《复变函数》(西安交大 第四版)第三讲.ppt

2
z
(zz)2
1 z2
例3 若f '(z) 0 , z D f (z) C , z D 证明 f '(z) ux ivx v y iuy 0
ux vx uy vy 0 u C1 v C2 f (z) C1 iC2 C(复常数)
§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 u v v u x y x y
u e x sin y
y v
ex
cos
y
y
u v x y 且都连续 v u x y
故 f (z) e x (cos y i sin y)在全平面可导，解析。
且 f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)
x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
例2 求证函数
x
y1
w u( x, y) iv( x, y) x2 y2 i x2 y2 z
在z x iy 0处解析，并求dw . dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0 y v 1 y
u v x y
故 w z在全平面不可导，不解析。
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x sin y x
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的 联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
(因为u(x,y),v(x,y)具有一阶连续偏导数可推出它们可微)
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
一. 解析函数的充要条件
设函数w f (z) u( x, y) iv( x, y)在点
z x iy可导,则
f (z z) f (z) z
z x iy, z x iy z z x x i( y y)
[u( x x, y y) iv( x x, y y)] [u( x, y) iv( x, y)] x iy
若沿平行于实轴的方式z z z(y 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
[u( x x, y) iv( x x, y)] [u( x, y) iv( x, y)]
lim
x0
x
u( x x, y) u( x, y)
v( x x, y) v( x, y)
ii) 验证C-R条件.
iii) 求导数：
f '(z) u i v 1 u v x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成
的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实
函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f (z) ex (cos y i数的一些常用的初等函数 推广到复变函数情形，研究这些初等函数的 性质，并说明它的解析性。
一. 指数函数
定义 对z x iy定义复变数z的指数函数expz如下: f (z) expz e x (cos y i sin y) (1)
上述条件满足时,有
f '(z) ux ivx ux iuy v y iuy v y ivx
最易记忆
仅用u 表示
仅用v 表示
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
v(x, y y) v(x, y)
lim
i lim
y0
iy
y0
iy
1 u v v i u i y y y y
f '(z)存在 u i v v i u
x x y y u v v u
x y x y
定义 方程
记忆
u u x y v v x y
u v v u x y x y
u x
v y
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
u y
v x
2xy ( x2 y2 )2
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
dw u i v dz x x
y2 x2
2 xy
( x2 y2 )2 i ( x2 y2 )2
(x (x2
iy)2 y2 )2
2
z ( z 2 )2
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴的方式z z z(x 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
[u( x, y y) iv( x, y y)][u( x, y) iv( x, y)]
lim
y0
iy
u( x, y y) u( x, y)