同济第六高等数学教案版无穷级数

同济第六高等数学教案

版无穷级数

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-

第十一章无穷级数教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

1、

比较判别法的极限形式； 2、

莱布尼茨判别法； 3、

任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、

函数项级数的收敛域及和函数； 5、

泰勒级数；

6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数 给定一个数列

u 1 u 2 u 3 u n

则由这数列构成的表达式

u 1 u 2 u 3 u n

叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为∑∞=1

n n u 即

3211

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u

其中第n 项u n 叫做级数的一般项

级数的部分和 作级数∑∞=1

n n u 的前n 项和

称为级数∑∞=1

n n u 的部分和

级数敛散性定义 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s 即s s n n =∞

→lim

则称无穷级数∑∞

=1n n u 收敛 这时极限s 叫做这级数的和

并写成

3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞

=n n n u u u u u s

如果}{n s 没有极限 则称无穷级数∑∞

=1n n u 发散

余项 当级数∑∞=1n n u 收敛时 其部分和s n 是级数∑∞

=1n n u 的和s 的近似值 它们

之间的差值

r n ss n u n 1u n 2

叫做级数∑∞

=1n n u 的余项

例1 讨论等比级数(几何级数)

的敛散性 其中a 0 q 叫做级数的公比

例1 讨论等比级数n n aq ∑∞

=0(a 0)的敛散性

解 如果q 1 则部分和 q

aq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12 当|q |1时 因为q a s n n -=∞→1lim 所以此时级数n n aq ∑∞=0

收敛 其和为q a -1 当|q |>1时 因为∞=∞→n n s lim 所以此时级数n n aq ∑∞=0

发散 如果|q |1 则当q 1时 s n na 因此级数n n aq ∑∞

=0发散

当q 1时 级数n n aq ∑∞

=0成为

aaaa

时|q |1时 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零

所以s n 的极限不存在 从而这时级数n n aq ∑∞

=0也发散

综上所述 如果|q |1 则级数n n aq ∑∞=0收敛 其和为q

a -1 如果|q |1 则级数

n n aq ∑∞=0发散

仅当|q |1时 几何级数n n aq ∑∞=0a 0)收敛 其和为q

a -1

例2 证明级数

123 n

是发散的

证 此级数的部分和为 2)1( 321+=

+⋅⋅⋅+++=n n n s n 显然 ∞=∞→n n s lim 因此所给级数是发散的

例3 判别无穷级数

的收敛性

解 由于

1

11)1(1+-=+=

n n n n u n 因此

从而 1)1

11(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n 所以这级数收敛 它的和是1

例3 判别无穷级数∑

∞

=+1)1(1n n n 的收敛性 解 因为 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n 从而 1)1

11(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n 所以这级数收敛 它的和是1

提示 1

11)1(1+-=+=n n n n u n 二、收敛级数的基本性质

性质1 如果级数∑∞

=1n n u 收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级

数∑∞

=1n n ku 也收敛 且其和为ks

性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s 则级数∑∞

=1n n ku 也收敛 且其和为ks