概率与数理统计4.泊松过程
泊松过程PPT课件
证 事件{T1 t }的发生当且仅当没有泊松事件在[0，t] 内发生
故当t 0 时，有
P{T1
t}
P{X (t)
0}
(t ) 0
0!
e t
et
或 P{T1 t} 1 et
故 T1 的分布函数为
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FT1
(t )
1 0,
e t
,t t
而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.
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例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程.
解
设 X (t)表示在时间t时到达的顾客数
P(X (0.5) 1, X (2.5) 5)
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155
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则 随机过程{ N (t) ， t 0 }称为一个计数过程。
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注
如果在不相交的时间区间中发生的 事件个数是独立的，则称计数过程有独 立增量。
若在任一时间区间中发生的事件个 数的分布只依赖于时间区间的长度，则 称计数过程有平稳增量。
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2．泊松过程
设随机过程{X (t) ，t 0 }是一个计数过程，
s(t s) s (s)2 s(t 1)
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程公式范文
泊松过程公式范文泊松过程（Poisson process）是概率论中的一种重要的随机过程。
它以数学家西莫恩·庞加莱（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在19世纪早期首次引入了这个概念。
泊松过程是一种离散时间（时间按照一定的间隔划分）连续状态（可以不断地发生事件）的随机过程。
泊松过程的定义是：在一段时间内，事件发生的次数服从泊松分布（Poisson distribution）。
这段时间可以是无穷小的时间间隔，也可以是有限的时间窗口。
泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。
所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数，即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。
泊松过程的数学定义可以表示为：P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中，N(t)表示在时间t内发生的事件次数，k表示事件的个数，λ表示单位时间内平均发生的事件个数。
根据泊松过程的定义，可以得到一些重要的性质和公式。
首先是事件发生的概率。
在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示，其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。
这个公式是泊松分布的概率质量函数。
其次是事件之间的时间间隔。
由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布，所以事件发生的时间间隔满足无记忆性（memoryless）的特性。
无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关，只与发生事件的频率有关。
再次是事件的到达间隔。
事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件的到达间隔呈指数分布。
事件的到达间隔的期望值（也称为平均间隔）为1/λ，即单位事件到达的平均时间间隔。
最后是超过特定事件个数的概率。
假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。
可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。
概率与数理统计4.泊松过程
如此重复 ,一般地可得到
Pk ( t0 , t ) P{ N ( t0 , t ) k }
[ ( t t 0 )]k ( t t0 ) e , t t 0 , k 0,1,. k!
小结
增量 N ( t0 , t ) N ( t ) N ( t0 ) 的概率分布是参数 为 ( t t0 ) 的泊松分布, 且只与时间差t t0有关 ;
j2 k k
j2
所以 Pk ( t 0 , t t ) P j ( t , t t ) Pk j ( t 0 , t )
j 0
[1 t o( t )]Pk ( t0 , t ) [t o( t )]Pk 1 ( t0 , t ) o( t ) , k 1.
当 i 2 时, 第 i 1 个质点出现在时刻 t i 1 的条件下, Ti 的条件分布函数
FTi ti 1 ( t t i 1 ) P {Ti t t i 1 t i 1 }
P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1 N ( t i 1 ) i 1}
k 0
P0 ( t , t t ) 1 P1 ( t , t t ) Pk ( t , t t )
k 2
1 t o(t ).
当 t 0 时 , 先计算 P0 ( t 0 , t ) .
P0 ( t0 , t t ) P{ N ( t0 , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) N ( t , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) 0, N ( t , t t ) 0},
P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1} 1 P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 0}
随机过程第三章 泊松过程
解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
第三章泊松过程PPT课件
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
泊松分布、泊松过程、泊松点过程
泊松分布、泊松过程、泊松点过程1.泊松分布##泊松分布是⼆项分布的极限分布，假设有⼀列⼆项分布B(n,p n)，均值为λ,即limn→∞np n=λ>0，对任何⾮负整数k(即发⽣k次的概率)有limn→∞b(k;n,p n)=limn→∞C k n p k n(1−p n)n−k=e−λλkk!。
证明：C k n p k n(1−p n)n−k=n!k!(n−k)!p kn(1−p n)n−k=1×2×3×...×nk!×1×2×3...×(n−k)×n k(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n=n×(n−1)×(n−2)×...×(n−k+1)k!×n k(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n=1k!(1−1n)(1−2n) (1)k−1n)(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n注意到limn→∞(np n)k=λk，和limn→∞(1−p n)n=e−λ。
定理证毕。
泊松分布是⼆项分布的极限分布，当n很⼤，p很⼩时，⼆项分布就可以近似地看成时参数λ=np的泊松分布。
2.泊松过程##实验结果满⾜泊松分布的实验即为。
3.泊松点过程##泊松点过程其实和泊松过程并⽆区别。
只是在我初接触的时候不⾃觉的把它当成⼀个⼆维的撒点过程。
所以我想更多⼈会把这个术语当做是如何在⼆维平⾯撒满⾜泊松分布点的⽅法。
放⼼，这⾥也是介绍⽅法的。
3.1⼀维的撒点⽅法###3.1.1算法1####我们注意到，在齐次泊松过程中，两次事件的距离是满⾜均值为1λ的指数分布。
(0) 初始化 t = 0;(1) 取⼀个满⾜均匀分布u~U(0,1)的随机数u;(2) t=t−1λlog(u);(3) ⽣成⼀个点t；(4) 返回(1)。
3.1.2算法2####假设在固定的时长[0,t0]，事件发⽣次数为N(t0)=n，事件发⽣的时间T_1,T_2,...,T_n(排序过的)满⾜均匀分布。
概率论与数理统计 泊松分布
练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数．
则 X ~ B600， 0.012．
用 Poisson分布近似计算，
取 600 0.012 7.2．
练习3解答（续）
所以，
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
P{X N} 0.01.
P{X N} 0.01.
用泊松分布近似计算二项分布
P{X N} N 3k e3 0.99. k0 k!
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配 备 8 个工人。
泊松分布的分布律 （PDF）
二项分布的分布律 （PDF）
泊松分布的CDF 二项分布的CDF
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
• 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布．
• 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的．
k e 0
k!
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
所以
k e e k e e 1
泊松过程和指数分布
泊松过程和指数分布1. 介绍泊松过程和指数分布是概率论和数理统计中的两个重要概念。
泊松过程描述的是事件在一定时间内发生的频率，而指数分布描述的是连续随机事件发生的时间间隔。
本文将深入探讨泊松过程和指数分布的定义、性质以及在实际应用中的应用场景。
2. 泊松过程2.1 定义和性质泊松过程是一种时间上的随机过程，其定义如下：•在任意固定时间段内，事件发生的次数服从泊松分布。
•在任意不重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的。
泊松过程常用来描述稀有事件的出现，例如地震发生的次数、客户到达某商店的次数等。
泊松分布是该过程的概率分布函数，其数学表达式如下：P(X=k)=λk e−λk!其中，X表示在单位时间内事件发生的次数，λ表示单位时间内事件平均发生的次数。
2.2 应用场景泊松过程在实际应用中有广泛的应用场景，以下是其中几个典型的例子：2.2.1 电话到达系统在一个电话系统中，电话接收员接收到的电话数量可以看作是一个泊松过程。
根据泊松过程的性质，可以计算在一定时间段内接收到电话的概率，从而评估电话接收员的工作量和需求。
对于网络流量来说，到达某节点的数据包数量也可以看作是一个泊松过程。
通过对泊松过程建模，可以预测网络流量的峰值和波动情况，从而优化网络资源的分配和调度。
2.2.3 遗传变异分析在遗传学研究中，基因突变的发生也可以使用泊松过程进行建模。
通过分析遗传变异的频率和规律，可以更好地理解和预测基因突变在遗传传递中的作用和影响。
3. 指数分布3.1 定义和性质指数分布是一种连续概率分布，其定义如下：•随机变量X的概率密度函数f(x)如下所示：f(x)={λe −λx,if x≥00,if x<0•随机变量X的累积分布函数F(x)如下所示：F(x)={1−e −λx,if x≥00,if x<0其中，λ为指数分布的一个参数，表示事件发生的平均速率。
3.2 应用场景指数分布在实际应用中也有广泛的应用场景，以下是其中几个常见的例子：3.2.1 服务时间分析在排队论中，服务时间常常被建模为指数分布。
4-泊松过程
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
概率论与数理统计泊松分布
k！k e
Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
若随机变量 X ~ Bn， p，
则当n比较大，p比较小时，
令：
np
则有 PX k Cnk pk 1 p nk
k e
k!
练习3
设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）．
解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台
中同一时刻发生故障的台数”，则 X ~ b (20，0.01）.
以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及 时维修”， 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概
率为：
P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1) P{X 2}.
k 1
k
1, k 1, k 1, k
如果 是整数，则 k 或 1时，
P(X k)达到最大；
如果 若 不是整数，则 k 时，
P(X k)达到最大；
练习4
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
n
nk
lim 1
n
n
n
nk n
n
n n
n n
Poisson定理的证明(续2)
所以，
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
lim
k n
1
1
1
2
1
泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是 随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
P , Xt h Xt0 XtX0n P , Xt h Xt1 XtX0n1 P XtX0nj,Xt hXt j
j 2
n 1 P t 1 h h P t h 1 h h h n n 1
P t hP t h 0 0 所 以 P t P t 0 0 h h
取 h 0 的 极 限 ， 得
所 以 l n P t tC ,P t C e
t 0 1 0
P t P t, 且 P 0 P X 0 0 1 0 0 0
t
n
P n t
t
n!
n
et
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由 数 学 归 纳 法 知 ： P t n
由 条 件 （ 2 ） 有 ：
t e
n !
n t
P X t s s n P X t X 0 n X P X t n P t n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定 义 3 . 3 （ 泊 松 过 程 ） 称 计 数 过 程 X t , t 0
随机过程第三章-泊松过程
N (t)
定理3.6 设 X (t) Yi 是一复合泊松过程,其中泊松 i 1
过程 N(t) 的强度为 ,则
(1) X (t) 具有独立增量;
(2)若E(Yi ) 1, E(Yi2 ) 2 均存在,则
E[ X (t)] t1,
D[ X (t)] t2
证 (1) 令 t0 t1 tn ,由于N(t)具有独立增量性,故
的泊松分布,故
P{N (10) N (0) 1} (4.5)e4.5
二.复合泊松过程
定义3.6 称随机过程 {X (t),t 0}为复合泊松过程,如果对
于 t 0 ,它可以表示为如下形式
N (t)
X (t) Yi i 1
其中 {N(t),t 0} 是一个泊松过程, Y1, ,Yn 是一族独立同 分布的随机变量,并且与 {N(t),t 0} 独立.
(5)4 e5 4!(7)5 e7 (12)9 e12 9!
5! C94
5 12
4
1
5 12
94
.
(5) E[N(5)]=5, D N 5 5,
Cov[N(5), N(12)] D N 5 5.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t 0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M (t),t 0} 是一个强度为
(1) N(0) 0;
(2) N(t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P{N (t s) N (s) n} (t)n et ,
n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
第3章 泊松过程PPT课件
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程 N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)，
t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0 2， N(t)为整数 3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < tN(t)－ N(s) 为区间(s , t]中发生的事件的个数。
3，过程有平稳增量，即对任意s，t ≥0，n≥0，有
P N t s N s n P N t n
4，对任意t>0，△t>0，有
P N t t N t 1 P N t 1 t o t
P N t t N t 2 P N t 2 o t
例 顾客到达某商店服从参数 4 人/小时的泊松过程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾
客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
解 设 N ( t ) 表示在时间t时到达的顾客数
P (N (0 .5 ) 1 ,N (2 .5 ) 5 )
P ( N ( 0 . 5 ) 1 ,N ( 2 . 5 ) N ( 0 . 5 ) 4 )
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二、泊松过程的定义 Def 1 计数过程{N(t)，t≥0}称为时齐的泊松过程，若满足：
1，N(0)=0 2，过程有独立增量，即任取0<t1<t2<···<tn 有 N(t1)，N(t2)－ N(t1)， ···， N(tn) － N(tn-1) 相互独立
P 001 , 条 1 件 N 00
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
泊松过程的生成及其统计分析
实验实验：：泊松过程的生成及其统计分析实验报告张京晶硕834班2008-10-17确定入。
1确定入因为每一个用户在Δt内呼入的概率为p，所以单位时间的呼叫频度入=M * p/Δt;的生成过程。
2 仿真N(t)的生成过程难点：正确理解物理过程中对Δt和p的定义用二项分布来模拟电话的呼入过程，u=binornd(1,p,M,T/Δt);•在每个单位时间Δt内，电话呼入即事件发生，且发生的概率为p；•在每个Δt内，可能呼叫的用户数为M；•共计时间T，即T/Δt次；•Δt足够小，以至每Δt内最多只有一个用户呼入，所以要对生成的二项分布进行处理程序:p=0.000005;M=3000;delt_t=0.002;T=10;u=binornd(1,p,M,T/delt_t);y=(sum(u)~=0); %根据物理过程对Δt和p的定义，修改y值m(1)=0;for i=1:1000m(i+1)=m(i)+y(i);endplot(m);与理论模型的吻合程度。
3 1）观察生成的N(t)与理论模型的吻合程度难点：1、Nt=delt_t*find((sum(u)~=0)==1);Nt1(loop)=sum(Nt<t1);2、提取直方图里的有用信息=> 方便与理论值进行比较；可以重叠观察几个直方图[N_1,index1]=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1));stem(index1,N_1/LOOP,'r');3、与理论值进行比较，画理论曲线时：固定时间t，k为变量；注意k实际上的对应值应为index1(k)p1(k)=exp(-lambda*t1)*(lambda*t1)^index1(k)/prod(1:index1(k));•进行Loop次实验，对N(t1)、N(t2)、N(t3) 三个随机变量的样本（t1红<t2蓝<t3绿）做数理统计。
•描点代表仿真生成的N(ti)，连续曲线代表理论分布曲线。
泊松过程知识点总结
泊松过程知识点总结泊松过程的定义泊松过程是一种连续时间、非负整数值的随机过程，它具有以下三个基本特征：1. 间断性：泊松过程的取值为非负整数，表示在给定时间段内事件的发生次数。
事件是间断发生的，即事件发生的时间是离散的。
时间的流逝是连续的，但事件的发生是突发的。
2. 独立性：在任意时间段内事件的发生是相互独立的，即过程在不同时间段上的取值是相互独立的。
泊松过程的间断性和独立性是它的两个最基本的性质。
3. 均值稳定性：泊松过程的事件发生率是稳定的，即单位时间段内事件的平均发生次数是一个常数，称为泊松过程的强度参数。
泊松过程的数学描述泊松过程的数学描述可以用随机变量的数学期望和协方差来表示。
假设在时间段[t,t+Δt)内事件的发生次数为N(t, t+Δt)，则泊松过程的强度参数λ为单位时间内事件的平均发生次数。
若Δt→0，则事件的发生次数N(t, t+Δt)服从参数为λΔt的泊松分布，即：P(N(t, t+Δt)=n)= (λΔt)^n / n! * e^(-λΔt)其中，P(N(t, t+Δt)=n)表示时间段[t,t+Δt)内发生n次事件的概率，Δt表示时间段的长度，λ表示泊松过程的强度参数，e为自然对数的底。
当Δt→0时，上式收敛到n的极限形式，得到泊松过程的发生次数服从泊松分布：P(N(t, t+Δt)=n)= (λt)^n / n! * e^(-λt)泊松过程的期望和方差泊松分布的随机变量N(t, t+Δt)的数学期望和方差分别为：E[N(t, t+Δt)] = λΔtVar[N(t, t+Δt)] = λΔt其中，E[•]表示数学期望运算符，Var[•]表示方差运算符。
泊松过程的性质泊松过程具有多种重要性质，有助于深入理解和应用它的特性：1. 稳定性：泊松过程在时间序列上是稳定的，即在不同时间段上事件的发生次数服从相同的分布。
2. 无记忆性：泊松过程具有无记忆性，即在已知过去时间的事件发生次数的条件下，未来时间的事件发生次数与过去没有关系，事件是相互独立的。
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m N (t ) t ,
2 N ( t ) Var[ N ( t )] t ,
均值函数 方差函数
N (t ) E[ ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点 数目的期望值.
C N ( s, t ) min(s, t ), s, t 0.
T1
o
T2
W1
Tk
W2
Wk 1 Wk
则 Ti 也是随机变量, 称为相继出现的第i 1 个质点和
第 i 个质点的 点间间距 .
下面求 Ti 的概率密度函数 .
因为 T1 W1 , 所以 T1 服从指数分布
e t , t 0 , fT1 ( t ) fW1 ( t ) 0, 其他 .
P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1} 1 P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 0}
1 P{ N ( t ) 0} 1 e t , t 0,
FTi ti 1 ( t t i 1 ) 0, t 0.
求导可得条件概率密度函数为
e t , t 0 , fTi t i 1 ( t t i 1 ) 0, t 0. 随机变量Ti , t i 1 的联合概率密度函数为 e t f t ( t i 1 ) , t 0, t i 1 0 , i 1 f ( t , t i 1 ) 0, 其他 . 对上式关于 t i 1 积分 , 得 Ti ( i 2, 3,) 的概率密度为
P { N ( t , t t ) j } P { N ( t 0 , t ) k j }
j 0 k k
P j ( t , t t ) Pk j ( t 0 , t ) .
j 0
因为当 k 2 时,
P j ( t , t t ) Pk j ( t 0 , t ) P j ( t , t t ) o( t ),
(1) 在不相重叠的区间上的增量具有独立性.
(2)对于充分小的t , P1 ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) 1} t o( t ),
常数 0 称为过程 N ( t ) 的强度.
(3)对于充分小的 t ,
P j ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) j } o( t ) .
P0 ( t0 , t t ) P{ N ( t0 , t ) 0, N ( t , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) 0}P{ N ( t , t t ) 0} P0 ( t0 , t )[1 t o( t )], 进而得 P0 ( t0 , t t ) P0 ( t0 , t ) P0 ( t0 , t )t o( t ),
4.3 与泊松过程有关的随机变量
等待时间及其分布 设质点(或事件)依次重复出现的时刻
t1 , t 2 , , t n , 是强度为 的泊松流 , { N ( t ), t 0} 为相应泊松过程. 记 W0 0 , Wn t n , n 1 , 2 ,
W1
o
W2
t1
Wk 1
Wk
t k 1
t2
tk
则 Wn 是随机变量, 表示第 n 个质点 (或事件第 n 次) 出现的
等待时间 .
求Wn 的分布函数 FWn ( t ) P{Wn t } .
因为 {Wn t } { N ( t ) n} , 所以
FWn ( t ) P{Wn t }
1 P{Wn t }
P1 ( t 0 , t ) ( t t 0 )e ( t t0 ) , t t 0 .
令 k 2, 利用初始条件和P0 ( t0 , t ), P1 ( t0 , t ) 可得
[ ( t t 0 )]2 ( t t0 ) P2 ( t 0 , t ) e , t t0 . 2
将此式进行整理后可得
Pk ( t0 , t t ) Pk ( t0 , t ) Pk ( t0 , t )t Pk 1 ( t0 , t )t [ Pk ( t0 , t ) Pk 1 ( t0 , t ) 1]o( t ), 两边除以 t , 令 t 0, 取极限得微分 差分方程
e t , t 0 , fTi ( t ) i 2, 3, . 0, t 0.
小结
点间间距序列{ Ti } 服从相同的指数分布.
理论上 , T1 , T2 ,, Ti , 是相互独立的随机变量.
1 P{ N (t ) n} P{ N (t ) n}
(t )k e t , k! k n
t 0,
FWn ( t ) 0, t 0.
对时间 t 求导 , 可得 Wn 的概率密度函数为
n dFWn ( t ) t n1e t , t 0 , fWn ( t ) ( n 1)! dt 0, 其他 .
计数过程的定义
用 N ( t ) , t 0 表示在时间间隔(0 , t ] 内 , 时间轴上
出现的质点数 . { N ( t ) , t 0} 是一个状态取非负整数 、时间连续
的随机过程, 称为 计数过程 .
计数过程的一个典型样本函数:
N (t )
o t1 t 2 t 3
协方差函数
RN ( s, t ) E[ N ( s ) N ( t )] 2 st min( s, t ), s, t 0.
相关函数
若 是时间 t 的函数 ( t ), t 0 , 则称泊松过程是
非齐次的.
对非齐次泊松过程 , 用类似的方法可以求出增量 的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征.
P0 ( t 0 , t t ) P0 ( t 0 , t ) o( t ) P0 ( t 0 , t ) , t t
令 t 0 , 取极限得微分方程
dP0 ( t0 , t ) P0 ( t0 , t ). dt
因为 N ( t0 , t0 ) 0 , 所以 P0 ( t0 , t0 ) 1.
当 i 2 时, 第 i 1 个质点出现在时刻 t i 1 的条件下, Ti 的条件分布函数
FTi ti 1 ( t t i 1 ) P {Ti t t i 1 t i 1 }
P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1 N ( t i 1 ) i 1}
fTi ( t ) 0 f ( t , t i 1 )dt i 1 0 et f ti 1 ( t i 1 )dt i 1 et 0 f ti 1 ( t i 1 )dt i 1
e t , t 0, fTi ( t ) 0, t 0.
k 0
P0 ( t , t t ) 1 P1 ( t , t t ) Pk ( t , t t )
k 2
Hale Waihona Puke 1 t o(t ).
当 t 0 时 , 先计算 P0 ( t 0 , t ) .
P0 ( t0 , t t ) P{ N ( t0 , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) N ( t , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) 0, N ( t , t t ) 0},
j2
j2
(4) N (0) 0.
满足条件(1)(2)(3)(4)的计数过程 N ( t ), t 0}称作 {
强度为 的泊松过程 .
相应的质点流或质点出 现的随机时刻t1 , t 2 , 称作
强度为 的泊松流 .
泊松过程增量的概率分布律
由于 Pk ( t 0 , t ) 1 , 所以根据假设有
利用初值条件求解微分方程可得
P0 ( t 0 , t ) e ( t t0 ) , t t 0 .
再计算 Pk ( t0 , t ), k 1.
P{ N ( t0 , t t ) k } P{ N ( t0 , t ) N ( t , t t ) k }
第4章 泊松过程
4.1 泊松过程的数学模型
4.2 泊松过程的数字特征
4.3 与泊松过程有关的随机变量 课后作业
4.1 泊松过程的数学模型
问题的提出 下列事件随时间的推移迟早会重复出现： ⑴ 自电子管阴极发射的电子到达阳极； ⑵ 意外事故或意外差错的发生； ⑶ 要求服务的顾客到达服务站. 将电子、事故或差错、顾客等看作时间轴上的质点 , 电子到达阳极、事故或差错发生、顾客到达服务站等事 件的发生相当于质点出现 . 因此研究的对象可以认为是 随时间推移 ,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成 的随机的质点流 .
泊松流 (泊松过程) 的等待时间 Wn 服从 Γ ( n, ) 分布.
取 n 1 , 得质点(或事件) 首次出现的等待时间W1
服从指数分布
e t , t 0 , fW1 ( t ) 0, 其他 .
点间间距及其分布
记 Ti Wi Wi 1 , i 1 , 2 ,
dPk ( t0 , t ) Pk ( t0 , t ) Pk 1 ( t0 , t ) , t t0 . dt
因为 N ( t0 , t0 ) 0 , 所以 Pk ( t0 , t0 ) 0, k 1. 令 k 1, 利用初值条件和P0 ( t0 , t ) 的表达式可得
t4