数列不动点

用不动点法求数列的通项
定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.
利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.
定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系
)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.
证明：因为 p 是)(x f 的不动点
p b ap =+∴
ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---
所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=
bc ad c d
cx b
ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，
初值条件)(11a f a ≠
（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则
q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qc
a pc
a k --=）
（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则
k p a p a n n +-=--111 （这里d
a c k +=2）
证明：由x x f =)(得x d
cx b
ax x f =++=
)(，所以0)(2=--+b x a d cx
（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(2
2b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p
a qc a pc a qc a
b qd a p
c a b
pd a qc
a pc a qd
b a q
c a p
d b a pc a q
d
ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅
--=------
⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc
a k --=
，则q a p a k q a p a n n n n --=----1
1
（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2
=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2
，c
d
a p 2-=
所以 d
ca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=
+-+-=+-+-=-++=---------111211111)
)(()()(所以
d
a c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d
a c
k +=
2，则
k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2
,1N n a a a a n
n n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数x
x x f 2
)(+=
，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n n
a a a a )2
1
(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得n
n n n n a )
1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,22
1
1≠-==+a a a a a a a n
n ，求数列}{n a 的通项公式
解：作函数x
a a x f 2
2)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是
a a a a a a a a a
a a a a a a
a n n n n
n n 1
1)(1211
2
21+-=-=-
=--=
-+ 所以}1{
a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a
1的等差数列 所以
a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以n
a
a a n +=
定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=
e a f
ex c
bx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由
)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,
2
2
12111)(x u x u x u x u n n n n --=--++
证明: Θk x 是)(x f 的两个不动点
∴f
ex c bx ax x k k k k +++=2
即k k k bx x a e f x c --=-2
)()2,1(=k
∴
2
22221
2
11222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=
-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,
2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔2
2
222
1
12222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔2
2222
11222222
1
2
112
22)()(x u x u x u x u a
bx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+
-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221
1
22x a
ex b x a
ex b ⇔⎩⎨
⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b Θ11 2
1x x
0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*2
1
1,22,2N n a a a a n
n n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.
解:作函数为x
x x f 22
)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±
22
2
2
2
11)2
2(
222222222
222
2
2+-=++-+=
++-+=
+-++n n n
n n n n
n n n n n a a a a a a a a a a a a
再经过反复迭代,得
1
1
2
22
11222211)2
222(
)2
2(
)2
2(
)2
2(
2
2--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n
由此解得1
1
1122
22)
22()
22()22()22(2------+-++⋅
=
n n n n n a
其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)
1(4162
2
4
1+++=
+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.
解: 作函数为)
1(41
6)(2
24+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 3
3,33,1,14321=-
==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 4
2
3
4
23422
42
2
4
11)1
1(
1
46414641
)
1(41
61)
1(41
611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:1
11
1
41414141)
1()
1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n。