线性代数24矩阵的初等变换与矩阵的秩

利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求 矩阵A1B .
A1( A B) (I A1B)
即
(A B)
初等行变换
I A1B
这表明如果对矩阵(A,B) 施行初等行变换，当把 A化 为 In 时， B就化为A-1B．
例10 求矩阵X，使 AX=B，其中
0 0 0 1
* * * *
* * * *
r行
Ir 0
D 0
0 0 0
0 0 0
Ir是r阶单位矩阵
定理2.4 对任何矩阵Amn，总可以经过有限次 初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简 矩阵。
定理2.5 任何一个 m n 矩阵A都与一个形式为
1 0 L L 0 0 L 0
0
1
L
L
0 0L
0
0 0 M M 0 M M M
Hale Waihona Puke Baidu
D
M 0
M 0
M L
M 0
M0 10
L L
0 L L L L 0 L
0
0
0
Ir 0
0 0
M 0
M L
M L
M L
M L
MM 0L
0M
的矩阵等价。（r≤min(m,n),D称为矩阵A的标准形。
2.4.3 初等变换求逆矩阵
1
1L
0
第 j 行
1
O
1
(2) 以数 c 0 乘I某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数c 0乘单位矩阵的第i行(ri c)，得初等
矩阵P(i(c)).
1
O
1
P(i(c))
c
第 i 行
1
O
1
(3) 以数 k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上，
得初等倍加矩阵。
以 k 乘 I 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
[或以 k 乘 I 的第 i 列加到第 j 列上 (cj kci )，
1
O
1 L k 第 i行
P(i，j
(k
))
O
1 第 j行
O
1
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则P(i, j)1 P(i, j) ；
变换
ri
c
的逆变换为
ri
1 c
，
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
2.4.2 初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义2.17 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为
初等矩阵.
I
三种初等变换对应着三种初等方阵.
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
1.矩阵的初等变换 2.矩阵的秩
2.4.1 矩阵的初等变换
定义2.16 下列三种变换称为矩阵的初等行变换
1o换法变换 : 交换两行的位置
交换第i, j行, 记做 : ri rj
2o倍法变换 :以非零数c乘某一行
以k乘第i行, 记做 : cri
3o消法变换 : 把某一行的k倍加到另一行上
即
A1 P1P2 L Pt
由 A1A I ，就有
(P1P2 Pt ) A I， (P1P2 Pt )I A1
上面第一式表示 A 经有限个初等行变换化为单位
矩阵 I，第二式表示经这些初等行变换变为 A1.用
分块矩阵形式把上两式写成
(P1P2 Pt ) I I A1
或
A I 初等行变换 I A1
2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形
定义2 满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：
（1）若有零行，则该行下方所有行元素均为零； (2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位 于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为零。
b1
0
0
* b2 0
*
* *
* *
r行
1. 交换矩阵A的两行或两列； 2.以数 c 0 乘矩阵A某行或某列； 3.以数 k 乘矩阵A某行（列）加到另一行（列）上去．
(1) 交换I的两行或两列，得初等对换矩阵。 对调 I中第 i, j 两行，即 (ri rj )，得初等方阵
1
O
1
0L
1
第 i 行
1
P(i, j)
MO M
* *
C 0
D 0
0
0
0 br *
*
0 0 0
C是上三角矩阵
0 0 0
定义 行最简矩阵是指在阶梯形中
(1)非零行第一个非零元素为1， (2)每一行第一个非零元素1所在的列中其它元素都为零， 即：
1
0
0
0
0 1 0 0
0
为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们首 先需要建立如下的定理。
定理2.6 n阶矩阵A可逆的充要条件是A 的标准形是In.
(1)Ann是可逆矩阵。
设矩阵Ann是n阶方阵,那么下列各命题等价 :
(4)A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
由定理2.6知道
若A可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，
把第j行的k倍加到第i行上, 记做 : ri krj 此时变换的是第i行,第j行没有变化! 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)．
矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 换法变换 (2) 倍法变换 (3) 消法变换
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同．
证明：具体验证即可
设A按行分块，对A施行倍加变换，将A的第j行 k倍加到第i行上，即
1
M
i
A
M r i kr j
j
M
m
1
M
i k j
M
j
M
m
1
P(ij(k )) A
1
另两种情形同理可证
k 1
1
i
j
1
m
1
则 P(i(c))1 P(i(1)); c
变换 ri krj 的逆变换为 ri (k)rj，
则 P(i，j(k))1 P(i，j(k)) .
定理2.3
设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ， 相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
i
k
j
j
m
一般记法：
P i, j A表示A的第i行与第j行对换, AP i, j 表示A的第i列与第j列对换.
P i c A表示A的第i行乘c 0, AP i c 表示A的第i列乘c 0.
P i，j k A表示A的第j行乘k加到第i行上, AP i，j k 表示A的第i列乘k加到第j列上.