第三章 迭代法s3 Newton迭代法
第三章 迭代法s3 Newton迭代法
第三章 迭 代 法
第三节 Newton迭代法 Newton迭代法
Newton迭代法发散的例子 迭代法发散的例子
举例（ 举例（一）
例: 设计一个二阶收敛算法计算 a (a > 0)。 。 解：转化为求 x2-a = 0 的正根
2 f ( xk ) xk − a 1 a = xk − = xk + Newton 迭代： xk +1 = xk − 迭代： f ′( xk ) 2 a xk + a − 2 xk a xk +1 − a = − a = = 2 xk 2 xk 2 xk 2 k
(
)
2
(x
xk +1 − a
k
− a
)
2
=
1 2 xk
1 2 a
二阶收敛
练习：设计一个局部收敛的迭代算法只用加、 练习：设计一个局部收敛的迭代算法只用加、减、乘法 计算倒数1/ 计算倒数1/a。
Newton迭代 迭代
基本思想： 将非线性方程线性化 基本思想： 将非线性方程
的近似根， 展开: 设 xk 是 f (x)=0 的近似根， 将 f (x) 在 xk Taylor 展开 f ′′(ξ ) ′( xk )( x − xk ) + f ( x) = f ( xk ) + f ( x − xk )2 , ξ 在 xk 和 x 之间 之间. 2! f ( xk ) ≈ f ( xk ) + f ′( xk )( x * − xk ) x* ≈ xk − 0 = f ( x*) f ′( xk ) y f ( xk ) xk +1 = xk − f ′( xk )
第三节 牛顿迭代法精品PPT资料
（3.12）
选择下山因子时从 开始1，逐次将 减半进行试 算，直到能使下降条件（3.10）成立为止.
第三节 牛顿迭代法
1
xk 1xkff((x xk k)) (k0,1 , ),
（2）
这就是牛顿(Newton)法.
牛顿法的几何解释.
方程 f (x的)根0 可解释x *为曲线 的交点的横坐标（图7-3).
与 y轴 f (x) x
设 是x k根 的x某*个近似值， 过曲线 y f上(x横) 坐标为 x k 的点 P引k 切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k 作1 为 x *
的新的近似值.
2
图7-3
注意到切线方程为
y f(x k ) f(x k )x ( x k ).
这样求得的值 x k 必1 满足(1），从而就是牛顿公式（2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.
牛顿法（2）的收敛性，可直接由上节定理得到，对（2） 其迭代函数为
g(x) x f (x) , f (x)
2
10 . 723837
3
10 . 723805
4
10 . 7பைடு நூலகம்3805
8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及(xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f (x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x 0给的不合适可能不收敛.
将牛顿法的计算结果
13
xk1
xk
f (xk) f (xk)
与前一步的近似值 x k适当加权平均作为新的改进值
x k 1x k 1 ( 1 )x k,
牛顿迭代法
xn
x exp(x)-1 1 0 -1 0 0.5 x 1
(n = 0, 1, · · · · · )
f=inline('x*exp(x)-1'); f1=inline('(x+1)*exp(x)'); x0=0.5;er=1;k=0; while er>0.00001 x=x0-f(x0)/f1(x0); er=abs(x-x0) x0=x;k=k+1 end
( x ) f ( x ) f ( x ) /[ f ( x )] 0
* * * * 2
f ( x ) ( x ) * f (x )
* *
所以, Newton迭代法至少平方收敛。
9/26
例2. 求 f(x)=xex – 1= 0 在 x0=0.5 附近的根 解: f ( x) (1 x)e x 迭代格式为
收敛到的牛顿迭代初值点集合收敛到的牛顿迭代初值点集合收敛到的牛顿迭代初值点集合2526由于现代意义上的标准化是在资本主义企业里发展起来的资本家所关心的是标准化的应用效果不可能支持企业里的标准化工作者去从事理论研究
牛顿(Newton)迭代法 平方根算法求 初值: x1=1.5
(n = 1,2,· · · · · )
17/26
f ( x1 ) x2 x1 ( x1 x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) f ( xn ) xn 1 xn ( x n x n 1 ) f ( x n ) f ( x n 1 ) ( n =1,2,· · · · · · ·)
例2.8 确定悬链线方程
迭代法-牛顿迭代法
迭代法-⽜顿迭代法迭代法在程序设计中也是⼀种常见的递推⽅法，即：给定⼀个原始值，按照某个规则计算⼀个新的值，然后将这个计算出的新值作为新的变量值带⼊规则中进⾏下⼀步计算，在满⾜某种条件后返回最后的计算结果；⽜顿迭代法是⽤于多项式⽅程求解根的⽅法，在只有笔和纸的年代，这个⽅法给了⼈们⼀个⽆限逼近多项式⽅程真实解的重要思路，⽜顿也太⽜了.....求解f(x)=0的解，⽤⽜顿迭代法步骤如下：1、在y=f(x)这个函数上任取⼀点(x0,f(x0)),在这个点上做曲线y=f(x)的切线L,可以计算出切线L的表达式为y=f(x0)+f~(x0)(x-x0),这⾥f~(x0)表⽰L在点(x0,f(x0))处的斜率2、得出了切线L的表达式，我们就可以计算出L与X轴相交点的值x1=x0-f(x0)/f~(x0),此时x1要⽐x0更接近f(x)曲线与x轴相交点的真实值3、将刚才得出的x1带⼊到f(x)函数中，得到点(x1,f(x1)),再在点(x1,f(x1))出做曲线f(x)的切线，同样会得到新的切线的表达式：y=f(x1)+f~(x1)(x-x1),将得出的切线与X周相交,同样会得到相交点的值x2=x1-f(x1)/f~(x1)4、重复以上计算，会得出⼀个计算规则：,这个是真实值的n+1次近似值。
可以如下图近似表⽰。
根据以上描述，设计⼀个求解X~2-C=0的正根的⽅程，X~2表⽰X的平⽅，先得出迭代公式：；设计代码如下：public static void main(String[] args){System.out.println(calculate(2.0,2.0,0,1e-15));System.out.println(calculate(2.0,1e-15));}public static double calculate(double c,double x,double y,double precision){y=(x+c/x)/2;if(Math.abs(x-y)>precision){x=y;y=(x+c/x)/2;return calculate(c,x,y,precision);}return x;}public static double calculate(double c,double precision){double x=c,y=(x+c/x)/2;while(Math.abs(x-y)>precision){x=y;y=(x+c/x)/2;}return x;}从以上代码可以看出，迭代⽤法是⾸先给定⼀个初始值，然后按照某种规则进⾏计算，将得出的计算结果重新带⼊规则进⾏再次计算，直到满⾜某个条件退出程序。
牛顿迭代法
有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。
x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。
Newton迭代法的浅析
目录第一章：绪论 (2)第二章 Newton迭代原理 (3)2.1 一般迭代思想的设计 (3)2.2 Newton迭代法的原理 (3)2.3小结： (5)第三章 Newton迭代法的收敛性 (6)3.1 Newton迭代法中不收敛的情况 (6)3.2 定理证明 (7)3.3 Newton迭代法的收敛性分析 (10)3.4小结： (12)第四章两种改进的Newton迭代法 (14)4.1 改进初值x的Newton下山法 (14)4.2 一种新的Newton迭代法加速设计 (15)4.3小结： (16)第五章 Newton迭代法的应用 (17)5.1 Newton迭代法的Matlab实现 (17)5.2 数值举例 (17)5.3小结： (20)总论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)第一章绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题，用差分或者有限元方法解常微分方程等。
关于非线性方程（组）的求解，一般有两类解法：直接法和迭代法。
我们知道，只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式，而高于三次的方程0)xf是不存在求根公式的。
因此求根变得一异常的困难。
而科学计算却(很好解决了这一问题，其中最基本的算迭代法了，它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。
就迭代法而言，Newton迭代法可算是其经典之作。
Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法，它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一，其迭代格式简单，且在单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
关于Newton迭代法，许多学者为之做了相当多的研究，并且留下了很多经典的文献([2-6])。
Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要，如梯形Newton迭代法。
数值分析3-牛顿迭代法
§3 牛顿迭代法Newton Iteration————切线法牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。
已经通过各种方式把它推广到解其他更为困难的非线性问题。
【例如】非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。
虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它。
迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高。
然而迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。
牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径。
牛顿迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，几何意义是曲线y=f(x)与ox轴y=0的交点。
求曲线与y=0的交点没有普遍的公式，但直接与0x 轴的交点容易计算。
用直线近似曲线y=f(x)，从而用直线方程的根逐步代替f(x)=0的根。
即把非线性方程逐步线性化。
方法：设x k是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k处作一阶Taylor 展开，得到))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈ （19）设)(k x f '≠0，由于0)())(()(=≈-'+x f x x x f x f k k k所以求得解记为1+k x ，有牛顿迭代公式：（20） 按牛顿迭代计算称为牛顿迭代法。
牛顿法的几何意义：选初值x k 以后，过))(,(k k x f x p 点，作曲线y=f(x)的切线，其切线方程为))(()()(k k k x x x f x f x f -'+= (21)切线与ox 轴的交点，为1+k x ，则)(/)(1k k k k x f x f x x '-=+（22）牛顿迭代法也称为切线法。
迭代法的收敛性：如果取)(/)()(k k x f x f x x g '-=，则有x=g(x)，从而牛顿迭代公式就是)(1k k x g x =+因此就可以由考察g(x)的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。
牛顿迭代法
一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
（2）建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
（3）对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
第三章 迭代法s3 Newton迭代法
2
’(x*) = 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Newton 法至少 二阶 局部收敛
定理 设 f(x) 在其零点 x* 的某个邻域内二阶连续可导且
x*是单根 ，则存在 x* 的某个 邻域 N(x*) =[x*- , x* + ], 使得对 x0 N(x*)，Newton 法产生的序列以不低于二阶 的收敛速度收敛到 x* 。 (局部收敛定理)
Newton迭代法发散的例子
Newton法局部收敛性
单根：平方收敛 g( x )
f ( x ) f ( x ) f ( x )
2
0
m重根：线性收敛
g ( x ) lim
x x*
f ( x ) f ( x )
f ( x )
2
1
第三章 迭 代 法
第三节 Newton迭代法
Newton迭代
基本思想： 将非线性方程线性化
设 xk 是 f (x)=0 的近似根， 将 f (x) 在 xk Taylor 展开: f ( ) f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk )2 , 在 xk 和 x 之间. 2! f ( xk ) f ( xk ) f ( xk )( x * xk ) x* x k 0 f ( x*) f ( xk ) y f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
x* 是单根时： f’(x* ) 0
x* xk+1 xk
x
Newton迭代
Newton 法可以看作下面的不动点迭代：
xk 1 ( xk ) 其中 ( x ) x f ( x ) f ( x )
代数方程的牛顿迭代法
7-18-19-代数方程的牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于数值求解代数方程的迭代方法，通常用于找到方程的根。
它的基本思想是通过不断逼近方程的根，直到满足某个精度要求。
下面是使用牛顿迭代法求解代数方程的一般步骤：
假设要求解方程 f(x) = 0。
1. 选择一个初始猜测值 x₀，通常选择接近根的值。
2. 计算 f(x₀) 和 f'(x₀)，其中 f'(x₀) 是 f(x) 的导数。
3. 计算下一个近似根的值：x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)。
4. 重复步骤 2 和 3，直到满足停止条件，如达到指定精度或经过一定数量的迭代。
数学表示为： xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ)
这个迭代过程将不断逼近方程的根，直到满足精度要求。
下面是一个示例，假设要解方程f(x) = x² - 4 = 0，其中我们知道根是 x = 2。
我们使用牛顿迭代法来逼近这个根：
1. 初始猜测值 x₀ = 3。
2. 计算 f(x₀) = 3² - 4 = 5 和 f'(x₀) = 2 * 3 = 6。
3. 计算下一个近似根：x₁ = 3 - 5 / 6 = 2.1667。
4. 重复步骤 2 和 3，直到达到所需的精度或迭代次数。
不断迭代，最终我们会得到x ≈ 2，它是方程的根。
请注意，牛顿迭代法的有效性和收敛性取决于初始猜测值的选择，以及方程 f(x) 和它的导数 f'(x) 的性质。
有时可能需要多次尝试不同的初始猜测值来确保收敛到正确的根。
牛顿迭代法实验课件
05
结论与展望
牛顿迭代法的优缺点总结
收敛速度快
牛顿迭代法在初始点接近真实根的情况下具有非常快的收敛速度。
适用于多维问题
可以推广到多维问题，通过引入更多的方程和变量来求解复杂的问题。
牛顿迭代法的优缺点总结
• 适用于非线性问题：能够处理非线性方程 的求解问题，这是许多其他方法无法做到 的。
牛顿迭代法的优缺点总结
初始值影响
初始值对迭代结果有一定影响，但只要在合理范围内，最终都能 收敛到正确解。
结果误差分析
绝对误差
(|x - x_{true}| = 0.00002698)
相对误差
(frac{|x - x_{true}|}{|x_{true}|} = 0.0027%)
误差来源
主要来源于舍入误差和计算过程中的近似处理。
牛顿迭代法实验课件
目录
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 实验结果与分析 • 结论与展望
01
引言
牛顿迭代法的定义
牛顿迭代法是一种数值计算方法，通 过迭代的方式求解非线性方程的根。
它基于牛顿定理，即函数在某点的切 线与x轴的交点即为该函数的根。
牛顿迭代法的应用场景
在金融领域的应用
牛顿迭代法可以用于求解金融领 域中的复杂模型和优化问题，例 如资产定价和风险管理。
在工程领域的应用
牛顿迭代法可以用于求解各种工 程领域的优化问题，例如结构分 析和控制系统设计。
感谢您的观看
THANKS
通过改进初始点的选择方法，提 高迭代过程的成功率和收敛速度。
在迭代过程中引入阻尼因子，以 避免迭代过程在鞍点处停滞不前。
根据迭代过程中的误差信息，自 适应地调整步长，以提高收敛速 度和稳定性。
牛顿迭代法
*
* m−1
*m
* m−1
f (x k ) ⇒ xk+1 − x = x k − − x* = xk − x* f ′(xk )
*
(
)
mg(xk ) + xk − x* − g(xk ) mg(xk ) + xk − x* g′(xk )
(
(
)
)
⇒ lim
k→∞
xk+1 − x* mg(xk ) + xk − x* − g(xk ) lim * =k→∞ xk − x mg(xk ) + xk − x* g′(xk )
=
(m −1)g(x*) = m −1 ≠ 0
mg x*
(
)
( )
m
此时， ， 此时 Newton 法具 有线 敛 。 性 速
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2)修正Newton法求m重根迭代公式 f (xk ) xk+1 = xk − m f ′(xk ) 注：若 x* 是方程 f (x) = 0 的m重根，而 f (m) (x)在 x* 的 某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具 有至少二阶的收敛速度。 因为：考察函数 ϕ(x) = x − m f (x) x f ′(x) 在 * 处的导数 用定义求导
f (x * +h) x * +h − m −x* ϕ(x * +h) −ϕ(x*) f ′(x * +h) = h h
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m f ( x * +h) = 1− h f ′(x * +h)
Tailor展开
hm (m) f (x*) + hf ′(x*) +⋯+ f ( x*) + O(hm+1 ) m m! = 1− hm−1 h f ′(x*) + hf ′′(x*) +⋯+ f (m) (x*) + O(hm ) (m − 1)! m h f (m) (x*) + O(hm+1 ) m m! = 1− h hm−1 f (m) (x*) + O(hm ) (m − 1)!
牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。
newton迭代法求方程
newton迭代法求方程引言在数学和计算机科学中，求解方程是一个重要的问题。
在许多情况下，我们无法从方程的解析解中得到准确的解，因此需要使用数值方法来逼近方程的解。
本文将介绍一种常用的数值方法——newton迭代法来求解方程。
newton迭代法概述newton迭代法是一种使用初始估计值来逼近方程解的迭代方法。
它基于牛顿-莱布尼茨公式和泰勒级数展开的思想，通过不断迭代进行局部线性逼近，最终逼近方程的解。
newton迭代法数学原理newton迭代法的数学原理可以概括为以下几个步骤：1. 选择初始估计值根据方程的性质和问题的特点，选择一个合适的初始估计值x0。
初始估计值的选择对于newton迭代法的收敛性和精度有重要影响。
2. 进行迭代计算根据newton迭代法的迭代公式，进行迭代计算，直到满足终止条件。
迭代公式如下：x n+1=x n−f(x n) f′(x n)其中，f(x)表示方程的函数形式，f′(x)表示f(x)的导数。
3. 判断收敛性在迭代计算过程中，需要判断newton迭代法的收敛性。
一般来说，如果迭代过程中逼近的速度足够快且逼近的值足够接近实际解，我们可以认为newton迭代法收敛。
4. 终止条件设置终止条件，如逼近的误差小于某个阈值或达到最大迭代次数等。
newton迭代法的优缺点newton迭代法作为一种数值求解方程的方法，具有如下优点和缺点：优点：•收敛速度快：在一些情况下，newton迭代法的收敛速度非常快，可以在少量迭代次数内得到较为精确的解。
•高精度：如果初始估计值足够接近实际解，newton迭代法可以得到高精度的近似解。
缺点：•对初始估计值敏感：初始估计值的选择对于newton迭代法的收敛性和精度有很大影响。
如果初始估计值选择不当，可能导致发散或收敛到错误的解。
•需要导数信息：newton迭代法需要计算方程函数的导数，对于一些复杂的方程，计算导数可能非常困难甚至无法得到。
newton迭代法的应用newton迭代法在数学和计算机科学中有广泛的应用。
newton迭代法
用牛顿法求解方程的根 ，每步除计算 f ( xk )外 还要算f ' ( xk ),当函数f ( x )比较复杂时，计算 f '( x)
往往比较困难，为此可 以在插值原理基础上 ,利
用数值微分的思想，根 据可求函数值 f ( xk ), f ( xk 1 ),
来回避导数值 f ' ( xk )的计算。 (均差代替导数)
设xk , xk 1是f ( x) 0的近似根， 利用f ( xk ), f ( xk 1 )构造一次插值多项式y
f ( xk ) f ( xk 1 ) y f ( xk ) ( x xk ). xk xk 1
用y 0的根,与x轴的交点，作为f ( x) 0的新的 近似根xk 1
3 xk 3 xk 1 xk 2 3 xk 3
Newtonddf.m
x0 =0.5; x1 =0.3333333333 x2 =0.3472222222 x3 =0.3472963532 x4 =0.3472963553
取初值 x0 0.5, 得
迭代四次
精度达10
-8
牛顿迭代法特点
2 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) ( x ) 1 2 2 f ( x ) f ( x )
f ( x) 0
* * 设f ( x )在x 邻近连续 ( x )在x 邻近连续，且
这是个线性方程，记其 根为xk 1，则xk 1的计算公式为 f ( xk ) xk 1 x k ( k 0,1,) f ( x k )
这就是牛顿（ Newton）法.
牛顿法几何解释
牛顿法的几何解释
第三章 非线性方程的迭代法
第三章 非线性方程许多科学理论与工程实际问题最终都转化为非线性方程或非线性方程组的求解。
除了少数简单的方程可以求出解析表达外，一般的方程不能得到解析表达，所以需要用近似的方法来求近似解。
解非线性方程常用到的方法是迭代法，本章将主要对迭代法进行讨论，一些特殊方法不在这里讨论。
§1 二分法设非线性方程为()0=x f （1.1）若()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<b f a f ，由连续函数介值定理知道()0=x f 在()b a ,至少存在一个实根。
如果()x f 单调则只有唯一的实根。
二分法的原理就是将含根的区间每次缩小一倍，直到找到满足误差要求的近似解。
为简便起见，我们设()0)(,0><b f a f ，给定δ为很小的正数。
那么二分法的计算步骤如下： 1） 将区间[]b a ,分半，取中点2b a +，求⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f ，如δ<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f ，则2b a +就是方程的解。
计算停止。
否则，将根据⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f 的符号确定新的区间：当02<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b a f 时，取21b a a +=，b b =1； 当02>⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b a f 时，取a a =1，21b a b +=； 2） 用新区间[]11,b a 代替[]b a ,，重复上面的运算。
直到得到方程的解。
记第n 个有根区间为()n n b a ,，则 ()()()n n b a b a b a ,,,2211L ⊃⊃ ()()a b a b a b n n n n −==−=−−−212111L()()0n n f a f b ⋅<，()021→−=−a b a b nn n )(∞→n 当n 充分大时，就取2nn n b a x +=为方程精确根∗x 的近似值。
此时误差为 12+∗−≤−n n ab x x 二分法的优点是直观简单，可靠，对函数性质要求低。
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xk1
xk
f (xk ) f ( xk )
y
x*
xk
f (xk ) f ( xk )
x* 是单根时： f’(x* ) 0
x*
x
xk+1 xk
Newton迭代
Newton 法可以看作下面的不动点迭代：
xk1 g( xk )
其中
g(x) x f (x) f (x)
g '(x)
f (x) f ''(x)
xk 3 xk1 1
计算5次达到4位有效数字
第三章 迭 代 法
第三节 Newton迭代法
Newton迭代
基本思想： 将非线性方程线性化
设 xk 是 f (x)=0 的近似根， 将 f (x) 在 xk Taylor 展开:
f x)
f (xk )
f ( xk )(x xk )
f
(
2!
)
(
x
xk
)2
,
在 xk 和 x 之间.
0 f ( x*) f ( xk ) f ( xk )( x * xk )
f '(x)2
g’(x*) = 0
Newton 法至少 二阶 局部收敛
定理 设 f(x) 在其零点 x* 的某个邻域内二阶连续可导且
x*是单根 ，则存在 x* 的某个 邻域 N(x*) =[x*- , x* + ],
使得对 x0 N(x*)，Newton 法产生的序列以不低于二阶 的收敛速度收敛到 x* 。 (局部收敛定理)
Newton迭代法发散的例子
Newton法局部收敛性
单根：平方收敛
g( x )
f ( x ) f ( x ) f ( x )2 0
m重根：线性收敛
g( x )
lim
x x*
f ( x) f ( x)
f ( x)2
1
1 (习题6) m
例3.5 （P53)
Newton迭代法，计算3次达到4位有效数字