
(6) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≥≥-+=0
,6322max 2121212
1x x x x x x x x Z
【解】无界解。

(7)
12
121212
min 25262,0Z x x x x x x x x =-+≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
【解】无可行解。

(8) 12
1211212max 2.52280.5 1.5210,0
Z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨
+≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解X ＝（2，4）；最优值
Z=13
1.8 将下列线性规划化为标准形式 (1)123123123123123max 423205743103650,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≤⎧⎪-+≥⎪⎨
++≥-⎪⎪≥≥⎩无限制
【解】（1）令654'
'3'33,,,x x x x x x -=为松驰变量 ，则标准形式为
'''
1233
'''12334'''
12335'''
12336'''1233456max 42332057443103665
,,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--+⎧++-+=⎪-+--=⎪⎨---++=⎪⎪≥⎩ (2) 123
123112123min 935|674|205880,0,0
Z x x x x x x x x x x x x =-++-≤⎧⎪≥⎪⎨
+=-⎪⎪≥≥≥⎩ 【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
1231234123516
12
123456max 9356742067420
588
,,,,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=⎧⎪--++=⎪⎪-=⎨⎪--=⎪⎪≥⎩ (3)121121
2max 2315
10,0
Z x x x x x x x =+≤≤⎧⎪
-+=-⎨⎪≥≥⎩
【解】方法1：
12
1314121234max 231
51,,,0
Z x x x x x x x x x x x x =+-=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪≥⎩ 方法2：令1
11111,1,514x x x x x '''=-+≤-=有＝ 1
21
1
212
max 2(1)34(1)1,0Z x x x x x x x '=++'≤⎧⎪
'-++=-⎨⎪≥⎩
则标准型为
121
31
2123
max 22340,,0Z x x x x x x x x x '=++'+=⎧⎪
'-+=⎨⎪'≥⎩
(4) 12123123123123123max min(34,)
2304215965,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪
-+≥⎪⎨
++≥-⎪⎪≥⎩
无约束、
【解】令1212311134,,y x x y x x x x x x '''≤+≤++=-，线性规划模型变为
1
12112311231
12311231
123max 3()42304()2159()65,,0Z y
y x x x y x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x ='''≤-+⎧⎪'''≤-++⎪⎪'''-++≤⎪⎨
'''--+≥⎪⎪'''-++≥-⎪'''≥⎪⎩、 标准型为
1
124112351123611237112381
12345678max 33400
230442159965,,,,,,,,0Z y
y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ='''-+-+=⎧⎪'''-+--+=⎪⎪'''-+++=⎪⎨
'''--+-=⎪⎪'''-+--+=⎪'''≥⎪⎩
1.9 设线性规划
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=+-=+++=4,,1,0602450
3225max 4
2132121 j x x x x x x x x x Z j
取基11322120(P )4041B B ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，P 、＝，分别指出B B 12和对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明B B 12、是不是可行基．
【解】B 1：x 1，x 3为基变量，x 2，x 4为非基变量,基本解为X=（15，0，20，0）T ，B 1是可行基。

B 2：x 1,x 4是基变量，x 2,x 3为非基变量，基本解X =（25，0，0，－40）T ，B 2不是可行基。

1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
(1)12
121212
max 322
2312,0Z x x x x x x x x =+-+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
【解】图解法
最优解4
),2,4(==Z X
(2)
12 12
12
12
12
min35
26
410
4
0,0
Z x x x x
x x
x x
x x
=--
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪≥≥
⎩
【解】图解法
该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。

1.11用单纯形法求解下列线性规划
(1)123
123123max 342312230,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪
++≤⎨⎪≥=⎩
(2) 1234
123412341234max 23553730310
264200,1,,4j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+-+++-≤⎧⎪
-++≤⎪⎨
--+≤⎪⎪≥=⎩
【解】单纯形表：
因为λ7＝3>0并且a i 7<0(i =1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。

(3)1123812313123123max 32234421238410,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x =+--++≤⎧⎪-≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩
原问题具有多重解。

基本最优解(1)
(2)1273427237
(3,,0,,0)(,0,,,0);841111114
T X
X Z ===
及,最优解的通解可表
示为)2()
1()1(X a aX
X -+=即
3411227272
(
,,,,0),(01)1111811111111
T X a a a a a =---≤≤
(4) 1234
12342341234min 2423821027510200,1,,4j Z x x x x x x x x x x x x x x x x j =---+++-≤⎧⎪
-++≤⎪⎨
+--≤⎪⎪≥=⎩
（5）123
123123max 3254625863240,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩
(6)123
1231231
23max 568325043800,0,0
Z x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪
++≤⎨⎪≥≥≥⎩
【解】单纯形表：
1.12 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划：
(1) 123
123123max 1055310510150,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =-+⎧++=⎪
-+-≤⎨⎪≥=⎩
【解】大M 法。

数学模型为
123512351234max 1055310510150,1,2,,5j
Z x x x Mx x x x x x x x x x j =-+-⎧+++=⎪
-+-+=⎨⎪≥=
两阶段法。

第一阶段：数学模型为
5
12351234min 5310
510150,1,2,,5j
w x x x x x x x x x x j =⎧+++=⎪
-+-+=⎨⎪≥=
最优解X=(2,0,0)；Z=20
(2) 123
1231
23123min 567531556102050,1,2,3j Z x x x x x x x x x x x x x j =--+-≥⎧⎪
-+≤⎪⎨
++=⎪⎪≥=⎩
【解】大M 法。

数学模型为
123131231112321233min 56753155610205Z x x x MA MA x x x S A x x x S x x x A =--+++--+=⎧⎪-++=⎪⎨
+++=⎪⎪所有变量非负
第一阶段：数学模型为
13
123111232
1233min 5315561020
5w A A x x x S A x x x S x x x A =++--+=⎧⎪-++=⎪⎨
+++=⎪⎪
所有变量非负
最优解：X=(0，3.75，1.25)；Z=－31.25 即 155125
(0,,),444
T X Z ==-
(3)12121212123max 1015539
5615250
Z x x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩、、
【解】大M 法。

数学模型为
1271241251267max 1015539
5615250,1,2,,7j Z x x Mx x x x x x x x x x x x j =+-++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=
因为两阶段法
第一阶段：数学模型为
7
124125
1267min 5395615
250,1,2,,7j Z x x x x x x x x x x x x j =++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=
因为
(4) 1234
1234234123413max 23292523130,1,,4
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+-+⎧-++≥⎪
+-≤⎪⎪
-+-+≤-⎨⎪+≥⎪⎪≥=⎩ 【解】大M 法。

数学模型为
1234910111234523469101234781113max 2329
2523130,1,2,,11
j Z x x x x Mx Mx Mx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j x x =+-+---⎧-++-+=⎪
+-+=⎪⎪
-+--+=⎨⎪+-+=⎪⎪≥=
1.13 在第1.9题中，对于基B=⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
21
40
,求所有变量的检验数λ
j
j(,,)
=14
,并判断B是不
是最优基．
【解】1
1044,112B B -⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
,
11023104(5,2,0,0)(5,0)14201125595
(5,2,0,0)(5,,0,)(0,,0,)
2424
B C C B A
λ-=-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦=--=-
9
5(0,,0,),24
λ=- B 不是最优基，可以证明B 是可行基。

1.14已知线性规划
123412341234max 5874233220
3542300,1,,4j
z x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≤⎪
+++≤⎨⎪≥=⎩ 的最优基为B =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥2325，试用矩阵公式求（1）最优解；(2)单纯形乘子；
(3)N N 13及；(4)λλ13和。

【解】
142
534
4,(,)(4,8,),
1122B B C c c -⎡⎤
-⎢⎥
===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
则 (1)1
425
5(,)(,5)(0,5,0,),502
2
T
T
T
B X x x B b X Z -=====,最优解 (2))1,1(1
==-B C B π
(3)
1
111
325312444113122253334441151222N B P N B P --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(4)
111333145(4,8)550
12347(4,8)770
12B B c C N c C N λλ⎡⎤⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
注：该题有多重解：
X (1)=(0，5，0，5/2)
X (2)=(0，10/3，10/3，0)
X (3)=(10，0，0，0)，x 2是基变量，X (3)是退化基本可行解 Z ＝50
1.15 已知某线性规划的单纯形表1－25, 求价值系数向量C 及目标函数值Z ．
【解】由j j i ij
i
c c a
λ=-
∑有j j i ij
i
c c a
λ=+
∑
c 2＝－1＋（3×1＋4×0＋0×（－1））＝2 c 3＝－1＋（3×2＋4×（－1）＋0×4）＝1 c 5＝1＋（3×（－3）＋4×2＋0×（－4））＝0 则λ＝(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=C B X B =12
1.16 已知线性规划
332211m ax x c x c x c Z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++0,,3
2123232221211313212111x x x b x a x a x a b x a x a x a 的最优单纯形表如表1－26所示，求原线性规划矩阵C 、A 、及b ，最优基B 及B -1
．
【解】11162615,05105B B -⎡⎤
⎢⎥
-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，c 4＝c 5＝0， 仿照第15题方法可求出c 1＝12，c 2＝11，c 3＝14 由 1
A B
A -=
得 6210462
30
050130
515
A B A --⎡⎤⎡⎤
⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由 1
b B b -=
得 6263205210b B b -⎡⎤⎡⎤⎡
⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 则有 623032(12,11,14),,051510C A b -⎡⎤⎡
⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣
⎦
，11162615,05105B B -⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1.17 已知线性规划的单纯形表1－27．
当1=（ ）,2=（ ）,a =（ ）时，21为唯一最优解. 当b 1=（ ）,b 2=（ ）,a =（ ）时，有多重解，此时λ＝（ ）
【解】(1)b 1≥0,b 2≥0,a <-3 (2)b 1≥0,b 2≥0,a =－3,(-2,0,0,0)。