第五讲模糊线性规划精品PPT课件
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第五讲：模糊线性规划
换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
第五讲模糊线性规划
解多目标线性规划问题(P131) (P131)： 例2 解多目标线性规划问题(P131)：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; m f = 2x + 3x + x ; ax 2 1 2 3 x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, x + 4x x ≥ 6, s.t. 1 2 3 x1, x2 , x3 ≥ 0.
Gi ( x) =
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
d0
, f0 d0 ≤ t0 ( x) ≤ f0.
定义可知， 由Gi (x)定义可知，λ∈[0, 1], 定义可知 Gi (x)≥λ t0 (x) + d0λ≤ f0, 要求模糊线性规划(2)的模糊最优解 要求模糊线性规划 的模糊最优解x*，则要 求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能 达到最大，即求x 达到最大，即求 * 满足 Ai (x)≥λ及G(x)≥λ， 达到最大值,相当于求解普通线性规划问题 且使λ达到最大值 相当于求解普通线性规划问题
m λ ax t0 ( x) + d0λ ≤ f0 i = 1, 2, …, m. (4) s.t.diλ di ≤ ti ( x) bi ≤ di diλ x ≥0
设普通线性规划(4)的最优解为 设普通线性规划 的最优解为x*, λ , 则 的最优解为 模糊线性规划(2)的模糊最优解为 的模糊最优解为x 模糊线性规划 的模糊最优解为 *, 最优值 为t0 (x*). 所以，求解模糊线性规划 相当于求 所以，求解模糊线性规划(2)相当于求 解普通线性规划(1), (3), (4). 解普通线性规划 此外，再补充两点说明： 此外，再补充两点说明： ① 若要使某个模糊约束条件尽可能满 只需将其伸缩指标降低直至为0； 足，只需将其伸缩指标降低直至为 ； 若模糊线性规划(2)中的目标函数为 ② 若模糊线性规划 中的目标函数为 求最大值，或模糊约束条件为近似大(小 于 求最大值，或模糊约束条件为近似大 小)于 等于，其相应的隶属函数可类似地写出. 等于，其相应的隶属函数可类似地写出
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
第5章 模糊线性规划
求解多目标线性规划 (1) 例 解多目标线性规划问题(P204)
解
⑴ 解普通线性规划
求解多目标线性规划 (2) ⑵ 解普通线性规划
求解多目标线性规划 (3)
求解多目标线性规划 (4) ⑶ 再分别将两个目标函数模糊化
求解多目标线性规划 (5) ⑷ 采用对称型模糊判决,即将所有目标函数 与所有约束条件平等看待,然后解普通线性规划
⑴ 问题的简述
购买Si要付交易费,费率为pi ,并且当购买额不超过 给定值 ui 时,交易费按购买 ui 计算(不买当然无须付费). 另外, 假定同期银行存款利率是 r0 (r0 = %5),且既无交 易费又无风险. 已知 n = 4 时相关数据如表.试设计一种投资组合方 案,即用给定的资金 M,有选择地购买若干种资产或存 银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.
第5章 模糊线性规划
重点：理解线性规划模型的原理 掌握模糊线性规划求解的方法 难点：模糊线性规划求解
5.1 线性规划模型简介
5.1.1 线性规划问题的数学模型
最优生产计划的数学模型
目标函数 约束条件
运输问题
运输问题的数学模型
线性规划问题的数学模型
线性规划问题转换方法
单纯形解法
大M单纯形解法
第5章 重要概念与公式方法 线性规划模型 模糊化的方法 模糊线性规划求解的方法 多目标线性规划求解的方法 模糊数的隶属函数
风险投资策略 ⑴ 问题的简述 市场上有n种资产(如股票、债券等)Si ( i = 1, 2, …, n) 供投资者选择,某公司有数额为M的一 笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为ri , 并预测出购买 Si 的风险损失率为qi . 考虑到投资越分散,总的风险越小.公司确定 当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用 所投资的 Si 中最大的一个风险来度量.
模糊数学5模糊线性规划PPT课件
s.t.
0 0
.5x1 .7x1
0.6x2 0.7x2
0.6x3 0.8x3
0.8x4 0.8x4
1000 1300
x1 , x2 , x3 , x4 0
8
二. 模糊线性规划的求解方法
普通线性规划：
模糊线性规划
m in f T x x
Ax b Aeqx=beq
lbxub
m ax f T x x Ax b ~
加工每件产品工时
单位时段可
设备
供使用或必
甲
乙
丙
丁
须使用时数
A
1.0
1.2
1.4
1.5
2100
B
0.5
0.6
0.6
0.8
1000
C
0.7
0.7
0.8
0.8
1300
每件利润 12
15
8
10
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4
maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x1 1.2x2 1.4x3 1.5x4 2100
~~~
相应地改成 ,, 即可
11
转化为求最小值的线性规划模型：
m in s x1+ 4x2 -6x3
x1 x2 x3 8
s
.t
.
-
x x
1 1
+6x -3x2
2 -x3 -x3
6 4
1'
x1 ,x 2 , x 3 0
MATLAB程序如下
f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1);
模糊数学5-模糊线性规划
1 2 3
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated.
x = 4.6667 0.0000 0.6667 z =-8.6667
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）
m ax g s -d 0 z 1 x x2 x3 d 1 1 0 1 x1 6 x 2 x 3 d 2 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + d 3 -3 .5 x -3 x -x d 4 .5 1 2 3 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
求解目标函数z1的Matlab程序如下：
Z1=[1,2,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z1]=linprog(Z1,A,b,[],[],lb)
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated.
x = 4.6667 0.0000 0.6667 z =-8.6667
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）
m ax g s -d 0 z 1 x x2 x3 d 1 1 0 1 x1 6 x 2 x 3 d 2 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + d 3 -3 .5 x -3 x -x d 4 .5 1 2 3 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
求解目标函数z1的Matlab程序如下：
Z1=[1,2,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z1]=linprog(Z1,A,b,[],[],lb)
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
数学建模教学 16.模糊规划
编辑ppt
再考虑如下的普通线性规划：
min f t0( x) s.t.bi di ti ( x) bi di , i 1,2,, m
x 0
（3）
请注意模糊线性规划（2）与普通线性规划（3） 的区别与联系。
解模糊线性规划的基思想：化为普通线性规划。
编辑ppt
定义模糊线性规划（2）中带有弹性的约束条件(di 0) 的隶属函数定义为：
定义模糊线性规划（2）中目标函数的隶属函数为
G( x) [ f0 t0( x)], d0
f0 d0
t0( x)
f0
由由G( x)的定义知
[0,1],G( x) t0( x) d0 f0
编辑ppt
要求模糊线性规划（2）的模糊最优解 x*，则要求使 所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大，即
编辑ppt
约束条件带有弹性的模糊线性规划为：
其中：
min f t( x0 ) s.t.ti ( x) [bi ,di ], i 1,2,,m
x 0
（2）
ti ( x) [bi ,di ]表示当di 0时，ti ( x) bi , 当 di 0，ti ( x)取(bi di ,bi di )内某一值。 d i 称为伸缩指标。 其它符号说明同（1）
x1
x2
x3
2
10
s.t
.
x1 x1
6 x2 3 x2
x3 x3
5 0.5
3.5
x1
3 x2
x3
0.5
4.5
x1, x2 , x3 , 0
得模糊最优解为 x1 2.375, x2 0, x3 6.625, 0.5
模糊最优值为 f 42.125， 编辑ppt
线性规划及其基本理论演示文稿ppt
4000 (千工日)
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
线性规划问题举例
【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种 产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已 知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？
线性规划数学模型
建立数学模型的步骤：
Step1 分析实际问题； Step2 确定决策变量； Step3 找出约束条件； Step4 确定目标函数； Step5 整理、写出数学模型。
线性规划问题举例
【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各 体系资源用量及今年供应量见下表：
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、 乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样 的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
表1．3 下料方案
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
线性规划问题举例
【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种 产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已 知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？
线性规划数学模型
建立数学模型的步骤：
Step1 分析实际问题； Step2 确定决策变量； Step3 找出约束条件； Step4 确定目标函数； Step5 整理、写出数学模型。
线性规划问题举例
【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各 体系资源用量及今年供应量见下表：
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、 乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样 的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
表1．3 下料方案
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
第5章线性规划-PPT文档资料
2019/2/18
x2
(1.5,7) F*=620
x1
0
F=0
7
2. 线性规划的基本概念
1）可行解
x2
(1.5,7) F*=-620
—满足约束条件及非负条件的解。 （D内及其边界上的解） 2）基本解 —使n-m个变量等于0，解约束方程 x2 0 组(共有m个约束方程)所得的解。 基本解对应于约束边界的交点. 0
2019/2/18 21
二.计算实例 min F (X) 4 x x x 3 x 5 x 1 2 2 x 3 2 4 5 6
s.t.
x x x 1 x 2 2 3 4 4 x 5 4 x x 3 x 1 2 2 3 x 4 x 6 5 xj 0 ,... j 1 ,2 ,..., 6
2019/2/18 2
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1 , x2 .
max F ( X ) 40 x 1 80 x 2 X D R2
s.t.
日利润最大
x1 9 x2 7 2 x 1 3 x 2 24 x1 , x 2 0
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
2019/2/18
R x1 x 3 9
x 5 24
8
x 1 , x 2 ,..., x 5 0
举例
2019/2/18
9
四）线性规划的基本性质
1）可行域D为凸集，每个基本可行解对应于D上的一个顶点； 2）只要可行域存在且封闭，则起码有一个基本可行解为最 优点； *ⅰ）若最优点所在的边界线与等值线平行，则该边界线上
x 2 x 4 x 1 x 2 3 4 x 5 4 x 2 x 3 x 5 1 2 3 x 4 x 6 xj 0 ,... j 1 ,2 ,..., 6
x2
(1.5,7) F*=620
x1
0
F=0
7
2. 线性规划的基本概念
1）可行解
x2
(1.5,7) F*=-620
—满足约束条件及非负条件的解。 （D内及其边界上的解） 2）基本解 —使n-m个变量等于0，解约束方程 x2 0 组(共有m个约束方程)所得的解。 基本解对应于约束边界的交点. 0
2019/2/18 21
二.计算实例 min F (X) 4 x x x 3 x 5 x 1 2 2 x 3 2 4 5 6
s.t.
x x x 1 x 2 2 3 4 4 x 5 4 x x 3 x 1 2 2 3 x 4 x 6 5 xj 0 ,... j 1 ,2 ,..., 6
2019/2/18 2
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1 , x2 .
max F ( X ) 40 x 1 80 x 2 X D R2
s.t.
日利润最大
x1 9 x2 7 2 x 1 3 x 2 24 x1 , x 2 0
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
2019/2/18
R x1 x 3 9
x 5 24
8
x 1 , x 2 ,..., x 5 0
举例
2019/2/18
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四）线性规划的基本性质
1）可行域D为凸集，每个基本可行解对应于D上的一个顶点； 2）只要可行域存在且封闭，则起码有一个基本可行解为最 优点； *ⅰ）若最优点所在的边界线与等值线平行，则该边界线上
x 2 x 4 x 1 x 2 3 4 x 5 4 x 2 x 3 x 5 1 2 3 x 4 x 6 xj 0 ,... j 1 ,2 ,..., 6
M02-5 模糊线性规划
2*x1-5*x2+x3>=10;
6 April 2019
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2.1 模糊约束线性规划 模糊约束的线性规划的一般形式如下
maxz c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ~ b2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ~ (2.5.2) s .t .......... .......... ........ a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 ~ x 0 j 1,2,...,n j 其中“”表示一种弹性约束 , 可读作“近似小于等于”
~
6 April 2019
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为求解模糊线性规划，首先引入模糊约束集概念。 定义2.5.1 设 X 相应地有X中的一个模糊子集 Di 与之对应,它的隶属度 m ~ 函数为 1 aij x j bi ,
m 1 m Di f ( aij x j ) 1 ( aij x j bi ) ~ j 1 d i j 1 0
但我们主要用LINGO进行求解
6 April 2019
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1.2 实例说明 例1.求解线性规划问题： 解 LINGO程序如下：
min z 2 x1 x 2 x 3 x1 x 2 2 x 3 6 x1 4 x 2 x 3 4 s .t . 2 x1 2 x 2 x 3 12 x1 0, x 2 0, x 3 5
运行后得到输出结果：
min=-2*x1-x2+x3; x1+x2+2*x3=6; x1+4*x2-x3<4; 2*x1-2*x2+x3<12; x3<5;
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s.t. Ax ~ b
x0
其中“~”表示某种弹性，意思 是“近似小于
等于”。Ax ~ b是由m个模糊集描述的， x以
界于0和1之间的某个隶属度使不 等式Ax b成
立。
设模糊集“Ax ~ b”的隶属函数为 Di ( x),
i 1,2,, m,为简单计，令 企业资料网企业管理资料库、法规
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普通线性规划其约束条件和目标函数都 是确定的，但在一些实际问题中，约束条件 可能带有弹性，目标函数可能不是单一的， 必须借助模糊集的方法来处理.
模糊线性规划是将约束条件和目标函数 模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的 线性规划问题，它的最优解称为原问题的模 糊最优解.
13
模糊线性规划的形式为
max f Cx
f 1.5 x1 x2 0 x3 0 x4 0 检验数中1.5，1均为正数，目标值非最优，需换 基。
换基：因为10 / 2 6 / 1,故2为主元素。
1.5 1 0 0 0
2 1 1 0 10
1 1 0 1 6
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10
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
Pj1 , Pj2 ,, Pjs 线性无关，则称向量组
B （Pj1 , Pj2 ,, Pjs） 为线性规划问题的一个 基。与基对应的变量
称为基变量，其 企业资余料网变 库企、业音管量乐理库资料称库、为法规非基变量。 6
定义4 基变量非零而非基变量 为零的向量称 为基础解。可行的基础 解称为基础可行解。
s.t . x≥0指x中的每
一个分量xj ≥0
x 0.
x
x2
b
b2
xn
b2 m
对于线性规划问题：
min f cx
Ax b( 0) s.t.x 0.
等价于如下标准形式：
max f cx
Ax b,
s.t .
x 0.
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3
而对于线性规划问题：
14
n
Di ( x) fi ( aij x j ) j 1
n
1,
aij x j bi
j 1
1
1 di
n
( aij x j
j 1
bi ), bi
n
aij x j
j 1
bi
di
n
0,
aij x j bi di
j 1
i 1,2,, n.
其中d i
(
0)是适当选择的弹性参数 企业资料网企业管理资料库、法规
max f cx
Ax b( 0) s.t.x 0.
可通过引入m个松弛变量xn+1 , …, xn+m，
将原问题化成如下标准形式：
max f cx
xn1
s.t
.
Ax xB (x, xB )
b, 0.
xB
xn2
xnm 4
而对于线性规划问题：
min f cx
Ax b( 0) s.t.x 0.
其中f
为普通线性规划
0
的最优值。
。
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15
若令D D1 D2 Dm，
则可用D来代表约束条件 Ax ~ b，即Ax ~ b的
m
的隶属函数为
D(
x)
i 1
Di
(
x).
当di 0(i 1,2,, m)时，D就退化为普
通约束，这时“~”成为“”。
将目标函数转化为约束 条件Cx
f
，在
0
原模糊约束下变成模糊 集Cx ~ f0 .
s.t. x1 x2 x4 6
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
解 首先确定约束方程系数矩阵是一个基：
x1 x2 x3 x4 f
1.5 1 0 0 0
2 1 1 0 10
1 1 0 1 6
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取单位向量作为基，对 应的基变量为x3，x4， 则x1，x2为非基变量。令 x1 x2 0，得基础 可行解x (0,0,10,6),目标函数值为
三、线性规划模型解的性质 1.线性规划问题的可行解 集为凸集；
一个凸集A中的点x，如果不能成为 A中 任何线段的内点，则称 x为A的极点。 2.可行解集中的点 x是极点的充分必要条件 是 x为基础可行解； 4.线性规划问题的最优解 必在某极点达到。
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7
二、线性规划问题的解法
0 1 / 4 3 / 4 0 7.5 1 1/2 1/2 0 5
0 1 / 2 1 / 2 1 1
检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 换基：
因为5 /(1 / 2) 1 /(1 / 2),故1 / 2为主元素。
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0 1 / 4 3 / 4 0 7.5 1 1/2 1/2 0 5
可通过引入m个松弛变量xn+1 , …, xn+m，
将原问题化成如下标准形式：
max f cx
xn1
s
.t
.
Ax (1)xB (x, xB ) 0.
b,
xB
xn2 xnm
5
二、线性规划模型解的有关概念 定义1 若x（0）满足约束条件，则称 x（0）是线 性规划问题的可行解。 定义2 使目标函数达到最大值 的可行解称 为最优解。 定义3 若系数矩阵A有s个列向量
0 1 / 2 1 / 2 1 1
0 0 0.5 0.5 8 1 0 1 1 4
0 1 1 2 2
检验数中没有正数，目标值最优，完成计算：
得到最优解为
x1 4, x2 2, x3 x4 0, f 8.
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12
§5.2 模糊线性规划
第5章 模糊线性规划
1
§5.1 普通线性规划
一、线性规划模型的基本形式
线性规划问题的数学模型是将实际问题转化
为一组线性不等式或等式约束下求线性目标函数
的最小(大)值问题ax f cx c = (c1 , c2 , … , cn )
A = (aij )m×n Ax b, x1 b1
1.图解法 2.单纯形法
根据性质3，最优解可以在基础可行解中 去找。为此，首先确定A中的一个基，然后， 由检验数是否为负来判断目标函数是否为最优。 如果不是，则要换基，直到检验数均为负或者 零为止。
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8
例 求解规划问题
max f 1.5 x1 x2
2 x1 x2 x3 10