数列不动点

用不动点法求数列的通项

定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.

利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系

)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.

证明：因为 p 是)(x f 的不动点

p b ap =+∴

ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---

所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=

bc ad c d

cx b

ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，

初值条件)(11a f a ≠

（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则

q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qc

a pc

a k --=）

（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则

k p a p a n n +-=--111 （这里d

a c k +=2）

证明：由x x f =)(得x d

cx b

ax x f =++=

)(，所以0)(2=--+b x a d cx

（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(2

2b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p

a qc a pc a qc a

b qd a p

c a b

pd a qc

a pc a qd

b a q

c a p

d b a pc a q

d

ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅

--=------

⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc

a k --=

，则q a p a k q a p a n n n n --=----1

1

（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2

=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2

，c

d

a p 2-=

所以 d

ca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=

+-+-=+-+-=-++=---------111211111)

)(()()(所以

d

a c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d

a c

k +=

2，则

k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2

,1N n a a a a n

n n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数x

x x f 2

)(+=

，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n n

a a a a )2

1

(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得n

n n n n a )

1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,22

1

1≠-==+a a a a a a a n

n ，求数列}{n a 的通项公式

解：作函数x

a a x f 2

2)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是

a a a a a a a a a

a a a a a a

a n n n n

n n 1

1)(1211

2

21+-=-=-

=--=

-+ 所以}1{

a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a

1的等差数列 所以

a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以n

a

a a n +=

定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=

e a f

ex c

bx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由

)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,

2

2

12111)(x u x u x u x u n n n n --=--++

证明: Θk x 是)(x f 的两个不动点

∴f

ex c bx ax x k k k k +++=2

即k k k bx x a e f x c --=-2

)()2,1(=k

∴

2

22221

2

11222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=

-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,

2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔2

2

222

1

12222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔2

2222

11222222

1

2

112

22)()(x u x u x u x u a

bx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+

-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221

1

22x a

ex b x a

ex b ⇔⎩⎨

⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b Θ11 2

1x x

0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*2

1

1,22,2N n a a a a n

n n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.

解:作函数为x

x x f 22

)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±

22

2

2

2

11)2

2(

222222222

222

2

2+-=++-+=

++-+=

+-++n n n

n n n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a

再经过反复迭代,得

1

1

2

22

11222211)2

222(

)2

2(

)2

2(

)2

2(

2

2--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n