4.3二维正态分布

z 0; z 0.
2 [此分布称为自由度为2的 分布.]
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例2 : 求例1中Z的期望和方差.
解:因为X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1) 所以由4.2的例1知：
故EX EY 1 ；DX DY 2。
2 2 2 2
1
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§4.3 二维正态分布
[定理1] 设二维随机变量 ( X , Y )服从二维正态分布 2 2 N ( x , y , x , y , r ) , 则 X与Y 的边缘分布都是正态 分布， 且无论参数 r ( r 1) 为何值， 都有 2 2 X ~ N ( x , x ), Y ~ N ( y , y ) . 证明见P177
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
f ( x , y ) 2 x y e
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§4.3 二维正态分布
当 z 0 时， 显然有 FZ ( z ) 0 ; 当 z 0 时， 有 1 ( x 2 y 2 ) 2 FZ ( z ) e dxdy 2 2 2
x y z
1 2
所以， Z 的分布函数
§4.3 二维正态分布
二维正态分布
x 0y 0x 10y 10 0.5
0.015 0.010
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z
0.005 0.000 -10 -5 5 0 10
y
x
0 5 10 -10
-5
2 x x2 1 x x y y y y f(x,y) exp 2 2 2 2 2 2 1 x y x y 2xy 1
0
2
d
z 2 2
0
e
d
1 e z 2 .
1 e z 2 , FZ ( z ) , 0
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z 0; z 0.
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§4.3 二维正态分布
由此得 Z 的概率密度
1 e z 2 , f Z ( z) 2 , 0
则称二维随机变量( X , Y )服从二维正态分布， 记作
2 2 ~ N ( , , , ( X ,Y ) x y x y , r)
其中 x , y , x 0 , y 0 , r ( r 1)是分布参数.
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§4.3 二维正态分布
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§4.3 二维正态分布
[定义] 设二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
f ( x , y)
1 2 x y 1 r
2
e
2 1 ( x x ) 2 2 r ( x x )( y y ) ( y y ) 2 2 2 (1 r 2 ) x y x y
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§4.3 二维正态分布
2 2 [定理2] 设( X , Y ) ~ N ( x , y , x , y , r ),则
R ( X , Y ) r.
证明见P178
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§4.3 二维正态分布
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§4.3 二维正态分布
[例1] 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从标准正态分
布 N (0 ,1) , 求随机变量函数 Z X 2 Y 2的概率密度 .
解： 因为随机变量 X 与Y 相互独立， 且已知
1 f X ( x) e 2
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y )2 y ] 2

( x x ) e 2 x 1
2
2 ( 2 x )

2 y
1
e
2 ( y y ) 2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
于是 EZ E( X Y ) EX EY 2
2 2Fra Baidu bibliotek2 2
又因为X , Y 独立，所以X 与Y 也独立. 于是DZ D( X 2 Y 2 ) DX 2 DY 2 2 2 4
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2
2
所以，
x2 2
1 e , fY ( y ) 2
y2 2
,
1 ( x 2 y 2 ) 2 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) e . 2 2 2 由分布函数定义， Z X Y 的分布函数为
FZ ( z ) P( Z z ) P( X 2 Y 2 z ) .