理论力学(周衍柏)的习题集答案,第五章.doc

第五章习题解答

5.1解如题5.1.1图

杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：

即

mg y =0①

变换方程

y=2rcos sin-= rsin2②

故

③

代回①式即

因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：

rcos2-=0

④

又由于

cos=

故

cos2=

代回④式得

5.2解如题5.2.1图

三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。

得

由虚功原理

故

①因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须

故

②

又由得：

③

由②③可得

5.3解如题5.3.1图，

在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD的位置。因此自由度数为1。选为广义坐。

由虚功原理：

w①

又

取变分得

代入①式得：

化简得

②

设

因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有：

由此得

5.4解自由度，质点位置为。

由

①由已知得

故

②约束方程

③

联立②③可求得

或

又由于

故

或

5.5解如题5.5.1图

按题意仅重力作用，为保守系。因为已知，故可认为自由度为1.选广义坐标，在球面坐标系中，质点的动能：

由于

所以

又由于

故

取Ox为零势，体系势能为：

故力学体系的拉氏函数为：

5.6解如题5.

6.1图.

平面运动，一个自由度.

选广义坐标为，广义速度

因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程

①

在

广义力

代入①得：

②

在极坐标系下：

③

故

将以上各式代入②式得

5.7解如题5.7.1图

又由于

所以

①取坐标原点为零势面

②

拉氏函数

③

代入保守系拉格朗日方程得

代入保守系拉格朗日方程

得

5.8解：如图5.8.1图.

(1)由于细管以匀角速转动，因此=可以认为质点的自由度为1.

(2)取广义坐标.

(3)根据极坐标系中的动能

取初始水平面为零势能面，势能:

拉氏函数

①(4)

，

代入拉氏方程

得：

(5)先求齐次方程的解.

②

特解为

故①式的通解为

③

在时：

④

⑤

联立④⑤得

将代回式③可得方程的解为：

5.9解如题5.9.1图.

（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2. （2）选广义坐标，.

（3）在柱坐标系中：

以面为零势能面，则：

拉氏函数

-①（4）因为不显含，所以为循环坐标，即

常数②

对另一广义坐标

代入保守系拉氏方程

③

有

得

④

所以此质点的运动微分方程为

（为常数）

所以

5.10解如题5.10.1图.

（1）体系自由度数为2.

（2）选广义坐标

（3）质点的速度

劈的速度

故体系动能

以面为零势面，体系势能：

其中为劈势能.

拉氏函数

①（4）

代入拉格郎日方程

得：

②

代入拉格郎日方程得

③

联立②，③得

5.11 解如题5.11.1图

（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度

（2）选取广义坐标

（3）根据刚体力学

其中绕质心转动惯量

选为零势面，体系势能：

其中C为常数.

拉氏函数

(4)

代入保守系拉氏方程

得：

对于物体，有

5.12解如题5.12.1图.

（1）棒作平面运动，一个约束，故自由度. （2）选广义坐标

（3）力学体系的动能

根据运动合成

又

故

设为绕质心的回转半径，代入①得动能

②（4）

由

③

（其中）

则

④

因为、在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：

⑤

（5）

代入一般形式的拉氏方程得：

⑥

又

代入一般形式的拉氏方程得：

⑦

⑥、⑦两式为运动微分方程

（6）若摆动角很小，则，代入式得：，代入⑥⑦式得：

⑧

又

故

代入⑧式得：

（因为角很小，故可略去项）

5.13解如题5.13.1图