初中数学竞赛——-等腰三角形

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第14讲等腰三角形

知识总结归纳

一. 等腰三角形的性质

（1）等边对等角：等腰三角形的底角相等

（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二. 三线合一

（1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与底边上的高相互重合

（2）“三线合一”逆定理：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重

合在一起，则该三角形必是等腰三角形．

典型例题

【例1】 （1）已知ABC △中，AB AC =，求证：B C ∠=∠． （2）已知ABC △中，B C ∠=∠，求证：AB AC =．

【例2】 证明：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高相互重合．

【例3】 证明：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则该

三角形必是等腰三角形．

【例4】 （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，求此三角形的周长．（2）已知等腰三

角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长为多少？

【例5】 已知：ABC △是等腰三角形，70A ∠=，求B ∠．

【例6】 等腰三角形被一条直线分成两个较小的三角形也是等腰三角形．这个等腰三角形的顶角可能

是多少？

【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD BC =，AD DE BE ==，求A

∠的度数．

【例8】 如图，O 是等边ABC △内一点，OCB ABO ∠=∠，求BOC ∠的度数．

【例9】 如图，ABC △是等边三角形，D 为BC 边上的一点，在ABC △的外角平分线CE 上取点E ，使CE BD =，连接AE 、DE ．请判断ADE △的形状，并说明理由．

【例10】 如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂足为E ，

2cm DE =，C

A B

C A

B E

D

C B A

O

C B

A E

D

C B

A

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求BC 长．

【例11】 如图，在ABC △中，AB AC =，D 在BC 边上，30BAD ∠=，在AC 边上取点E ，使AE AD =．

求EDC ∠的度数．

【例12】 如图，若AB AC =，BG BH =，AK KG =，则BAC ∠的度数是多少？

【例13】 如图，若1AA 、1BB 分别是EAB ∠、DBC ∠的平分线，若11AA BB AB ==，求BAC ∠的度数．

【例14】 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =，求证：

AB AC =． 【例15】 如图，在ABC △中，AE 平分BAC ∠，DCE B ACB ∠=∠-∠，求证：DCE △是等腰三角形．

【例16】 如图，已知AB CD =，A D ∠=∠，求证：B C ∠=∠．

【例17】 如图，ABC △中，BD DC =，ABD ACD ∠=∠，求证：AD BC ⊥．

【例18】 如图，在ABC △中，//DE BC ，FB 、FC 分别平分ABC ∠和ACB ∠．求证：DE BD CE =+．

【例19】 如图，在ABC △中，AE 垂直于ABC ∠的平分线于E ，并交ACB ∠的平分线于F ，过F 作

MN BC ∥并交AB 于M ，交AC 于N ，求证：MN AM CN =+．

【例20】 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 的中点，AD ，垂足为点E ，BF AC ∥CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．

【例21】 如图，等腰直角ABC △中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于F 交AB 于E ，CDF BDE ∠=∠． 【例22】 如图，在ABC △中，AB AC =，36A ∠=，BE 平分ABC ∠，AD DB =，DE 交BC 延长线于

F ，求证：AB CF =．

E D

C B A

G

K H C B

A B C D E A

A E

F C B D

E

D

B A

D

C B A

B A

C D

M B E F

N D

A

C F

B

A C

E

D

E D

C

B

A

E

F B C

A D F E D

C B

A

F

E

D

C B A

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作业

1. 已知：ABC △是等腰三角形，80A ∠=，求B ∠．

2. （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm 和7cm ，求此三角形的周长．

（2）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为4，则其他两边长为多少？

3. 如图，在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点

M 、N 分别在直线AC 、AB 上．证明：BM CN =．

4. 如图，在ABC △中，DE BC ∥，FB 、FC 分别平分ABC ∠和ACB ∠．若9BD CE

+=，求线段DE 的长．

5. 如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上的点．问BAD ∠与CDE ∠满足什么条件时，AD AE =，写出你的推理过程．

6. 如图，在正方形ABCD 中，PBC △、QCD △是两个等边三角形，BP 与DQ 交于M ，与CQ 交于

E ，CP 与DQ 交于

F ．求证：PM QM =． 7. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD EC =，AM BD

⊥，垂足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F ．求证：DEF △为等腰三角

形．

M

D F C

E

N

B

A

A B

M C

N

F E D

C B A A

E D C B M B D C

A E Q F P