工程数学第五版 线性代数公式
线性代数全公式
线性代数全公式基本运算①A B B A +=+②()()C B A C B A ++=++③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =⑤00=⇔=c cA 或0=A 。
()A A TT=()T T TB A B A ±=±()()T TA c cA =。
()T T TA B AB =()()()212112-==-n n C n n n τ n n A a A a A a D 2222222121+++=转置值不变A A T=逆值变AA11=- A c cA n =γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A332211,,βαβαβα+++=+B A B A BA B A =*=*0()()1,=c j i E有关乘法的基本运算nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB = ()T T TA B AB =B A AB =lk lkA A A +=()kl lkA A =()k k kB A AB =不一定成立！A AE =，A EA =()kA kE A =，()kA A kE =E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处()k k kB A AB =不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=⇒/A 或0=B 由0≠A 和00=⇒/=B AB由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律） 特别的 设A 可逆，则A 有消去律。
工程数学线性代数课后答案解析同济第五版
A
E
1 5 1
1 2 b
321~r 100
0 1 0
101
知 R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0 的基础解系只有一个解向量 因此 A
不能相似对角化
16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
(1)
2 2 0
证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们是 A 的对应于特 征值0 的线性无关的特征向量
类似地 设 b1 b2 bnt 是齐次方程组 Bx0 的基础解系 则它们是 B 的对应
得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 1 1)T 向量 p1 就是对应于特征值1 的特
征值向量.
(2) 132
2 1 3
633 ;
1 2 3 解 | AE| 2 1 3 ( 1)( 9)
3 3 6
故 A 的特征值为10 21 39
11 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A35A27A|
解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3 是(A)的特征值 故 |A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A*3A2E|
2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得 1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
解由
2 1 2 | AE| 5 3 3 ( 1)3
1 0 2
得 A 的特征值为1231 由
于特征值0 的线性无关的特征向量
工程数学线性代数第一章同济第五版
Байду номын сангаас 例4
解线性方程组 x1 2x2 x3 2, 2x1 x2 3x3 1, x x x 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 2 1 2 3 1 1 1 1 D 2 1 3 1 1 1
b1 D1 b2 b3
b1 b2 b 1
若记
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11
a12
a13
或
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
a11
a12
a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, 如果三元线性方程组 a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
线性代数(第五版)—行列式
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 得
x 2 或 x 3.
例4：解三元线性方程组
23xx114xx225xx33
1 0
x1 x2 x3 2
2 4 1 解D 3 1 5 18 0
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组
引出
二阶、三阶行列式
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-线性空间与线
第6章线性空间与线性变换6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性变换■线性变换的矩阵表示式重难点导学一、线性空间的定义与性质1．两种运算（1）加法运算设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．（2）数乘运算在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．2．线性空间定义设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：（1）α＋β＝β＋α；（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；（5）1α＝α；（6）λ（μα）＝（λμ）α；（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，则V称为线性空间，又称向量空间．3．线性空间的性质（1）零向量是唯一的；（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．4．子空间（1）定义设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．（2）定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．二、维数、基与坐标1．维数与基在线性空间V中，如果存在n个向量，满足：（1）线性无关；（2）V中任一向量α总可由线性表示，则就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数．注：维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n．2．坐标设是线性空间V n的一个基．对于任一向量α∈V n，总有且仅有一组有序数，使这组有序数就称为向量α在这个基中的坐标，并记作3．同构设V与U是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，则线性空间V与U同构．三、基变换与坐标变换1．基变换定义设α1，…，αn及β1，…，βn是线性空间V n中的两个基，有（6-1）把α1，…，αn这n个有序向量记作（α1，…，αn），记n阶矩阵P＝（p ij），利用向量和矩阵的形式，式（6-1）可表示为（6-2）式（6-2）称为基变换公式，矩阵P称为由基α1，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵．又β1，β2，…，βn线性无关，故过渡矩阵P可逆．2．坐标变换公式设V n中的向量α在基α1，…，αn中的坐标为（x1，x2，…，x n）T，在基β1，β2，…，βn 中的坐标为．若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式四、线性变换1．定义设V n，U m分别是n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m的映射，若映射T满足：（1）任给α1、α2∈V n（从而α1＋α2∈V n），有T（α1＋α2）＝T（α1）＋T（α2）；（2）任给α∈V n，λ∈R（从而λα∈V n），有T（λα）＝λT（α）．则T称为从V n到U m的线性映射，又称线性变换．2．线性变换基本性质（1）T0＝0，T（－α）＝－Tα；（2）若则；（3）若α1，α2，…，αm线性相关，则Tα1，Tα2，…，Tαm亦线性相关，反之不成立；（4）线性变换T的像集T（V n）是一个线性空间，称为线性变换T的像空间；（5）使Tα＝0的α的全体N T＝{α|α∈V n，Tα＝0}也是一个线性空间，且N T称为线性变换T的核．五、线性变换的矩阵表示式1．定义设T是线性空间V n中的线性变换，在V n中取定一个基α1，α2，…，αn，如果这个基在变换T下的像为记，上式可表示为其中则A就称为线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵．2．定理设线性空间V n中取定两个基α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵为P，V n中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则B＝P－1AP．6.2配套考研真题解析本章为非重点，暂未编选考研真题，若有最新真题会及时更新．。
线性代数公式总结
同济5版 工程数学—线性代数 公式归总第1章、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 逆序数的计算（奇、偶排列）；3. 对换：（在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．）a. 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数． b.4. 如果1个n 阶行列式=0的元素比2n -n 还要多，则此行列式=0；5. 证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）；6. 在全部n 阶排列中（n>=2），奇偶排列各占一半；7. D D ,1)T=即式相等行列式与它的转置行列 ；行列式变号列互换行列式的两行),()2；则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行,)()3；. ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行k k面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行 )( )5 ., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行 ., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列 行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列, )( , )( )8 8.余子式与代数余子式P16-21；9.一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijij A a D = ;10.行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ ；11. 代数余子式的性质： ①、ijA 和ija 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；12.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i ji j i ji j i jM A A M++=-=-13.设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D-=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D-=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；.,21212121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式p p p t D D n n n p p p p p p ta aa nn∑-=将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 14.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ =◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；15.范德蒙德(V andermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D16.对于n 阶行列式A，恒有：1(1)nnk n kk k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；17.证明0A =的方法：①、A A=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；18.如果1个n 阶行列式=0的元素比2n -n 还要多，则此行列式=0；19.证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）；20.计算证明行列式：①、用定义（行排列乱...;列排列乱...;都乱，看行标与列标逆序数之和）；②、化三角形行列式；③、降阶法；④、数学归纳法；⑤、递推法；⑥、范得蒙行列式； 21.克拉默法则（以下顺序按照①②③④⑤的顺序）①所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组２b b b x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n j jj n n nn n n n n n n j D n j D n j D D D , ,,2,1.,,2,1,,0 .,,122112222212111212111===≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++②唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组,0.,,22112222212111212111≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++D b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn n n n n n n③必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无④.,0.0,0,0 221122221*********那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++D x a x a x a x a x a x a x a x a x a n nn n n n n n n⑤它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程第2章、矩阵1 两张表a表矩阵加法数乘矩阵矩阵乘法定义(), ()ij m n ij m n A a B b ⨯⨯==()ij ij m n A B a b ⨯+=+ ()ij m n A a ⨯=，λ是一个数 ()ij m n A A a λλλ⨯==(), ()ij m s ij s n A a B b ⨯⨯== ()ij m n AB C c ⨯==，其中1sij ik kj k c a b ==∑交换律A B B A +=+A A λλ=不一定成立（课本P.35例5）结合律()()A B C A B C ++=++ ()()A A λμλμ=()()AB C A BC = ()()()AB A B A B λλλ==分配律/()A A A λμλμ+=+ ()A B A B λλλ+=+()A B C AB AC +=+()B C A BA CA +=+其它负矩阵与矩阵减法 ()A B A B -=+-/•不能由AB O =推出A O =或B O =• m m n m n m n n E A A A E ⨯⨯⨯==• ()()n n n n n E A A A E λλλ==•方阵的幂b 表矩阵的转置方阵的行列式方阵求逆定义设()ij m n A a ⨯=，则 ()T ij n m A b ⨯=，其中ij jib a = 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），记作||A 或det An 阶方阵A 的逆矩阵1*1||A A A -=性质 • ()T TA A = • ()TTTA B A B +=+ •()TTA A λλ= •()T T T AB B A =• ||||T A A =• ||||nA A λλ=•||||||AB A B =⋅，其中A 、B必为同阶方阵•**||AA A A A E ==11()A A --=111()A A λλ--=111()AB B A ---=2.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；伴随矩阵T ij nn n n n n A A A A A A A AA A A )(212222111211*=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=若 A 是 n 阶矩阵,记ijA 是A 的),(j i 位元素 ij a 的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为3.对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；4.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；6.关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 第3章、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-； 6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）第4章、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）第5章、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数公式大全--最全最完美
线性代数公式大全——最新修订1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数重要公式定理大全
线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。
在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。
在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。
下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。
一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。
2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。
（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。
（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。
（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。
（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。
（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。
3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。
（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。
（3）行列式的转置等于行列式的值不变。
二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
同济版 工程数学-线性代数(第五版)期末复习知识要点(成都大学田晓滨老师作品)
a1 n a2 n K a n1
an1
√ 逆矩阵的求法:
ο
an1
ο
成都大学田晓滨老师作品
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同济版 工程数学- 线性代数(第五版)期末复习知识要点
① A −1 =
A∗ A
初等行变换 ② ( AM E ) ⎯⎯⎯⎯ ( E M A− 1 ) → −1
⎡a b ⎤ 1 ③⎢ ⎥ = ad − bc ⎣c d ⎦ ⎡ a1 ⎢ ④⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A1 ⎢ ⑤⎢ ⎢ ⎢ ⎣
① 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）,则
A ∗ A ο A ο = = =A B ο B ∗ B ο B
∗ A = ( −1)mn A B B ο
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ∗ ③关于副对角线：
a1 n a2 n −1
N =
ο a2 n −1
N
a1 n
= ( −1)
n (n −1) 2
T
,
则：ri = Aβi , i = 1, 2,L , s ,即 A(β1 , β2 ,⋅⋅⋅ , β s ) = ( Aβ1 , Aβ2 ,L , Aβ s )
√ 用对角矩阵 Λ 左乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 Λ 右乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
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记作： {α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n } = { β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn } %
记作： A = B %
矩阵 A 与 B 等价 ⇔ r ( A ) = r (B ) ≠> A , B 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 A 与 B 作为向量组等价 ⇔ r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅,α n ) = r (β1 , β 2 , ⋅⋅⋅, β n ) = r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅α n , β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn ) ⇒ 矩阵 A 与 B 等价.
线性代数(同济第5版)复习要点说明
线性代数(同济第5版)复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章 行列式基本结论1．行列式的性质（1） 互换行列式的两行，行列式变号.（2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 ),,2,1(n i =3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即0212222111211≠=nnn n n n a a a a a a a a a D那末，线性方程组有唯一的解,,,,2211DD x D Dx D D x n n ===主要计算计算行列式：1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n 阶行列式. 例1．（例7）计算行列式 3351110243152113------=D2．（例8）计算行列式 3111131111311113=D第二章 矩阵及其运算基本概念注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BA AB ≠3．矩阵乘法有零因子出现：O B O A ≠≠,，但却有O AB = 4．消去律不成立：AC AB =，推不出C B = 基本结论1．转置 (i) A A T T =)( (ii) T T T B A B A +=+)( (iii) T T kA kA =)( (iv)T T T A B AB =)(2．方阵的行列式 (i) ||||A A T =（行列式性质1）； (ii) ||||A A n λλ=; (iii)||||||B A AB =3．A 的伴随矩阵E A A A AA ||==**4．逆矩阵是初等矩阵可逆i sE E E E A E A nA R A A 21~)(0||=⇔⇔=⇔≠⇔推论 若E AB =（或E BA =），则1-=A B 方阵的逆阵满足下述运算规律：（i ）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且A A =--11)(. （ii ）若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ（iii ）若B A ,为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111)(---=A B AB （iv ）若A 可逆，则T A 亦可逆，且T T A A )()(11--= 基本计算用上面基本结论进行简单计算 主要计算求1-A ：公式法*-=A A A ||11 基本证明用上面基本结论进行简单证明 例1. （例11）求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A第三章 矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组解的判定：1. n 元非齐次线性方程组b AX =b AX =有解⇔)()(B R A R =. 有解时，（记r B R A R ==)()(）（1）n r =时，b AX =有唯一解 （2）n r <时，b AX =有无穷多解2．齐次线性方程组0=AX （0=AX 是b AX =的特殊情形）由于0=AX 永远满足)()(B R A R =，故0=AX 总有解（至少有零解）从而 （1）n r =时，0=AX 有唯一零解（2）n r <时，0=AX 有（无穷多）非零解 基本计算1．会求矩阵的秩2．会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解 3．会用初等变换求矩阵的逆初等变换)|()|(1-→A E E A 行；(包括求矩阵方程B AX =，用)|()|(1B A E B A -→行； 主要计算1． 设非齐次线性方程组b AX =，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ 2． 会用初等变换求矩阵的逆 例1．（例5）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式2．用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343122321A 的逆矩阵3．（例13）设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,)1(,3)1(,0)1(321321321λλλλx x x x x x x x x 问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．第四章 向量组的线性相关性基本概念1．向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关 向量组的等价 2．向量组的秩极大线性无关组、向量组的秩 3．向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法 向量组m ααα,,,21 所生成的向量空间为},,,|{),,,(21221121R k k k k k k L m m m m ∈+++= αααααα4．线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构 基本结论 1．线性表出定理1 向量b 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,(21b B m ααα =的秩．定理2 向量组l B βββ,,,:21 能由向量组m A ααα,,,:21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,,(),(11l m B A ββαα =的秩. 即),()(B A R A R =.推论 向量组l B βββ,,,:21 与向量组m A ααα,,,:21 等价的充分必要条件是),()()(B A R B R A R ==定理3 设向量组l B βββ,,,:21 能由向量组m A ααα,,,:21 线性表示，则),,,(),,,(2121m l R R αααβββ ≤.2． 向量组的线性相关性定理4 向量组m ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A ααα =秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是m A R =)(定理5 （1）若向量组m A ααα,,,:21 线性相关，则向量组11,,,:+m m B ααα 也线性相关． （2） m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关．（3） 设向量组m A ααα,,,:21 线性无关，而向量组βααα,,,,:21m B 线性相关，则向量β必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的．3．向量组的秩定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．推论 （最大无关组的等价定义）设向量组B 是向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个最大无关组．4．解的结构（1）齐次线性方程组性质1 若21,ξξ为0=Ax 的解， 则21ξξ+也是0=Ax 的解． 性质2 若ξ为0=Ax 的解，k 为实数，则ξk 也是0=Ax 的解．0=Ax 的基础解系：r n -ξξ,,1 ，通解是r n r n k k X --++=ξξ 11定理7 设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组O AX =的解集S 的秩r n R S -=. （2）非齐次线性方程组性质3 设1η及2η都是b Ax =的解，则21ηη-为导出组0=Ax 的解．性质4 设η是方程b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则ηξ+仍是方程b Ax =的解．b Ax =的通解是：*+++=--ηξξr n r n k k X 11 5．向量空间向量组m ααα,,,21 所生成的向量空间为},,,|{),,,(21221121R k k k k k k L m m m m ∈+++= αααααα基本计算1. 一般地，要判别一个向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b 21β是否可由向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα线性表出？设s s k k k αααβ+++= 2211按分量形式写出来就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ns ns n n s s s s b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a 22112222212*********,, （*）定理 β可由向量组s ααα,,,21 线性表出⇔（*）有解 2. 一般地，要判别一个向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是否线性相关？设02211=+++s s x x x ααα按分量写出来就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111s ns n n ss s s k a k a k a k a k a k a k a k a k a （**）定理 向量组s ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组（**）有非零解 3. ),,,(21m L ααα 基和维数的求法 4．线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础解系r n -ξξ,,1（2）非齐次线性方程组解的结构的求法*+++=--ηξξr n r n k k X 11主要计算1．设矩阵A ，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．2．设非齐次线性方程组b AX =，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章容） 基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明 向量空间的基、维数的证明 基础解系、解的结构的证明 主要证明1．线性无关的证明2．B AB ⇔=0的列是0=AX 的解 例 1．（例11）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．2．（例16）设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x ，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.3．（例6） 已知向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+=，试证向量组321,,βββ线性无关．（第五章 §1 定理1、§2 定理2）4．（例13）设0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(.第五章 相似矩阵及二次型基本概念 一．积积的定义：n n y x y x y x Y X +++= 2211],[向量的长度：22221],[n x x x X X X +++== 、当1=X 时，称X 为单位向量．向量的夹角：YX Y X ],[arccos=θ向量的正交：0],[=Y X 时，称向量X 与Y 正交 正交向量组、正交基、规正交基 正交矩阵A ：)(1T T A A E A A ==-即二．矩阵的特征值、特征向量 特征值、特征向量三．相似矩阵，对称阵的对角化四．二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本结论 一．积（i ）],[],[X Y Y X =； （ii ）],[],[Y X Y X λλ=（iii ）],[],[],[Z Y Z X Z Y X +=+1．非负性：对任意X 都有 0≥X ; 当且仅当O X =时, 0=X 2．齐次性: X X ||λλ=;3．三角不等式：Y X Y X +≤+ 定理1 若n 维向量 r ααα,,,21 是一组两两正交的非零向量，则r ααα,,,21 线性无关．二．特征值、特征向量定理2 设m λλλ,,,21 是方阵A 的m 个特征值，m p p p ,,,21 依次是与之对应的特征向量．如果m λλλ,,,21 各不相同，则m p p p ,,,21 线性无关．三．相似矩阵，对称阵的对角化四．二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本计算1．向量的长度：22221],[n x x x X X X +++==2．向量的夹角的求法：YX Y X ],[arccos =θ3．正交化方法： 设r ααα,,,21 线性无关111122221111222231111333111122211],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[--------=--=-==r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ4．单位化：r rr e e e ββββββ1,,1,1222111===5．特征值的求法、特征向量的求法6．对称阵的对角化方法7．求正交变换化二次型为标准形 例1．（例2） 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014,131,121321ααα，试用施密特正交化过程把这组向量规正交化。
线性代数同济第五版
四、正交矩阵与正交变换
1. 正交矩阵 （1）定义：
若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT , 则称A为 正交矩阵 .
（2）定理：
A 为正交矩阵 A的列（或行）向量都是单位向量且两两正
交． 注： 正交矩阵A的 n 个列（或行）向量构成向量空 间Rn 的一个规范正交基．
（3）性质：
5. 规范正交基 （1）定义 ：
设n维向量e1 , e2 , , er 是ห้องสมุดไป่ตู้量空间 V (V R n )的一个正交 基, 且都是单位向量, 则称e1 , e2 , , er 是 V 的一个规范正交基.
1 0, 如，1 0 2 0 0 0 0 1 0 , , 0 3 4 为R 4的一个规范正交基. 0 1 0 0 0 1
4. n维向量间的夹角
当 x 0, y
x, y 0时, 规定： arccos
x y
称为n维向量x与y的夹角。
如， 1, 2, 2,3， 3,1,5,1
则 与的夹角 arccos [ , ]
18 arccos 3 2 6 4
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
b1 1,1,1,1
b2 0, 2, 1,3
8 14 0,2,1,3 1,1,2,0 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14 再单位化， 得规范正交向量组如下：
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
Ax 2 x
则x 0,
与定义矛盾 .
线性代数公式总结
线性代数公式总结线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、向量空间、矩阵、线性方程组等概念和性质。
线性代数公式总结如下：1.向量加法和标量乘法：- 向量加法：如果u和v是n维向量，则它们的和为u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)- 标量乘法：如果k是一个实数，则k乘以向量v的结果为kv = (k*v1, k*v2, ..., k*vn)2.线性方程组：-n个未知数的线性方程组可以用矩阵和向量表示：Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
- 如果Ax = b有唯一解，则A的行列式不为零。
行列式表示为det(A)。
-矩阵的逆：如果矩阵A的行列式不为零，则存在矩阵A的逆矩阵A^-1，使得AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵。
3.向量空间和线性无关性：- 向量空间是指由向量的线性组合构成的集合，满足以下性质：对于任意的向量u和v以及任意的标量k和l，ku + lv仍然在向量空间内。
- 向量v1, v2, ..., vn是线性无关的，如果方程k1v1 + k2v2+ ... + knvn = 0只有零解。
- 如果一组向量v1, v2, ..., vn张成一个向量空间V，则称这组向量是V的基。
4.矩阵的运算：- 矩阵的加法：如果A和B是相同大小的矩阵，则它们的和为A + B = (aij + bij)，其中aij和bij分别是矩阵A和B对应位置的元素。
- 矩阵的乘法：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，它们的乘积为C = AB，其中C是m×p的矩阵，其中C的元素cij可以表示为cij= Σ(k=1 to n) aikbk，其中aik是矩阵A的元素，bk是矩阵B的元素。
5.特征值和特征向量：-如果矩阵A乘以向量v得到一个与v方向相同的向量，那么v是A的特征向量，对应的乘积结果是特征值λ，即Av=λv。
工程数学线性代数同济第五版课件1-4
是否都是六阶行列式中的项. 解 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 下标的逆序数为
t 431265
01 2 2 01 6
所以 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 是六阶行列式中的项. a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 下标的逆序数为 t 452316 8
所以 a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 不是六阶行列式中的项.
上页 下页
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1 ) a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 ; (1 ) (2) a 32 a 43 a 14 a 51 a 66 a 25 .
t
( 1) ( 1) 1 ( 1)
t t
r t1
( 1)
r t1
a 1 p1 a j p j a i p i a n p n
上页 下页
上式表明：对换两个元素，行标排列与列标排 列的逆序数之和并不改变奇偶性。 经一次对换是如此，经多次对换还是如此。于 是，经若干次对换后，得到：
列标排列 p1 p 2 p n 变为标准排列（逆 序 数为 0）
行标排列由标准排列变为某个新的排列，设为
q 1 q 2 q n , 其逆 序 数为 s , 则有
（ - 1 a 1 p1 a 2 p 2 a np n ( 1 ) a q1 1 a q 2 2 a q n n ）
a 1 a l ab 1 b m bc 1 c n
现在对换 a 与 b .
上页 下页
a 1 a l a b1 bm b c1 c n
工程数学线性代数第五版LinearAlgebra_15_wed
nr
} 称为该齐次方程组的基础解系. 称为该齐次方程组的基础解系 基础解系.
非齐次方程组解的结构
—通解的形式如何? 通解的形式如何? 通解的形式如何 —通解为什么可写成如此 通解为什么可写成如此 形式? 形式?
实例: 实例:求解非齐次线性方程组 (p.109, Ex. 26 (2))
x1 5x2 + 2x3 3x4 = 0 x1 5 x 2 + 2 x 3 3 x4 = 11 Ax = b : 5 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 x4 = 1 → Ax = 0: 5x1 + 3x2 + 6x3 x4 = 0, 2 x + 4 x + 2 x + x = 6 2x + 4x + 2x + x = 0 2 3 4 2 3 4 1 1
线性无关, 线性相关, 设a1 , a2线性无关, a1 + b , a2 + b线性相关, 线性表示的表示式. 求向量 b用a1 , a2线性表示的表示式.
定义
给定向量组 A : α 1 , α 2 , , α m , 如果存在不 k1α 1 + k 2α 2 + + k mα m = 0
全为零的数 k1 , k 2 , , k m 使
1 1 2 1 A= 1 1 3 1
1 4 3 5 3 2 5 6
3 5 1 7
1 1 1 1 4 3 0 1 1 3 1 ~ ~ 0 ~ 0 0 2 2 6 2 0 2 2 6 2 0
1 2 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
一.如何求得基础解系以得到齐次方程组 如何求得基础解系以得到齐次方程组 基础解系 的通解? 的通解? 二. 非齐次方程组解的结构. 非齐次方程组解的结构. 方程组解的结构
工程数学--线性代数课后题答案_第五版2
必要性: 因为 AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以
AB=(AB)T=BTAT=BA. 10. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1) ⎜⎝⎛12 52⎟⎠⎞ ;
解 A=⎜⎝⎛12 52⎟⎠⎞ . |A|=1, 故 A−1 存在. 因为
A*
=⎜⎝⎛
A11 A12
A21 A22
⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎝
5 −2
2 1
−14⎟⎠⎞⎜⎝⎛03
−11⎟⎠⎞⎜⎝⎛11
02⎟⎠⎞
=1 12
⎜⎛ ⎝
6 3
06⎟⎠⎞⎜⎝⎛11
02⎟⎠⎞
=
⎛ ⎜⎜ ⎝
1 1 4
1⎞
0⎟⎟ ⎠
.
(4) ⎜⎜⎝⎛ 010
1 0 0
100⎟⎟⎠⎞X ⎜⎜⎝⎛001
0 0 1
100⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛ 112
−4 0 −2
−031⎟⎟⎠⎞ .
⎛ 35 ⎞ =⎜⎜⎝469⎟⎟⎠ .
(2) (1 2 3)⎜⎜⎝⎛123⎟⎟⎠⎞ ;
解 (1 2 3)⎜⎜⎝⎛123⎟⎟⎠⎞ =(1×3+2×2+3×1)=(10).
⎛2⎞ (3)⎜⎜⎝13⎟⎟⎠(−1 2) ;
解
⎜⎜⎝⎛132⎟⎟⎠⎞(−1
2)
= ⎜⎛ 12××((−−11))
⎜ ⎝
3×(−1)
⎜⎝1 −1 1 ⎟⎠⎜⎝ 0 5 1⎟⎠ ⎜⎝2 9 0⎟⎠ 1. 计算下列乘积:
(1) ⎜⎜⎝⎛ 154
3 −2 7
013⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛172⎟⎟⎠⎞ ;
解
⎛4 ⎜⎜⎝15
3 −2 7
1⎞⎛7⎞ 03⎟⎟⎠⎜⎜⎝12⎟⎟⎠
工程数学-线性代数第五版课后习题答案
第二章 矩阵及其运算13. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .2.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.1. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.4. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E .(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .6. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.9. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 10. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i n s i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211.11. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x ,故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(d i a g 4-= =2diag(1, -2, 1). 22.已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . 26.计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O OA A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。
工程数学线性代数同济第五版课件1-5
n1
.
0
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a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10 a 6 b 3 c d
例4 计算
D
a a a
解
从第4行开始，后行减前行
r4 r 3 r3 r2 r 2 r1
D 0.
上页 下页
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第行 i （列）乘以
a 11 a 12 a1n ka i 1 ka i 2
k ，记作 ri k ( c i k )
a 11 a 12 a1n
ai2 a in
2n
解 将第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调 （共作2n-2次相邻对换），再把第2n列依次与第 2n-1列、…、第2列对调，得到
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a c 0 D 2n ( 1)
2(2n 2)
b d 0
0 0 a
0 0 b
a c
b d d
2( n 1)
0
0
c
由上例题，得到递推公式
D 2 n ( ad bc ) D 2 ( n 1 ) ( ad bc ) D 2 ( n 2 )
1 3 1 2 2
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r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0
1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2