【解析版】【2014威海市一模】山东省威海市2014届高三3月模拟考试 数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2},{1,,}A B a b ==,则“2a =”是“A B ⊆”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2.1i z i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =( )（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i --3.若a b >，则下列不等式成立的是( ) （A ）ln ln a b > （B ）0.30.3a b >（C ）1122a b > （D > 【答案】D 【解析】试题分析：因为a b >，而对数函数要求真数为正数，所以ln ln a b >不成立； 因为0.3x y =是减函数，又a b >，则0.30.3a b <，故B 错； 因为12y x =在(0,)+∞是增函数，又a b >，则1122a b <，故C 错；13y x =在(,)-∞+∞是增函数，又a b >，则1133a b >>D .考点：指数函数、对数函数、幂函数的性质.4.根据给出的算法框图，计算(1)(2)f f -+=( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）45.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )第4题图（A ）80 （B ）81 （C ）82 （D ）83 【答案】C 【解析】试题分析：∵要估计两个班的平均分，∴可以认为分数是均匀分布的. ∴650.1750.3850.4950.282⨯+⨯+⨯+⨯=， 故选C .考点：频率分布表6.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是( ) （A ）若l ∥m ，则m ∥α （B ）若m ∥α，则l ∥m （C ）若l m ⊥，则m α⊥ （D ）若m α⊥，则l m ⊥7.已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是( ) （A ）图象关于点(,0)3π-中心对称 （B ）图象关于6x π=-轴对称（C ）在区间5[,]126ππ--单调递增 （D ）在[,]63ππ-单调递减 【答案】C 【解析】试题分析：函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()sin 2(),6f x x π=+即()sin(2),3f x x π=+令3x π=-，得()sin033f ππ-=-≠，A 不正确；令6x π=-，得()sin 0016f π-==≠±，B 不正确； 由222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得5,,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数的增区间为5[,],,1212k k k Z ππππ-++∈减区间为7[,],,1212k k k Z ππππ++∈ 故选C .考点：三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质.8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( ) （A ）0.125 （B ）0.25 （C ）0.5 （D ）0.8759.二项式n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( ) （A ）10 （B ）10- （C ）20 （D ）20-10..函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为( )（A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<11.双曲线221x y m-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为( )（A （B ） （C ）（D ）故选C .考点：双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形面积公式.12. 已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( )（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13. 若函数cos22y x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_________________. 【答案】(21]-，- 【解析】14.已知圆O过椭圆22162x y+=的两焦点且关于直线10x y-+=对称，则圆O的方程为__________.15. 设,x y满足约束条件2202xx ye yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y所在平面区域的面积为___________.【答案】22e-【解析】试题分析：画出22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩对应的平面区域，如图所示.(,)M x y 所在平面区域的面积为22202001|21122x x AOB e dx S e e e e ∆-=-⨯⨯=--=-⎰. 考点：不等式组表示的平面区域，定积分的应用.16. 函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，其图象上任一点(,)P x y 满足221x y -=，则给出以下四个命题：①函数()y f x =一定是偶函数； ②函数()y f x =可能是奇函数；③函数()y f x =在(1,)+∞单调递增； ④若()y f x =是偶函数，其值域为(0,)+∞ 其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）① ②③ ④从以上情况可以看出：①④表示偶函数，②③表示奇函数，②对；由图②④可知函数()y f x在(1,)+∞单调递减，故③错；由图④可知函数是偶函数时，其值域也为(0,)+∞，故④错. 综上知正确的序号为②.考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲线.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=- .（Ⅰ）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；（Ⅱ）若=βα，求a b ⋅的取值范围.（Ⅱ）222cos cos sin cos 2cos 1a b ααααα⋅=+-=+- --------------8分令[]cos ,1,1t t α=∈- 2219212()48a b t t t ⋅=+-=+- ------------------9分∴当1t =时，max 2a b ⋅= ，当14t =-时，98min a b ⋅=- -----------------11分∴a b ⋅ 的取值范围为9[,2]8-. ----------------------12分考点：，平面向量垂直的充要条件，平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，二次函数的图象和性质.18. （本小题满分12分）一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）. （Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)1935； (Ⅱ)随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望35.(Ⅱ) 随机变量X 的可能取值为：3，4，6 --------------------6分4711(3)35P X C === ， ----------------------7分 132244472(4)5C C C P X C +===， ----------------------8分 36474(6)7C P X C === ----------------------9分所以随机变量X 的分布列为：所以随机变量X 的数学期望124179346355735EX =⨯+⨯+⨯= .--- ----------12分 考点：古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分） 如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB =2，1AD AF ==，60BAF ∠=，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心. （Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）连结OM 延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点， ∴PH ∥CF ，又∵AF ⊂平面AFC ，∴PH ∥平面AFC -------------------2分 连结PO ，则PO ∥AC ，AC ⊂平面AFC ，PO ∥平面AFC -----------------4分1PO PO P = ∴平面1POO ∥平面AFC ， ----------------5分PM ⊂平面AFC ，//PM 平面AFC ----------------------6分法二：以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，1(1,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(,0),2A B C F -- -----------------7分设平面CBF 的法向量为(,,)n x y z =，()3(,1),0,0,12FC CB =--=- ， -------------------8分由0,0,n CB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,z y =⎧+= 令1x =，则10x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,n =，-----------------10分()2,0,1AC =-∴cos ,n AC <>==分 ∴直线AC 与平面CBF分 考点：平行关系，空间的角，空间向量的应用.20. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232nb b b b +++.试题解析：(Ⅰ) 由2843n n n S a a =++①知2111843(2,)n n n S a a n n N ---=++≥∈② ----------------------1分 由①-②得1118()()44n n n n n n n a a a a a a a ---=-++-整理得11(4)()0(2,)n n n n a a a a n n N ----+=≥∈----------------------2分 ∵{}n a 为正项数列∴10,n n a a -+>，∴14(2,)n n a a n n N --=≥∈ ---------3分 所以{}n a 为公差为4的等差数列，由2111843,a a a =++得13a =或11a =----------4分 当13a =时，277,27a a ==，不满足2a 是1a 和7a 的等比中项. 当11a =时，275,25a a ==，满足2a 是1a 和7a 的等比中项. 所以1(1)443n a n n =+-=-. ----------------------6分21. （本小题满分13分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）12e =；（Ⅱ）22143x y +=.试题解析：（Ⅰ）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y 令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ----------------------2分∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=------------------------3分∵613AB BC = ，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-=--------------------4分 ∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a = ----------------------5分∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e = ----------------------6分考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.22.（本小题满分13分）设函数()(1)x f x ae x =+（其中 2.71828....e =），2()2gx x b x =++，已知它们在0x =处有相同的切线.(Ⅰ)求函数()f x ，()g x 的解析式；(Ⅱ)求函数()f x 在[,1](3)t t t +>-上的最小值；（Ⅲ）若对2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 2()2(1),()42x f x e x g x x x =+=++.(Ⅱ) 22(32)()2(1)(2)t e t f x e t t -⎧--<<-⎪=⎨+≥-⎪⎩；（Ⅲ）满足题意的k 的取值范围为2[1,]e.试题解析：(Ⅰ) ()(2)xf x ae x '=+， ()2g x x b '=+ ----------------------1分由题意，两函数在0x =处有相同的切线.(0)2,(0),2,(0)(0)2,2,4f a g b a b f a g a b ''∴==∴====∴==，2()2(1),()42x f x e x g x x x ∴=+=++. ----------------------3分（Ⅲ）令2()()()2(1)42x F x kf x g x ke x x x =-=+---，由题意当min 2,()0x F x ≥-≥ ----------------------7分 ∵2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，(0)220,1F k k ∴=-≥∴≥----------------------8分()2(1)2242(2)(1)x x x F x ke x ke x x ke '=++--=+-， ----------------------9分 2x ≥- ，由()0F x '>得11,ln x e x k k >∴>；由()0F x '<得1ln x k< ∴()F x 在1(,ln ]k -∞单调递减，在1[ln ,)k+∞单调递增 ----------------------10分 ①当1ln 2k<-，即2k e >时，()F x 在[2,)-+∞单调递增， 22min 22()(2)22()0F x F ke e k e-=-=-+=-<，不满足min ()0F x ≥. ----------------11分② 当1ln 2k=-，即2k e =时，由①知，2min 22()(2)()0F x F e k e=-=-=，满足 min ()0F x ≥. ---------------12分 ③当1ln 2k >-，即21k e ≤<时，()F x 在1[2,ln ]k -单调递减，在1[ln ,)k+∞单调递增 min 1()(ln )ln (2ln )0F x F k k k==->，满足min ()0F x ≥. 综上所述，满足题意的k 的取值范围为2[1,]e . ----------------------13分 考点：应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式，转化与划归思想.。