第六章不定积分 《高等数学》课件

二、不定积分的概念
定义2 在某区间 I 上的函数 f ( x ) ，若存在原函数，则称 f ( x ) 为可积函数，并将 f ( x ) 的全体原函数记为
即
f (x)dx
f(x ) d x F (x ) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 常 数
不定积分的几何意义:
F(x)f(x)或 dF (x)f(x)dx 则 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分为
f(x)dxF(x)C
易见 f ( x)dx 是 f ( x ) 的原函数，故有：
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第六章 不定积分
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一、原函数的概念
从微分学知道：若已知曲线方程 y f (x) ，则可
求出该曲线在任一点 x 处的切线的斜率 k f (x) 例如，曲线 y x 2在点 x 处的切线的斜率 k 2x
现在要解决其逆问题： 已知曲线上任意一点 x 的切线的斜率，要求
(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
（ 2 ） F (x 若 )f(x )则对于任意常数 C, F ( x) C 都是 f ( x)的原函数.
一个函数的原函数不是唯一的。
事实上，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的原函数，则
F(x)f(x)，[F (x)C ]f(x)（ C 为任意常数）。
从而，F(x) C 也是 f ( x ) 在区间 I 上的原函数。
（ 3）如果 F(函 x)是 f数 (x)的一个原 , 函数 G(x)是f(x)的另一个原函 ，数 则 G (x ) F (x ) C 0(C0是某一个常.)数 因此, f (x)的全体原函数F 可(x表 )为 C. （ C为任意常数） 事实上，设F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则 [ F ( xBaidu Nhomakorabea) G ( x ) ] F ( x ) G ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 即 F(x)G(x)C （ C 为任意常数）。
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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关于不定积分的概念有以下说明： 由定义知，求函数 f ( x ) 的不定积分，就是
求 f ( x ) 的全 体原函数.
在 f ( x)dx 中，积分号 表示对函数 f ( x )
例
求
1 x
dx
.
解 当 x0时 ， (lnx) 1
x
故 1xdxln xC(x0)
当x0时，[( lx n )](( x ) 1
x x
故
1dx x
ln x)(C(x0)
所以
1dx x
ln x C
(x 0 )
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例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
例如：
x 1
x
1
xdx
x
1
1
C
.
(1)
a ln
x
a
ax
axdx
a ln
x
a
C
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基本积分公式
(1) kdx kxC ( k 是常数） ;
(2) xdxx11C (1);
(3)
dx x
lnx C;
(4)
1
1x2dx
arcx t aC ;n
(5)
1 dx 1x2
arcxsC i;n
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(6) axdx a x C ; ln a
(7) exdx ex C; (8) coxsdxsix nC; (9) sinxdxcox sC ; （10） sec2xdxtanxC
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（11） csc2xdxcotxC ;
解 设曲线方程为 yf(x),
根据题意知 f(x) 2 x,
即 f ( x)是2 x 的一个原函数.
2xdx x2 C f(x)x2C,
把x1,y2代入 得 C1,
所求曲线方程为 yx21.
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三、基本积分表
不定积分定义
导数或微分基本公式
不定积分的基本公式
积分和微分互逆
lnx1 (x0),ln xC1 (x0)
x
x
（ C为任意常数）
lx n + C 是 1 在 区 间 (0 ,)内 的 原 函 数 . x
关于原函数有以下说明： （1）如果函 f(x数 )在某区间内则连 它的续原， 函数一定存在。
注：求函数 f ( x ) 的原函数，实质上就是问它是由 什么函数求导得来的，而一旦求得 f ( x ) 的一个原函 数 F ( x ) ，则其全体原函数为 F(x)C（C 为任意常数）。
F ( x ) f ( x )或 d ( x ) F f ( x ) dx 则F 称 (x)是 f(x)在区 I上 间 的原一 函数个
例 six ncox,ssinx是cosx的一个原函 . 数
six n C co xs（C为任意常数）
si x + n C 也 是 cx o 的 原 s函 数 .
实行求原函数的运算 ，故求不定积分的运算实 质上就是求导（或求微分）运算的逆运算。
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例 求 x5dx. 解 x6 x5,
6
x5dxx6C.
6
例2
求
1 1 x2
dx.
解 a1 r 1xc 2d xt x a a 1n 1 rx2c,xtC a.n
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该曲线的方程。为此，我们引进原函数的概念。
一,如 般 F (x 果 ) 地 f(x ). 如f果 (x)是已,F 知 (x)是 的 未.如 知 何F 的 求 (x)? 为此,先引入原函数的概念.
定义1: 设函f(数 x)在区I上 间有定 如果义 存在，
可导函F数 (x)，在区I上 间对任 x有一