函数解析式的七种求法之令狐文艳创作

一）求函数的解析式

令狐文艳

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f （x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f （x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f （u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数

作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系

数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

解：设b

ax x f +=)()0(≠a ，则 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑

法。但要注意所求函数

()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(

+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一

般用代入法。

例4已知：函数

)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点

)3,2(-的对称点

则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'322

2y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ，

点),(y x M '''在)(x g y =上

把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：

整理得

672---=x x y 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f

解 x x f x f =-)1(2)(①

显然,0≠x 将x 换成x 1

，得：

x x f x f 1)(2)1(=-②

解①②联立的方程组，得：

例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又

,11)()(-=+x x g x f 试求

)()(x g x f 和的解析式

解

)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， 又11

)()(-=+x x g x f ① ，

用x -替换x 得：

11

)()(+-=-+-x x g x f 即11

)()(+-=-x x g x f ②

解①②联立的方程组，得

11)(2-=x x f ， x x x g -=21)(

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式

)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成

立， 不妨令0x =，则有

1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：

1)(2++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推

得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+

)()()(，求)(x f 解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，