线性代数24矩阵的初等变换与矩阵的秩
矩阵求秩方法
矩阵求秩方法
求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：
1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。
2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。
4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。
可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。
5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。
6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。
8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。
10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。
矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt
行最简形矩阵
有限次初等行变换
有限次初等列变换 标准形矩阵
h
20
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵。
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、I (i, j(k))。
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0 1 0 0 r2r4 ———
这是因为
I(i, j)I(i, j)I， I(i(k1))I(i(k))I ，
I(i,j(k))I(i, j(k) )I 。
h
24
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五、初等变换与矩阵乘法的关系
定理1 设A是一个mn矩阵。 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次 初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
0010
0010
0001
0001
h
23
下页
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
初等矩阵的可逆性： 容易验证：
（1） |I(i, j) |-1， （2）|I(i(k)) | k， （3）| I (i, j(k)) | 1，
因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。
I(i, j)1I(i, j)，I(i(k))1I(i(k1))，I(i,j(k))1I(i ,j (k)) 。
交换第i列与第j列记为cicj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c1c3
———
1 5 1 2 1 8 3 9
1 1 13 31 17
h
5
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一.矩阵的初等变换
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
矩阵的秩与初等变换课件
基的唯一性
如果一个向量空间的基所张成的 子空间的秩等于整个向量空间的 秩，则该基是唯一的。
子空间的性质
通过研究矩阵的秩，可以得出关 于子空间的性质，如子空间的维 数、子空间的正交补空间等。
向量空间与初等变换的关系
初等变换
交换矩阵的两行、两列，或者用一个非零常数乘以矩阵的一行或一列。
向量空间与初等变换的关系
03
通过将线性方程组转化为增广矩阵，利用初等行变换化简，可
以得到方程组的解。
04
矩阵的秩与线性方程组的关系
线性方程组的解与矩阵的秩的关系
线性方程组的解与矩阵的秩有密切关 系，矩阵的秩决定了线性方程组解的 个数和性质。
若矩阵的秩等于未知数的个数，则线 性方程组有唯一解；若矩阵的秩小于 未知数的个数，则线性方程组有无穷 多解或无解。
通过矩阵的秩判断线性方程组解的情况
通过计算矩阵的秩，可以判断线性方 程组的解的情况，从而确定解的个数 和性质。
VS
若矩阵的秩小于未知数的个数，可以 通过增加或减少方程来使矩阵变为满 秩，从而得到唯一解。
线性方程组的解与初等变换的关系
01
初等变换是矩阵的一种基本操作，它可以改变矩阵的
秩和行列式值。
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。
矩阵的秩与初等变换在解题中的应用
利用矩阵的秩判断方程组是否有解
01
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解；否则，方
程组无解。
利用初等变换化简矩阵
02
通过初等行变换或初等列变换可以将一个复杂的矩阵化简为一
个简单的矩阵，从而方便计算。
利用矩阵的秩和初等变换求解线性方程组
秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质：若$A$是$m times n$矩阵，$B$是$n times p$矩阵，则$AB$的秩不大于$A$的秩和$B$的秩，即$text{rank}(AB) leq text{rank}(A) + text{rank}(B)$。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
利用初等变换求矩阵的秩
利用初等变换求矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念。
它可以帮助我们分析线性方程组的解的情况以及矩阵的性质。
在理解矩阵的秩之前，我们需要了解“初等变换”是什么。
初等变换是指对矩阵进行以下三种操作之一：1. 交换矩阵的任意两行；2. 用一个非零常数乘矩阵的任意一行；3. 将矩阵中某一行加上另一行的若干倍。
通过这些操作，我们可以得到新的矩阵。
如果一个矩阵可以通过一系列的初等变换得到另一个矩阵，那么这两个矩阵就是等价矩阵。
显然，等价矩阵具有相同的秩。
我们可以利用初等变换将原矩阵化为行阶梯形矩阵或者规范形矩阵。
具体来说，行阶梯形矩阵是指具有如下形式的矩阵：$$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$即在该矩阵中，第一行至少有一个非零元素，而且第二行非零元素的列数要比第一行少，第三行非零元素的列数要比第二行少，以此类推，最后一行最多只有一个非零元素。
规范形矩阵则更加简化，具有如下形式：即在该矩阵中，除了第一行第一个元素为1之外，其余元素都为0。
对于一个行阶梯形矩阵，它的秩就是矩阵中非零行的个数。
这是因为对于一个非零行，它一定是由前面的行通过初等变换得到的，因此它对应的向量可以写成前面所有向量的线性组合，也就是说它不会增加向量空间的维数。
举个例子，给定一个3×3的矩阵：通过初等变换，我们可以将它化为行阶梯形矩阵：可以看出，该矩阵中非零行的个数为2，因此原矩阵的秩为2。
总而言之，利用初等变换求矩阵的秩是一种非常方便和实用的方法。
高等数学(下) 第3版课件-矩阵的初等变换与矩阵的秩
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
矩阵的秩与矩阵的初等变换
3 2 0 5 0
例3
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求矩阵 A 的秩．
解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
25 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 43
r1 r4
4 上一页 下一页 返 回
1 2 3 例1 求矩阵 A 2 3 5 的秩.
4 7 1 解 在 A 中，1 2 0.
23 又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
5 上一页 下一页 返 回
1 3 2 2 例2 已知 A 0 2 1 3，求该矩阵的秩．
4 0
r1 r2
1 0
03
r2
r3
0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3
3 0
C
矩阵C也是个行阶梯形矩阵，进一步矩阵C还称为矩阵 A的行最简形阶梯矩阵（行最简形），即每一个非零 行的第一个非零元为1，而且含这些“1”的列的其他 元素都为0.
对于任何矩阵Am n，总可经过有限次初等行变换把 它变为行阶梯形和行最简形。
注： （1） 任何一个矩阵均可经过初等变换化为标准形；
（2） 秩相等的同型矩阵有相同的标准形。 22
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k 1 1
例2
设
A
1 1
k 1
1 k
,
求 r(A)。
解 对A施行初等行变换
k
1 1
1 k 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩 定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换： （1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）； （2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）； （3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵： （1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方； （2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .
1.2矩阵的初等变换与矩阵的秩
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
2 1 4
1 0 2
r2 2r1 r3 2r1
1 0 0
2 5 0
1 2 , 0
易看出A的行阶梯形有两个非零行，则rA 2.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
等价关系的性质：
（1） 反身性 AA；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
用矩阵的初等行变换，化简下述矩阵：
2 1 1 1 2
B
Байду номын сангаас
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
rj
r; i
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
2
3 1
1 2 0
1 2 4
线性代数 矩阵 第5节 矩阵的秩与初等变换
§2.5 初等变换与初等矩阵
§2.5 初等变换与初等矩阵 一. 初等变换 公元前1世纪,《九章算术》 初等变换, 相当于高斯消元法 2x1 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 x3 = 3 2x1 + 2x2 6x3 = 2
第二章 矩阵与行列式
x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 x1 + x23x3 = 1 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 1 x22x3 = 2
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0 轻 装 上 阵
第二章 矩阵与行列式
第二章 矩阵与行列式
§2.5 初等变换与初等矩阵
如果阶梯阵A还满足如下条件 各非零首元全为1, 非零行首元所在列的其余元素全为0, 则称A为行最简形(reduced row echelon form). 例如
1 0 0 0 0 2 0 1 1 3 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0
注: 用数学归纳法可以证明: 任何一个矩阵都 可以经过有限次初等行变换化为行最简形 矩阵.
第二章 矩阵与行列式
§2.5 初等变换与初等矩阵
3. 若mn矩阵 A经过有限次初等变换化为 Er Or(nr) (r ) E mn O(mr)r O(mr)(nr)
( 的形式, 则称 E mr)n 为A的(等价)标准形
初等列变换(elementary column operations) (1) 对换变换: ci cj, (2) 倍乘变换: ci k, (3) 倍加变换: ci+kcj.
矩阵的秩与初等变换
第1节 矩阵的秩与初等变换
定义 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩不变。
因此只需证初等行变换可化矩阵为行阶梯形即可。
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二
(所用记号是把 “r” 换成 “c” )。 行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换 两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然 后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数， 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
即经过一系列初等行变换后，有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零， 那么就依次考虑它的第二列元素，等等。
)；
(所用记号是把 “r” 换成 “c” )。
例：求矩阵
又注意(到ii)B
A亦以和可经数B 由的一秩k次，≠初0等乘行变某换变一为 A，
例：化矩阵 B 为标准形，
比该如形第 式(二称ii个为i)矩A把阵的即标某为准行形一最。简行形矩所阵。有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
定义：如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称
矩阵 A与 B 行等价，记作
；
如果矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A
与 B 列等价，记作
；
如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与
B 等价，记作
。
定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---50301000783013002 例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A 秩及秩(TA )解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−-+00112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3215327220021132113AT⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++3211101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−0002113220032101101,,⑤②④① ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⨯+0000002200321011012③④ 所以，()3A T=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TAA 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
关于矩阵的秩的证明方法
关于矩阵的秩的证明方法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用于描述矩阵的行或列的线性独立性。
在解决线性方程组、计算矩阵的逆、求解特征值等问题中，矩阵的秩起到了至关重要的作用。
本文将介绍几种常用的证明矩阵秩的方法。
方法一：初等行变换法我们可以使用初等行变换法来证明矩阵的秩。
初等行变换包括三种操作：交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。
通过这些操作，我们可以将矩阵化简为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行的个数即可得到矩阵的秩。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，经过初等行变换后，得到行阶梯形矩阵B。
如果B中有3行都不为零，那么矩阵A的秩为3；如果B中只有2行不为零，那么矩阵A的秩为2；如果B中只有1行不为零，那么矩阵A的秩为1；如果B中没有非零行，那么矩阵A的秩为0。
方法二：线性无关向量法另一种常用的证明矩阵秩的方法是使用线性无关向量。
假设有一个矩阵A，我们可以将其列向量表示为A1、A2、...、An。
如果这些列向量线性无关，即不存在非零的标量c1、c2、...、cn，使得c1A1+c2A2+...+cnAn=0，那么矩阵A的秩为n。
否则，矩阵A的秩小于n。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，其列向量表示为A1、A2、A3。
如果这三个向量线性无关，那么矩阵A的秩为3；如果其中两个向量线性无关，那么矩阵A的秩为2；如果其中只有一个向量线性无关，那么矩阵A的秩为1；如果这三个向量线性相关，那么矩阵A的秩为0。
方法三：行列式法还有一种证明矩阵秩的方法是使用行列式。
对于一个n×n的矩阵A，如果其行列式不为零，即|A|≠0，那么矩阵A的秩为n。
否则，矩阵A的秩小于n。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，如果|A|≠0，那么矩阵A的秩为3；如果|A|=0，那么矩阵A的秩小于3。
方法四：零空间法我们可以使用零空间来证明矩阵的秩。
线性代数中的秩与矩阵变换解读
线性代数中的秩与矩阵变换解读在线性代数中，秩是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解矩阵的性质和变换的本质。
本文将探讨线性代数中的秩与矩阵变换的关系，并解读其背后的数学原理和几何意义。
一、秩的定义与性质在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
秩的定义可以通过高斯消元法得到，即将矩阵A进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，秩就是矩阵中非零行的个数。
秩具有以下性质：1. 对于任意矩阵A，秩满足0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，其秩与其转置矩阵的秩相等，即r(A) = r(A^T)。
3. 对于任意矩阵A和B，r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
当r(A) = r(B) = n时，r(AB) = r(A) = r(B) = n。
二、秩与矩阵变换的关系矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在某种变换下的映射关系。
而秩则是描述矩阵的性质的一个指标。
秩与矩阵变换之间有着密切的联系。
1. 矩阵变换的线性性质矩阵变换必须满足线性性质，即对于任意向量x和y以及标量c，有T(x + y) = T(x) + T(y)和T(cx) = cT(x)。
线性性质保证了矩阵变换的可加性和标量倍乘性。
2. 矩阵变换的表示对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵A来表示它。
具体而言，对于任意向量x，有T(x) = Ax。
其中，A是一个m×n的矩阵，m是变换后向量的维度，n是变换前向量的维度。
3. 矩阵变换与秩的关系矩阵变换与秩的关系可以通过矩阵的列空间和零空间来解释。
对于一个m×n的矩阵A，其列空间是所有由A的列向量线性组合而成的向量的集合，记作Col(A)；其零空间是所有满足Ax = 0的向量x的集合，记作Nul(A)。
根据秩的定义，我们可以得到以下结论：- 矩阵A的列空间的维度等于A的秩，即dim(Col(A)) = r(A)。
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A1 P1P2 L Pt
由 A1A I ，就有
(P1P2 Pt ) A I， (P1P2 Pt )I A1
上面第一式表示 A 经有限个初等行变换化为单位
矩阵 I，第二式表示经这些初等行变换变为 A1.用
分块矩阵形式把上两式写成
(P1P2 Pt ) I I A1
或
A I 初等行变换 I A1
1. 交换矩阵A的两行或两列； 2.以数 c 0 乘矩阵A某行或某列； 3.以数 k 乘矩阵A某行（列）加到另一行（列）上去．
(1) 交换I的两行或两列，得初等对换矩阵。 对调 I中第 i, j 两行，即 (ri rj )，得初等方阵
1
O
1
0L
1
第 i 行
1
P(i, j)
MO M
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
2.4.2 初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义2.17 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为
初等矩阵.
I
三种初等变换对应着三种初等方阵.
把第j行的k倍加到第i行上, 记做 : ri krj 此时变换的是第i行,第j行没有变化! 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)．
矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 换法变换 (2) 倍法变换 (3) 消法变换
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同．
则 P(i(c))1 P(i(1)); c
变换 ri krj 的逆变换为 ri (k)rj，
则 P(i，j(k))1 P(i，j(k)) .
定理2.3
设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ， 相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
0 0 0 1
* * * *
* * * *
r行
Ir 0
D 0
0 0 0
0 0 0
Ir是r阶单位矩阵
定理2.4 对任何矩阵Amn，总可以经过有限次 初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简 矩阵。
定理2.5 任何一个 m n 矩阵A都与一个形式为
证明：具体验证即可
设A按行分块，对A施行倍加变换，将A的第j行 k倍加到第i行上，即
1
M
i
A
M r i kr j
j
M
m
1
M
i k j
M
j
M
m
1
P(ij(k )) A
1
另两种情形同理可证
k 1
1
i
j
1
m
1
1
1L
0
第 j 行
1
O
1
(2) 以数 c 0 乘I某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数c 0乘单位矩阵的第i行(ri c)，得初等
矩阵P(i(c)).
1
O
1
P(i(c))
c
第 i 行
1
O
1
(3) 以数 k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上，
得初等倍加矩阵。
以 k 乘 I 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求 矩阵A1B .
A1( A B) (I A1B)
即
(A B)
初等行变换
I A1B
这表明如果对矩阵(A,B) 施行初等行变换，当把 A化 为 In 时， B就化为A-1B．
例10 求矩阵X，使 AX=B，其中
为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们首 先需要建立如下的定理。
定理2.6 n阶矩阵A可逆的充要条件是A 的标准形是In.
(1)Ann是可逆矩阵。
设矩阵Ann是n阶方阵,那么下列各命题等价 :
(4)A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
由定理2.6知道
若A可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
1.矩阵的初等变换 2.矩阵的秩
2.4.为矩阵的初等行变换
1o换法变换 : 交换两行的位置
交换第i, j行, 记做 : ri rj
2o倍法变换 :以非零数c乘某一行
以k乘第i行, 记做 : cri
3o消法变换 : 把某一行的k倍加到另一行上
* *
C 0
D 0
0
0
0 br *
*
0 0 0
C是上三角矩阵
0 0 0
定义 行最简矩阵是指在阶梯形中
(1)非零行第一个非零元素为1， (2)每一行第一个非零元素1所在的列中其它元素都为零， 即：
1
0
0
0
0 1 0 0
0
[或以 k 乘 I 的第 i 列加到第 j 列上 (cj kci )，
1
O
1 L k 第 i行
P(i，j
(k
))
O
1 第 j行
O
1
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则P(i, j)1 P(i, j) ；
变换
ri
c
的逆变换为
ri
1 c
，
i
k
j
j
m
一般记法：
P i, j A表示A的第i行与第j行对换, AP i, j 表示A的第i列与第j列对换.
P i c A表示A的第i行乘c 0, AP i c 表示A的第i列乘c 0.
P i，j k A表示A的第j行乘k加到第i行上, AP i，j k 表示A的第i列乘k加到第j列上.
2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形
定义2 满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：
（1）若有零行，则该行下方所有行元素均为零； (2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位 于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为零。
b1
0
0
* b2 0
*
* *
* *
r行
1 0 L L 0 0 L 0
0
1
L
L
0 0L
0
0 0 M M 0 M M M
D
M 0
M 0
M L
M 0
M0 10
L L
0 L L L L 0 L
0
0
0
Ir 0
0 0
M 0
M L
M L
M L
M L
MM 0L
0M
的矩阵等价。（r≤min(m,n),D称为矩阵A的标准形。
2.4.3 初等变换求逆矩阵