泊松过程

Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
P{ X ( s ) = k , X (t ) = n} P{ X (t ) = n}
P{ X ( s ) = k , X (t ) − X ( s) = n − k} = P{ X (t ) = n}
(λs ) k e − λs [λ (t − s )]n − k e − λ (t − s ) ⋅ k! (n − k )! n! s k (t − s ) n − k = = ⋅ n − λt (λt ) e k!(n − k )! tn n!
fWk X (t ) ( s n) =
= lim
(λ t ) n − λt e , P{ X (t + s ) − X ( s ) = n} = n! n = 0, 1, ⋯
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程 X (t) , t ≥0 }为具有参数 λ >0 的泊松 称计数过程{ 为具有参数 过程，若它满足下列条件： ， 满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式： 满足下列两式：
FTn (t ) = P{Tn ≤ t} = (1 − e − λt )u (t )
f Tn ( t ) = λ e − λ t u ( t )
Φ Tn ( t ) =
λ λ − jω
D [Tn ] = 1 λ 2
E [Tn ] = 1 λ ,
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t ≥ 0 }是具有参数λ的泊松过程，{Wn , n≥1} 是具有参数 的泊松过程， ≥ 是对应的等待时间序列，则随机变量 服从参数为n与 是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为 与λ 分布（又称为爱尔兰分布 分布） 的Γ 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为
n −1 (λ t ) k FW n ( t ) = 1 − e − λ t ∑ k! k =0
u (t )
fW n (t ) = λ e − λt
( λ t ) n −1 u (t ) ( n − 1)!
Φ W n (ω ) =
λn
( λ − jω ) n
E [W n ] = n λ D [W n ] = n λ 2
Hale Waihona Puke n! n , 0 < t1 < ⋯ < t n < t f (t1 , ⋯ , t n X (t ) = n ) = t 0, 其它
[例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，且0 < s < t，对 内事件A已经发生 ，
内事件A发生 次的概率。 于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件 发生 k 次的概率。
泊松过程
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 泊松冲激序列 散粒噪声 非齐次泊松过程 复合泊松过程
引 言
只可能有两个值: [(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值 0 和 1，其概率 ] ， 分布为 分布为：
P( X = 1) = p, P( X = 0) = 1 − p = q
E ( X ) = p, D( X ) = pq
K X ( s, t ) = R X ( s, t ) − m X ( s )m X (t ) = λ ⋅ min( s, t ) = λs , ( s < t )
(2) 时间间隔与等待时间
是泊松过程， 设 {X (t), t ≥ 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件 是泊松过程 表示 时刻事件A 发生的次数， 发生的次数， T1 0 W1 T2 T3 W2 W3 Tn Wn-1 Wn
P{ X (t + h ) − X (t ) = 1} = λ h + o ( h ) P{ X (t + h ) − X (t ) ≥ 2} = o ( h )
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电 表示电 时间内收到的呼叫次数， 话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t ≥0 } 是 一个泊松过程。 一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记 内到达售票窗口的旅客数， 间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t ≥0 } 是一个泊 松过程。 松过程。 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程， 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
n→ ∞
lim P { X = k } =
λk e −λ
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量 的所有可能取值为 1, 2, … ，而 ] 随机变量X 的所有可能取值为0, 取各个值的概率为
P{ X = k } =
λk e − λ
k!
, k = 0, 1, 2, ⋯ ( λ > 0为常数 )
则随机变量X 则随机变量 服从参数为λ 的泊松分布，简记为π (λ)。 ，简记为 。
2 泊松过程的基本性质
泊松分布: 泊松分布
(λ t ) n − λt P{ X (t + s ) − X ( s ) = n} = e , n!
(λ t ) n − λt P{ X (t ) = n} = e , n!
n = 0, 1,⋯
n = 0, 1, 2, ⋯
λ t ( e jω −1)
Φ X (ω ) = E [ e
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
的泊松过程。若仪器振动k 次就会出现故障， 次就会出现故障 数λ的泊松过程。若仪器振动 (k ≥ 1)次就会出现故障， 正常工作的概率。 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。 [解] 故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻 故障时刻就是仪器发生第 振动的时刻Wk ， 振动的时刻 分布: 服从Γ 分布
分布函数：
s<0 0, FW1 X ( t ) =1 ( s ) = s / t , 0 ≤ s < t 1, s≥t
分布密度：
λse − λs ⋅ e − λ ( t − s ) s = = − λt λte t
1 / t , 0 ≤ s < t fW1 X ( t ) =1 ( s ) = 其它 0,
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t ≥ 0 }是具有参数λ的泊松过程，{Tn , n ≥ 1 } 是具有参数 的泊松过程， 是对应的时间间隔序列，则随机变量T 是对应的时间间隔序列，则随机变量 n (n=1,2,…)是独立同 是独立同 分布的均值为1/ 指数分布。 分布的均值为 λ 的指数分布。 Tn 的分布函数： 的分布函数： Tn 的概率密度函数： 的概率密度函数： Tn 的特征函数： 的特征函数： Tn 的数字特征： 的数字特征：
P{s < Wk ≤ s + h X (t ) = n} =
P{s < Wk ≤ s + h, X (t ) = n} P{ X (t ) = n} P{s < Wk ≤ s + h, X (t ) − X ( s + h) = n − k} = P{ X (t ) = n} P{s < Wk ≤ s + h} ⋅ P{ X (t ) − X ( s + h) = n − k} = P{ X (t ) = n}
泊松过程
[定义] 称计数过程 X (t) , t ≥0 }为具有参数 λ 的泊松过程， 称计数过程{ 为具有参数 ， 若它满足下列条件： 满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件 发生的 平稳性） 的区间中，事件A发生的 的泊松分布， 次数服从参数 的泊松分布 次数服从参数λ >0的泊松分布，即对任意 s , t ≥0 ，有