常微分方程的差分方法

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4.11
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4.12
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欧拉格式的精度
yn y xn 为简化分析，人们常在 yn 为准确即
误 差 精 度是
y xn1 yn1
的前提下估计
，这种误差称为局部截断误差。 O h p 1
p p如果一种数值方法的局部截断误差为
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七桥问题Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问题之一。在哥 尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷 格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。问是否可能从这四块陆地中任 一块出发，恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究并解决了 此问题，他把问题归结为如下右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能 的。 给出了连通网络可一笔画的充要条件是 它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧 的条数是奇数)的个数为0或2。
， 则称它的的
阶的，或称之为
阶方法。
y ( x)在x n点的 2阶Taylor展开式 , h x n 1 x n y ( x n 1 ) y ( x n ) hy' ( x n ) y n 1 1 2 h y" ( ), 2 y ( x n ) hy' ( x n )为Euler公式 1 2 h y" ( ) 2
瑞士的巴塞尔城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自 学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读 得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人 请教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了 数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小 的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努 利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与 其建立了深厚的友谊。约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜 于蓝的学生：“我介绍高等分析时，他还是个孩子，而你将他带 大成人。”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次 年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始 了他的数学生涯。 兴奋中突然停止了呼吸，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我 要死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”，享年76岁。 为自己的数学家，为有他而感到骄傲 .
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4.7
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• 19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧
拉的著作永远是了解数学的最好方法．"
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欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧 ，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是 值得我们学习的．欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧 来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π（1736年 ），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（ 1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等， 都是他创立并推广的。歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信 中提出来的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创 立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的 设计计算理论。
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4.8
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• 欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19
岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”，欧 拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己 的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名 。
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4.9
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七桥问题
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1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉 解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家 几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了． 然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁． 1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所 长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料 没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年 彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中 ，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为 灰烬了． 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完 全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着 记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久
1 y n 1 y ( x n ) hy' ( x n 1 ), y ( x n 1 ) y n 1 h 2 y" ( ) 2
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两步欧拉格式1
设改用中心差商
1 y xn 1 y xn 1 2h y ' xn f xn , y xn
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两步欧拉格式2
y ( x)在x n点的 2阶Taylor展开式 , h x n 1 x n x n x n 1 1 2 h y" ( x n ) O (h 3 ), 2 1 2 y ( x n 1 ) y ( x n ) hy' ( x n ) h y" ( x n ) O (h 3 ), 2 y ( x n 1 ) y ( x n 1 ) 2hy' ( x n ) O (h 3 ) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy' ( x n ) y n 1 y ( x n 1 ) 2hy' ( x n )为两步 Euler公式 y ( x n 1 ) y n 1 O (h 3 ) 所以两步 Euler公式为二阶方法 .
yn1 yn hf xn1, yn1
该格式右端含有未知的 yn1 ，它实际上是个关于yn1 的函数方程 。 故称该格式隐式欧拉格式。隐式欧拉格式也是一阶方法 ,与欧拉格式 y ( x)在x n 1点的 2阶Taylor展开式 相当。
1 y ( x n ) y ( x n 1 ) hy' ( x n 1 ) h 2 y" ( ), 2 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hy' ( x n 1 ) h 2 y" ( ) 2
4.6
为“分析的化身”。
• 1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在
• 欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作
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• 他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海
的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余 卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论 占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作， 足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉 的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几 何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数， 微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程， 复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更 独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当 时数学家们称他为"分析学的化身"．
y ' f x, y y x0 y0
且满足 Lipshitz条件 :| f ( x, y) f ( x, y * ) | L | y y * |
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归 结出来的微分方程要靠数值解法。
是已知的，则依据
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4.3
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4.4
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4.5
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莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）
• 18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称 • 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），1707年出生在
替代方程
中的导数项 ，再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn1 2hf xn , yn
无论是显式欧拉格式还是隐式欧拉格式，它们都是单步法，其 特 点是计算时只用到前一步的信息 y ,y 的 n1 n 信息
yn
，而该格式却调用了前面两步
，两步欧拉格式因此而得名。 两步欧拉格式具有更高的精度，它是二阶方法。
第三章
常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
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4.1
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引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的 最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
n n 1 n 2
n
计算
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的递推公式，这类计算格式统称为差分格 式。
4.2 安工大2004
欧拉格式
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解 的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这项手续 称为离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若 y xn 1 y xn 在点 xn 列出方程，并用差商 代替 ，结果有 y ' xn
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欧拉格式仅为一阶方法。
y ( x n 1 ) y n 1
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隐式欧拉格式
1 设改用后差商 h y xn 1 y xn y ' xn1 f xn1, y xn1
替代方程
中的导数项 y ' xn1 ，再离散化，即可导出下列格式
差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求 离散节点
x1 x2 xn
上的近似解 y1, y2 ,, yn ,, 。
h xn1 xn ，相邻节点间距
称为步长
初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列 的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息 y , y , y , y
y xn1 y xn hf xn , y xn
h
yn1 设用 y xn 的近似值 yn 代入上式右端，记所得结果为
，这样导
出的计算公式
yn1 yn hf xn , yn , n 0,1,2,
就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值 y0 上式即可逐步算出数值解 y1 , y2 , 。
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4.16
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微分方程的数值解
设微分方程 : y ' ax b, y (0) 0 易知其准确解 : y ( x) 由Euler公式 , y n 1 1 2 ax bx, 2 y n h(axn b), n 0
y (0) 0, y 0 0, x0 0 x n nh, n 0 y1 y 0 h(ax0 b) hb y 2 y1 h(ax1 b) 2hb ahx1 y 3 y 2 h(ax2 b) 3hb ah( x1 x 2 ) y n nhb ah( x1 x 2 x n 1 ) bxn ah2 (1 2 n 1) y( xn ) y n