博弈论-完全且完美信息动态博弈

一年以后，我从艺校毕业了，老师的话从 那天开始一直刻在了我的心底：想想十年后的 自己。是的，当我意识到这是一个问题的时候， 我发现我整个人都觉醒了。 从学校毕业后，我忙于接拍各种各样的影 视剧。我始终记得，十年后我要做最成功的明 星，所以对角色我开始很认真地筛选。后来我 拍了《那时花开》，拍了《大明宫词》，我渐 渐被大家接受，也慢慢地尝到了成功的快乐。
房地产开发博弈
例2：两个房地产商A、B进行房地产开发博弈。市场需 求大、小的概率各占50%。投入：1亿。 假定市场上有两栋楼出售： 需求大时，每栋售价1.4亿， 需求小时，售价7千万； 如果市场上只有一栋楼 需求大时，可卖1.8亿 需求小时，可卖1.1亿 行动顺序：(1)开发商A首先行动，选择开发或不开发； (2)在A决策后，自然选择市场需求的大小； (3)开发商B在观测到A的决策和市场需求后，决定是否开发
美国 不犯我 我国
犯人
不犯人
A 注意：支付向 量的顺序与博 弈树上行动顺 序是对应的！
开发
不开发
N
大 小
1/2
N
大
小
1/2 1/2 1/2
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
开发
不开发
(4,4 )
(8,0 )
(-3,-3)
(1,0 )
(0,8 )
(0,0 )
(0,1 )
(0,0 )
房地产开发博弈
(1,5)
(-2,2) (0,10)
(0,10)
垄断者
抵抗
二、博弈树求解方法——逆推归纳法
从动态博弈的最后一个阶段博弈方的行 为开始分析，逐步倒推回前一个阶段相 应博弈方的行为选择，一直到第一个阶 段的分析方法，称为“逆推归纳法”。
逆向归纳法只适用于完美信息博弈。
我国 犯我
犯人 不犯人
(-2,-2) (2,-4) (3,-5) (1,1)


老师问我：“你确定了吗?” 我慢慢地咬紧着嘴唇回答：“Yes”，而且拉了很长的音。 老师接着说：“好，既然你确定了，我们就把这个目标倒 着算回来。 十年以后，你28岁，那时你是一个红透半边天的大明星， 同时出了一张专辑。”
“那么你27岁的时候，除了接拍各种名导演的戏以外， 一定还要有一个完整的音乐作品，可以拿给很多很多的唱片 公司听，对不对?” “25岁的时候，在演艺事业上你就要不断进行学习和思 考。另外在音乐方面一定要有很棒的作品开始录音了。” “23岁就必须接受各种培训和训练，包括音乐上和肢体 上的。”
5
第五人 100
4
0
3
1
2
0
1
1
第四人
第三人
100
0
99
1
0
0
1
第二人
第一人
98
0
98


如果是同意方案的人数超过半数就有效 呢？ 如果是要求提议海盗之外的半数海盗同 意呢？
想想十年后的自己

十八岁之前，我是个不 知道自己想要什么的人，那 时我每天就在浙江艺术学校 里跟着同学唱唱歌，跳跳舞。 偶尔有导演来找我拍戏，我 就会很兴奋地去拍，无论多 小的角色。 如果没有老师跟我的那次 谈话，那么也许直到今天， 仍然没有人知道周迅是谁。


那是1993年5月的一天，教我专业课的赵老师突然找 我谈话：“周迅，你能告诉我，你对于未来的打算吗?” 我愣住了。我不明白老师怎么突然问我如此严肃的问题， 更不知道该怎么回答。 老师问我：“现在的生活你满意吗?”我摇摇头。 老师笑了：“不满意的话证明你还有救。你现在就想想， 十年以后你会是什么样?” 老师的话音很轻，但是落在我心里却变得很沉重。 我脑海里顿时开始风起云涌。沉默许久，我看着老师的 眼睛，忽然就很坚定地说：“我希望十年后的自己成为 最好的女演员，同时可以发行一张属于自己的音乐专 辑。”
博弈论 （Game Theory)
第三章
完全且完美信息动态博弈

扩展型博弈表述


扩展型博弈的策略及纳什均衡
子博弈精炼纳什均衡
“海盗分金”模型

话说5个海盗抢得100枚金币，他们 按抽签的顺序依次提方案：首先由1 号提出分配方案，然后5人表决，半 数同意方案才被通过，否则他将被 扔入大海喂鲨鱼，依此类推。求第 一个海盗的最优策略。
女 足球 芭蕾 男 芭蕾 足球 足球 (2,1)
(0,0) (0,0)
(1,2)
女
芭蕾
如果女的先行动，则
男 足球 芭蕾 女 芭蕾 足球 足球 (1,2)
(0,0) (0,0)
(2,1)
男
芭蕾
不是先行动者得益比后行动者得益多
女 足球 芭蕾 男 芭蕾 足球 足球 (2,10)
(0,0) (0,0)
(1,20)




“20岁的时候就要开始作曲，作词。在演戏方面就要接拍大一 点的角色了。” 老师的话说得很轻松，但是我却感到一阵恐惧。这样推下 来，我应该马上着手为自己的理想做准备了，可是我现在却什 么都不会，什么都没想过，仍然为小丫鬟小舞女之类的角色沾 沾自喜。我觉得有一种强大的压力忽然朝自己袭来。 老师平静地笑着说：“周迅，你是一棵好苗子，但是你对 人生缺少规划，散漫而且混乱。我希望你能在空闲的时候，想 想十年以后的自己，到底要过什么样的生活，到底要实现什么 样的目标。如果你确定了目标，那么希望你从现在就开始做。”
该动态博弈的战略式表述： 局中人：美国、中国 行动空间：美国“犯我”或“不犯我”， 中国“犯人”或“不犯人” 行动顺序：美国先行动，我国依美国的 行动而后动

支付：这样假设支付情况： 若美国“犯我”，中国“不犯人”，则支付向量 为(2,-4)； 若美国“不犯我”，中国“犯人”，则支付向量 为(3,-5)； 若美国“犯我”，中国“犯人”，则支付向量为 (-2,-2)； 若美国“不犯我”，中国“犯人”，则支付向量 为(1,1)。
不开发
N
大 小
1/2
N
大
小
1/2 1/2 1/2
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
开发
不开发
(4,4 )
(8,0 )
(-3,-3)
(1,0 )
(0,8 )
(0,0 )
(0,1 )
(0,0 )
房地产开发博弈
B知道自 然的选择;但 不知道A的 选择(或A、 B同时决策)
N
大
A
开发
不开发
N
小
1/2
大
小
1/2


只包含一个决策结的信息集称为单结信息集，如果博弈树 的所有信息都是单结的，该博弈称为完美信息博弈 。（博 弈中没有任何参与人同时行动，且后行动者能观察到先行 动者的行动，且所有参与人观察到N的行动）
B在决策 时不确切地 知道自然的 选择; B的决策 结由4个变 为 2个
B
不开发 开发
A
开发

练习

假设空中客车与波音两家公司在研发新型客机 方面展开激烈竞争。波音公司已在研发过程中 处在领先地位，而空客决定是否参与竞争。如 果空客不参与，它的受益为零，而波音则垄断 市场获得10亿美元。如果空客决定参与竞争， 则波音则需要决定是跟空客和平竞争还是打价 格战。如果和平竞争则双方各得3亿美元；如 果打价格战则个损失1亿美元。画出博弈树， 找出两家公司均衡策略。
扩展式表述的要素

参与人集合： i 1, , n 然” ；
，此外，虚拟参与人“自




参与人的行动顺序（the order of moves）：谁在什么 时候行动； 参与人的行动空间（action set）：在每次行动时，参 与人有些什么选择。 参与人的信息集（information set）：每次行动时，参 与人知道些什么； 参与人的支付函数； 外生事件（即自然的选择）的概率分布
逆向归纳的过程实际上就是重复剔除劣战略的过 程，其前提是博弈规则和理性共识：每个人是理性 的，每个人知道每个人是理性的，如此等等。 逆向归纳法对理性要求很高。然而，也正是因为 人们的理性程度不同，才有了博弈的高下之分。关 于参与人理性程度不对称博弈理论的研究，至今仍 然是博弈论研究的一个努力方向。


根据博弈方是否相互了解得益情况，有 “完全信息动态博弈”和“不完全信息 动态博弈”之分； 根据是否所有博弈方都对自己选择前的 博弃过程完全了解，有“完美信息动态 博弈”和“不完美信息动态博弈”之分。
一、动态博弈的扩展式表述
如何用扩展式表述（extensive form representation）来描述序贯行动博弈？ 例1：中美博弈 解放初，美国总是寻找各种机会来侵犯我国。 对此，毛主席提出了“人不犯我、我不犯人，人若 犯我、我必犯人”的战略方针。
女
芭蕾
看看斗鸡博弈有没有先动优势？
A 独木桥
进 退
进 退 -3，- 2，0 3 0，2 0，0
B
后动动优势
A进攻
左 上 50， 50 下 90， 10
B防守
右 80， 20 20， 80

先动优势产生原因：承诺 后动优势产生原因：灵活
信息集

信息集（information set）的概念：是决策结集合的一个 子集，该子集包括所有满足下列条件的决策结： 每一个决策结都是同一参与人的决策结； 该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自 己究竟处于哪一个决策结。
（0，0）
练习：
甲 下
上
乙 左
右
甲
后
(3,0)
前
(2,0)
(1,1)
(0,2)
练习：
甲 下
上
乙 左
右
甲
后
(3,0)
前
(2,0)
(1,1)
(0,2)
分析动态博弈的思路：向前展望，向后推理，即 面向未来，思考现在，站在未来的立场思考现在的 行动方案。 网络诗歌


我站在未来的山坡上回头看 过去和现在如同不再有悬念的平静湖面 所有发生的一切都是如此清晰和必然
1/2
1/2
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
开发
不开发
(4,4 )
(8,0 )
(-3,-3)
(1,0 )
(0,8 )
(0,0 )
(0,1 )
(0,0 )
房地产开发博弈
表示B在行动前
A
开发
既观察不到A的
行动，也观察不 到N的行动 N
大 小
1/2
不开发
N
大
小
1/2 1/2 1/2
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
开发
不开发
(4,4 )
(8,0 )
(-3,-3)
(1,0 )
(0,8 )
(0,0 )
(0,1 )
(0,0 )
房地产开发博弈
三、策略式转化为扩展式
案例-囚徒困境
囚徒 B 坦白 抵赖
囚徒A 坦白 抵赖
-8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1
练习
（2，0）
U
1 D 2 R 1
U’
（5，0）
D’ （4，2） L
（1，1）
例2：
U
1 D
（2，0） U’ 1 R 2 （5，0）
D’ （4，2） L
（1，1）
均衡为（{U,U’}；L）,均衡结果为1选择U。
房地产开发博弈 A 开发 B 不开发 B
开发
不开发
开发
不开发
（-3，-3）
（1，0）（0，1）
注意：支付向量的 顺序与博弈树上行 动顺序是对应的！
开发
A
不开发
N
大 小
1/2
N
大
小
1/2 1/2 1/2
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
不开发 开发
B
开发
不开发
(4,4 )
(8,0 )
(-3,-3)
(1,0 )
(0,பைடு நூலகம் )
(0,0 )
(0,1 )
(0,0 )
房地产开发博弈
垄断者 容忍 进入 抵抗 进入者 不进入 容忍
完全信息动态博弈
动态博弈：参与人的行动有先后顺序，且后行动 者能够观察到先行动者的行动。 先行动者的选择影响后行动者的选择空间， 后行动者可以观察到先行动者做了什么选择，因 此，为了做出最优的行动选择，每个参与人都必 须这样思考问题：如果我如此选择，对方将如何 应对？给定他的应对，什么是我的最优选择？

市场进入博弈

例3：设想一个垄断企业因为产品可以卖高价 每年获得10亿元利润。假定别的企业进入要4 亿元投资。当别的企业进入时候，原有企业必 须决策：容忍还是抵抗。如果容忍双方各获得 利润5亿元，抵抗则各获得利润2亿元。这家企 业会如何行动？
n人有限战略的扩展式表 述：博弈树 （game tree） 我国 2人有限博弈的战略 式表述：支付矩阵 美国 不犯我 犯我 犯人
先动优势与后动优势
足球 男 芭蕾
女 足球 芭蕾 2，1 0，0 0，0 1，2
如果男的先行动，则
女 足球 芭蕾 男 芭蕾 足球 足球 (2,1)
(0,0) (0,0)
(1,2)
女
芭蕾
如果女的先行动，则
男 足球 芭蕾 女 芭蕾 足球 足球 (1,2)
(0,0) (0,0)
(2,1)
男
芭蕾
如果男的先行动，则
枝
(-2,-2)
不犯人
犯人
(2,-4) (3,-5)
(1,1)
终点结
我国
决策结：行动的时点
不犯人
博弈树的结构



结(nodes)：包括决策结和终点结。决策结是 参与人采取行动的时点；终点结是博弈行动路 径的终点。 枝(branches)：枝是从一个决策结到它的直接 后续结的连线，每一个枝代表参与人的一个行 动选择。 信息集：