五年级奥数容斥问题PPT课件
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五年级下册数学奥数课件--.11较复杂的容斥原理 人教版 (共21页)
24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
•
2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
•
2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
小学五年级奥数PPT：容斥原理.ppt
? 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语， 其中选修英语的学生人数为25，选修法语的 学生人数为18，选修德语的学生人数为20， 同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选 修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法 语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三 种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名 学生？
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
↓ ↓ ↓↓
２５ ＋ ３４＋ ２２－１８－１４－１２
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把 G去完了）
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８ ＝这个班人数
?结论（公式二）
? 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类事物个数= A类 事物个数+ B类事物个数+C类事物个 数—既是A类又是B类的事物个数—既 是A类又是C类的事物个数—既是B类 又是C类的事物个数+既是A类又是B类 而且是C类的事=158人 158-90=68人
? 3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的 有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？
35+28-20=42人
? 4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会 下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少 人？
41+34-27=48（人）
?
41 27 34
容斥原理
?一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有 15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有 6人。
奥数容斥问题课件
示例：有五个班级，分别有30人、40人、50人、60人和70人，其中两个班级共有10人既是第一班也是第二班的人，同时是第二班和第三班的人有15人，同时是第二班和第四班的人有20人，同时是第三班和第四班的人有25人，同时是第三班和第五班的人有30人，同时是第四班和第五班的人有35人。求五个班级总共有多少人
进阶练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用容斥原理解决较为复杂的问题，提高解题技巧。
题目4
一个班级有45名学生，每人至少参加一项体育活动。其中，28人参加篮球，30人参加足球。问同时参加两项体育活动的学生有多少人？
题目3
一个班级有35名学生，每人至少参加一项课外活动。其中，18人参加音乐小组，21人参加美术小组。问同时参加两项课外活动的学生有多少人？
奥数容斥问题课件
目录
容斥问题简介容斥问题的基本解法容斥问题的进阶解法容斥问题的实际应用容斥问题的常见题型及解析练习题及答案解析
CONTENTS
容斥问题简介
容斥问题是一种数学问题，涉及到集合和集合之间的关系。它主要考察的是如何正确地理解和处理集合之间的关系，以及如何通过已知的集合信息来推导出未知的集合信息。
题目2：一个班有40名学生，每人至少参加一个运动项目。其中，25人参加篮球，20人参加足球。问同时参加两个运动项目的人数是多少？
答案及解析：通过容斥原理，我们可以得出同时参加两个运动项目的人数为10人。
总结词
提高解题技巧
答案及解析
通过容斥原理，我们可以得出同时参加两项课外活动的学生有9人。
详细描述
详细描述：对于n个集合，它们的并集的元素数量可以通过以下公式计算：|A∪B∪C...∪n| = Σ(i=1 to n) |Ai| - Σ(i=2 to n) Σ(j=i+1 to n) |Ai∩Aj| + Σ(i=3 to n) Σ(j=i+1 to n) Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1) * Σ(i=n to 2) Σ(j=i+1 to n) ... Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak...∩An|，其中Σ表示求和符号，Ai、Aj、Ak...An分别表示第i个、第j个、第k个...第n个集合的元素数量，Ai∩Aj、Ai∩Aj∩Ak、Ai∩Aj∩Ak...∩An等分别表示第i个和第j个、第i个和第j个以及第k个...第n个集合的交集的元素数量。
五年级奥数(仁华版)第十二讲 容斥原理
1
课堂小结
• 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四 个 • 2、在容斥原理（二）公式∣A∪B∪C∣ • ＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－ ∣A∩C∣－∣B∩C∣＋∣A∩B∩C∣应用于 公式（一）类似，当问题较复杂时，可以 考虑列方程来解答
都采 集的 16人
25 人
花草 标本 的
容斥原理的意义
• 像上面那样 • 要计算种事物的总量时，可以把总量分成 两类分量计算，先把每个分量加起来，然 后减去重复计算的部分。像这样的数学原 理，我们称之为“包含于排除”原理，也 叫容斥原理。 • 用字母表示可以是：
容斥原理（一）
• 原理一：如果把一组事物按两种不同的性 质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数 是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有 ∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 • ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ • 在这个式子里共有四个量，知道任意三个， 都可以求第四个
所以，能被2、3、5中任何一个整除的数有 个
500＋333＋200－166－100－66＋33=734 （个）
巩固练习
• 1、有三个面积都是20平方厘米的圆纸片放在桌 子上，三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三 个圆纸片覆盖住桌面的总面积是36平方厘米。 • 问：图中阴影部分的面积之和是多少？ • 分析：可以先求出每两个圆的重叠部分 • 36=20×3－两圆重叠×3＋8 • 再减去三个三圆重叠的部分 • 即：（20×3＋8－36）－8×3 • =32－24=8
• 例9、六（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组， 其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文有10人参 加；既参加数学又参加语文的有3人，既参加数学又参加 英语的和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而且三 种都参加的只有1人。 • 求既参加英语又参加数学小组的有多少人？ • 分析：这个问题里数量较多，我们画图来分析 • 如果设既参加英语又参加数学的有x人， • 既参加英语又参加语文的有y人 数学30 • 则可以列方程 • 49=30＋20＋10－x－y－3＋1 • 所以x＋y=9 英语20 人 1语数3 • 因为x、y都是质数 • 所以有x=2，y=7或者x=7，y=2 语文 • 答：既参加英语又参加语文的有2人或者7人 10人
课堂小结
• 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四 个 • 2、在容斥原理（二）公式∣A∪B∪C∣ • ＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－ ∣A∩C∣－∣B∩C∣＋∣A∩B∩C∣应用于 公式（一）类似，当问题较复杂时，可以 考虑列方程来解答
都采 集的 16人
25 人
花草 标本 的
容斥原理的意义
• 像上面那样 • 要计算种事物的总量时，可以把总量分成 两类分量计算，先把每个分量加起来，然 后减去重复计算的部分。像这样的数学原 理，我们称之为“包含于排除”原理，也 叫容斥原理。 • 用字母表示可以是：
容斥原理（一）
• 原理一：如果把一组事物按两种不同的性 质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数 是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有 ∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 • ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ • 在这个式子里共有四个量，知道任意三个， 都可以求第四个
所以，能被2、3、5中任何一个整除的数有 个
500＋333＋200－166－100－66＋33=734 （个）
巩固练习
• 1、有三个面积都是20平方厘米的圆纸片放在桌 子上，三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三 个圆纸片覆盖住桌面的总面积是36平方厘米。 • 问：图中阴影部分的面积之和是多少？ • 分析：可以先求出每两个圆的重叠部分 • 36=20×3－两圆重叠×3＋8 • 再减去三个三圆重叠的部分 • 即：（20×3＋8－36）－8×3 • =32－24=8
• 例9、六（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组， 其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文有10人参 加；既参加数学又参加语文的有3人，既参加数学又参加 英语的和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而且三 种都参加的只有1人。 • 求既参加英语又参加数学小组的有多少人？ • 分析：这个问题里数量较多，我们画图来分析 • 如果设既参加英语又参加数学的有x人， • 既参加英语又参加语文的有y人 数学30 • 则可以列方程 • 49=30＋20＋10－x－y－3＋1 • 所以x＋y=9 英语20 人 1语数3 • 因为x、y都是质数 • 所以有x=2，y=7或者x=7，y=2 语文 • 答：既参加英语又参加语文的有2人或者7人 10人
小学五年级奥数课件：容斥原理
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)
动手做一做吧！
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
容斥原理--奥数专题(课件)-2021-2022学年数学五年级上册 全国通用
拔河
解： 参加运动的人：
26人
19＋26＋17 －8－6－7
=62－21
=41（人）
6人
没参加运动的人：50－41=9（人）
百米 19人
8人
7人
答：这个班没参加运动项目的有9人。
乒乓球 17人
练习题1
某班有50人，已知会滑冰的有25人，会游泳的有28人，两样都会的 有7人，那么两样都不会的有几人？
2. 第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人， 做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第 一小组共有多少人？
3. 一个外国旅游团中，每个人都会英语、德语、日语这三种语言中 的一种。会讲英语的有36人，会讲德语的有15人，会讲日语的有7人， 同时会讲英语和日语的有6人，同时会讲英语和德语的有10人，同时会 讲德语和日语的有3人，三种语言都会讲的有2人，这个外国旅游团共 有多少人？
练习题2
三个圆的面积相等，都是50平方厘米，每两个圆相交的面积是 8平方厘米、10平方厘米和12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米， 三个圆盖住的面积是多少平方厘米？
例二 有26人报名参加拔河比赛，有19人参加百米赛，有17人参加 乒乓球赛，有8人参加拔河赛和百米赛，有6人参加拔河赛和乒乓球 赛，有7人参加百米赛和乒乓球赛，没有人三项运动都参加，这个班有50 人，没参加运动项目的有多少人？
容斥原理
容斥原理： 人们在统计一些数量时，有些数量是重复出现的，
在计数时通常先不考虑重复的数，而是把题中所有对象的数目计算出来， 然后再将重复的数量减去，使计算结果无遗漏、无重复。这种计数原理 称为包容与排除原理，也称为容斥原理。
韦恩图：解决容斥问题，需要画出韦恩图。用一个椭圆表示题中的一个量。
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？人
24＋17－8=33（人）
答：一共有33人。CHENLI
8
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得 优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。 语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学
都优 优秀
秀的 的人
人数： 数：
CHENLI
20
某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一 种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两种语 言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
CHENLI
21
1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活 动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活 动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生 多少人？
2、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？
CHENLI
22
3、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第 一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的 有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？
87人
122人
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
CHENLI
12
例： 在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍
数有多少个？
100÷5=20（个）
不是5的倍数；
5的倍 30的
不是6的倍数；
数的 倍数 61的0倍0÷6=16 （个） ……4 不是30的倍数
个数 的个 数的
不会骑自行车的：50－38=12（人）
不会溜冰的：50－40=10（人）
不会打乒乓的：50－46=4（人）
四项都会的至少有： 50－（15＋12＋10＋4）
=9（人） CHENLI
15
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
CHENLI
CHENLI
问：“谁做完了语文作业？ 请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手” 有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举 手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人 数是多少个？
做完 语文 的人 数： 37人
两科 做完 做完 数学 的人 的人 数：？ 数：
数： 数： 个10数0：÷30=3 （个） ……10
20＋16－3=33 （个） 5的倍数的个数；
100－33=67 （个）
？个
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
答：有67个。
CHENLI
13
全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有 21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的 有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人 这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既 爱好舞蹈又爱好美术？
探索之旅
CHENLI
1
容斥问题
1、什么是 容斥问题
2、容斥原 理
容斥原理的 进阶练习
CHENLI
2
基础 详解：什么是容斥问题
探索之旅
CHENLI
3
容斥问题
容—包括 斥—排除
CHENLI
4
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
CHENLI
30
87人
？人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有12C2HE人NLI 。
9
四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每 个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小 组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参 加了。那么四（一）班一共有多少人？
25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
42人
48人
37＋42－48=31（人）
答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。
CHENLI
11
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门 功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀 的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学 做完 优秀 的人 的人 数：？ 数：
18＋21＋9－3－1－40 =44－40 =4（人）
答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。
CHENLI
14
某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行
车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会
的至少有多少人？
一项不会的
一项不会的就
尽可能的多，
不符合
即考虑重复的
不会游泳的：50－35=15（人）
16
练习时间：容斥原理
探索之旅
CHENLI
17
五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报， 有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？
96人
64+48-96=112-96=16（人）
64人
48人
？人（两种都
订的）
CHENLI
18
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做 完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、 数学作业都做完的有多少人？
CHENLI
23
6÷12= 14-7.4= 5.7－3.9= 32.1×3=
5
洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一 个夹子夹住相邻的两块手帕的两边， 这样一共要多少个夹子？
8×2－7=9（个）
答：一共要9个夹子。
CHENLI
6
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的 分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于 性质1＋性质2减去它们的共同性质。
CHENLI
7
例：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已
知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，
其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组
一共有多少人？
容斥原理：
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
弹电 子琴 的人 数： 17人
1、找分的类：2类
找1、2类共有的
2、2类的总个数等于2 类的和减去它们的共 有的。
2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文、数学得优的有多少人？
CHENLI
19
3、某班有50名学生，在一次测试中有26人满分，在第 二次测试中有21人满分。如果两次测试都没有得过满 分的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少 人？