种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长

山东大学实验报告
示。当种群大小达到 K 值的时候，将不再增长。 （2）S 型曲线是逐渐变化的，平滑的，不是骤然变化的。
逻辑斯蒂增长的数学模型：
dN dt
=
rN（
K
− K
N
）
或
dN dt
=
rN（1
−
N K
）
式中： dN——种群在单位时间内的增长率；
dt
N——种群大小；
t——时间；
r——种群的瞬时增长率；
履虫的最大环境容纳量 K。通常从平衡点以后，选取最大的一个 N，
以防止在计算ln（ K−N ）的过程中真数出现负值。
N
最大环境容纳量 K 还可以通过三点法求得。三点法的公式为：
K
=
2������1������2������3 − ������22 ������1������3 −
(������1 ������22
K——环境容纳量。 （1 − N ）——“剩余空间”，即种群还可以利用的增长空间。
K
逻辑斯蒂增长模型的积分式：
式中： a——常数；
K N = 1 + ea−rt
e——常数，自然对数的底。
【实验材料】
自制的观测数据记录表格，绘图纸等。
【方法步骤】
1. 准备草履虫原液 从湖泊或水渠中采集草履虫。
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3. 用微量培养法定期定期检测和记录草履虫数目 用一滴（50μL）上述培养液，移入 1 只草履虫，用微量培养皿进行
培养，每天连续观察，精确记录草履虫数量。记录表格详见实验数据
记录表 1。 4. 环境容纳量 K 的确定
将 7 天内的草履虫种群大小数据，标定在以时间为横坐标、草履虫 种群数量为纵坐标的平面坐标系中，从得到的散点图中不仅可以看出 草履虫种群大小随时间的变化规律，还可以得到此环境下可以容纳草
a = y̅ − bx̅
b
=
∑������������=1 （������������ − ������̅ ）（������������ − ∑������������=1 （������������ − ������̅ ）2
���̅���）
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设表 1 中y = ln（ K−N ），b = −r，x = t，然后将表 1 中的对应数
+
������7 )
2 × 1 × 35 × 180 − 352 × （1 + 180）
=
1 × 180 − 352
= 200
2. 实验数据记录和处理
表 1.草履虫种群动态观测记录表
培养 天数
1 2 3 4 5 6 7
草履虫种群 值N
1 2 7 35 105 160 180
K−N
N 199.00 99.00 27.57 4.71 0.90 0.25 0.11
2. 制备草履虫培养液 （1）称取干稻草 5 g，剪成 3-4 cm 长的小段。 （2）在 1000 mL 烧杯中加水 800 mL，用纱布包裹好干稻草，放入水
中煮沸 10 分钟，直至煎出液呈淡黄色。或者根据学生人数的多 少制备一定量的稻草培养液。
（3）将稻草煎出液置于室温下冷却后，经过过滤，即可作为草履虫 培养液待用。
式中：x̅——自变量 x 的均值；
xi——第 i 个自变量 x 的样本值； y̅——自变量 y 的均值；
yi——第 i 个自变量 y 的样本值； n——样本数。
将求得的 a、r 和 K 代入 Logistis 方程，则得到理论值。在坐标纸
上绘出方程的理论曲线。看看理论曲线与实际值是否拟合得好。
注明：由于实验历时数天，不便进行，所以借用高年级生态专业同学
草履虫种群数量
200 150 100
50 0 0
草履虫逻辑斯蒂增长曲线
1
2
3
4
5
6
7
8
培养时间t/天
理论值
实际值
图 2. 草履虫在有限环境中的逻辑斯蒂增长曲线
【注意事项】
在本次实验中并没有采用书本上提供的实验方法，课本上采用 1 L
大容量烧杯培养草履虫，用 50 μL 移液枪取样，观察计数，并推算
草履虫总数，这种方法并不准确，而且每次取样都杀死一些草履虫，
200 N = 1 + e6.3113−1.2993t 根据此方程，将表 1 中 Logistis 方程理论值补充完整。 4. 实验数据分析 根据表 1，我们可以看到草履虫种群值 N 和 Logistic 方程理论值很 接近，拟合地很好，说明种群在资源有限环境中生长的规律确实是逻 辑斯蒂增长。
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3. 瞬时增长率 r 的确定
ln（
K
− N
N
）
5.293
4.595
0.944
1.551
-1.001
-1.386
-2.197
Logistic 方程理论值
1.323 4.766 16.431 49.421 109.234 163.050 188.359
根据一元线性回归方程的统计方法，a 和 b 可以用下面的公式求得：
N
据代入公式，求得：
6.000 4.000 2.000
y
一元线性回归方程分析图
y = -1.2993x + 6.3113 R²= 0.9179
0.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2.000
-4.000
-6.000
x
图 1. 一元线性回归方程分析图 a=6.3113 b=-1.2993 瞬时增长率 r=1.2993 所以，我们模拟出的逻辑斯蒂方程的积分式是：
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种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长
胡雪芳 201300261033 同组者：宇海慧 张立光 李晓辉 王亦民 高贤龙 【实验目的】 1. 认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境 条件的制约。 2. 加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物 学特性参数 r 与环境因子参数——生态学特性参数 K 的重要作用。 3. 学会如何通过实验估计出 r、K 两个参数和进行曲线拟合的方法。 【实验原理】 种群在资源有限的环境中的数量增长不是无限的。当种群在一个资 源有限的空间中的增长时，随着种群密度的上升，对有限空间资源和 其他生活必需条件的种内竞争也将加剧，必然影响到种群的出生率和 存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止增长，甚至使 种群数量下降。 逻辑斯蒂增长（Logistic growth）是种群在资源有限环境下连续增 长的一种最简单形式，又称为阻滞增长。 种群在有限环境下的增长曲线是 S 型的（Sigmoid），它具有两个特 点： （1）S 型增长曲线有一个上渐近线，即 S 型增长曲线逐渐接近于某 一个特定的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为 种群生存的最大环境容纳量（carrying capacity），通常用 K 表
两边取对数，得：
������
− ������
������
=
������������−������������
������ − ������ ln ( ������ ) = a − rt 如果设y = ln（ K−N ），b = −r，x = t，那么 Logisitic 方程的积分
N
式可以写为：
y = a + bx 这是一个直线方程，只要求出 a 和 b，就可以得到 Logisitic 方程。
对种群数量与繁殖有不利影响。所以不建议采用。
改进后的“微量培养法”，是用一滴（50μL）的培养液，移入 1 只
草履虫，用微量培养皿进行培养，每天连续观察，精确计数草履虫数
量。这种方法避免了多次取样误差，并且不会对草履虫种群数来自百度文库及动
态有不良影响。
【思考题】
（1）在不同温度下，种群的逻辑斯蒂增长中的 K 是否是稳定不变的？
+
������3 )
式中：N1，N2，N3——分别为时间间隔基本相等的三个种群的数量，
要求时间间隔尽量大一些。
在此，选择三点法，带入第 1、4、7 天的种群数计算出 K 值。
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5. 瞬时增长率 r 的确定 瞬间增长率 r 可以用回归分析的方法来确定。首先将 Logisitic 方
程的积分式变形为：
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的一组实验数据。
【实验数据处理】
1. 确定环境容纳量 K
通过三点法求最大环境容纳量 K：
选取第 1、4、7 天的种群数代入公式：
N1=1，N4=35，N7=180
K
=
2������1������4������7 − ������42 ������1������7 −
(������1 ������42
不是，在不同温度下，种群的逻辑斯蒂增长中的 K 不同。
（2）种群逻辑斯蒂增长曲线中，r、K 两个参数的生物学意义是什么？
r 表示种群的增长能力，K 是环境容纳量，即物种在特定环境中
的平衡密度，它随着环境条件（资源量）的改变而改变的。
根据一元线性回归方程的统计方法，a 和 b 可以用下面的公式求得：
a = y̅ − bx̅
b
=
∑������������=1 （������������ − ������̅ ）（������������ − ∑������������=1 （������������ − ������̅ ）2
���̅���）