自动控制原理及应用课件(第三章)

(a)
(b)
图3-4 脉冲信号
脉冲信号的拉普拉斯变换为 R(s) A0
单位脉冲函数的拉普拉斯变换为 R(s) 1
显然， (t)所描述的脉冲信号实际无法得到。在控制工程中， 对于单位窄脉冲信号可用 (t)函数来近似。 5．正弦信号 正弦信号的数学表达式为
0 t0
r
(t
)
A0
sin
t
t≥0
式中，A0 为振幅； 为角频率。
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
，即 % c(tp ) c() 100%
c()
表征动态过渡过程的时域性能指标称为动态性能指标。通常用
调节时间ts表征系统的响应速度。超调量%是一个十分重要的系
统动态性能指标，它表征了控制系统的稳定性。 (6) 稳态性能ess：当t→∞ 时，系统输出响应的期望值和实际值
之差称为稳态误差。控制系统的稳态性能指标即为稳态误差ess， 是系统控制精度和抗干扰能力的一种度量。
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
1t
c(t) t T Te T
(t ≥ 0)
式中，(t-T)为稳态分量，
1t
Te T
为暂态分量。
当时间t趋于无穷时，暂态分量最终衰减为零。
单位斜坡响应的曲线如图3-8所示。
一阶系统单位斜坡响应存在稳态 误差，即有
ess
lim e(t)
t
lim(r(t)
t
c(t))
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
3.2 典型系统的时域分析
3.2.1 一阶系统的时域分析
若系统的运动微分方程为一阶微分方程或系统传递函数分母s 多项式的最高次方为1次，则该系统称为一阶系统。 1. 一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为
T dc(t) c(t) r(t) dt
式中，T为一阶系统的时间常数。 一阶系统的动态结构图如图3-6 所示，其闭环传递函数为
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1
1
12
ent (sin
cosdt
cos
sin dt )
1
1
12
e n t
sin(dt
)
图3-12 欠阻尼二阶系统特征参数间的关系
显然，欠阻尼二阶系统的响应包括暂态分量和稳态分量两部分， 是一个衰减振荡波形，最终达到稳态值1，但必有超调产生。
3) 临界阻尼的情况( =1)
当 =1时，此时，系统的特征根为一对重负实数根，
R(s)
K
C(s)
s(Ts 1)
(s) G(s) K K/T 1 G(s) Ts2 s K s2 1 s K TT
图3-11 典型二阶系统的动态结构图
令 n2 K/T 2n 1/T ，则由振荡参数描述的二阶系统 闭环传递函数为
(s)
n 2
s2 2n s n2
式中，n K T ，称为二阶系统无阻尼自然振荡角频率；
C(s)
n2
1 A1 A2 A3
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
式中，A1，A2，A3为待定系数。由此，输出响应的拉普拉
斯逆变换可表示为
c(t) A1 A2es1t A3es2t (t ≥ 0)
过阻尼情况的二阶系统的单位阶跃响应由两个单调衰减的指 数项和一个稳态值组成，系统输出曲线随时间t单调上升，无振荡 和超调，响应曲线最终趋于稳态值1。
2) 欠阻尼的情况(0< <1) 当(0< <1) 时，两个特征根为共轭复根，即
s1,2 n jn 1 2
欠阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s)
n2
1 1 - s 2n
s2 2n s n2 s s s2 2n s n2
1
s n
n
s (s n )2 (n 1 2 )2 (s n )2 (n 1 2 )2
Ts 1 s 1 T
取C(s)的拉普拉斯逆变换， 则有
1 1t c(t) g(t) e T
T
一阶系统的单位脉冲
响 应 曲 线 如 图 3-9 所 示 。 当时间常数T越小，系统 响应的快速性越好。
图3-9 一阶系统的单位脉冲响应
对于线性定常系统有一个重要性质：某输入信号导数的输出响 应，等于该输入信号输出响应的导数，即线性定常系统可根据 一种典型信号的响应，推知其他响应。
稳态过程是指时间t趋于无穷时，系统的输出状态。稳态过程表 征了系统输出信号复现输入信号的程度。
控制系统的时域性能指标包括动态性能指标和稳态性能
指标。通常时域性能指标以零初始条件下的单位阶跃响应曲线 为定义依据，控制系统的典型阶跃响应曲线如图3-5所示，定 义的时域指标如下。
(1)延迟时间td：响应曲 线上升到其稳态值的 50%所需要的时间。
正弦信号的拉普拉斯变换为 R(s) A0 s2 2
正弦信号主要用于求解控制系统的频率特性，以便分析与设计 控制系统。
3.1.2 控制系统的时域指标
在典型输入信号作用下，任何一个实际控制系统的时域响应都由 动态过程和稳态过程两部分组成。
动态过程是指系统从加入输入信号到系统输出达到稳态值前的 响应过程。动态过程主要是由于系统的惯性、摩擦以及其他一些因 素造成的，根据系统结构和参数选择不同，动态过程表现为衰减、 发散及等幅振荡几种形式。
1 2 KT ，称为二阶系统的阻尼比。
2. 二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的特征方程为 s2 2n s n2 0
则可求得系统特征根为 s1,2 -n n 2 1
显然，对于 不同的取值，s1、s2的性质是不同的，可能为实
数根、复数根或重根。二阶系统相应的单位阶跃响应有不同 的工作状态。 1) 无阻尼的情况( =0)
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
图3-6 一阶系统的动态结构
一阶系统只有时间常数T这一个参数，故系统响应的性能指标
和T密切相关。一阶系统作为复杂系统的一个环节，常称为惯
性环节，时间常数T是表征系统惯性的主要参数。 2. 一阶系统的单位阶跃响应 当R(s)=1/s时，系统的单位阶跃响应为
C(s) (s) R(s) 1 1 1 1
Ts 1 s s s 1
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
T
1t
c(t) 1 e T
(t ≥0)
式中，第一项为稳态分量；第二项为暂态分量，它随时间t趋 于无穷而最终衰减为0。
一阶系统的单位阶跃响应如图所示。系统响应曲线特点是
单 调 上 升 且 无 振 荡 现 象 ， 故 也 称 为 非 周 期 响 应 。 当 t=T 时 ， c(T)=0.632，表明系统响应达到稳态值的63.2%所需的时间， 即为一阶系统的时间常数。
R(s) A0 s
图3-1 阶跃信号
2．斜坡信号 斜坡信号的数学表达式为
0 (t 0)
r
(t
)
A0
t
(t ≥ 0)
式中，常数A0为斜坡信号的作用 强度。
当A0=1时，称为单位斜坡信号。
斜坡信号如图所示，它表示信号
随时间的变化率为常数的一类信
号。
图3-2 斜坡信号
斜坡信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
由此可得，一阶系统单位 阶跃响应的性能指标如下：
%=0
3T ts 4T
，
(5%误差带) (2%误差带)
ess =0
可见，一阶系统的时间常
数T越小，调节时间ts越小，系
统的响应的快速性越好。
图3-7 —阶系统的单位阶跃响应
3. 一阶系统的单位斜坡响应
当R(s)=1/s2时，系统的单位斜坡响应为
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T + T Ts 1 s2 s2 s s 1 T
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 ent (cos
1 2nt
sin
12
1
1
ent (
12
1 2 cosdt sin dt)
1 2nt)
式中，d n 1 2 ，称为阻尼振荡角频率。
设二阶系统的一对共轭复数根 如图所示。由图可得 则欠阻尼二阶系统的单位阶跃 响应改写为
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
lim
T
(1
-
e
1 T
t
)
T
t
图3-8 一阶系统的单位斜坡响应
可见，一阶系统在单位斜坡响应下的稳态误差与时间常数 成正比，从提高斜坡响应的稳态精度来看，应要求一阶系统的 时间常数小。
4. 一阶系统的单位脉冲响应 当R(s)=1时，系统的单位脉冲响应为
1
C(s) (s) R(s) 1 T
阶 跃 响 应 的 快 速 性 和 稳 定 性 得 到 兼 顾 。 其中 ， 当 =0.707时，系统超调量小(%<5%)，调节时间也很小。
因此，
=0.707 称为最佳阻尼比。 3.二阶系统的时域性能指标 1) 上升时间tr ; 根据上升时间的定义，则有当t=tr时，c(t)=1，即
(2) 上升时间tr：响应曲 线第一次达到稳态值 所需的时间。
(3) 峰值时间tp：响应曲
线第一次达到峰值所
需的时间。
图3-5 单位阶跃信号作用下的系统响应特性
(4) 调节时间ts：响应曲线到达并保持在稳态值的±2%或±5%误 差范围内所需要的最短时间。调节时间又称为过渡过程时间。
(5) 超调量%：响应曲线首次达到的峰值超过稳态值的百分数
3.2.2 二阶系统的时域分析
若控制系统的运动方程为二阶微分方程或传递函数分母s的最高 次方为2，则系统称为二阶系统。
1.二阶系统的数学模型 典型二阶系统的动态结构图如图3-11所示，则二阶系统的开环
传递函数为
G(s) K s(Ts 1)
式中，K为二阶系统开环放大系数；T为惯性时间常数。
系统闭环传递函数为
3.1 控制系统的典型输入信号和时域性能指标
3.1.1 典型输入信号
1. 阶跃信号
1.阶跃信号的数学表达式为式中，
0
常数A0为阶跃值。
r
(t
)
A0
• 对系统输入阶跃函数就是在t=0
时，给系统加上一个恒值输入量，
如图3-1所示。若A=1，称为单
位阶跃函数，记作1(t)
• 阶跃函数的拉普拉斯变换为
(t 0) (t ≥ 0)
二阶系统由无阻尼向欠 阻尼、临界阻尼、过阻尼变 化时，其单位阶跃响应曲线 如图3-13所示。其中，阻尼 比 为曲线参变量。
由图可以得出以下结论： (1) 阻尼比 越小，上升 时间越短，超调量越大。因 此，阻尼比是二阶系统的重 要参量，影响二阶系统的振 荡性。
图3-13 二阶系统阶跃响应曲线
(2) 阻尼比 取值在0.4～0.8之间为宜。此时，系统单位
c(t) 1 ent (1 nt) (t ≥ 0)
单位阶跃响应曲线无振荡和超调，在不允许有超调量的场合， 临界阻尼有最短的响应时间。
4)过阻尼的情况( >1) 当 >1 时，系统的特征根是两个不相等的负实数根，即
s1,2 n n 2 1
系统单位阶跃响应的输出拉普拉斯变换量C(s)可以表示为
自动控制原理及应用
清华大学出版社
董红生主编
第3章 控制系统的时域分析法
3.1 控制系统的典型输入信号和时域性能指标 3.2 典型系统的时域分析 3.3 控制系统的稳定性分析 3.4 控制系统的稳态误差计算
3.5 应 用 实 例 本章小结
教学目标： ❖ 了解典型输入信号及控制系统时域性能指标； ❖掌握控制系统稳定性的概念及系统稳定性判据； ❖ 熟悉一阶系统、二阶系统的时域分析与计算； ❖ 掌握控制系统稳态误差的计算方法。