最新小学四年级奥数 容斥问题
(完整版)小学四年级奥数容斥问题
容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
小学奥数二元容斥问题
1、2012盏灯排成一排，开始都亮着，小明第一次从左边第一盏灯开始，每隔一盏灯拉一下开关（即拉左数第1、3、5、…、2009、2011盏）.他第二次从右边第一盏灯开始，每隔两盏灯拉一下开关，第三次时他又从左边第一盏灯开始，每隔三盏灯拉一下开关，那么三次都拉到的灯有盏，亮着的灯有盏.2、某学校开展数学和英语竞赛，四年级共有70人，每个人都至少参加了一种竞赛，有61人参加了数学竞赛，有30人两种竞赛都参加，有人只参加了英语竞赛．3、一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m>n）．(1)设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请求m和n的最大公因数与x的差，即(m，n)-x=.(2)如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根．则m=，n=．4、若自然数N同时满足以下4个条件，则称N为一个“四喜数”：（1）它至少含有4个因数；（2）它的其中一个因数是4；（3）它的其中4个不同因数之和恰等于N本身；N．（4）上述4个因数的其中一个恰是41，如12共6个因数，含有因数4，其中4个因数的和1+2+3+6=12，其中3是原数的4因此，12就是一个“四喜数”．在1~2018中，共有多少个“四喜数”？5、学校开设了自然和趣味数学两门选修课，每个同学至少要选一门，二(3)班共有48人，有30人选了自然课，有13人两门都选了，那么选趣味数学课的同学有多少人？6、二年级的同学们在报名参加语文和数学两项竞赛，报名语文竞赛的有21人，没有报名数学竞赛的有20人，两项竞赛都报名的有4人，两项竞赛都没有报名的有多少人？7、某学校开展科技和艺术兴趣小组活动，四年级共有60人，有41人参加了科技兴趣小组，有13人两个兴趣小组都参加，还有7人两个都没参加，有人参加了艺术兴趣小组．8、学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人．会弹电子琴的有多少人?9、有46人参加一次测验，这次测验共有两道题目，有35人答对了第一题，有39人答对了第二题，有30人两道题全对，那么两道题都答错的有人．10、在1至1000的自然数中，能被3或7整除有个11、同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人，若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有多少人？12、春天来了，全班52人到北海公园划船，有27人划了手摇船，29人划了脚踏船，4名同学因身体不好没有划船而去游览了白塔．问：既划了手摇船也划了脚踏船的同学有多少人？13、从自然数数串：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留．划完后剩下的数依次组成一个新的数串：1，2，5，7，…，则该数串第2015个数是．14、一个班共有20人，其中有10人会打羽毛球，有9人会打乒乓球，有5人两项运动都不会，这个班有人同时会打羽毛球和乒乓球．15、小朋友们去喝冷饮，只能选择可乐和雪碧两种饮料．可以选择一种或两种，也可以不选．选择可乐的有18名，不选雪碧的有15名，两种都选的有10名，两种都没选的有多少名？16、一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成段小木棍．17、五（1）班有学生50人，其中有35人看过动画片《宝莲灯》，有32人看过动画片《西游记》，有18人看过这两部动画片，那么只看过这两部动画片中的一部的学生有多少人？18、在一根长木棍上有二种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木棍分成m等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成20段，可能的m 有个.19、某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人参加，在第二次考试中有24人参加，若两次考试中，都没有参加的有4人，那么两次考试都参加的人数是人．3，小红做错了7题，两人都做错的占总题20、一次数学竞赛，小明做对的题占总数的41．小明做对了道．目的5。
(最新整理)奥数四年级容斥问题(二)
238人
10
2021/7/26
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科 目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和 人数如下表：
（1）7人；（2）3人；（3）27人
16
2021/7/26
练 10、某班50名同学中，参加体育队的有20人， 习 参加文艺队的有26人，既没有参加体育组也
没有参加文艺队的有12人，那么参加体育队 且没有参加文艺队的有多少人？既参加体育 队又参加文艺队有多少人?
12人，8人
17
2021/7/26
18
为什么呢？
篮球15人
6人
短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人
6人
游泳 18人
因为三个项目都达到优秀的人数在前面的算式中 加了三次，又减了三次。如果不加上去，就少算 了短跑、游泳、篮球都达到优秀的人数。
解：(17+18+15)-(6+6+6)+2
= 50-18+2 = 34（人） 34+4=38（人） 答：全班一共有38人
6人
短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人
6人
游泳 18人
3
2021/7/26
经 运用容斥定理 典 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 题 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到
优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+
四年级下册奥数第35讲 容斥问题
第35周容斥问题专题简析:容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是N a 十Nb- Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。
又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。
最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一：1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。
语文、数学成绩都优秀的有多少人?2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。
订《数学大世界》》的有多少人?3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。
其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。
其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。
其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。
调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。
求会下围棋的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。
四级奥数容斥问题精品PPT资料
练习一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每 人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩 优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学 都优秀的有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》 和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学 生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物， 订《数学大世界》的有多少人？
2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32 人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅 的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结 果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。 已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多 少人？
练习四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数 又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数 又不是5的倍数的数有多少个？
例4、在1到100的自然数中， 既不是5的倍数也不是6的倍 数的数有多少个？
分析：
从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个 数。从1到100的自然数中，5的倍数有 100÷5=20个，6的倍数有16个 （100÷6=16……4），其中既是5的倍数又 是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个 （100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍 数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍 数又不是6的倍数的数的个数是：100－ 33=67个。
四年级奥数容斥问题
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理， 也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时， 为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准， 按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a 或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
四级奥数容斥问题.完整版PPT资料
练习一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每 人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩 优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学 都优秀的有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》 和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学 生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物， 订《数学大世界》的有多少人？
练习四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数 又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数 又不是5的倍数的数有多少个？
3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行 的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5 个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？
Hale Waihona Puke 例5 、光明小学举办学生书法展
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级 2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知 会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其 中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共 有多少人？
例2 、某班有36个同学在一项
测试中，答对第一题的有25人， 答对第二题的有23人，两题都 答对的有15人。问多少个同学 两题都答得不对？
分析 与解答：
例3、某班有56人，参加语文 竞赛的有28人，参加数学竞 赛的有27人，如果两科都没 有参加的有25人，那么同时
参加语文、数学两科竞赛的 有多少人？
分析 、
要求两科竞赛同时参加的人数，应 先求出至少参加一科竞赛的人数： 56－25=31人， 再求两科竞赛同时参加的人数： 28＋27－31=24人。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案43容斥原理(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题容斥原理（一）在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
有重叠的计数问题，即包含与排除问题。
研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图（韦恩图），解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦恩图会更加便捷、直接。
下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式。
容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A、B两类元素个数和＝既是A 类又是B类的元素个数＋A类或B类元素个数。
写成公式形式即：A＋B＝A∪B＋A∩B（其中符号“”读作“并”，相当于“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于“且”的意思）。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B、的并集A B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、、的元素个数，然后加起来，即先求A B+（意思是把A B 各自的所有元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B=（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
例1一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。
已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人。
这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？分析与解：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42＝79（人），多于全班人数。
这是因为在统计做完语文作业的人数时语文、数学作业都完成的人数算了一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以这个班语文、数学作业都完成的有：79－48＝31（人）。
四年级奥数-容斥原理初步(一)
【例3】(★★★) 网校老师组织理财培训，报名股票培训的有23人，报名基金培训的有 32人，两项都报名的有 都报名的有8人，两项都没有报名的有 都 有报名的有5人，那么网校老师 校老师 有多少人？
(★★★) 【改编】 网校组织40名老师参加趣味运动会，参加两人三脚项目的有26人，参 加拔河项目的有 有18人，两个项目都没参加的有 都 参 有6人，两个项目都参加 都参 的有多少人？
【例1】(★★) 网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球 训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的 有多少人？
容斥原理（一）
【例2】(★★★) 一个班 个班30人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数 人 完成作业的情况有三种 种是完成语文作业没完成数 学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作 业都完成了 已知做完语文作业的有20人；做完数学作业的有23人。 业都完成了。已知做完语文作业的有 人 这些人只完成一种作业的有多少人？
1
【例4】(★★★) 【例5】(★★★) 网校老师60人组织春游。报名去香山的有37人，报名去鸟巢的有42人， 1~100中是2或5的倍数的数有多少个？ 两个地点都没有报名的有 个地点都 有报名的有8人，那么只报名其中一个地点的有多少人？ 报名其中 个地点的有多少
(★★★) 【改编】 1~100中既不是3的倍数，也不是4的倍数的数有多少个？
2
【例6】(★★★★) 写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，第一次把编号是3的倍数 的灯拉 次 关 第 次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着 的灯拉一次开关，第二次把编号是 的倍数的灯拉 次 关 亮着 的灯还有多少盏？
【例7】(★★★) 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标 签号发放奖 的规则如 签号发放奖品的规则如下：①标签号为 ①标签号为2的倍数，奖 的倍数 奖2支铅笔；②标签 支铅笔 ②标签 号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重 复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备的奖 支铅笔 那么游艺会为该项活动准备的奖 品铅笔共有多少支？
四年级奥数_容斥问题
练习五
1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级 学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有 100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32件。其他年级参展的作品共有多少件？ 2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个 年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的， 有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画 共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？ 3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出 每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级 的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法 作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、 四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的 书法作品共有多少幅？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知 会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其 中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共 有多少人？
例2 、某班有36个同学在一项
测试中，答对第一题的有25人， 答对第二题的有23人，两题都 答对的有15人。问多少个同学 两题都答得不对？
分析 与解答：
例4、在1到100的自然数中， 既不是5的倍数也不是6的倍 数的数有多少个？
分析：
从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个 数。从1到100的自然数中，5的倍数有 100÷5=20个，6的倍数有16个 （100÷6=16……4），其中既是5的倍数又 是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个 （100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍 数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍 数又不是6的倍数的数的个数是：100－ 33=67个。
练习四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数 又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数 又不是5的倍数的数有多少个？
四年级奥数(有答案)(关于牛吃草和容斥原理)
1牧场上长满牧草，每牧草都均速生长。
这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，可供25头牛吃几天？2牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？3一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？4一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。
如果10人舀水，3小时可舀光，5人舀水，8小时可舀光，如果要求2小时舀完，要安排多少人舀水？5一水库存水量一定，河水均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干。
若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？6有一片草地，草每天生长的速度相同，这片草地可供5头牛吃40天，或者供6头牛吃30天，如果4头牛吃了30天以后，又增加了2头牛一起吃，这片草地可以再吃几天？7某车站检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
如果同时开放3个检票口，那么50分钟检票口前的队伍恰好消失，如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失，如果同时开放7个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？8有三块草地，面积分别为5公顷，15公顷和24公顷。
草地上的草一样厚，而且长的一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。
问第三块草地可供多少头牛吃80天？1求不超过20的自然数中，2的倍数和3的倍数共有多少个？2五年级一班同学参加学校举行的棋类比赛，参加象棋比赛的有12人，参加围棋比赛的有7人，既参加象棋比赛又参加围棋比赛的有2人，五年级一班参加学校棋类比赛的一共多少人？3有100位旅客，其中10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？4五年级一班50名同学中，喜欢打乒乓球的有28人，喜欢踢足球的有16人，两项活动都不喜欢的有12人，两项活动都喜欢的有多少人？5五年级一共有学生210人，一次考试中，语文优秀的120人，数学得优秀的150人，两科都得优秀的68人，两科都没得优秀的有多少人？6育英小学全校有1100人，其中订阅《中国少年报》的有560人，订阅《儿童文学》的有320人，订阅《小学生学习报》的有240人，订阅两种报刊的有340人，订阅三种报刊的20人，这个学校没有订阅任何报刊的有多少人？7六年级同学每人都喜欢一种活动，会骑车的有135人，会游泳的有118人，会下棋的有107人，既会骑车又会游泳的有82人，既会骑车又会下棋的有51人，既会游泳又会下棋的有43人，三种都会的有18人，六年级共有多少人？8某校五年级一班有学生54人，每人至少爱好一种球，爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球有爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人，三种球都爱好的有多少人？9六年级一班28个男生中，有14人喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，另有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球，每人至少喜欢一种球，但没有一个人三种球都喜欢，既喜欢打篮球又喜欢打排球的有几人？10某校18人参加区春季运动会，其中取得第一名的有12人，取得第二名的有11人，两个名次都得到的有9人，这次运动会没有取得前两名的有多少人？11一根30分米长的木棍，现在要在木棍上划线，先每隔2分米画一条线，在每隔3分米画一条线，最后按划线处锯开木棍，共能锯成多少段？12某年级60人中有2/3的同学爱打乒乓球，3/4的同学踢足球，4/5的同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有22人，问这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？13某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球，那么这个班至少有多少学生这三项运动都会？14对于某班学生45人，调查他们有没有弟弟和妹妹，结果如下：有弟弟的有19人，既没有弟弟也没有妹妹的有14人，而有妹妹没有弟弟的人与既有妹妹也有弟弟的人数之比是3：2问有妹妹没有弟弟的有多少人？既有妹妹也有弟弟的是多少人？15一家电维修站，有80%的人精通彩电维修，有70%的人精通冰箱修理业务，有10%的人两项业务都不熟悉，球两项业务都精通的占总人数的百分之几？16在1到500的所有自然数中，不能被2整除又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？17某学校四年级进行期末考试，全年级180名学生，在考试中有51人数学得满分，还有48人语文得满分，有32人常识得满分，有16人数学语文两科得满分，还有11人语文常识两科得满分，有13人数学常识得满分，另外还有7人三科考试都都满分，问全年级共有多少学生三科考试都没得满分1 5天2 12周3 81天4 14人5 12人6 15天7 10分钟8 42头1 13个2 17人3 68人4 6人5 8人6 360人7 202人8 8人9 3人10 4人11 20条12 4人13 4人14 8个人15 60%16 134个17 82人。
小学四年级奥数第35讲 容斥原理后附答案
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
四年级奥数教材第23讲 容斥问题(一)
第23讲容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1．将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
一共有多少人参加了这次数学测验？7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。
这个俱乐部里有多少人？8．某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。
这个班共有多少名学生？9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个？10．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。
其他年级参展的作品共有多少件？容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理2 n个事物，如何采用三种不同的分类标准：按性质a 分类、性质b分类与性质c分类（如图1），那么，具有性质a或b或c的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。
例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17人18人15人6人6人6人2人求全班人数。
例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。
已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。
结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。
既参加篮球队又参加足球队的有多少人？例4.松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。
有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？（3）只参加美术竞赛的有多少人？练习与思考1．有30名运动员、其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。
既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2．操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。
操场上有多少人在做操？3．一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三个学科都爱好。
请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余5．第三小队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人。
已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人？6．某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。
三个小组都参加的有多少人？7．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组都参加的有1人。
这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？8．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。
结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。
既学习英语又学习德语的有多少人？9．四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。
有22人参加美术组，有21人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加优育组。
（1）只参加美术组的有多少人？（2）只参加音乐组的有多少人？（3）只参加音乐组的有多少人？能力测试（三）（满分100分，90分钟完成）一、填空题（每空6分，共54分）。
1．小英有2分、5分的硬币共35枚，一共是1元1角5分，2分硬币有（）枚，5分硬币有（）枚。
2．从旧旧历中知道，1988年元旦昌星期五，那么，2000年元旦是星期（）。
3．买5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克，用去71元。
5元1千克的糖有（）千克，8元1千克的糖有（）千克。
4．图中共有（）个正方形。
图中菜有（）个三角形。
5．新华小学四年级共40个学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人，两种标本都采集的有（）人。
6．某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人，全班学生共（）人。
二、应用题（第1题10分，其余每题9分，共46分）。
1．英文字母A，B，C，D，按规则排列为ABAACCDABAACCD…共250个字母，最后一个字母是什么？A，B，C，D 各有多少个？2．四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得5分，错一题扣2分。
试卷上共有20道题，李华得了86分，他算对了多少道题？3．一个停车场上共停汽车、三轮摩托车25辆，其中汽车有4个轮子，三轮摩托车有3个轮子。
这些车共有90个轮子。
三轮摩托车有多少辆？4．某班学生会打篮球的有40人，会打排球的有32人，两种球都会打的有30人，还有3个学生这两种球都不会打。
这个班有学生多少人？5．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。
画片只有两种：3分一张和5分一张。
如果每人都尽量多买5分一张的画片，那么，他们所买的3分一张是画片的总数是多少张？作文万能经典标题一、（“……”表示可以添加词语）1．《……是一道靓丽的风景线》2．《……，我永远的天空》3．《都是……惹的祸》4．《笑傲……•》5．《生活需要……》6．《何以解忧，惟有……》7．《假如我是……》8．《告诉你，我很……》9．《我眼中的……》10．《生活需要……•》11．《……在我的身边》12．《……也是一种美》13．《……是最美的行囊》14．《与……同行》15．《……伴我成长》16．《……三步曲》17．《……和我有个约会》18．《我发现……》19．《真想做个……》20．《世上只有……》21．《我……故我在》22．《永远的•……•》23．《……，我恨你》24．《……，做我自己》25．《……的风波》26．《我和……的距离》27．《……着并快乐着》28．《给自己找个……》29．《永远说……•》30．《那一次，我……》31．《……不同情眼泪》32．《带上……上路》33．《我与……面对面》34．《•……是一盏明灯》35．《那段……的日子》36．《一个……的心灵独白》37．《……，让我欢喜让我忧》38．《爱上•……•》39．《欣赏……》40．《我眼里的……•》41．《那……那……那……》42．《想起……•》43．《……的遐想》44．《第一次……•》45．《给心情涂上……•》46．《人生路上……多》47．《……，我的最爱》48．《……的故事》49．《……是一种养分》50．《那年，我……》51．《和……赛跑》52．《我•……，我……》53．《有……才有远方》54．《•……在，梦就在》55．《还有多少……可以重来》56．《明天，我……》57．《我的……我做主》58．《……，是这样炼成的》59．《不想……》60．《将……进行到底》61．《人生没有……•》62．《……是一瞬间的事》63．《有一种……叫成功》64．《……伴我少年行》65．《带上……上路》66．《……是一首歌》67．《……是一种美丽的痛》68．《……的回忆》69．《有……陪伴的日子》70．《……，没有什么不可以》71．《与……一起走过》72．《……，让我欢喜让我忧》73．《拒绝……》74．《让……为……着色》。